中考数学专题讲义垂直类
2021年中考复习讲义初中几何典型模型一：一线三垂直模型
初中数学典型模型之一： “三垂直模型”介绍总体解题思路：只要出现此典型图形，一般都要证三角形全等或相似，再根据全等或相似性质解题.（一）基本图形： 1.“三垂”例1.如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF ⊥EC ，EF=EC ，DE=2，矩形的周长为16，则AE=__ 解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于有等边（EF=EC ）先证△AEF ≌△DCE ， ∴AE=DC ，∴AD-DC=2，∵AD+DC=8，∴AD=5，DC=3，∴AE=3例2.一块矩形木板ABCD ，长AD=3cm,宽AB=2cm,小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C 上，另一条直角边与AB 边交于点E ，三角板的直角顶点P 在AD 边上移动（不含端点A,D ），当线段BE 最短时，AP=_______解析：如图1，典型的“三垂直模型”，由于没有等边，先证△AEP ∽△DPC ， ∴AP CD=AE PD。
当题目出现线段最值时，初三的数学中有两种解题方法：①几何论证方法；②代数论证方法-----通过设未知数，把几何中的线段关系转化成二次函数形式，运用二次函数求最值的方法解题；（详见“动态问题下求线段长”），此题可采用代数论证方法，设BE =y,AP =x ，∴x2=2−y 3−x, ∴y =x 2−3x +4=(x −32)2+74, ∴a =1>0 , ∴x =32时，y 最小值=742.两种变化图形（1）“交叉型”三垂直模型 （2）“L 型”三垂直模型A BC DEF 图1PA BCD E 证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅ECD;若没有边相等，则证ABE ~ECD;21AB CED证明：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A 又∵∠B=∠C ，若其中有一组边相等，则证ABE ≅FCD;若没有边相等，则证ABE ~FCD;21A BF E DC(1)若有等边，则△ABE≌△BDC（AAS ）(2)若无等边，则△ABE∽△BDC（AA ）EDCBA例3.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE=BF=1，则OC= ．解析：求线段长，要么用勾股定理，要么用相似，不管走勾股定理，还是相似，都绕不过先求出∠DOC=90°，当把这个90°标在图形时，就出现“三垂直模型的变化图形—交叉型三垂直模型”，如图1，由于有等边（BC=CD ），先证△BCE ≌△CDF ，∴∠BCE =∠CDF ，∵∠BCE +∠OCD =90°，∴∠CDF +∠OCD =90°，∴∠DOC =90°；这时图形又出现了第二个典型图形：“双垂型图形”，如图2，便易得这个典型图形的一个典型的用途----两直角边的乘积会等于斜边乘以斜边上的高。
八年级数学垂直PPT优秀课件
巩固练习
1.找出图中互相垂直的线段：
D
D. .C
A
.
A
.B
E C
O
B
O
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
互相垂直的两条直线的
交点叫做垂足（如图中的
o点）.
直线AB与直线CD垂直，
记作AB⊥CD于点o
A
如果用 l，m 表示这两条
直线，那么直线 l 与 m
垂直，记作 l⊥ m 于点o
C
OB D
请注意噢，图中表示垂直的方法！
想一想
互相垂直的两条直线形成的四个角有
什么特征？C为什么来自 ？？A ？O？B
D
想一想 在下列两个图中，分别过点A作l的垂线，
第四章
平面图形及其位置关系
忆一忆
同一平面上的两条直线有哪些位置 关系?
a
a
b
b
平行
相交
a
a
b
b
垂直
如果两条直线相交成直角，那 么这两条直线互相垂直。
两条线段互相垂直是指这两 条线段所在的直线互相垂直。
找出下图中互相垂直的线段
你能利用三角尺作出两 条互相垂直的直线吗？
思考：如何判断你所作 的两条直线互相垂直？
您能作出来吗？每个图中您能作几条？
A
A
从中，您得到了什么结论？说说看！
性质：平面内，过一点有且只有一条直 线与已知直线垂直。
一般过程：
1、靠 2、过
3、画
点到直线的距离
如图，过点A作l的垂线，垂足为B点。 线段AB的长度叫做点A到直线l的距离。
2022年九年级中考数学冲刺-几何模型讲义
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。
中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义
2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为39(1,)44m m−−−(其中m为实数)，当PM 的长最小时，m的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四边形．．．OACB．．．．的面积，求点C的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交边BC或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为___________.ABDCEFPMABDCEFPMyxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长； （2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积． 变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。
垂直讲义
一．知识要点1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭。
注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
3．面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
二．典例解析题型1：线线垂直问题例1．如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。
例2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点，证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。
2024年中考数学专题复习讲义+：证明线段相等的常用方法
A CB D PQ证明线段相等的常用方法一、证明两线段相等常用方法 1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.等于同一线段的两条线段相等。
二、例题讲解1.证明两线段是全等三角形的对应边如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。
例1.如图， B 、C 、D 在一直线上，△ABC 与△ECD 都是等边三角形，BE 、AD 分别交AC 、EC 于点G 、F 。
（1）求证：AE=BD （2）求证 CG=CF例2．如图，四边形ABCD 是矩形，△PBC 和△QCD 都是等边三角形，且点P 在矩形上方，点Q 在矩形内．求证：（1）∠PBA =∠PCQ =30°；（2）P A =PQ ．例3.已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧CB ＝弧CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ．试说明：DE ＝BF ；2、利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等如果两条所证线段在同一三角形中，证全等一时难以证明，可以考虑用此法例1.如图，已知△ABC中，AB=AC，DF⊥BC于F，DF与AC交于E，与BA的延长线交于D，求证：AD=AE。
例2. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，若∠MAC＝∠ABC，D 是弧AC 的中点，连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG3、证明两线段都等于第三线段或者第三个量等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则a－c=b－c例1、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=ACBACDF21E例2.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，D 是BC 的中点,DE ⊥AB 于E ，BF ∥AC 交DE 的延长线于F.求证：(1)BD=BF(2)AD=CF (3)AF=CF【巩固练习】1、已知，如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在AB 上和AD 的延长线上，且BE=DF ，连接EF ，G 为EF 的中点．求证：（1）CE=CF ；（2）DG 垂直平分AC ．2.如图，P 为正方形ABCD 边BC 上任一点，BG ⊥AP 于点G ，在AP 的延长线上取点E ，使AG=GE ，连接BE ，CE ． （1）求证：BE=BC ；（2）∠CBE 的平分线交AE 于N 点，连接DN ，求证： ； （3）若正方形的边长为2，当P 点为BC 的中点时，请直接写出CE 的长为CADE FB。
七年级上册数学垂直知识点
七年级上册数学垂直知识点一、引言数学是一门重要且必备的学科，能够引导学生了解和掌握各种实际应用场景中所涉及的数据。
其中，垂直是数学学科中非常重要的一个概念，是学习数学不可或缺的一个环节。
在七年级上册的数学课程中，我们需要掌握垂直的相关知识点来帮助我们更好地理解和应用数学。
二、垂直的定义与性质垂直是指两条直线或线段之间的夹角为90度。
在数学中，垂直通常用符号“⊥”来表示。
垂直的性质包括：1.两个平面垂直的充分必要条件是它们的法向量相互垂直。
2.两个直线垂直的充分必要条件是它们斜率的乘积为-1。
3.一个平面与一条直线垂直，当且仅当该线在该平面上，且垂直于该平面的法向量与该线的方向向量相互垂直。
三、垂线在数学中，垂线指的是与另一条线段或直线垂直相交的线段或直线。
垂线的性质包括：1.一个点到一条直线的距离是垂线的长度。
2.垂线所在的直线称为“垂线的轴线”。
3.垂线能够将一个角分成两个互相垂直的角。
四、垂足和高垂足是指从一个点到一条直线垂线上的交点。
而高指的是一个三角形中，由顶点到对边的连线所组成的垂线段。
垂足和高的性质包括：1.在一个含有垂足的直角三角形中，垂足对于斜边的角度是90度。
2.在一个三角形中，某条边的中垂线将该边对应的垂足连接起来形成的线段，被成为该三角形的高。
3.一个三角形的三条高相互垂直，其垂足的点都在三角形的外心上。
五、举例在实际生活中，我们可以应用垂直的相关知识点来帮助我们解决各种问题。
比如，当我们需要从地图上求出一个建筑物顶端所在的高度时，就可以运用垂直的知识点来帮助我们计算。
此外，在我们学习物理学和工程学等学科时，垂直的知识点也具有广泛的应用。
六、结论在七年级上册的数学课程中，垂直的知识点是必须要掌握的。
通过了解垂直的定义、性质、垂线、垂足、高以及其在实际应用方面的作用等方面的知识，我们可以更好地理解和应用数学知识。
希望大家都可以在数学学科中取得更加出色的成绩。
高中数学垂直试讲教案模板
高中数学垂直试讲教案模板
一、教学内容：高中数学垂直试讲
二、教学目标：
1.使学生了解垂直的定义和特性；
2.帮助学生掌握垂直线段及垂直平分线段的性质；
3.训练学生分析和解决与垂直有关的问题的能力。
三、教学重难点：
1.垂直线段及垂直平分线段的性质；
2.垂直相关问题的解决方法。
四、教学准备：
1.教师准备投影仪、白板、笔等教学工具；
2.学生准备计算器、尺子等学习用具。
五、教学过程：
1.引入：通过提出一个与垂直相关的问题或现象引起学生的兴趣，激发学生思考与讨论。
2.讲解垂直定义和特性：讲解垂直线段、垂直平分线段的定义及特性，让学生理解垂直的含义。
3.实例分析：给出几个与垂直相关的实例，并引导学生通过分析解决这些问题。
4.练习：为学生提供一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，检验他们的学习效果。
5.总结：对本节课的内容进行总结，并强调垂直相关知识的重要性和应用。
六、课堂作业：
1.完成课堂上的练习题；
2.自行查找与垂直相关的问题，通过思考解决。
七、反馈与评估：
1.通过学生课堂参与度和作业的完成情况评估他们对垂直知识的掌握程度；
2.根据学生的表现给予积极的反馈或建议。
八、教学反思：对本节课的教学效果进行反思，并有针对性地调整下节课的教学内容和方法。
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垂直（直角）类
联想融通：试试看，与垂直（直角）相关的知识与题型能想起多少？
与垂直（直角）相关的知识极多，如：三线合一、角平分线性质及其逆，三角的比中大数等于两小数之和的三角形是Rt△、勾股定理、勾股数与特殊三角
形（3︰4︰5，5︰12︰13，1︰1︰2，1︰3︰2，1︰2︰5，1︰3︰10等），
见特殊角与三角函数构造直角三角形，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，对角线相互垂直的四边形面积及其中点四边形的特殊性、直角梯形可分割成矩形和直角三角形，正八边形可拼成一个直角、HL判全等、等腰三角形两腰上高相等、垂直出相似、三角形的两高交出六对相似三角形、摄影定理及其逆、面积公式可建立方程，轴对称、绕直角顶点旋转三角形形连结另两对对应点的线段相互垂直、正方形绕其中心旋转90°与自身重合、垂径定理、直径所对的圆周角是直角及其逆、知圆周角所对的弦长求直径时转化为以直径为斜边的直角三角形、两个直角的两组直角边分别相交时得四点共圆、切线切点、两圆连心线垂直平分公共弦……还有很多，随便写出30条.
本单元只对“过直角顶点的直线类、直角边相交成的双直角四边形类、用面积法建立方程类、重合直角顶点的双直角类。
勾股定理”五个方面进行研究.
一、见过直角顶点的直线【8】
解法归一：见过直角顶点的直线l，从直角两边上的点分别向直线l作垂线，必得全等或相似；然后再利用全等或相似进行转换.
例5-1-1 已知△ABC是直角三角形，AC=BC，直线MN经过直角顶点C，分别过A、B作直线MN的垂线AD、BE分别交MN于D、E.
图5-1-1①图5-1-1②
（1）如图5-1-1①，当且垂线段AD、BE在直线MN的同侧时，试探究线段AD、BE、DE长度之间的数量关系，并给予证明.
（2）如图5-1-1②，当垂线段AD、BE在直线MN的异侧时，试探究线段AD、BE、DE长度之间的关系，并给予证明.
交流分享：本例的两图就是“过直角顶点直线类”的两个基本图形：直线MN在直
角外、直线MN 分直角，题不难，但很有代表性.
本题在（1）怎样证的全等，在（2）照旧；在（1）怎么找的关系，在（2）照旧，即“照着做”.
体验与感悟5-1
1．如图5-1-2，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作正方形CADF 和正方形CBEG ，
作l DD ⊥1于点1D ，作l EE ⊥
1于点1E .线段1DD 、1EE 、AB 的数量关系是 .
图5-1-2
2．三个正方形A 、B 、C 如图5-1-3放置，已知正方形A 、C 的边长分别为b a ，，正方形B 的面积为2，那么22b a += .
图5-1-3
3．如图5-1-4，已知直线4321////// l l l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则=αsin .
图5-1-4
4．（1）如图5-1-5①，在△ABC 中，AN ⊥BC 于点N ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线NA 的垂线，垂足分别为P 、Q .试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.
图5-1-5①
（2）如图5-1-5②，在梯形ABCD 中，AD //BC ，分别以两腰AB 、CD 为直角边向梯形ABCD 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △DCF ，线段AD 的垂直平分线交线段AD 于点M ，交BC 于点N ，若EP ⊥MN 于P ，FQ ⊥MN 于Q ，（1）中结论还成立吗？请简述理由.
图5-1-5②
5、如图5-1-6，直线321//// l l l ，21 l l 与之间的距离是1，32l l 与之间的距离是2，试画出以A 为直角顶点的等腰Rt △ABC ，使三个顶点分别在直线321 l l l 、、上，并写出所画等腰Rt △ABC 的面积.
图5-1-6
提醒：直角顶点在一条直线上的题目怎么做？
二、直角边相交的“双直角”类
说明：我说的“双直角”特指如下两种情况：相对“双直角”（如图1）；同侧“双直角”（如图2）.
图1 图2 其特点是：A 、连公共斜边，作斜边上的中线，得5个等腰三角形；B 、四点共圆，据同弧上圆周角相等得到很多等角.
（一）见“双直角”连公共斜边
解法归一：见“双直角”，找（或连）公共斜边，构造全等三角形或等腰三角形. (见例3-2-1、体验感悟3-1之3、4题．)
例5-2-1 如图5-2-1，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积为（ ）
图5-2-1 图5-2-2 例5-2-2 如图5-2-2，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到正方形'''CD B A （此时，点'B 在AC 上，点'A 在CD 的延长线上），''B A 交AD 于点E ，求证：直线CE 是线段'AA 的中垂线.
交流分享：例5-2-1连结AO 、例5-2-2证CE 平分CA A '∠.
体验与感悟5-2-1
1．如图5-2-3，°==90∠∠ADC ABC ，M 、N 分别是线段AC 、BD 的中点. 求证：MN ⊥BD .
图5-2-3
2．（1）将2个全等的Rt △ABC 和Rt △DBE 按图5-2-4①摆放，其中°==90∠∠DEB ACB ,°==30∠∠D A ，点E 落在AB 上，直线DE 交直线AC 于点F .求证：AF +EF =DE .
（2）若将图5-2-4①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转α，且°<<°60α0，其他条件不变，请在图5-2-4②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中的结论是否仍然成立.
图5-2-4②
（3）若将图5-2-4①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转β，且°<<°180β60，其它条件不变，如图5-2-4③.你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由
.
图5-2-4③ （二）见“双直角”用四点共圆
例5-2-3 如图5-2-5，BF 、CD 是△ABC 的两条高，E 是BC 的中点，
°=50∠A ，求DEF ∠
.
图5-2-5
交流分享：EB =ED =EC =EF ,B 、D 、F 、C 四点在同一圆上，ABF DEF ∠2∠=
例5-2-4 如图5-2-6，已知AC 、BD 相交于O ，BA =BO 、CD =CO ，P 、M 、N 分别是BC 、OA 、OD 的中点，2α∠ABO =.求证：△PMN ∽△BAO . N
M
P
O
B A
C
D
图5-2-6 交流分享：连结BM 、CN 后，方法同例5-2-3.
体验与感悟5-2-2
1. 如图5-2-7，在锐角△ABC 中，°=60∠BAC ，BD 、CE 为高，F 是BC 的中
点，连接DE 、EF 、FD .则在：①EF =FD ；②AD :AB =AE :AC ；③△DEF 是等边三角形；④BE +CD =BC ；⑤当°=45∠ABC 时，DE BE 2=.这五个结论中一定正确的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
图5-2-7 图5-2-8 2. 如图5-2-8，从边长为2的正方形中心O 作两条相互垂直的射线，分别与正
方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 的最小值是 .
3. 如图5-2-9，点B 在线段AC 上，点D 、E 在AC 同侧，°==90∠∠C A ，
AD =BC =3，AB =CE =5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥PD 交直线BE 于点Q .当点P 与A 、B 两点不重合时，求DP ︰PQ 的值.
图5-2-8
提醒：回顾一下“双直角”吧！。