八年级数学竞赛专题训练07 分式的化简与求值(附答案)

（2）现扶梯近旁有一从二楼下到一楼的楼梯道，台阶的级数与自动扶梯的级数相等，两人各自到扶梯顶部后按原速度再下楼梯，到楼梯底部再乘自动扶梯上楼（不考虑扶梯与楼梯间的距离）．求男孩第一次追上女孩时走了多少级台阶？
（江苏省竞赛试题）
专题07 分式的化简求值
例1 提示：
例2 A 提示： = = ，得k= ，又
∴这个三角形为等腰三角形.
13. 3x＝ ，y＝ ，c＝ ，∴ ＋ ＝ ＋ ＝1，∴原式＝3.
14.（1）x＝－
（2）x＝
（3）（x，y，z）＝（ ， ， ）提示：原方程组各方程左端通分、方程两边同时取倒数.
B级
1. 2
2.－1或8提示：设 ＝ ＝ ＝k，则k＝－1或2 3.
4. 0提示：由 ＝1－ － ，得： ＝x－ － 5.A6.C
例3油x+y+z=3a，得（x-a）+（y-a）+（z-a）=0.设x-a=m，y-a=n，z-a=p，则m+n+p=0，即p=-（m+n）.
原式= = = =-
例4 x= 提示：由已知条件知xy≠0，yz≠0，取倒数，得： 即
①+②+③，得
例5 提示：由已知条件，得 =
=
例6 由勾股定理，结论可表示为等式：a=b+c，①或b=a+c，②或c=b+a，③，联立①③，只需证a=16或
13．已知 ，求 的值．
（“华杯赛”试题）
14．解下列方程（组）：
（1） ；
（江苏省竞赛试题）
（2） ；
（“五羊杯”竞赛试题）
（3） ．
（北京市竞赛试题）
B级
1．设 满足 ， ，若 ，
，则 ．
2．若 ，且 ，则 ．
3．设 均为非零数，且 ，则 ．
4．已知 满足 ，则 的值为．
5．设 是三个互不相同的正数，已知 ，那么有（）．
11.提示：参见例5得（a＋b）（b＋c）（a＋c）＝0
12.（1）∵ ＝ ，∴（b＋c）（ab＋ac－a2－bc）＝0.∴（b＋c）（a－b）（c－a）＝0.
∵b＋c≠0，∴a＝b或c＝a.∴这个三角形为等腰三角形.
（2）∵ ＋ ＝ ＋ ，∴ ＝
∴（a－b＋c）＝ac，∴（a－b）（b－c）＝0,a＝b或b＝c，
a≠0. ＝ ＝3.把①代入上式中，
＝3，消元得 ＝3，解得m＝19.
11.设甲、乙、丙三人单独完成此项工作分别用a天、b天、c天，则
即
解得x＝ .
12.由A＋B＋C＝－3得（ ＋1）＋
即
分解因式，得(b＋c－a)(a＋b－c)(a－b＋c)＝0
b＋c－a，a＋b－c，a－b＋c中至少有一个为0，不妨设b＋c－a＝0，代入式中，
又∵ ＝5，∴ ＝
3. 4.3 5.A
6.C提示：b2＋c2－a2＝－2bc
7.B
8.C提示：取倒数，得x＋ ＝1＋m，原式的倒数＝x3＋ －m3
9. 1提示：2a2＋bc＝2a2＋b（－a－b）＝a2－ab＋a2－b2＝（a－b）（a＋a＋b）＝（a－b）（a－c）
10.提示：由x＋ ＝y＋ ，得x－y＝ － ，得zy＝
（北京市竞赛试题）
10．已知 ，且 ．求 的值．
（北京市竞赛试题）
11．完成同一件工作，甲单独做所需时间为乙、丙两人合做所需时间的 倍，乙单独做所需时间为甲、丙两人合做所需时间的 倍；丙单独做所需时间为甲、乙两人合做所需时间的 倍，
求证： ．
（天津市竞赛试题）
12．设 ，当 时，
求证： ．
（天津市竞赛试题）
13．某商场在一楼和二楼之间安装了一自动扶梯，以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯上走到二楼（扶梯行驶，两人也走梯）．如果两人上梯的速度都是匀速的，每次只跨1级，且男孩每分钟走动的级数是女孩的2倍．已知男孩走了27级到达扶梯顶部，而女孩走了18级到达顶部．
（1）扶梯露在外面的部分有多少级？
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
8．已知 ，则 的值为（）
A．1 B． C． D．
9．设 ，求 的值．
10．已知 其中 互不相等，求证 ．
（天津市竞赛试题）
11．设 满足 ，
求证 ．（ 为自然数）
（波兰竞赛试题）
12．三角形三边长分别为 ．
（1）若 ，求证：这个三角形是等腰三角形；
（2）若 ，判断这个三角形的形状并证明．
【例5】不等于0的三个正整数 满足 ，求证： 中至少有两个互为相反数．
解题思路： 中至少有两个互为相反数，即要证明 ．
（北京市竞赛试题）
【例6】已知 为正整数，满足如下两个条件：①
② ．求证：以 为三边长可以构成一个直角三角形．
解题思路：本题熟记勾股定理的公式即可解答．
（全国初中数学联赛试题）
能力训练
（五城市联赛试题）
解题思路：引入参数 ，把 用 的代数式表示，这是解决等比问题的基本思路．
【例3】 ．
求 ．
（宣州竞赛试题）
解题思路：观察发现，所求代数式是关于 的代数式，而条件可以拆成 的等式，因此很自然的想到用换元法来简化解题过程．
【例4】已知 求 的值．
（上海市竞赛试题）
解题思路：注意到联立等式得到的方程组是一个复杂的三元一次方程组，考虑取倒数，将方程组化为简单的形式．
A2002＋B2002＋C2002＝(－1)2002＋12002＋12002＝3．
13．（1）设女孩速度x级/分，电梯速度y级/分，男孩速度2x级/分，楼梯S级，则
得 ∴S＝54．
（2）设男孩第一次追上女孩时走过扶梯m编，走过楼梯n编，则女孩走过扶梯(m－1)编，走过楼梯(n－1)编，男孩上扶梯4x级/分，女孩上扶梯3x级/分．
或b＝16或c＝16，即（a－16）（b－16）（c－16）＝0.④
展开只需证明
0＝abc－16（ab＋bc＋ac）＋162（a＋b＋c）－163＝abc－16（ab＋bc＋ac）＋163⑤
将①平方、移项，有a2＋b2＋c2＝322－2（ab＋bc＋ca），⑥
又将②移项、通分，有
0＝ －（ ＋ ＋ ）
，即 ，得6n＋m＝16，m，n中必有一个是正整ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，且0≤︱m－n︱≤1．
① ，m分别取值，则有
m
1
2
3
4
5
n
2
②m＝16－6n，分别取值，则有
m
1
2
n
10
4
显然，只有m＝3，n＝ 满足条件，故男孩所走的数＝3×27＋ ×54＝198级．
∴男孩第一次追上女孩时走了198级台阶．
1．恰当引入参数；
2．取倒数或利用倒数关系；
3．拆项变形或拆分变形；
4．整体代入；
5．利用比例性质等．
例题与求解
【例l】已知 ，则代数式 的值为．
（“希望杯”邀请赛试题）
解题思路：目前不能求出 的值，但可以求出 ，需要对所求代数式变形含“ ”．
【例2】已知一列数 且 ， ，
，则 为（）
A．648 B．832 C．1168 D．1944
＝ －（ ＋ ＋ ）
＝
＝
把⑥代入等式中，
0＝
＝
＝
当a－16＝0时，由①有a＝16＝b＋c，由勾股定理逆定理知，以 ， ， 为三边长组成一个以 为斜边的直角三角形.
同理，当b＝16或c＝16时，分别有b＝a＋c或c＝b＋a，均能以 ， ， 为三边长组成一个直角三角形.
A级
1. 0或－2
2. ∵ ＝1，∴x＋ ＝4.
A． B． C． D．
6．如果 ， ，那么 的值为（）．
A．3 B．8 C．16 D．20
7．已知 ，则代数式 的值为（）．
A．1996 B．1997 C．1998 D．19999
8．若 ，则 的值为（）．
A． B． C．5 D．6
（全国初中数学联赛试题）
9．已知非零实数 满足 ．
（1）求证： ；
（2）求 的值．
八年级数学竞赛专题训练07分式的化简与求值
阅读与思考
给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化简后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:
1．若 ，则 的值是．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．已知 ，则 ．
（广东竞赛试题）
3．若 且 ，则
的值为．
（“缙云杯”竞赛试题）
4．已知 ，则 ．
5．如果 ，那么 （）．
A．1 B．2 C． D．
（“新世纪杯”竞赛试题）
6．设有理数 都不为0，且 ，则 的
值为（）．
A．正数B．负数C．零D．不能确定
7．已知 ，则 的值为（）．
7.D提示：原式＝ ＝
＝
＝
＝x2－5x＋8
8.A提示：由已知条件得x＝3y
9.（1）由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c∴a3＋b3＋c3＝－3ab（a＋b）＝3abc
（2）∵（ ＋ ＋ ）· ＝1＋ ，∴同理：
（ ＋ ＋ ）· ＝1＋ ，
（ ＋ ＋ ）· ＝1＋ ，
∴左边＝3＋ ＋ ＋ ＝3＋ ＝9
10.∵a2＋4a＋1＝0，∴a2＋1＝－4a，①