4.2地统计讲解

对于地学数据而言，往往我们只有一些采样点， 它们可以看作随机函数的一个实现，因为不可 能在空间同一点取得第二个样品，这就是说区 域化变量的实际取值是唯一的，不能重复的， 所以也没有办法来推断整个概率分布情况，为 此，必须制定一些假设：
设z(x)为区域化变量，并满足二阶平稳假设：
①区域化变量的平均值（期望值）和方差不随位置 而变化，即空间数据域内任何部位的样品都是取 自同一总体。
随机函数在一维时间轴上称为随机过程（random process)，记为z(t);
随机函数在空间域中称为随机场（random field),记 为z(x).
电场、磁场、地形面、 构造面、矿石品味等都 是空间点的函数，且都 具有随机性的变化，故 都可以看作随机场。
1.2 区域化变量（regionalized variable)
正是区域化变量具有上述特点，需要有 一种合适的函数或模型来描述它，这种 函数和模型既能兼顾到区域化变量的随 机性又能反映它的结构性。
2 两个基本函数
2.1 协方差函数
在概率论中,随机向量X与Y的协方差被定义为:
cov(x, y) E[(x Ex)(y Ey)]
区域化变量为空间分布变量只是一种描述 性定义，数学上，区域化变量可以看作随机函 数Z=Z(x)的一个实现，随机函数Z在某个确定 的点x上可以看作是一般的随机变量。对于随 机变量而言，必须在已知多个实现的前提下， 才可以总结出其随机函数的概率分布。
到20世纪70年代中期，克里格方法在矿业领域 已经证实是一种非常实用的技术；并且随着计 算机技术的发展，地质统计学已渗透到地学的 各个领域如环境科学、农田科学、气象、林业、 海洋、生态学等。
地质统计学概念：
以区域化变量理论为基础，以变差函 数为主要工具，研究在空间或时间分布 上既又随机性又有结构性变化的自然现 象的科学。
② 位于位置xi和xj上的两个区域性变量z(xi)和z(xj)的 协方差Cov[z(xi),z(xj)]与确切的位置无关，而只与 它们之间的距离h=│xi-xj│有关。
满足上述两个条件就说区域化变量是二阶平稳。
设h为样本点空间分割距离或距离滞后（distance lag),z(xi)为z(x)在空间位置xi处的实测值，z(xi+h)是z(x) 在xi处距离偏离h的实测值[i=1,2,…,N(h)]
根据协方差函数的定义，可得z(x)的自协方差函数计算公式为：
c(h)
1 N (h)
N (h)
[Z (xi )
i 1
Z (xi )][ Z (xi
h)
Z
( xi
h)]
N(h)是分割距离为h的样本点对Байду номын сангаас数。
因为 Z (xi ) Z (xi 因h此) 上m 式可以进一步写成：
c(h)
1 N (h)
该理论奠定 了地统计学 的基础。
1.2.2 两个重要特性
①随机性 区域化变量是一个随机函数，它具有局部 的、随机的、异常的特征，在区域内确 定位置上的取值具有随机性，因而也表 现出一般随机变量的性质。
② 结构性（相互依赖性）
不同的区域化变量具有不同程度的空间 依赖性。具体表现为两个互相靠近的样 品比两个远离的样品点其值更为接近。
1.2.1 概念 当变量呈现一定的空间或时间分布时，称
为区域化变量。 一般认为，区域化变量是以空间点的三个
直角坐标为自变量的随机场 Zx Z(xu , xv, xw )
区域化变量是地统计学的研究对象，借助 它就可以利用数学分析方法对自然现象进行 描述。
区域化变量理论认为：任何区域化变量 观测值都可以看作是随机函数的一个实 现。
§4.2 地统计分析方法
Geostatistical Analysis Method
空间插值分类：
1 整体插值和局部插值 2 确定性插值和地统计插值 3 精确插值和近似插值
地质统计学的原创性思想发源于20世纪50年 代初期的矿业生产实践。当时，南非采矿工 程师D.G.Krige(克里格）和统计学家SH.斯奇 儿发现经典统计学方法不适合估计侵染状矿 床的资源储量，因而开发出一种新的估值方 法。
2.2.1 定义
又称变差函数，是地统计分析所特有的基本工具。
在一维条件下变异函数定义为：当空间点x在一维x轴上变
化时，区域化变量Z(x)在点x和x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差值
(区域化增量）平方的数学期望即为变异函数，记为γ(h)，
即
r(h)
1 2
Ez(x)
z(x
h)2
1 2 N (h)
N (h)
z(xi )
i1
z ( xi
2
h)
1 ER(x) R(x h)2
2
1 E R2(x) 2ER(x)R(x h) E R2(x h) 2
1 2c(0) 2c(h)
2 c(0) c(h)
例如：假设某地区降水量Z(x)（单位：mm）是二维区域 化随机变量，满足二阶平稳假设，其观测值的空间正方形 网格数据如图1所示（点与点之间的距离为h=1km）。试 计算其南北方向及西北和东南方向的变异函数。
本节内容：
1 区域化变量理论 2 两个基本函数 3 克里格插值法（Kriging)
1 区域化变量理论
1.1 随机函数、随机过程和随机场的概念 1.1.1 随机函数
由一系列随机变量组成，这些随机变量具有一定 的空间或时间位置，并且它们之间的相互依赖可 以通过一定的统计量来描述。
1.1.2 随机过程和随机场
法国巴黎矿业学院教授G.Matheron(马特龙）进 一步发展了克里格的创新性概念，并把这一概 念纳入到他的“区域化变量理论”的同一知识 框架中。
20世纪60年代初，马特龙及其领导的地质统计 学中心开拓了“采矿地质学”的应用领域，为 了纪念克里格对地质统计学的贡献，马特龙把 地质统计学估值方法命名为克里格方法 （kriging).
N (h)
[Z (xi
i 1
)Z ( xi
h)]
m2
设 R(xi ) z(xi ) m(xi )
m(xi )为 z(x的i ) 数学期望值； R(xi )是 z(x的i ) 随机变化部分。
则：
c(h)
E[R(x)R(x
h)]
1 N (h)
N (h)
R(xi )R(xi
i 1
h)
2.2 变异函数（variograms)