中考数学专题讲义直角类
中考数学专题复习：解直角三角形
中考数学专题复习：解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中,∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,则∠A的正弦可表示为：sinA= ,∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ,它们弦称为∠A的锐角三角函数【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体,是两条线段的比,没有,这些比值只与有关,与直角三角形的无关2、取值范围<sinA< cosA< tanA> 】二、特殊角的三角函数值：【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的,要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时,正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而sin A3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=⑵若∠A+∠B=900,则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素,求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中,∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形,再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度,用i表示,即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示,则i=hl=⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形,转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案,从而得到实际问题的答案【名师提醒：在解直角三角形实际应用中,先构造符合题意的三角形,解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （•内江）如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形,根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O,根据网格的特点,CD⊥AB,在Rt△AOC中,CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理,作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（•贵港）在平面直角坐标系中,已知点A（2,1）和点B（3,0）,则sin∠AOB的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C,利用A点坐标为（2,1）可得到OC=2,AC=1,利用勾股定理可计算出OA,然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C,∵A点坐标为（2,1）,∴OC=2,AC=1,∴OA=22OC AC+=5,∴sin∠AOB=1555ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中,一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （•孝感）计算：cos245°+tan30°•sin60°= ．思路分析：将cos45°=22,tan30°=33,sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°•sin60°=12+33×32=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值,属于基础题,熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（•南昌）计算：sin30°+cos30°•tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+⨯=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值,熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （•安徽）如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=23,求AB的长．6．思路分析：过C作CD⊥AB于D,求出∠BCD=∠B,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案．解：过C作CD⊥AB于D,∴∠ADC=∠BDC=90°,∵∠B=45°,∴∠BCD=∠B=45°,∴CD=BD,∵∠A=30°,AC=23,∴CD=3,∴BD=CD=3,由勾股定理得：AD=22=3,AC CD∴AB=AD+BD=3+3,答：AB的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理,等腰三角形的性质和判定,含30度角的直角三角形性质等知识点的应用,关键是构造直角三角形,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目．对应训练3．（•重庆）如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D在BC边上,且△ABD是等边三角形．若AB=2,求△ABC的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°,求出∠C=30°,求出BC=4,根据勾股定理求出AC,相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD是等边三角形,∴∠B=60°,∵∠BAC=90°,∴∠C=180°－90°－60°=30°,∴BC=2AB=4,在Rt△ABC中,由勾股定理得：AC=2222BC AB-=-=,4223∴△ABC的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理,含30度角的直角三角形,等边三角形性质,三角形的内角和定理等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力,此题综合性比较强,是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （•张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠B=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=32千米,请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数,2≈1.41436≈2.45）（2）求∠ACD的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ,根据AB =BC =15千米,∠B =90°得到∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米,再根据∠D =90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积； （2）直接利用余弦的定义求解即可． 解：（1）连接AC∵AB =BC =15千米,∠B =90°∴∠BAC =∠ACB =45° AC =152千米 又∵∠D =90°∴AD =22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB +BC +CD +DA =30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米） 面积=S △ABC +18 6 ≈157（平方千米） （2）cos ∠ACD =CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用,与时事相结合提高了同学们解题的兴趣,解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解． 对应训练6．（•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末,小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图,观测点设在A 处,离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时,一辆小轿车由西向东匀速行驶,测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒,∠BAC =75°． （1）求B 、C 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米,参考数据：sin75°≈0.9659,cos75°≈0.2588,tan75°≈3.732,3≈1.732,60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米,可见∠C=90°,根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度,与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=75°,AC=30,∴BC=AC•tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D,连接AD,使∠DAB=∠B,则AD=BD,∵∠BAC=75°,∴∠DAB=∠B=15°,∠CDA=30°,在Rt△ACD中,∠ACD=90°,AC=30,∠CDA=30°,∴AD=60,CD=303,BC=60+303≈112（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用,理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（•济南）如图,在8×4的矩形网格中,每格小正方形的边长都是1,若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定3考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA－12=0,sinB－22=0,然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数,再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA－12|+（sinB－22）2=0,∴cosA－12=0,sinB－22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠A=60°,∠B=45°,则∠C=180°－∠A－∠B=180°－60°－45°=75°,故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质,特殊角的三角函数值,三角形内角和定理,关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．5．（•潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题,安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上确定点D,使CD与l垂直,测得CD的长等于21米,在l上点D的同侧取点A、B,使∠CAD=30°,∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米,参考数据：3=1.73,2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时,若测得某辆校车从A到B用时2秒,这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中,利用正切函数,即可求得AD与BD的长,继而求得AB的长；（2）由从A到B用时2秒,即可求得这辆校车的速度,比较与40千米/小时的大小,即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得,在Rt△ADC中,AD=CD==21 3tan303=36.33,在Rt△BDC中,BD=CD==7 3tan303=12.11,则AB=AD－BD=36.33－12.11=24.22≈24.2（米）。
初中数学竞赛中考讲义之双直角三角形模型
tan BCD
3
6
(海里)，
3
∴AD＋CD＝10 2 ＋10 6 ＝10( 2 ＋ 6 )(海里)．
答：疑似物 C 与搜救船 A 的距离是 10( 2 ＋ 6 )海里，与搜救船 B 的距离是 20 海里．
10.解：这艘船能按原方向继续向前航行．理由如下：
如图，过点 B 作 BH⊥AP 于 H，过点 P 作 PM⊥AB，交 AB 延长线于 M． 由题意，知 AB＝24× 40 ＝16(海里)，∠BAP＝75°﹣45°＝30°．
5、如图，在直角坐标系中，直线 y＝－ 3 x＋6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，AB 中点为点 P，则点 P 到 4
直线 y＝－x 的最短距离 PQ 的长度为
．
6、如图，在△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转．
(1)当 AC 平分∠A′CB′时，BD 的长为
例题 2、如图，在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5km 的码头 MN 和灯塔 C，灯塔 C 距码头的东 端 N 有 20km．一轮船以 36km/h 的速度航行，上午 10：00 在 A 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏 西 30°方向，上午 10：40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60°方向，且与灯塔 C 相距 12km． (1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？ (2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据： 2 ≈1.4， 3 ≈1.7)
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解05 平面直角坐标系
初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题05 平面直角坐标系【知识要点】考点知识一平面直角坐标系的基础有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。
按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
考点知识二 点的坐标的有关性质（考点） 性质一 各象限内点的坐标的符号特征性质二 坐标轴上的点的坐标特征 1.x 轴上的点，纵坐标等于0； 2.y 轴上的点，横坐标等于0； 3.原点位置的点，横、纵坐标都为0. 性质三 象限角的平分线上的点的坐标1．若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等； 2．若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上 性质四 与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征 1.在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；X点A 、B 的纵坐标都等于m ；2.在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；性质五 点到坐标轴距离在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则 1.点P 到x 轴的距离为b ； 2.点P 到y 轴的距离为a ；3.点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a性质六 平面直角坐标系内平移变化P （b a ,）abxy OXYABmXYCDn性质七 对称点的坐标1. 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；2. 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；3.点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；小结： XP X-X【考点题型】考点题型一 用有序数对表示位置【解题思路】要确定位置坐标，需根据题目信息、明确行和列的实际意义是解答本题的关键．典例1．（2021·湖北宜昌市中考真题）小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（ ）．A ．小李现在位置为第1排第2列B ．小张现在位置为第3排第2列C ．小王现在位置为第2排第2列D ．小谢现在位置为第4排第2列限(x,0)(0,y )(0,0)纵坐标相同横坐标不同横坐标相同纵坐标不同 x ＞0 y ＞0 x ＜0 y ＞0 x ＜0 y ＜0 x ＞0 y ＜0 (m,m) (m,-m )变式1-1．（2018·广西柳州市中考模拟）初三（1）班的座位表如图所示，如果如图所示建立平面直角坐标系，并且“过道也占一个位置”，例如小王所对应的坐标为（3，2），小芳的为（5，1），小明的为（10，2），那么小李所对应的坐标是（）A．（6，3）B．（6，4）C．（7，4）D．（8，4）变式1-2．（2017·北京门头沟区一模）小军邀请小亮去他家做客，以下是他俩的对话：小军：“你在公交总站下车后，往正前方直走400米，然后右转直走300米就到我家了”小亮：“我是按照你说的走的，可是走到了邮局，不是你家…”小军：“你走到邮局，是因为你下公交车后朝向东方走的，应该朝向北方走才能到我家…”根据两人的对话记录，从邮局出发走到小军家应( )A．先向北直走700米，再向西走100米B．先向北直走100米，再向西走700米C．先向北直走300米，再向西走400米D．先向北直走400米，再向西走300米考点题型二求点的坐标典例2．（2021·天津中考真题）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是()0,6，点C在第一象限，则点C的坐标是（）0,0，()A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6变式2-1．（2021·山东滨州市·中考真题）在平面直角坐标系的第四象限内有一点M ，到x 轴的距离为4，到y 轴的距离为5，则点M 的坐标为（） A ．()4,5-B ．(5,4)-C ．(4,5)-D ．(5,4)-变式2-2．（2021·湖北襄阳市模拟）如图，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为()4,0，点C 的坐标为()4,4，点D 在y 轴上，则点B 的坐标为（）A ．(4,2)B ．(2,8)C ．(8,4)D ．(8,2)变式2-3．（2021·广东二模）已知点2,24()P m m +-在x 轴上，则点Р的坐标是（） A ．()4,0B ．()0,8C ．()4,0-D ．()0,8-变式2-4．（2021·广西一模）点M （3，1）关于y 轴的对称点的坐标为（ ） A ．（﹣3，1）B ．（3，﹣1）C ．（﹣3．﹣1）D ．（1，3） 考点题型三 点的坐标的规律探索【解题思路】考查坐标的规律探索，解题的关键是根据题意找到坐标的变化规律. 典例3．（2021·山东中考真题）如图，在单位为1的方格纸上，△A 1A 2A 3，△A 3A 4A 5，△A 5A 6A 7，…，都是斜边在x 轴上，斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形，若△A 1A 2A 3的顶点坐标分别为A 1（2，0），A 2（1，1），A 3（0，0），则依图中所示规律，A 2021的坐标为（）A ．（﹣1008，0）B ．（﹣1006，0）C ．（2，﹣504）D ．（1，505）变式3-1．（2021·山东菏泽市·中考真题）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1变式3-2．（2021·辽宁阜新市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A(4，0)，B(0，3)，则点C 100的坐标为( )A ．121200,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()600,0C ．12600,5⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1200,0考点题型四 判断点的象限【解题思路】各象限内点的坐标的符号特征需记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．典例4．（2021·湖南株洲市·中考真题）在平面直角坐标系中，点(,2)A a 在第二象限内，则a 的取值可以．．是（ ） A ．1B ．32-C ．43D ．4或-4变式4-1．（2021·江苏扬州市中考真题）在平面直角坐标系中，点()22,3P x +-所在的象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式4-2．（2021·湖北黄冈市·中考真题）在平面直角坐标系中，若点(,)A a b -在第三象限，则点(,)B ab b -所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限变式4-4．（2021·湖南邵阳市·中考真题）已知0,0a b ab +>>，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）A ．(),a bB ．(),a b -C ．(),a b --D ．(),a b - 考点题型五 点坐标的有关性质1.坐标轴上的点的坐标特征1．（2017·四川中考模拟）如果点P(a －4，a)在y 轴上，则点P 的坐标是( ) A ．(4,0)B ．(0,4)C ．(－4,0)D ．(0，－4)2．（2018·广西柳州十二中中考模拟）点P （m +3，m +1）在x 轴上，则点P 坐标为（ ） A ．（0，﹣4）B ．（4，0）C ．（0，﹣2）D ．（2，0）3．（2021·甘肃中考真题）已知点(224)P m m ，﹣在x 轴上，则点P 的坐标是（ ） A ．(40)，B ．(04)，C ．40)(-，D ．(0,4)- 4．（2021·甘肃中考模拟）已知点P （m+2，2m ﹣4）在x 轴上，则点P 的坐标是（ ） A ．（4，0）B ．（0，4）C ．（﹣4，0）D ．（0，﹣4）5．（2021·广东华南师大附中中考模拟）如果点P (m +3，m +1)在平面直角坐标系的x 轴上，则m ＝( )A ．﹣1B ．﹣3C ．﹣2D ．0 2.象限角的平分线上的点的坐标1. 已知点A （-3+a ，2a+9）在第二象限角平分线上，则a=_________2．（2018·广西中考模拟）若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( )A ．(2，2)B ．(－2，－2)C ．(2，2)或(－2，－2)D ．(－2，2)或(2，－2) 3.与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征1．（2021·广西中考模拟）已知点A （a ﹣2，2a +7），点B 的坐标为（1，5），直线AB ∥y 轴，则a 的值是（ ） A ．1B ．3C ．﹣1D ．52．（2018·天津中考模拟）如果直线AB 平行于y 轴，则点A ，B 的坐标之间的关系是（ ）A ．横坐标相等B ．纵坐标相等C ．横坐标的绝对值相等D ．纵坐标的绝对值相等3．（2021·广东华南师大附中中考模拟）已知点A （5，﹣2）与点B （x ，y ）在同一条平行于x 轴的直线上，且B 到y 轴的距离等于4，那么点B 是坐标是（ ）A ．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）B ．（4，2）或（﹣4，2）C ．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2）D ．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2）4．（2021·江苏中考模拟）若线段AB ∥x 轴且AB ＝3，点A 的坐标为（2，1），则点B 的坐标为（ ）A ．（5，1）B ．（﹣1，1）C ．（5，1）或（﹣1，1）D ．（2，4）或（2，﹣2）5．（2018·江苏中考模拟）已知点M （﹣1，3），N （﹣3，3），则直线MN 与x 轴、y 轴的位置关系分别为（ ）A ．相交，相交B ．平行，平行C ．垂直，平行D ．平行，垂直4.点到坐标轴距离1．（2018·天津中考模拟）已知平面内不同的两点A （a +2，4）和B （3，2a +2）到x 轴的距离相等，则a 的值为( )A ．﹣3B ．﹣5C ．1或﹣3D ．1或﹣52．（2018·江苏中考真题）在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）A ．(3,4)-B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-3．（2017·北京中考模拟）点P 是第二象限的点且到x 轴的距离为3、到y 轴的距离为4，则点P 的坐标是（ ）A．（﹣3，4）B．（3，﹣4）C．（﹣4，3）D．（4，﹣3）4.（2012·江苏中考模拟）在平面直角坐标系中，点P(－3，4)到x轴的距离为( ) A．3B．－3C．4D．－45.平面直角坐标系内平移变化1．（2021·山东中考真题）在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）2.（2021·北京中考模拟）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A(4，－1)，B(1,1)将线段AB平移后得到线段A′B′，若点A′的坐标为(－2,2)，则点B′的坐标为() A．(－5,4) B．(4,3) C．(－1，－2) D．(－2，－1)3．（2015·广西中考真题）在平面直角坐标系中，将点A(x，y)向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B(－3，2)重合，则点A的坐标是（）A．(2，5)B．(－8，5)C．(－8，－1)D．(2，－1)4．（2016·四川中考真题）已知△ABC顶点坐标分别是A（0，6），B（﹣3，﹣3），C（1，0），将△ABC平移后顶点A的对应点A1的坐标是（4，10），则点B的对应点B1的坐标为（）A．（7，1）B．B（1，7）C．（1，1）D．（2，1）5．（2018·武汉市东西湖区教育局中考模拟）在坐标系中，将点P( －2，1)向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点P’的坐标（）A．（2,4）B．(1,5)C．(1,-3)D．(-5,5)6.对称点的坐标1．（2021·广东中考模拟）在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（﹣1，2）D ．（﹣2，1）2．（2021·山东中考模拟）已知点P （a +1，2a ﹣3）关于x 轴的对称点在第二象限，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1＜a ＜B ．﹣＜a ＜1C ．a ＜﹣1D ．a >3．（2014·广西中考真题）已知点A （a ，2013）与点B （2014，b ）关于x 轴对称，则a+b 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．2D ．34．（2018·广西中考模拟）已知点P(a ＋l ，2a －3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是（ ）A ．a 1<-B ．31a 2-<<C ．3a 12-<<D ．3a 2> 5．（2021·辽宁中考模拟）已知点P （m ﹣1，4）与点Q （2，n ﹣2）关于x 轴对称，则m n 的值为（ ）A ．9B ．﹣9C ．﹣19D ．196．（2018·四川中考模拟）平面直角坐标系中，与点（2，﹣3）关于原点中心对称的点是（ ）A ．（﹣3，2）B ．（3，﹣2）C ．（﹣2，3）D ．（2，3）。
中考数学黄金知识点系列专题16直角三角形
【答案】B．
【解析】
考点：勾股定理的逆定理．
考点典例二、直角三角形的性质
【例2】（20xx湖北随州第13题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= ．
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
四、互逆命题、互逆定理
1.互逆命题
如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，我们把风这两个命题叫做互逆命题.把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.互逆定理
若一个定理的逆命题是正确的，那么它就是这个定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理.
二、勾股定理及逆定理
1. 勾股定理：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
2. 勾股定理的逆定理
如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
三、直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：
【例4】（20xx年福建龙岩第4题）下列命题是假命题的是（ ）
A．若|a|=|b|，则a=b
B．两直线平行，同位角相等
C．对顶角相等
D．若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根
【答案】A.
【解析】
试题分析：选项A：若a=1，b=-1，则|a|=|b|，但a≠b，此命题为假命题；选项B：两直线平行，同位角相等是真命题；选项C：对顶角相等是真命题；选项D：若b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根是真命题.故选A.
中考数学复习讲义课件 第3单元 第10讲 平面直角坐标系及函数
分析并判断函数图象 15．(2021·益阳)如图，已知□ABCD 的面积为 4，点 P 在 AB 边上从左向右运动(不含端点)，设△APD 的 面积为 x，△BPC 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图 象大致是( B )
A
B
C
D
16．(2021·郴州)如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， ∠A＝60°，点 P 从点 A 出发，沿路线 A→B→C→D 运 动．设点 P 经过的路程为 x，以点 A，D，P 为顶点的 三角形的面积为 y，则下列图象能反映 y 与 x 的函数关 系的是( A )
图1
图2
18．(2019·永州)在一段长为 1000 米的笔直道路 AB 上，甲、乙两名运 动员均从 A 点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发 30 秒钟，甲距 A 点的距离 y(米)与其出发的时间 x(分钟)的函数图象如图所示，乙的速度是 150 米/分钟，且当乙到达 B 点后立即按原速返回． (1)当 x 为何值时，两人第一次相遇？ (2)当两人第二次相遇时，求甲的总路程．
A．(6，1)
B．(3，7)
C．(－6，－1)
D．(2，－1)
6．已知点 A 的坐标为(2，m)，且点 A 在第二、四象限的角平分线上，则 m＝__－_2___. 7．点 P(－3，4)关于 x 轴的对称点为__(_－__3_，_－__4_)__，关于 y 轴的对称点为 ___(3_，__4_)___，关于原点的对称点为__(_3_，_－__4_)___；点 P 到原点的距离为 __5___. 8．(2021·西宁)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标是(2，－1)，若 AB∥y 轴，且 AB＝9，则点 B 的坐标是___(2_，__8_)_或_(_2_，__－_1_0_)____.
中考数学黄金知识点系列专题37解直角三角形
专题37 解直角三角形 聚焦考点☆温习理解一、锐角三角函数的定义在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b正弦：sinA ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦：cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc余切：tanA ＝∠A 的对边∠A的邻边＝ab二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则：(1)三边关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边与角关系：sinA ＝cos B ＝ac ，cos A ＝sinB ＝b c ，tanA ＝ab ；(4)sin 2A ＋cos 2A ＝1四、解直角三角形的应用常用知识1. 仰角和俯角：仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i＝________坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i＝tanα坡度越大，α角越大，坡面________3.方向角(或方位角)指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角名师点睛☆典例分类考点典例一、锐角三角函数的定义【例1】如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径为r，△PCD 的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）A．51312B．125C．3135D．2133【答案】B.在Rt △PBF 和Rt △OAF 中，FAO FBPOFA PFB ∠=∠∠=∠⎧⎨⎩，∴Rt △PBF ∽Rt △OAF ． ∴2332AFAO r FB BP r ===，∴AF=23FB ，在Rt △FBP 中，∵PF 2-PB 2=FB 2∴（PA+AF ）2-PB 2=FB 2 ∴（32r+23BF ）2-（32r ）2=BF 2，解得BF=185r ，∴tan∠APB=18125352rBFPB r==，故选：B．考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．【举一反三】（2016山东淄博第9题）如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A，B，P，Q四点均在正方形网格的格点上，线段AB，PQ相交于点M，则图中∠QMB的正切值是（）A．B．1 C．D．2【答案】D.考点：相似三角形的判定及性质；勾股定理．考点典例二、锐角三角函数的计算【例2】（凉山州）在△ABC中，若|cosA-12|+（1-tanB）2=0，则∠C的度数是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°【答案】考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．【点睛】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定理．【举一反三】（2016湖南永州第11题）下列式子错误的是（ ）A ．cos40°=sin50° B．tan15°•tan75°=1C ．sin 225°+cos 225°=1 D．sin60°=2sin30°【答案】D ．【解析】试题分析：选项A ，sin40°=sin （90°﹣50°）=cos50°，式子正确；选项Btan15°•tan75°=tan15°•cot15°=1，式子正确；选项C ，sin 225°+cos 225°=1正确；选项D ，sin60°=23，sin30°=21，则sin60°=2sin30°错误．故答案选D ．考点：互余两角三角函数的关系；同角三角函数的关系；特殊角的三角函数值．考点典例三、解直角三角形【例3】（宁夏）在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠C=45°，sinB=13，AD=1．求BC 的长．【答案】22+1． 考点：解直角三角形；勾股定理． 【点睛】本题考查了三角形的高的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt △ADB 与Rt △ADC ，得出BD=22，DC=1是解题的关键．将三角形转化为直角三角形时，注意尽量不要破坏所给条件．【举一反三】(2016湖北襄阳第9题)如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为( )21.A 55.B 1010.C 552.D【答案】B.考点：锐角三角函数函数；三角形面积公式；勾股定理.考点典例四、解直角三角形的实际运用【例4】（2016四川达州第21题）如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：≈1.4，≈1.7）【答案】（1）轮船照此速度与航向航向，上午11：：00到达海岸线；（2）轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头，理由详见解析.【解析】试题分析：(1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，易证△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可解决问题．（2）在RT△BEC中，求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．试题解析：（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．考点：解直角三角形的应用.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解方位角角的定义，及勾股定理的表达式，要注意根据题意构造直角三角形，并解直角三角形；注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．【举一反三】（2016河南第19题）（9分）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°.升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处. 若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sian37°=0.60， cos37°=0.80，tan37°=0.75）【答案】国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升.考点：解直角三角形的应用.课时作业☆能力提升1. （2016辽宁沈阳第9题）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC 的长是（ ）A ．B ．4C ．83D ．43【答案】D.考点：解直角三角形.2. （2016湖南怀化第10题）在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=54，AC=6cm ，则BC 的长度为（ ） A ．6cm B ．7cm C ．8cm D ．9cm【答案】C ．【解析】试题分析：已知sinA=AB BC =54，设BC=4x ，AB=5x ，又因AC 2+BC 2=AB 2，即62+（4x ）2=（5x ）2，解得：x=2或x=﹣2（舍），所以BC=4x=8cm ，故答案选C ．考点：解直角三角形．3.（2016浙江宁波第16题）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1m ，则旗杆高BC 为 m （结果保留根号）【答案】103+1.考点：解直角三角形的应用.4. （2016江苏苏州第8题）如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（ ）A ．23mB ．26mC ．（23﹣2）mD ．（26﹣2）m【答案】B.【解析】试题分析：在Rt △ABD 中，∠D=90°，∵sin ∠ABD=ADAB，∴AD=4sin60°=23（m ），在Rt △ACD 中，∠D=90°，∵sin ∠ACD=ADAC ，∴AC=6245sin 32=︒（m ）．故选B. 考点：解直角三角形的应用.5. （2016年福建龙岩第13题）如图，若点A 的坐标为)3,1(，则sin∠1= ．【答案】23. 考点：1三角函数；2坐标与图形性质.6. （2016黑龙江大庆第16题）一艘轮船在小岛A 的北偏东60°方向距小岛80海里的B 处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，则该船行驶的速度为 海里/小时．【答案】334040+. 【解析】试题分析：设该船行驶的速度为x 海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C 处，由题意得：AB=80海里，BC=3x 海里，在Rt △ABQ 中，∠BAQ=60°，∴∠B=90°﹣60°=30°，∴AQ=21AB=40，BQ=3AQ=403， 在Rt △AQC 中，∠CAQ=45°，∴CQ=AQ=40，∴BC=40+403=3x ，解得：334040+=x ．即该船行驶的速度为334040+海里/时. 考点：解直角三角形的应用. 7. （2016新疆第14题）如图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB=30°，D 点测得∠ADB=60°，又CD=60m ，则河宽AB 为 m （结果保留根号）．【答案】30 3.考点：解直角三角形的应用.8. （2016湖南岳阳第14题）如图，一山坡的坡度为i=1：，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了 米．【答案】100．【解析】试题分析：根据坡比的定义可得tan ∠A=3331==AC BC ，即可得∠A=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系可得BC=21AB=21×200=100m ． 考点：解直角三角形的应用.9. （2016湖北黄石第22题）（本小题满分8分）如图，为测量一座山峰CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC 两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长800=AB 米，200=BC 米，坡角︒=∠30BAF ，︒=∠45CBE .（1）求AB 段山坡的高度EF ；（2）求山峰的高度CF .（414.12≈，CF 结果精确到米）A B CF E【答案】(1)400;(2)541.考点：解直角三角形的应用.10. （2016湖北鄂州第21题）（本题满分9分）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度。
中考数学专题复习——解直角三角形的实际应用的基本类型课件
) D.6 3 m
2.(202X·益阳中考)南洞庭大桥是南益 高速公路上的重要桥梁,小芳同学在校 外实践活动中对此开展测量活动.如 图,在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角 为α,大桥主架的顶端D的仰角为β,已知测量点与大桥
主架的水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离水面的高
CD为 ( C )
【核心突破】 【类型一】 仰角俯角问题 例1(202X·天津中考)如图,海面上一艘 船由西向东航行,在A处测得正东方向上 一座灯塔的最高点C的仰角为31°,再向东继续航行30 m
到达B处,测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根据测 得的数据,计算这座灯塔的高度CD(结果取整数). 参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86, tan 31°≈0.60.
____2_2____海里(结果保留整数).(参考数据sin 26.5° ≈0.45,cos 26.5°≈0.90,tan 26.5°≈0.50, 5 ≈ 2.24)
5.(202X·上海宝山区模拟)地铁10 号线某站点出口横截面平面图如图 所示,电梯AB的两端分别距顶部9.9 米和2.4米,在距电梯起点A端6米的P处,用1.5米高的测 角仪测得电梯终端B处的仰角为14°,求电梯AB的坡度 与长度.
解直角三角形的实际 应用的基本类型
【主干必备】 解直角三角形的实际应用的基本类型
应用 类型
图示
测量方式
解答要点
仰角 俯角 问题
(1)运用仰角测距离. (2)运用俯角测距离. (3)综合运用仰角俯 角测距离.
水平线与竖直 线的夹角是 90°,据此构 造直角三角形.
应用 类型
坡度 (坡 比)、 坡角 问题
A.asinα+asinβ C.atanα+aβ D. a a
中考数学复习《解直角三角形》 知识讲解
《解直角三角形》全章复习与巩固（提高） 知识讲解【学习目标】1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 、cotA 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦、正切和余切的三角函数值，并能由一个特殊角的三角函数值说出这个角的度数.2.能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；3.理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.4.通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想；5.通过解直角三角形的学习，体会数学在解决实际问题中的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、直角三角形的性质（1） 直角三角形的两个锐角互余.（2） 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.（3） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点二、锐角三角函数1.正弦、余弦、正切、余切的定义如右图，在Rt △ABC 中，∠C=900，如果锐角A 确定：(1)∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦，记作sinA＝ ∠A 的对边斜边(2)∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦，记作cosA ＝ ∠A 的邻边斜边(3)∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切，记作tanA ＝ ∠A 的对边∠A 的邻边a b ，c 222a b c +=(4)∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切，记作cotA ＝ ∠A 的邻边∠A 的对边要点诠释：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.(2)sinA 、cosA 、tanA 、cotA 是一个整体符号，即表示∠A 四个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”，但不能写成sin ·A ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成sin ∠BAC ，而不能写出sinBAC.(3)sin 2A 表示(sinA)2，而不能写成sinA 2. (4)三角函数有时还可以表示成等.2.锐角三角函数的定义锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：1. 函数值的取值范围对于锐角A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以sinA 是∠A 的函数.同样，cosA 、tanA 、cotA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA 、cosA 、tanA 、cotA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是0°＜∠A ＜90°，函数值的取值范围是0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0，cotA ＞0.2．锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB ； cosA=sinB ； tanA=cotB, cotA=tanB. 同角三角函数关系：sin 2A ＋cos 2A=1；3.30°、45°、60°角的三角函数值∠A 30°45°60°sinAcosAtanA1cotA1在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.sin cos 1tanA=,cot ,tan .cos sin cot A A A A A A A==30°、45°、60°角的三角函数值和解含30°、60°角的直角三角形、含45°角的直角三角形为本章的重中之重，是几何计算题的基本工具. 要点三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 边边关系：勾股定理，即；边角关系：锐角三角函数，即要点诠释：解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： (1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)；(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边．因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边．Rt △ABC由求∠A ，∠B=90°－∠A ，由求∠A ，∠B=90°－∠A ，sin ,cos ,tan ,cot a b a b A A A A c c b a====sin ,cos ,tan ,cot b a b a B B B B c c a b====，∠B=90°－∠A，，∠B=90°－∠A，，要点四、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.1.解这类问题的一般过程(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.2.常见的应用问题类型(1) 仰角与俯角：(2)坡度：；坡角:.(3)方向角：要点诠释：1．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系．借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题．当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解．2．锐角三角函数的应用用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。
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垂直（直角）类
联想融通：试试看，与垂直（直角）相关的知识与题型能想起多少？
与垂直（直角）相关的知识极多，如：三线合一、角平分线性质及其逆、三角的比中大数等于两小数之和的三角形形是Rt △、勾股定理、勾股数与特殊三角形（3:4:5，5:12:13，2:1:1，2:3:1，5:2:1，10:3:1等）、见特殊角与三角函数构造直角三角形、直角三角形斜边上中线等于斜边的一半、对角线相互垂直的四边形面积及其中点四边形的特殊性、直角梯形可分割成矩形和直角三角形，正八边形可拼成一个直角、HL 判全等、等腰三角形两腰上高相等、垂直出相似、三角形的两高交出六对相似三角形、摄影定理及其逆、面积公式可建立方程、轴对称、绕直角顶点旋转三角形形连结另两对对应点的线段相互垂直、正方形绕其中心旋转90°与自身重合、垂径定理、直径所对的圆周角是直角及其逆、知圆周角所对的弦长求直径时转化为以直径为斜边的直角三角形、两个直角的两组分别相交时得四点共圆、切线切点、两圆连心线垂直平分公共弦......还有很多，随便写出30条.
本单元只对“过直角顶点的直线类、直角边相交成的双直角四边形类、用面积法建立方程类、重合直角顶点的双直角类。
勾股定理”五个方面进行研究.
一、见过直角顶点的直线
解法归一：见过直角顶点的直线l ，从直角两边上的点分别向直线l 作垂线，必得全等或相似；然后再利用全等或相似进行转换.
例5-1-1 已知△ABC 是直角三角形，AC =BC ，直线MN 经过直角顶点C ，分别过A 、B 作直线MN 的垂线AD 、BE 分别交MN 于D 、E .
图5-1-1① 图5-1-1②
（2）如图5-1-1②，当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧时，试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间的关系，并给予证明.
交流分享：本例的两图就是“过直角顶点直线类”的两个基本图形：直线MN 在直角外、直线MN 分直角，题不难，但很有代表性.
本题在（1）怎样正的全等，在（2）照旧；在（1）怎么找的关系，在（2）照旧，即“照着做”.
体验与感悟5-1
1、如图5-1-2，分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作正方形CADF 和正方形CBEG ，
作l DD ⊥1于点1D ，作l EE ⊥
1于点1E .线段1DD 、1EE 、AB 的数量关系是 .
图5-1-2
2、三个正方形A 、B 、C 如图5-1-3放置，已知正方形A 、C 的边长分别为b a ，，正方形B 的面积为2，那么22b a += .
图5-1-3
3、如图5-1-4，已知直线4321////// l l l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则=αsin .
图5-1-4
4、（1）如图5-1-5①，在△ABC 中，AN ⊥BC 于点N ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线NA 的垂线，垂足分别为P 、Q .试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.
图5-1-5①
（2）如图5-1-5②，在梯形ABCD 中，AD //BC ，分别以两腰AB 、CD 为直角边向梯形ABCD 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △DCF ，线段AD 的垂直平分线交线段AD 于点M ，交BC 于点N ，若EP ⊥MN 于P ，FQ ⊥MN 于Q ，（1）中结论还成立吗？请简述理由.
图5-1-5②
5、如图5-1-6，直线321//// l l l ，21 l l 与之间的距离是1，32l l 与之间的距离是2，试画出以A 为直角顶点的等腰Rt △ABC ，使三个顶点分别在直线321 l l l 、、上，并写出所画等腰Rt △ABC 的面积.
图5-1-6
提醒：直角顶点在一条直线上的题目怎么做？
二、直角边相交的“双直角”类
说明：我说的“双直角”特指如下两种情况：相对“双直角”（如图1）；同侧“双直角”（如图2）.
图1 图2 其特点是：A 、连公共斜边，作斜边上的中线，得5个等腰三角形；B 、四点共圆，据同弧上圆周角相等得到很多等角.
（一）见“双直角”连公共斜边
解法归一：见“双直角”，找（或连）公共斜边，构造全等三角形或等腰三角形. 例5-2-1 如图5-2-1，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ，则图中阴影部分的面积为（ ）
图5-2-1 图5-2-2 例5-2-2 如图5-2-2，把正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到正方形'''CD B A （此时，点'B 在AC 上，点'A 在CD 的延长线上），''B A 交AD 于点E ，求证：直线CE 是线段'AA 的中垂线.
交流分享：例5-2-1连结AO 、例5-2-2证CE 平分CA A '∠.
体验与感悟5-2-1
1、如图5-2-3，°==90∠∠ADC ABC ，M 、N 分别是线段AC 、BD 的中点. 求证：MN ⊥BD .
图5-2-3
2、（1）将2个全等的Rt △ABC 和Rt △DBE 按图5-2-4①摆放，其中°==90∠∠DEB ACB ,°==30∠∠D A ，点E 落在AB 上，直线DE 交直线AC 于点F .求证：AF +EF =DE .
（2）若将图5-2-4①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转α，且°<<°60α0，其他条件不变，请在图5-2-4②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中的结论是否仍然成立.
图5-2-4②
（3）若将图5-2-4①中的△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转β，且°<<°
180β60，
其它条件不变，如图5-2-4③.你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由.
图5-2-4③ （二）见“双直角”用四点共圆
例5-2-3 如图5-2-5，BF 、CD 是△ABC 的两条高，E 是BC 的中点，°=50∠A ，求DEF ∠.
图5-2-5
交流分享：EB =ED =EC =EF ,B 、D 、F 、C 四点在同一圆上，ABF DEF ∠2∠=
例5-2-4 如图5-2-6，已知AC 、BD 相交于O ，BA =BO 、CD =CO ，P 、M 、N 分别是BC 、OA 、OD 的中点，2α∠ABO =.求证：△PMN ∽△BAO .
图5-2-6 交流分享：连结BM 、CN 后，方法同例5-2-3.
体验与感悟5-2-2
1、如图5-2-7，在锐角△ABC 中，°=60∠BAC ，BD 、CE 为高，F 是BC 的中点，连接DE 、EF 、FD .则在：①EF =FD ；②AD :AB =AE :AC ；③△DEF 是等边三角形；④BE +CD =BC ；⑤当°=45∠ABC 时，DE BE 2=.这五个结论中一定正确的个数是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
图5-2-7 图5-2-8 2、如图5-2-8，从边长为2的正方形中心O 作两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 的最小值是 .
3、如图5-2-9，点B 在线段AC 上，点D 、E 在AC 同侧，°==90∠∠C A ，AD =BC =3，AB =CE =5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥PD 交直线BE 于点Q .当点P 与A 、B 两点不重合时，求DP ：PQ 的值.
图5-2-8
提醒：回顾一下“双直角”吧！。