九年级数学上册第21章《配方法》精品教案(人教版)
九年级数学上册 21.2.1 配方法教案 (新版)新人教版
21.2.1配方法一、教学目标1、掌握配方法的推导过程，并能够熟练地进行配方.2、用配方法解数字系数的一元二次方程.3、在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能.二、教学设想结合旧的知识展开，重点讨论配方法解一元二次方程。
教学中，应注意循序渐进地让学生掌握用配方法解数字系数的一元二次方程的做法，并且理解配方是为了配成完全平方的形式，再利用直接开平方的方法将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.三、教材分析本课时的教材在第一课时的基础上，通过对直接开平方的方法的理解，进一步引出用配方法解一元二次方程，然后再引导学生得出的这个方程的具体的解。
以直接开平方法为铺垫，把解一元二次方程转化为用配方法，也是为后面学习其它一元二次方程的解法作好准备。
四、重点难点重难点：使学生掌握配方法，解一元二次方程.把一元二次方程转化为q p x =+2)(.（q ≥0）五、教学方法引导学习法六、教具准备多媒体课件七、教学过程【引入】1．解下列方程，并说明解法的依据：（1）2321x -= （2） ()2210x --= 通过复习提问，指出这两个方程都可以转化为以下两个类型： ()()()2200x b b x a b b =≥-=≥和根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。
思考：利用直接开平方法解一元二次方程的特征是什么？形如（1）x 2=b(b 0≥)，(2)（x+a ）2=b (b 0≥)就可利用直接开平方法。
它的特征是：左边是一个关于未知数的完全平方式；右边是一个非负数。
且不含一次项。
符合这个特征的方程，就可利用直接开平方法。
2．复习完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2(1)x 2+6x+_____=(x+3)2 (2)x 2+8x+_____=(x+___)2(3)x 2-16x+_____=( )2(4)x 2-5x+______=_________(5)x 2+px+______=_________3．要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2，场地的长和宽应各为多少？分 析：设场地宽xm ，长（x+6）m ，根据矩形面积为16m 2，列方程，x （x+6）=16即x 2+6x-16=0.【互动】怎样解方程x 2+6x-16=0？引导考虑用直接开方法解一元二次方程.（小组探索）移项: 1662=+x x配方: 916962+=++x x (方程两边同时加上一次项系数一半的平方) 写成完全平方式: 25)3(2=+x采用直开法降次解题: 53±=+x解一元一次方程: 8,221-==x x像上边那样,通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法.强调:无论是直接开平方法还是配方法,其本质都是先降次,化成一元一次方程解决问题.例题1：解下列方程：(1) 0182=+-x x ； （2）x x 3122=+； (3) 04632=+-x x .分 析：能否经过适当变形，将它们转化为（x+a ）2=b (b 0≥)的形式，应用直接开方法求解？解（1）原方程化为1422-=⨯-x x （移项） 16116422+-=+⨯-x x （方程两边同时加上16）15)4(2=-x （化为完全平方的形式）由此得： 154±=-x 154;15421-=+=x x（2）原方程化为_____________________ （移项）_____________________ （方程两边同时加上_____）_____________________, （化为完全平方的形式）由此得： _____________________, 21;121==x x (3) 原方程化为_____________________ （移项）_____________________ （方程两边同时加上_____）_____________________, （化为完全平方的形式）由此得： _____________________,无解.【练习】1．P39页：练习题第1题：填空。
人教版数学九年级上册21.2.2《配方法(1)》教学设计
人教版数学九年级上册21.2.2《配方法（1）》教学设计一. 教材分析《配方法（1）》是人教版数学九年级上册第21.2.2节的内容，主要讲述了配方法的基本概念和应用。
配方法是一种解决二次方程的有效方法，通过将二次方程转化为完全平方形式，从而简化计算和求解过程。
本节内容主要包括配方法的定义、配方法的步骤以及配方法在解决实际问题中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次方程的基本概念和求解方法，具备了一定的数学基础。
但学生在解决实际问题时，往往对这些方法的应用范围和条件把握不清，不能灵活运用。
因此，在教学本节内容时，需要帮助学生巩固已有的知识，并通过实例讲解和练习，让学生理解和掌握配方法的特点和应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解配方法的基本概念和步骤，能够运用配方法解决简单的实际问题。
2.过程与方法：通过实例分析和练习，培养学生运用配方法解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.配方法的基本概念和步骤。
2.配方法在解决实际问题中的应用。
五. 教学方法1.讲授法：通过讲解配方法的基本概念和步骤，使学生掌握配方法的理论知识。
2.案例分析法：通过实例分析，让学生了解配方法在解决实际问题中的应用。
3.练习法：通过课堂练习和课后作业，巩固学生对配方法的理解和应用。
4.小组讨论法：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队合作精神和数学思维能力。
六. 教学准备1.教材和教辅：准备人教版数学九年级上册教材和相关教辅资料。
2.课件和幻灯片：制作课件和幻灯片，用于课堂讲解和展示。
3.练习题和答案：准备一些配方法的练习题，并准备相应的答案。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节内容，例如：“某数加上其倒数的和为2，求这个数。
”让学生尝试解决此问题，引发学生对配方法的思考。
2.呈现（15分钟）讲解配方法的基本概念和步骤，并举例说明配方法在解决实际问题中的应用。
人教版九年级数学上册：21.2.1配方法(教案)
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“配方法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
对于难点（2），指导学生如何处理二次项系数不为1的情况，如方程2x^2 + 4x - 1 = 0，需要先将系数化为1，再进行配方。
对于难点（3），通过实际例题，如“一个长方形的长比宽多3厘米，面积为18平方厘米，求长和宽”，引导学生如何构建方程并配方求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《配方法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决一元二次方程的情况？”（如面积计算、速度问题等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索配方法的奥秘。
2.培养学生数学建模和直观想象的核心素养，使学生能够运用配方方法解决实际问题，并培养从具体到抽象的数学思维能力；
3.培养学生运算能力和数据分析的核心素养，通过配方练习，提高学生的运算速度和准确性，培养学生对数据敏感度和分析能力；
4.培养学生团队合作和表达交流的核心素养，让学生在小组讨论和分享中，加深对配方方法的理解，提高数学表达和交流能力。
-配方步骤的应用：在具体操作过程中，学生可能会在系数化为1或加平方项时出错，这是配方的难点。
-配方在实际问题中的应用：如何从实际问题中抽象出一元二次方程，并将其配方求解，是学生需要克服的难点。
最新人教版九年级数学上册第二十一章 《配方法》教案
22.2.1 配方法教学目标1．了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．会正确运用配方法解一元二次方程，掌握配方法是一种重要的数学方法．3．体会由未知向已知转化的思想方法．教学重难点重点是用配方法解一元二次方程；难点是正确理解把x2＋ax型的代数式配成完全平方式．教学过程导入新课引例：市政府计划两年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房面积的增长率．如果我们设每年人均住房面积增长率为x，一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；两年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2，由此可得10(1＋x)2＝14.4，你会解这个方程吗？前面我们已经学过有关平方根的内容．当x2＝a(a≥0)时，x叫做a的平方根，根据平方根的含义就可以求出x＝±a.本节课将继续深入研究像x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)这样的一元二次方程的求解方法．推进新课一、新知探究1．形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程的解法做一做：请完成引例的求解过程．解：设每年人均住房面积增长率为x，则10(1＋x)2＝14.4.(1＋x)2＝1.44.直接开平方，得1＋x＝±1.2.即1＋x＝1.2，或1＋x＝－1.2.所以，方程的两根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2.因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2＝－2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%.我们把以上求方程解的方法称为直接开平方法．想一想：具有怎样特征的一元二次方程可以用直接开平方法求解？结论：形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程可利用直接开平方法．它的特征是：左边是一个关于未知数的完全平方式，右边是一个非负数，且不含一次项．2．配方法解一元二次方程议一议：怎样解方程x2＋6x－16＝0？能否把它转化为(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，然后用直接开平方法呢？提示：移项：x2＋6x＝16.配方：x2＋6x＋9＝16＋9(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)．写成完全平方式：(x＋3)2＝25.采用直接开平方法降次：x＋3＝±5.解一元一次方程：x1＝2，x2＝－8.像上边那样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．强调：无论是直接开平方法还是配方法，其本质都是先降次，化成一元一次方程解决问题．想一想：配方法解一元二次方程的步骤是什么？提示：配方法解一元二次方程的步骤：(1)将方程化为一般形式；(2)移项：把常数项移到方程右边，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项．(3)方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；(4)配方：在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方式；(5)求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根．议一议：运用配方法解一元二次方程的关键是什么？提示：运用配方法的关键是在把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程的前提下，在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方．二、应用迁移1．直接开平方法解方程解下列方程：(1)4(2x －1)2－9＝0；(2)9(3x －2)2＝(1－2x )2.分析：(1)方程可化为(2x －1)2＝94，用直接开平方法即可求解． (2)方程可化为[3(3x －2)]2＝(1－2x )2，因而方程转化为3(3x －2)＝1－2x 或3(3x －2)＋(1－2x )＝0两个一元一次方程求解．解：(1)原方程化为(2x －1)2＝94. 开平方得2x －1＝±32， 即2x －1＝32或2x －1＝－32. 所以x 1＝54，x 2＝－14. (2)原方程化为[3(3x －2)]2＝(1－2x )2.所以3(3x －2)＝1－2x 或3(3x －2)＋(1－2x )＝0.所以x 1＝711，x 2＝57. 点拨：形如(mx ＋n )2＝p (p ≥0)型的一元二次方程用直接开平方法解较简单．注意两边开平方时不要漏掉负号的情况．2．配方法解方程用配方法解下列方程：(1)x 2－8x ＋1＝0；(2)2x 2＋1＝3x .分析：(2)中方程的二次项系数不是1，需要在方程的两边同除以2.解：(1)移项，得x 2－8x ＝－1.配方，得x 2－8x ＋42＝－1＋42.即(x －4)2＝15.直接开平方，得x －4＝±15.所以x 1＝4＋15，x 2＝4－15. (2)移项，得2x 2－3x ＝－1.二次项系数化为1，得x 2－32x ＝－12. 配方，得x 2－32x ＋(34)2＝－12＋(34)2. 即(x －34)2＝116. 直接开平方，得x －34＝±14. 所以x 1＝1，x 2＝12. 三、巩固提高1．解下列方程：(1)2x2－8＝0；(2)9x2－5＝3；(3)(x＋6)2－9＝0.2．解下列方程：(1)x2＋2x－35＝0；(2)2x2－4x－1＝0.本课小结本节课应掌握：1．会用直接开平方法解形如x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．2．会用配方法解一元二次方程．。
人教版九年级数学上册教案《配方法》人教)
《配方法》方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，应用比较广泛，而从实际问题中抽象出方程，并求出方程的解是解决问题的关键。
配方法既是解一元二次方程的一种重要方法，同时也是推导公式法的基础。
配方法又是初中数学的重要内容，在二次根式、代数式的变形及二次函数中都有广泛应用。
【知识与能力目标】理解配方法的意义，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
【过程与方法目标】通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法。
【情感态度价值观目标】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣。
【教学重点】运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
【教学难点】发现并理解配方的方法。
多媒体课件1、创设情境，引入问题问题1 一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？师生活动：教师展示问题，学生独立思考列出方程并整理得x 2=25。
教师追问：求方程的解与平方根定义之间有什么关系。
师生活动：回顾以前所学的知识引导学生得出降次的方法。
设计意图：类比消元法得出一元二次方程解法——降次。
2、探索配方法问题2方程x ^2+6x +9=2如何求解学生活动：思考并交流得出：的左边是完全平方形式，这个方程可以化成（x +3）2=2，进行降次，得______________，所以方程的根为x 1=___________，x 2＝__________．教师追问：可以总结一般式吗?学生思考，小组讨论并得出解决方法：如果方程能化成的形式，那么可得 教师适当点拨，板书规范几何书写．3、课堂练习师生活动：学生独立思考，完成解题，组内小先生批改，教师巡视、发现问题。
小组汇报完成情况设计意图：熟悉并掌握正确的解题方法。
4、课堂小结左边不含有x 的完全平方形式，•左边是非负数的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平)0()(22≥=+=p p n mx p x x mx n =+=()()()()()()()()2222221280; 2953; 3690;43160 5445; 6961 4.x x x x x x x x -=-=+-=--=-+== ； ＋＋方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程。
人教版九年级上册 第21章 21.2配方法 教案
配方法1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？二、合作探究探究点：配方法【类型一】配方用配方法解一元二次方程x2－4x＝5时，此方程可变形为( )A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9 D．(x－2)2＝9解析：由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x2－4x＝5，所以x2－4x＋4＝5＋4，所以(x－2)2＝9.故选D.方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程：x－4x＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3，x2＝2－ 3.方法总结：用配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．【类型三】用配方解决求值问题已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求x－2yx2＋y2的值．解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2且y＝3，∴原式＝－2－613＝－813.【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零；(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的值恒大于零．(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋8等．【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x的方程(m－8m＋17)x＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二次方程．解析：要证明“不论m为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数m2－8m＋17的值不等于0.证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论m为何值时，原方程都是一元二次方程．三、板书设计教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.。
人教版数学九年级上册第21章21.2.1用配方法解一元二次方程研究课教案
2.归纳总结.
（1）配方的规律；
（2）用配方法解一元二次方程的步骤；
（3）思想方法.
教师组织，引导学生解决问题.
通过学生回答或小组讨论讲解，归纳解题程序.
配方检测
巩固落实配方.
（1）例
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
教师出示问题，巡视批改，表扬完成较好的同学.
板书设计
21.2.1用配方法解一元二次方程
主板左侧：
配方：
当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方
例：
解：移项，得
配方，得
开方，得
，或
，或
中间：学生板演
主板右侧：
解一元二次方程的方法：
——特法
（1） 直接开平方法
（2）因式分解法
（3）配方法
学生做题，并板演，给其它小伙伴批改，做错的题同学分享错误原因.
我的收获
知识和方法.
1.配方；
2.数学思想.
教师引导学生总结.
学生总结.
课堂检测
具体内容
反馈目标
配方法检测，用配方法解一元二次方程.
会用配方法解系数为1的一元二次方程.
作业设计
具体内容
作业目标
学探诊九上第3页.
会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
21.2.1用配方法解一元二次方程教案
科目
数学
课题
21.2.1用配方法解一元二次方程
教学目标
知识与技能：理解配方法，能用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
过程与方法：通过课前学习，理解配方法，提炼出配方法的步骤，明晰配方过程中的算理，复习用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程；课上让学生体会要解一般的一元二次方程转化为已经学过的方法，有两条路可以选择，经过分析解一般的一元二次方程用配方法转化为直接开平方法容易一些，就是本节课要学的内容.
九年级数学上册第21章《配方法(1)》名师教案(人教版)
21.2.1 配方法解一元二次方程 第一课时一、教学目标（一）学习目标1.理解配方法的意义；2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程；3.通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法.（二）学习重点运用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.（三）学习难点发现并理解配方的方法.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务直接开平方法解一元二次方程：若()20x m m =≥，则x=.方程162=x 的解是x= ±4 .方程122=+）（x 的解是x= -1或-3 .2.预习自测（1）用直接开平方法解方程：9x 2=1【知识点】直接开平方法解方程【思路点拨】若()20x m m =≥，则x =【解题过程】【答案】13x =± （2）用直接开平方法解方程：(x-2)2=2【知识点】直接开平方法解方程【思路点拨】若()20x m m =≥，则x =【解题过程】【答案】2x =±（3）方程2443x x -+= 能用直接开平方法解吗？【知识点】配方，直接开平方法解方程.【思路点拨】若()20x m m =≥，则x =【解题过程】原方程可化为：2(2)3x -=【答案】能（4） 方程2692x x ++= 能用直接开平方法解吗？【知识点】直接开平方法解方程【思路点拨】若()20x m m =≥，则x =【解题过程】原方程可化为：2(3)2x +=【答案】能(二)课堂设计1.知识回顾（1）一元二次方程的一般形式：2ax bx c=0(a 0)++≠，（2）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.（3）一元二次方程的根：使一元二次方程成立的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）.2.问题探究●活动① 以旧引新问题： 要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2， 场地的长和宽应各是多少？（1）如何设未知数？怎样列方程？设场地的宽为xm,长为(x+6)m,所列方程为x(x+6)=16,整理后为x 2+6x-16=0（2）所列方程与我们上节课学习的方程x 2+6x+9=2有何联系与区别?学生答：二次项和一次项都相同.【设计意图】问题（1）选择以解决问题为本课开端，有利于激发学生探究的欲望.问题（2）通过对比，学生很容易发现两个方程的联系与区别，进而引发联想，促使学生继续探究.●活动②大胆猜想，探究新知1.方程x 2+6x+9=2的等号左边是一个完全平方式，可用直接开平方法解.2.方程x 2+6x-16=0的等号左边不是一个完全平方式，但其二次项和一次项和方程x 2+6x+9=2相应部分完全相同.（3）你能由方程x 2+6x+9=2的解法联想到怎样解方程x 2+6x-16=0吗？学生答：能老师问：解方程x 2+6x-16=0，你有什么新发现？如何处理？学生分组解答，单纯的利用方程两边各加上一次项系数一半的平方，不能达到左边是完全平方式的目的.学生继续讨论，发表见解.学生答：()22221261606166925325358,2x x x x x x x x x x +-=+=++=+=+=±=-=【设计意图】问题（3）学生联想、总结、尝试，在教师设置的问题情境引导下，解决了一个新问题，激发了学生的学习热情，也锻炼了学生的思维能力.经历由实际问题转化为方程的过程，通过对比、归纳、整理，体会降次的必要，获得降次的方法，理解数学化归思想的重要意义.●活动③ 集思广益，归纳方法先将常数项移到方程右边，然后给方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配用配方法解二次项系数是1且一次项系数是偶数的一元二次方程的一般步骤及注意事项:成完全平方式的三项式形式，再将左边写成平方形式，右边完成有理数加法运算，到此，方程变形为()2+=x m n （n ≥0）的形式，最后方程两边同时开平方求出方程的解.【设计意图】归纳配方法解方程的步骤，让学生掌握配方法解方程的要领.探究二 利用配方法解一元二次方程.●活动① 配方法的练习例1．填空()()()()2222(1)12(2)4x x x x ++=-+=【知识点】 配方法 【解题过程】 ()()22222212(1)12624(2)422x x x x x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭-⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.【答案】（1）36,6x +（2）4,2x -【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.练习.()()()()2222(1)11(2)7x x x x ++=-+= 【知识点】 配方法【解题过程】 2222221111(1)112277(2)722x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.【答案】 （1）12111,42x +（2）497,42x -【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.例2．若x 2-4x+p=（x+q ）2，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=2B ．p=4，q=-2C ．p=-4，q=2D ．p=-4，q=-2【知识点】 配方法【解题过程】()()2224242,404,2x x p x p x q q p p q -+=-+-=+∴-=-=∴==-【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，分别让对应系数相等，列出方程组求解.【答案】 B练习．若()228x x x p q +=++，那么p 、q 的值分别是（ ）．A ．p=4，q=16B ．p=4，q=-16C ．p=-4，q=16D ．p=-4，q=-16【知识点】 配方法【解题过程】()()22284164,16x x x x p qp q +=+-=++∴==-【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，分别让对应系数相等，列出方程组.【答案】B【设计意图】通过练习，掌握配方法的本质.●活动2 利用配方法解一元二次方程例3 .解方程：2220x x --=【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()222222131311x x x x x x x -=-+=-=-==【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2+=x m n 的形式.【答案】1x =±【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.练习.用配方法解方程2860x x ++=【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()222868161041044x x x x x x x +=-++=+=+==-【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2+=x m n 的形式.【答案】4x =-±【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.例4.用配方法解一元二次方程：210x bx +-=【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】2222221122424222x bx b b x bx b b x b x b x +=⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎛⎫+= ⎪⎝⎭+=±-=【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2+=x m n 的形式.【答案】2b x -±=【设计意图】感受配方法解一元二次方程的本质.练习.用配方法解一元二次方程：2420x bx --=【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()2222224244422222422x bx b b x bx x b b x b x b -=⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+-==±【思路点拨】将二次项系数为1的二次三项式配成完全平方式，常数项为一次项系数一半的平方.将方程化成()2+=x m n 的形式.【答案】2x b =【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了一次项系数字母的方程，让学生用类比的方法解决问题. ●活动3 综合应用例5. 已知实数,x y 满足222450x y x y ++-+=，求,x y 的值.【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()()2222222450(21)(44)012010,201,2x y x y x x y y x y x y x y ++-+=+++-+=++-=+=-==-=【思路点拨】先用配方法将方程化成()()22x m y n a +++=的形式，再利用非负数性质求解.【答案】1,2x y =-=【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题. 练习. 已知实数,x y 满足222568x y x y ++=-，求,x y 的值.【知识点】 配方法解一元二次方程【解题过程】()2222222568(69)(816)03(4)030,403,4x y x yx x y y x y x y x y ++=--++++=-++=-=+===-【思路点拨】先用配方法将方程化成()()22x m y n a +++=的形式，再利用非负数性质求解.【答案】3,4x y ==-【设计意图】在学生掌握知识后选取不同类型的方程让学生用配方法解，以达到巩固的目的，最后为了进一步拓展提升，出现了两个未知数的方程，让学生用类比的方法解决问题.3. 课堂总结知识梳理1.直接开平方法解一元二次方程：若()02≥=a a x ，则x 叫做a 的平方根，表示为a x ±=，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.2.配方法解一元二次方程：在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法.重难点归纳1.直接开方法解一元二次方程时，（1）()02≥=a a x 的解是a x ±=；（2）a x =2，当a<0时，方程无解；（3）()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=； （4）()()0,02≥≠=+c m c n mx 且的解是m n c x -±=.2.配方法解一元二次方程时注意：用配方法解一元二次方程02=++q px x ，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数.（三）课后作业基础型 自主突破1．方程x 2－256＝0的根是( )A ．16B ．－16C ．16或－16D ．14或－14【知识点】直接开方法解一元二次方程【解题过程】因为x 2－256＝0，所以x 2＝256.故x 1＝16，x 2＝－16【思路点拨】若()20x m m =≥，则x m =± 【答案】C 2．用直接开平方法解方程(x －3)2＝8，得方程的根为( )A ．x ＝3＋23B ．x 1＝3＋22，x 2＝3－22C ．x ＝3－22D ．x 1＝3＋23，x 2＝3－23【知识点】直接开方法解一元二次方程【解题过程】因为(x －3)2＝8，所以x －3＝22±.故x 1＝3＋22，x 2＝3－22.【思路点拨】()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±=. 【答案】B3．以下的配方运算中，不正确的是( )A ．x 2＋8x ＋9＝0，化为(x ＋4)2＝25B ．2t 2－7t －4＝0，化为2781=416t ⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．x 2－2x －99＝0，化为(x －1)2＝100 D ．3x 2－4x －2＝0，化为2210=39x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】由x 2＋8x ＋9＝0，配方可得(x ＋4)2＝7.【思路点拨】将方程左边化成完全平方的形式.【答案】A4．若将方程x 2－6x －5＝0化成(x ＋m)2＝n 的形式，则m ，n 的值分别是( )A ．3和5B ．－3和5C ．－3和14D ．3和14【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】将x 2－6x －5＝0配方，得(x －3)2＝14，对应(x ＋m)2＝n ，可得出m ＝－3，n ＝14.【思路点拨】将方程左边化成完全平方的形式.【答案】C5．当x ＝__________时，代数式x 2－8x-12的值是－4.【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】由题意的方程x 2－8x －12＝-4，将x 2－8x －12＝-4配方，得(x －4)2＝24，对应426x -=±，可得出426x =±.【思路点拨】根据题意列出方程，将方程左边化成完全平方的形式再解.【答案】426±6．用配方法解方程x 2－6x －12＝0.【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】将x 2－6x －12＝0配方，得(x －3)2＝21，对应321x -=±，可得出321x =±【思路点拨】将方程左边化成完全平方的形式.【答案】321x =±能力型 师生共研7．有一三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x 2－16x ＋60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是( )A ．24B ．24或85C ．48D ．85【知识点】配方法解一元二次方程，三角形面积【解题过程】解方程x 2－16x ＋60＝0，得x 1＝10，x 2＝6.根据三角形的三边关系，知x 1＝10，x 2＝6均合题意．当三角形的三边分别为6,8,10时，构成的是直角三角形，其面积为12×6×8＝24； 当三边分别为6,6,8时，构成的是等腰三角形，根据等腰三角形的“三线合一”性质及勾股定理，可求得底边上的高为25，此时三角形的面积为1825=85 2⨯⨯.【思路点拨】先利用配方法求出方程的解，然后利用勾股定理判断三角形的形状，最后求出三角形的面积.【答案】B8．若4x2＋(k－1)x＋9是完全平方式，则k的值为()A．±12 B．－11或－12 C．13 D．13或－11【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】因为4x2＋(k－1)x＋9＝(2x)2＋(k－1)x＋32是完全平方式，所以k－1＝±2×2×3，即k－1＝±12所以k＝13或k＝－11.【思路点拨】根据完全平方展开式中一次项是首尾乘积的两倍.【答案】D探究型多维突破9．当x取任意值时，代数式x2－4x＋9的最小值为()A．0 B．9 C．5 D．4【知识点】配方法【解题过程】x2－4x＋9＝x2－4x＋4＋5＝(x－2)2＋5. 因为(x－2)2≥0，所以(x－2)2＋5的最小值为5，即x2－4x＋9的最小值为5.【思路点拨】将二次三项式配方.【答案】C10．在实数范围内定义一种运算“※”：a※b＝a2－b，按照这个规则，(x＋3)※25的结果刚好为0，则x的值为__________．【知识点】新运算、配方法解一元二次方程【解题过程】由规则可得(x＋3)2－25＝0，解得x1＝2，x2＝－8【思路点拨】根据规则列出方程，用配方法解这个方程.【答案】x1＝2，x2＝－8自助餐1.不论,x y 为何实数，式子22429x y y x +-++的值（ ）A.可能为负数B.总不小于9C.总不小于4D.大于4【知识点】配方法的应用【解题过程】原式=()()2222429124+-++=++-+x y y x x y()()222210,204294+≥-≥+-++≥Q x y x y y x【思路点拨】将代数配方.【答案】C2.若方程240x x k ++=有一个根是2，求k 的值及方程的另一个根.【知识点】一元二次方程的根、配方法解一元二次方程.【解题过程】将2x =代入得480,12,k k ++=∴=-即原方程为224120,(2)16x x x +-=+= 1224,2,6x x x ∴+=±∴==-，即方程的另一个根是6x =-【思路点拨】将方程的根代回原方程求出待定系数k ，再用配方法解一元二次方程.【答案】12,6k x =-=-3．若(x 2＋y 2－5)2＝4，则x 2＋y 2＝__________.【知识点】直接开方法解一元二次方程【数学思想】整体思想【解题过程】由题意可知x 2＋y 2－5＝，即x 2＋y 2＝5±2，所以x 2＋y 2＝7或x 2＋y 2＝3.【思路点拨】将22x y +当成一个整体，然后用直接开方法解方程.【答案】7或34．用配方法解方程(x －1)2－2(x －1)＋12＝0. 【知识点】换元法、配方法解一元二次方程【解题过程】解：设x －1＝y ，则原方程可化为y 2－2y ＋12＝0.解得12y =±.因此x －1＝12±，即22x =±.故x 1＝2＋2，x 2＝2－2. 【思路点拨】将1x -当成一个整体，然后用配方法解方程.【答案】x 1＝2，x 2＝2 5．解方程4x 2－6x －3＝0.解：4x 2－6x －3＝0，配方，得4x 2－6x ＋262-⎛⎫ ⎪⎝⎭－262-⎛⎫ ⎪⎝⎭－3＝0， 即4x 2－6x ＋9＝12.故(2x －3)2＝12.即132x ，232x 以上解答过程出错的原因是什么？请写出正确的解答过程．【知识点】配方法解一元二次方程【解题过程】解：错在没有把二次项系数化为1. 正解：原式可化为23324x x -=， 配方，得23939216416x x -+=+，即2321=416x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3=4x -，得134x +=，234x -=. 【思路点拨】用配方法解方程，当二次项系数不为1时，要先将其化为1 ，再将方程左边化成完全平方的形式.【答案】134x +=134x =6.实数,x y 满足2222210,x xy y x -+++=求x y +的值.【知识点】利用配方法解多元方程【解题过程】()()()()222222222210,221010010112x xy y x x xy y x x x y x x y x x y x y -+++=-++++=-++=-=⎧∴⎨+=⎩=-⎧∴⎨=-⎩∴+=-【思路点拨】将方程左边配方成完全平方的和的形式，方程右边为0，然后让每一个完全平方都为0，再求出未知数的值.【答案】-2。
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21.2 解一元二次方程
21.2.1 配方法
教学目标：
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．
2．理解并掌握直接开方法、配方法解一元二次方程的方法．
【过程与方法】
1．通过根据平方根的意义解形如x 2＝n (n ≥0)的方程，迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m )2＝n (n ≥0)的方程．
2．通过把一元二次方程转化为形如(x －a )2＝b 的过程解一元二次方程．
【情感态度与价值观】
通过对一元二次方程解法的探索，体会“降次”的基本思想，培养学生良好的研究问题的习惯，使学生逐步提高自己的数学素养．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程．
【教学难点】
把一元二次方程转化为形如(x －a )2＝b 的形式．
教学过程：
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min 阅读】
阅读教材P5～P9的内容，完成下面练习．
【3 min 反馈】
1．一般地，对于方程x 2＝p ：
(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝__.
(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__0__；
(3)当p ＜0时，方程__无实数根__.
2．用直接开平方法解下列方程：
(1)(3x ＋1)2＝9; x 1＝23，x 2＝－43
.
(2)y 2＋2y ＋1＝25. y 1＝4，y 2＝－6.
3．(1)x 2＋6x ＋__9__＝(x ＋__3__)2；
(2)x 2－x ＋__14__＝(x －__12
__)2； (3)4x 2＋4x ＋__1__＝(2x ＋ __1__)2.
4．一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x ＋n )2＝p 的形式，那么就有：
(1)当p >0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，x 1＝，x 2＝
；
(2)当p ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝__－n __；
(3)当p ＜0时，方程__无实数根__.
环节2 合作探究，解决问题
【活动1】 小组讨论(师生互学)
【例1】用配方法解下列关于x 的方程：
(1)2x 2－4x －8＝0； (2)2x 2＋3x －2＝0.
【互动探索】(引发学生思考)用配方法解一元二次方程的实质和关键点是什么？
【解答】(1)移项，得2x 2－4x ＝8.
二次项系数化为1，得x 2－2x ＝4.
配方，得x 2－2x ＋12＝4＋12，即(x －1)2＝5.
由此可得x －1＝±5，
∴x 1＝1＋5，x 2＝1－ 5.
(2)移项，得2x 2＋3x ＝2.
二次项系数化为1，得x 2＋32
x ＝1. 配方，得⎝⎛⎭⎫x ＋342＝2516
. 由此可得x ＋34＝±54，∴x 1＝12
，x 2＝－2. 【互动总结】(学生总结，老师点评)用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，转化为开平方所需要的形式，配方法的一般步骤可简记为：一移，二化，三配，四开．
【活动2】 巩固练习(学生独学)
1．若x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2，则p 、q 的值分别是( B )
A ．p ＝4，q ＝2
B ．p ＝4，q ＝－2
C ．p ＝－4，q ＝2
D ．p ＝－4，q ＝－2
2．用直接开平方法或配方法解下列方程：
(1)3(x －1)2－6＝0 ； (2)x 2－4x ＋4＝5；
(3)9x 2＋6x ＋1＝4； (4)36x 2－1＝0；
(5)4x 2＝81； (6)x 2＋2x ＋1＝4.
(1)x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2.
(2)x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.
(3)x 1＝－1，x 2＝13
. (4)x 1＝16，x 2＝－16
. (5)x 1＝92，x 2＝－92
. (6)x 1＝1，x 2＝－3.
【活动3】 拓展延伸(学生对学)
【例2】如果x 2－4x ＋y 2＋6y ＋z ＋2＋13＝0，求(xy )z 的值．
【互动探索】(引发学生思考)一个数的平方是正数还是负数？一个数的算术平方根是正数还是负数？几个非负数相加的和是正数还是负数？
【解答】由已知方程，得x 2－4x ＋4＋y 2＋6y ＋9＋z ＋2＝0，
即(x －2)2＋(y ＋3)2＋z ＋2＝0，
∴x ＝2，y ＝－3，z ＝－2.
∴(xy )z ＝[2×(－3)]－2＝136
. 【互动总结】(学生总结，老师点评)若几个非负数相加等于0，则这几个数都等于0. 环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移项→二化简→三配方→四开方
练习设计：
请完成本课时对应练习！。