经验分布函数
经验分布函数定义
经验分布函数（Empirical Distribution Function）1. 定义经验分布函数（Empirical Distribution Function，简称EDF）是统计学中一种描述样本数据分布的非参数方法。
它用于估计总体的累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。
经验分布函数是一个阶梯函数，它以样本数据点为基础，给出了每个数据点在总体中的累积概率。
2. 用途经验分布函数可以帮助我们理解和描述样本数据的分布情况。
通过观察经验分布函数的形状和特征，我们可以得到关于总体分布的一些直观感受，并进行进一步的推断和分析。
具体应用包括但不限于以下几个方面：2.1 数据探索与可视化经验分布函数可以通过绘制阶梯图来展示样本数据的累积概率情况。
这种可视化方式直观地展示了数据在整个总体中所占比例的变化情况，帮助我们发现异常值、离群点等重要信息。
2.2 总体推断与假设检验在统计推断中，经验分布函数也常常被用于进行总体参数的估计和假设检验。
通过比较两个经验分布函数的差异，我们可以判断两个样本是否来自同一总体。
经验分布函数还可以用于估计总体分位数、密度函数等未知参数。
2.3 模型检验与拟合经验分布函数还可以用于模型检验和拟合。
在构建概率模型时，我们需要判断所选模型是否能够较好地拟合数据。
通过比较经验分布函数和理论分布函数的差异，我们可以评估模型的优劣，并选择最佳拟合模型。
3. 工作方式经验分布函数的计算步骤如下：3.1 数据排序将样本数据按照从小到大的顺序进行排序。
3.2 计算累积概率对于每个数据点，计算其在整个样本中的累积概率。
具体计算公式为：F n(x)=该数据点前面的数据个数总样本量其中，F n(x)表示第n个观测值在整个样本中的累积概率，x表示观测值。
3.3 绘制阶梯图根据计算得到的累积概率，绘制阶梯图。
将每个数据点的横坐标设置为该数据点的值，纵坐标设置为对应的累积概率。
经验分布函数及其应用
经验分布函数及其应用经验分布函数定义定义：设12n x x x ⋯，，，是总体(离散型、或连续型，分布函数F(x)未知)的n 个独立观测值，按大小顺序可排成12***n x x x ≤≤⋯≤ 。
若1**k k x x x +＜＜ ，则不超过x 的观测值的频率为函数，就等于在n 次重复独立试验中事件{}x ξ≤的频率。
()110,=,,1,2,,11,k k nn x x k x x x k n nx x x F ***+*⎧≤⎪⎪<≤=-⎨⎪>⎩*⎪…… 我们称此函数()n F x 为总体的经验分布函数或样本分布函数。
简单性质：1.对于每一组观测值1,2,i i x i ξ*=*=，……,n ，()n F x *单调，非降，左连续且在1,2,i x x i =*=，……,n 点有间断点，在每个点的跳跃值都是1n 。
2.显然()01n F x ≤≤，具有分布函数的其他性质。
3.()n F x *为样本12n x x x ⋯，，，的函数，是一统计量，即为一随机变量，由于12n x x x ⋯，，，相互独立且有相同的分布函数()F x ，因而它等价于n 次独立重复试验的伯努利概型中事件{}x ξ≤发生k 次其余n k - 次不发生的额概率，即有：{}{}()()1()k n k k k n n k P F x C F x F x n -⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭4.格列汶科定理设总体ξ 的分布函数为()F x ，经验分布函数为()n F x *，对于任何实数x ，记 ()()sup n x n F x F x D -∞<<*+∞=-则有lim 01n n P D →∞⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 其中n D 也为一统计量用来衡量()n F x *与()F x 之间在所有的x 的值上的最大差异程度，格列汶科定理证明了统计量n D 以概率为1地收敛于0，也就是如下所要说的经验分布函数的收敛性问题。
r语言经验分布函数
R语言经验分布函数介绍R语言是一种广泛应用于统计学和数据分析的编程语言，它提供了丰富的函数和包来处理数据。
其中，经验分布函数（Empirical Distribution Function, EDF）是R语言中一种常用的数据分布函数，用于描述样本中各个取值的累积分布情况。
本文将深入探讨R语言中经验分布函数的原理、应用以及相关的注意事项。
经验分布函数：原理与定义经验分布函数是根据一组有限样本数据，通过统计分析得到的描述该样本分布情况的函数。
其定义如下：F̂n(x)=1n∑Ini=1(X i≤x)其中，F̂n(x)是经验分布函数，X i是样本中的第i个观测值，n是样本中的观测值数量，I(A)是指示函数，若事件A发生则为1，否则为0。
经验分布函数表示的是小于等于x的观测值占总观测值数量的比例。
经验分布函数具有以下特点： 1. 经验分布函数在x取值范围内单调不减。
2. 经验分布函数的值域在[0,1]之间。
3. 经验分布函数在观测值出现时的增量为1/n。
经验分布函数的计算在R语言中，可以使用ecdf()函数计算经验分布函数。
以下是一个简单的例子：# 创建一个包含观测值的向量x <- c(1, 3, 2, 5, 4)# 计算经验分布函数ecdf_x <- ecdf(x)# 打印经验分布函数的值print(ecdf_x(3))输出结果为0.6，表示在样本中大约有60%的值小于等于3。
除了使用ecdf()函数，还可以使用cumsum()函数自行计算经验分布函数。
以下是一个示例：# 创建一个包含观测值的向量x <- c(1, 3, 2, 5, 4)# 对观测值排序sorted_x <- sort(x)# 计算经验分布函数ecdf_x <- cumsum(rep(1, length(sorted_x)))/length(sorted_x)# 打印经验分布函数的值print(ecdf_x[which(sorted_x == 3)])输出结果同样为0.6。
经验分布和分布函数
经验分布和分布函数在统计学中，经验分布和分布函数是两个重要的概念。
经验分布是指根据一组观测数据得到的概率分布函数的估计，而分布函数则是用于描述一个随机变量的概率分布的函数。
经验分布是通过对观测数据进行统计分析来估计真实概率分布的方法之一。
在实际应用中，我们通常无法获得全部的数据，而只能通过抽样得到一部分数据。
因此，我们需要通过对抽样数据进行分析来得到总体的概率分布。
经验分布的计算方法很简单，只需要统计抽样数据中每个取值出现的频率即可。
然后将这些频率按照大小顺序累加，就得到了经验分布。
经验分布是对真实分布的一种估计，它可以用来描述抽样数据的分布特征。
分布函数是用来描述一个随机变量的概率分布的函数。
它定义为随机变量小于等于某个特定值的概率。
分布函数通常用大写字母F表示，其数学表达式为F(x) = P(X ≤ x)，其中X表示随机变量，x表示一个实数。
分布函数是概率论中最基本的概念之一，它能够完整地描述一个随机变量的概率分布。
分布函数具有以下性质：1) F(x)是一个非减函数；2) F(x)的取值范围在0到1之间；3) F(x)在x趋于负无穷时趋于0，x趋于正无穷时趋于1。
经验分布和分布函数在统计学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述随机变量的分布特征，从而对随机变量进行概率推断和统计推断。
例如，在假设检验中，我们可以通过计算经验分布和分布函数来判断某个假设的可行性。
另外，在参数估计中，我们也可以利用经验分布和分布函数来估计未知参数的值。
此外，经验分布和分布函数还可以用来进行模型拟合和预测，从而对未来的观测数据进行预测和分析。
经验分布和分布函数是统计学中两个重要的概念。
它们可以用来描述随机变量的分布特征，进行参数估计和假设检验。
在实际应用中，我们可以通过对观测数据进行统计分析来计算经验分布和分布函数，从而对随机变量的概率分布进行估计和推断。
经验分布和分布函数的应用范围广泛，对于统计学的研究和实践都具有重要的意义。
4-经验分布函数与卡方分布
ab
(a b)2(a b 1)
三大抽样分布
1、 2分布(卡方分布)
定义1 设 X1, X 2标准正态分布N (0,1),则称
n
X
2 i
~
2(n)
自由度为n
i1
n = 1 时,其密度函数为
f
(
x)
1
x e ,
1 2
x 2
x0
Fn
(
x)
0.4, 0.6,
69 x 72 72 x 82
n5
0.8, 82 x 90 1, x 90.
0, x x(1) ,
经验分布 函数
Fn
(
x)
k n
,
1,
x(k) x x(k1) , k 1,2, , n 1,
0.4 0.3 0.2 0.1
n=2
n=3 n=5 n = 10
n = 15
5 10 15 20 25
2 (n) 分布的性质
1 E 2(n) n, Var 2(n) 2n
2
若X1
2(n1 ), X2
2
(n2
)
,
X1
,
X
相互独立，
2
则 X1＋X2～ 2(n1＋n2 )
(3)Fn( x)的值依赖于样本观察值，对不同的样本，不同次 的实现值经验分布函数不同.故经验分布函数是次序统计量
X（1）,
,
X
(
的函
n)
数，
不含
未知
参
数，是
证明经验分布函数依概率收敛到分布函数
证明经验分布函数依概率收敛到分布函数是概率论中一个重要的定理，也是推动概率论向前发展的基石。
该定理表明，当样本数量趋于无穷大时，每个样本的频率的期望值收敛到概率分布函数的期望值。
证明这一定理的关键在于，每个样本的频率服从参数为概率分布函数的标准误差函数，即每个样本的频率和概率分布函数的期望值之间的误差服从标准正态分布。
另外，为了证明该定理，我们还需要使用大数定律，根据大数定律，当样本数量趋于
无穷大时，每个样本频率的期望值将收敛到概率分布函数的期望值。
此外，还可以使用置信度定理和中心极限定理来证明该定理。
置信度定理表明，在一
定的置信水平下，样本的频率服从概率分布函数的期望值；而中心极限定理表明，当样本
数量趋于无穷大时，每个样本的频率的期望值收敛到概率分布函数的期望值。
综上所述，通过大数定律，置信度定理和中心极限定理，可以证明经验分布函数依概
率收敛到分布函数。
这一定理不仅在概率论中有重要意义，而且在实际应用中也具有重要
意义，可为各种统计分析提供有效的数据支持。
经验分布函数简介
经验分布函数简介1 概念如果我们想知道某个随机变量X的分布F，这在⼀般情况下当然是⽆法准确知道的，但如果我们⼿上有它的⼀些独⽴同分布的样本，可不可以利⽤这些样本？⼀个很简单的办法就是，把这些样本的“频率”近似为随机变量的“概率”。
经验分布函数（empirical distribution function）：给每个点1/n的概率质量，得到CDF：ˆFn(x)=∑n i=1I(X i≤x)n2 性质经验分布函数，有什么性质？它可以很好地近似真实的分布函数吗？我们给出如下⼏个定理。
定理：对于任意给定的x，有E(ˆF n(x))=F(x)；V(ˆF n(x))=F(x)(1−F(x))n→0；MSE=F(x)(1−F(x))n→0；ˆFn(x)P⟶F(x)。
Glivenko-Cantelli定理：X1,…,X n∼F，那么supx|ˆF n(x)−F(x)|P ⟶0更准确地说，上式其实是⼏乎必然收敛的。
Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz (DKW) Inequity：X1,…,X n∼F，那么∀ϵ>0，有P supx|ˆF n(x)−F(x)|>ϵ≤2e−2nϵ2利⽤DKW不等式，可以构造出F的⾮参数的1−α置信带：定义L(x)=max ˆFn(x)−ϵn,0，U(x)=maxˆFn(x)+ϵn,0，其中ϵn=12n log(2α)，那么有P[L(x)≤F(x)≤U(x),∀x]≥1−α3 应⽤经验分布函数有什么⽤？它可以⽤来计算⼀些statistical functional（统计泛函）。
假设要计算的statistical functional为T(F)，那么，可以利⽤经验分布函数，代替未知的分布函数，计算出θ=T(F)的plug-in estimator（嵌⼊式估计量）：ˆθ=T(ˆFn)。
如果存在某个r(x)使得T(F)=∫r(x)dF(x)，那么T就称为linear functional（线性泛函），这是因为这样的T必定满⾜T(aF+bG)=aT(F)+bT(G)。
经验分布函数_概述说明以及解释
经验分布函数概述说明以及解释1. 引言1.1 概述经验分布函数是一种统计工具，用于描述和分析随机变量的分布情况。
它是一种非参数的方法，不需要对概率分布进行假设，因此被广泛应用于各个领域的数据分析中。
通过经验分布函数，我们可以了解到样本数据的累积概率分布，并将其与理论概率分布进行比较。
1.2 文章结构本文将以以下方式呈现关于经验分布函数的研究内容：首先，在第二部分中，我们将对经验分布函数的定义进行详细解释，包括相关的理论介绍、数学表达式以及直观解释。
然后，在第三部分中，我们将探讨经验分布函数在不同领域中的应用场景，例如数据分析与可视化、生物统计学和工程领域等。
接着，在第四部分中，我们将介绍经验分布函数的计算方法和算法实现。
这包括基本思想与步骤、常见的计算方法和公式推导以及算法实现和代码示例。
最后，在第五部分中，我们将给出总结主要观点和研究结果，并对经验分布函数未来发展提出展望和建议。
1.3 目的本文的目的是为读者提供对经验分布函数的全面理解。
通过详细介绍经验分布函数的定义、应用场景以及计算方法，希望能够帮助读者更好地应用经验分布函数进行数据分析，并为未来经验分布函数在各个领域中的发展提供一些启示和建议。
2. 经验分布函数的定义:2.1 理论介绍:经验分布函数是统计学中常用的一种非参数估计方法，用于描述一个随机变量的累积分布函数（CDF）。
该函数基于观测数据样本，通过对每个观测值的累计概率进行排序和求和得到。
它能够直观地展示数据集中数值的分布情况。
2.2 数学表达式:假设我们有一个由n个独立随机观测值组成的样本集合X={x₁, x₂,..., xn}，其中每个xi代表一个随机变量。
经验分布函数F(x)在某个特定点x处的取值表示小于或等于x的样本比例。
数学上，经验分布函数可以表示为：F(x) = (1/n) * Σ(i=1 to n) [I(xi ≤x)]其中[ ]表示指示函数，当括号内条件满足时取值为1，否则为0；Σ表示求和运算；i代表索引变量。
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（1）均匀分布U(a,b) 1)unifrnd (a,b)产生一个[a,b] 均匀分布的随机数
2)unifrnd (a,b,m, n)产生m行n列的均匀分布随机数矩阵 当只知道一个随机变量取值在（a，b）内，但不 知道（也没理由假设）它在何处取值的概率大，在 何处取值的概率小，就只好用U（a，b）来模拟它。
f分布的逆累积分布函数 伽玛分布的逆累积分布函数 几何分布的逆累积分布函数 超几何分布的逆累积分布函数 正态分布的逆累积分布函数 泊松分布的逆累积分布函数
X=tinv(p,v) X=Unidnv(p,N) X=unifinv(p,A,B)
学生氏t分布的逆累积分布函数 离散均匀分布的逆累积分布函数 连续均匀分布的逆累积分布函数
(2)方差未知(检验法)
方差未知时,采用检验法,MATLAB函数为 h=ttest(x,m ,alpha,tail) 各参数意义同上,同样ttest函数也有几个常见 用法: [h,p]=ttest(参数) [h,p,ci]=ttest(参数)
（3）泊松分布 参数估计命令为 [lambdahat,lambdaci]=poissfit(x,alpha) 返回参数的估计值和置信区间. （4）均匀分布(已知,未知) 参数估计命令为 [ahat,bhat,aci,bci]=unifit(x,alpha) 返回值分别为参数的估计值和置信区间. （5）指数分布 参数估计命令为 [lambdahat, lambdaci]=expfit(x,alpha)
解：输入a1=a';b=a1(:); %将矩阵变成数列 [p1,p2,p1ci,p2ci]= normfit (b) 或者： a1=a';b=a1(:); 均值、标准差的极 [p,pci]=mle('norm',b) 输出:[p1,p2,p1ci,p2ci]= normfit (b) 大似然估计分别 为:600和195.6436 p1 =600 p2 =196.6292 均值95%的置信区 p1ci = 560.9845 间为:(561.6536， 639.0155 638.3464)； p2ci =172.6418 标准差95%的置信 228.4192 区间为:(170.6834， 或phat =600.0000 195.6436 220.6038)； pic = 561.6536 170.6834 638.3464 220.6038
X=0.6567的密度函数值．
>> y = pdf (‘norm’, 0.6578, 0, 1 ) y = 0.3213
4.常用分布的累积分布函数的命令：
函数名 X=Binocdf(k,n,p) X=Chi2cdf(x,n) X=expcdf(p,mu) X=fcdf(x,v1,v2) X=Gamcdf(x,A,B) X=Geocdf(k,p) X=hygecdf(p,M,K,N) 对应的累积分布函数 二项分布的累积分布函数 卡方分布的累积分布函数 指数分布的累积分布函数 f分布的累积分布函数 伽玛分布的累积分布函数 几何分布的累积分布函数 超几何分布的累积分布函数
调用格式： 按照上表中的格式直接调用， 如:X=norminv(p,mu,sgm)
6.随机数的产生 定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X的 抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数 1.常用分布随机数的产生
在Matlab软件中，可以直接产生满足各种常用 分布的随机数，命令如下：
函数名 binornd chi2rnd exprnd
例1 已知二项分布：一次实验，事件A发生的
概率p=0.1，在30次独立重复实验中，计算事件
A恰好发生10次的概率P=P{X=10}． >>p = pdf ('bino',10,30,0.1)
p = 3.6528e-004
p 3.6528 10 4 即
例2 计算正态分布N（0，1）的随机变量在
X=Normcdf(x,mu,sgm)
X=poisscdf(k,lambda) X=tcdf(xຫໍສະໝຸດ v)正态分布的累积分布函数
泊松分布的累积分布函数 学生氏t分布的累积分布函数
5.常用分布的逆累计分布函数的命令：
函数名 X=Binoinv(y,n,p) X=Chi2inv(p,v) X=expinv(p,mu)
对应分布的随机数
frnd gamrnd geornd hygernd normrnd poissrnd trnd unidrnd unifrnd
二项分布的随机数 卡方分布的随机数 指数分布的随机数 f分布的随机数 伽玛分布的随机数 几何分布的随机数 超几何分布的随机数 正态分布的随机数 泊松分布的随机数 学生氏t分布的随机数 离散均匀分布的随机数 连续均匀分布的随机数
9.假设检验的MATLAB实现
1 单个正态总体均值的检验 (1)方差已知(检验法或检验法) 检验函数为ztest,其基本用法为 h=ztest(x,m,sigma,alpha,tail) 函数的功能是在显著性水平alpha下检验标 准差为sigma的正态分布的样本x是否具有均 值m,返回值h是一个布尔值,h=0表示在显著 性水平为alpha时不拒绝原假设,h=1则表示拒 绝.参数tail是一个可选值,意义如下:
例5、产生N(10,4)上的一个随机数，10个随机数， 2行5列的随机数.
命令 (1) y1=normrnd(10,2) (2) y2=normrnd(10,2,1,10) (3) y3=normrnd(10,2,2,5)
7.求随机变量的期望和方差
在MATLAB的统计工具箱中,可以使用命令 [M,V]=NAMEstat(参数) 来计算某种分布NAME的期望和方差.其中 NAME指常见函数分布名.在命令中,不同的 分布,输入的参数意义不同,反回的M和V分别 代表期望和方差.
对原假设, tail=0,备择假设为双边检验:,(参数缺省时的默认情 况) tail=1,备择假设为右边检验:, tail=-1,备择假设为左边检验:. 根据需求的不同,ztest函数还有以下用法: [h,p,]=ztest(参数) [h,p,ci]=ztest(参数) [h,p,ci,zval]=ztest(参数) 返回值中,p给出假设成立的概率值,p值非常小时对 假设质疑,ci给出均值的置信区间,而zval给出统计量 的值.
调用格式： 1、y=random(‘name’, A1, A2, A3, m, n) 其中：’name’为相应分布的名称，A1, A2, A3为分布 参数，m为产生随机数的行数，n为列数。 2、直接调用。 如： y=binornd(n, p, 1,10) 产生参数位n，p的1行10 列的二项分布随机数
例4、产生U(2, 8)上的一个随机数，10个随机数， 2行5列的随机数。 命令：(1) y1=unifrnd(2,8) (2) y2=unifrnd(2,8,1,10) (3) y3=unifrnd(2,8,2,5) y1=7.7008 y2=3.3868 5.6411 4.9159 7.3478 6.5726 4.7388 2.1110 6.9284 4.6682 5.6926
1.经验分布函数
经验分布函数图像的Matlab绘图命令是 cdfplot,其输入参数为样本数据量，有两个 可选输出参数：第一个是图形句柄；第二 个是关于样本数据的几个重要统计量，包 括样本最小值、最大值、均值、中值和标 准差。
2.频率直方图
Matlab中提供了直方图的计算和作图函数 hist. hist函数的调用格式如下： [r，xout]=hist（Y，t） [r，xout]=hist（Y，mbins） 其中Y为样本向量；t是分割区间向量；r是统 计输出的频数；xout是分割区间向量，等于 t.
8.参数估计的MATLAB实现 参数估计，就是从样本出发去构造一个统计量作为 总体中某未知参数的一个估计量。 一般，求待估参数通常用极大似然估计 给定样本的观测值算出参数 的估计值，它是未 知参数的近似值。 在理论与实际应用中，不仅需要知道参数 的近 似值，还需要知道这种估计的精度。对于给定的 （0< < 1），求样本以1- 的概率包含真实参 数的一个范围或区间，这种区间称为置信区间。 1- 称为置信度也称为置信水平。
2.利用mle函数进行参数估计的命令： [phat,pci]=mle(‘dist’,data,alpha) 其中，phat 参数的极大似然估计； Pci 置信区间；alpha置信水平；缺省为0.05 dist 表示分布类型； data 为已知数据 例1. 计算下面服从正态分布数据的极大似然估计 和置信区间
3.常用分布的分布密度函数的命令：
Name(概率密度函数名) ‘bino’ ‘chi2’ ‘norm’ ‘poiss’ ‘t’ ‘unif’ ‘unid’ 函数说明 二项分布 卡方分布 正态分布 泊松分布 T分布 均匀分布 离散均匀分布
计算随机变量在X= K处，参数为A，B的概率密度 函数值的一般命令格式为： Y= pdf (name, K, A ) Y= pdf (name, K, A, B )
1 常见分布的参数估计 命令 Normfit expfit Poissfit 功能 正态分布参数估计 指数分布参数估计 泊松分布参数估计 各函数返回已给 数据向量参数的 最大似然估计值 和 (1 ) 的置信 区间， 的默认 值为0.05，即置 信度为95%。
unifit
binofit betafit
均匀分布参数估计
二项分布参数估计 Beta 分布参数估计
从表格可以看出：所有命令都是 分布函数名加上fit的后缀.
设x为样本数据，1-alpha为给定的置信水平，当缺省 时，alpha默认取值为0.05，下面列举了几种常见 分布的参数估计的MATLAB命令. （1）正态分布 参数估计命令为 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci]=normfit(x,alpha) 返回值muhat为样本均值的点估计值,sigmahat为标 准差的点估计值,muci为均值的区间估计,sigmaci为 标准差的区间估计.当x是一个矩阵时,则是针对列 进行计算的,下同. （2）二项分布(已知,未知) 参数估计命令为 [phat,pci]=binofit(x,n,alpha) 返回值为参数的估计值和区间估计.