高等数学高数二07-08竞赛参考答案
数学竞赛高数试题及答案
数学竞赛高数试题及答案试题一：极限的计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
解答：根据洛必达法则，我们可以将原式转换为 \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}\)，由于 \(\cos 0 = 1\)，所以极限的值为 1。
试题二：导数的应用问题：若函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求其在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解答：首先求导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)，然后将 \( x = 1 \) 代入得到 \( f'(1) = 6 \times 1 - 2 = 4 \)。
试题三：不定积分的求解问题：求不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
解答：这是一个基本的积分形式，可以直接应用反正切函数的积分公式，得到 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C\)，其中\( C \) 是积分常数。
试题四：级数的收敛性判断问题：判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) 是否收敛。
解答：根据比值测试，我们有 \(\lim_{n \to \infty}\frac{1}{(n+1)^2} / \frac{1}{n^2} = \lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{(n+1)^2} = 1\)，由于极限值为 1，小于 1，所以级数收敛。
试题五：多元函数的偏导数问题：设函数 \( z = f(x, y) = x^2y + y^3 \)，求 \( f \) 关于\( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
解答：对 \( x \) 求偏导，保持 \( y \) 为常数，得到 \( f_x =2xy \)。
对 \( y \) 求偏导，保持 \( x \) 为常数，得到 \( f_y = x^2 + 3y^2 \)。
高等数学竞赛真题及答案解析
高等数学竞赛真题及答案解析高等数学竞赛是对学生在该学科中的深入理解和应用能力的考察，对于提升学生的数学素养和能力有着重要的意义。
本文将为大家介绍一些高等数学竞赛的真题，并提供相应的解析，帮助大家更好地理解和掌握数学知识。
一、题目1让我们先来看一个简单的问题：计算$\int \frac{1}{x} dx$。
解析：这是一个基本的积分题目，我们可以使用积分的基本公式来解答。
首先，我们要找到该函数的原函数，即使得它的导数等于$\frac{1}{x}$的函数。
显然，原函数是$ln|x|$。
所以，该积分的结果就是$ln|x|+C$，其中C为常数。
二、题目2接下来，我们来看一个稍微复杂一些的题目：设$f(x)$在[0,1]上连续，且$\int_0^1 f(x) dx = c$，求证：存在$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi) = c$。
解析：根据题目要求，我们需要找到一个$\xi$，使得$f(\xi) = c$。
根据平均值定理，即在[0,1]区间上存在一个点$\xi$，使得$f(\xi) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$，其中a和b为区间的两个端点。
由于$\int_0^1 f(x) dx = c$，所以存在$\xi \in (0,1)$，使得$f(\xi) = c$。
三、题目3现在我们来考虑一个涉及到函数极限的题目：设函数$f(x)$在0的某个去心邻域内有定义，且$\lim_{x \to 0} f(x) = A$，证明：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A$。
解析：根据题目给出的条件，我们知道当$x$趋近于0时，$f(x)$会趋近于A。
我们需要证明的是，当$x$趋近于0时，$\frac{f(x)}{x}$也会趋近于A。
我们可以通过将分子和分母都除以$x$来简化问题，得到$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{f(x)}{x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = A$。
2007数二真题答案详细解析
2007数二真题答案详细解析年数学二的真题是高考数学题目中一道相对较难的题目。
本文将对这道题目进行详细解析，分析其解题思路和解题方法，帮助读者更好地理解和掌握数学常识。
本题属于数学二试卷中的选择题，题目如下：已知数列{a_n}的通项公式为：a_n=n(n-1)^2，(n=1,2,3,...)。
则有命题：S_n=a_1+a_2+...+a_n=(n^2-1)^2。
要判断该命题的真假，我们需要先对数列{a_n}进行分析。
观察数列的通项公式a_n=n(n-1)^2，我们可以发现n(n-1)^2是一个关于n 的三次多项式。
三次多项式的一般形式可以表示为：P(n) = an^3 + bn^2 + cn + d其中a、b、c、d是常数。
在这个问题中，我们需要验证命题S_n=(n^2-1)^2是否成立，也就是判断数列的前n项和等于(n^2-1)^2。
为了方便计算，我们将等式两边展开：S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = (1(1-1)^2) + (2(2-1)^2) + ... + (n(n-1)^2)= (1*0^2) + (2*1^2) + ... + (n(n-1)^2)= 0 + 2 + 8 + ... + n(n-1)^2现在我们需要找到这个数列的通项公式，这样才能求出前n项的和。
观察数列0, 2, 8, ... ，我们可以发现这个数列的通项与原数列{n(n-1)^2}相差一个常数。
因此，我们推测该数列的通项公式为：b_n = n(n-1)^2 + k其中k是常数。
为了求解该数列的通项公式，我们可以先求解数列0, 2, 8, ... 的通项公式，再进行适当的变换。
观察数列0, 2, 8, ... ，我们可以发现这个数列中的每一项均等于相应的n(n-1)^2的2倍。
因此，该数列的通项公式为：b_n = 2n(n-1)^2现在我们已经得到了数列{b_n}的通项公式，我们可以将其代入前面的求和公式中，得到：S_n = b_1 + b_2 + ... + b_n = 2(1(1-1)^2) + 2(2(2-1)^2) + ... + 2(n(n-1)^2)= 2(1*0^2) + 2(2*1^2) + ... + 2(n(n-1)^2)= 2(0 + 2 + 8 + ... + n(n-1)^2)= 2(0^3 + 1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3)现在我们需要求解数列0^3 + 1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3的和。
高数竞赛试题及答案
高数竞赛试题及答案在高等数学领域中，竞赛试题的编写与解答一直是学生们提高自己数学水平的重要方式之一。
本文将提供一些高等数学竞赛试题，并附上详细的解答过程，以帮助读者更好地理解和应用数学知识。
1. 竞赛试题一考虑函数f(x) = |x^2 - 4x + 3|，其中x为实数。
(1)求函数f(x)的定义域。
(2)求函数f(x)的最大值和最小值。
解答过程：(1)为了求函数f(x)的定义域，我们需要确定使函数的值有意义的x 的范围。
由于函数f(x)中包含了一个绝对值，我们可以将其拆分成两种情况讨论：当x^2 - 4x + 3 ≥ 0时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3；当x^2 - 4x + 3 < 0时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
对于第一种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 ≥ 0。
通过因式分解或配方法，我们可以得到(x-1)(x-3) ≥ 0。
解这个不等式可以得到x ≤ 1或x ≥ 3。
对于第二种情况，我们需要求解不等式x^2 - 4x + 3 < 0。
同样通过因式分解或配方法，可以得到(x-1)(x-3) < 0。
解这个不等式可以得到1< x < 3。
综上所述，函数f(x)的定义域为x ≤ 1或x ≥ 3，且1 < x < 3。
(2)为了求函数f(x)的最大值和最小值，我们可以分别考虑函数f(x)在定义域的两个区间内的取值情况。
当x ≤ 1时，函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最小值。
代入可得最小值为f(2) = 1。
当x ≥ 3时，函数f(x) = -(x^2 - 4x + 3)。
同样通过求导可以知道，函数f(x)在x = 2处取得最大值。
代入可得最大值为f(2) = -1。
综上所述，函数f(x)的最大值为-1，最小值为1。
2. 竞赛试题二已知函数f(x) = 2^(x+1) - 3^(x-2)，其中x为实数。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案试题一：1. (10分) 在直角坐标系中，曲线 $y = \sqrt{x}$ 与 $y = -\sqrt{x}$ 交于两点 $A$ 和 $B$，且两点的横坐标之差为 $4$，求 $A$、$B$ 两点的坐标。
试题一答案解析：解析：我们可以通过将两个函数相等，来找到交点的横坐标。
$\sqrt{x} = -\sqrt{x}$将等式两边平方，得到$x = x$因此，两个函数相等的条件是 $x=0$。
又因为两个函数在对称轴 $y$ 轴上对称，所以 $A$、$B$ 两点的横坐标之差为 $4$，即 $B$ 点的横坐标是 $4$。
所以，$A$、$B$ 两点的坐标分别为 $(0, 0)$ 和 $(4, 0)$。
试题二：2. (15分) 计算 $\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$。
试题二答案解析：解析：首先，我们需要对被积函数进行积分。
$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx$通过对多项式逐项积分，得到$\int_{0}^{1} x^4 \ dx - \int_{0}^{1} 2x \ dx + \int_{0}^{1} 1 \ dx$根据积分的定义，我们可以进行求解：$\frac{1}{5}x^5 \Bigg|_{0}^{1} - x^2 \Bigg|_{0}^{1} + x\Bigg|_{0}^{1}$代入上下限进行计算，结果为：$\frac{1}{5} - 1 + 1 = \frac{1}{5}$所以，$\int_{0}^{1} (x^4 - 2x + 1) \ dx = \frac{1}{5}$。
试题三：3. (20分) 求函数 $f(x) = e^{2x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上的最小值。
试题三答案解析：解析：对于给定的区间 $[0, 1]$，我们需要找到函数 $f(x) =e^{2x}$ 在该区间上的最小值。
首先，求函数的导数 $f'(x)$：$f'(x) = 2e^{2x}$在 $[0, 1]$ 区间上，我们可以通过求解导数为 $0$ 的点来找到函数的极值点。
高等数学高数二07-08竞赛参考答案
高等数学2竞赛参考答案一. 填空题1、3 2、ln (22+-3、0()f x '4、35、2e 二. 选择题. 1. (C) 2. (A) 3. (A) 4.(B) 5.(D)三. 计算题 1.解：1(1)sin lim(1)(1)x x x x x x →-++-1sin12=x = –1 为第一类可去间断点1lim ()x f x →=∞x = 1 为第二类无穷间断点0lim ()1,x f x +→=-0lim ()1,x f x -→=x = 0 为第一类跳跃间断点2.解2sin 2(cos 2 )x y e x x '=⋅⋅2sin 21(2)x e x x +222sin sin 2cos x x x x e =3. 解: (1) 利用对称性. 2d d DI x x y =⎰⎰ 22d d xy Dxye x y ++⎰⎰213001d d 2r r πθ=⎰⎰(2) 积分域如图:添加辅助线,y x =-将D 分为12,,D D 利用对称性 , 得2212d d d d xy DD I x x y xye x y +=+⎰⎰⎰⎰222d d xy D xye x y ++⎰⎰1211d d 00xx x y --=++⎰⎰,221()d d 02D x y x y =++⎰⎰4π=23=四．应用题1.解：设观察者与墙的距离为 x m ,2.4(0,)x =∈+∞则1.4 1.8 1.8arctanarctan ,(0,)x x xθ+=-∈+∞ 2222222223.2 1.8 1.4( 5.76)3.2 1.8( 3.2)( 1.8)x x x x x θ---'=+=++++, 令0,θ'=得驻点 2.4(0,)x =∈+∞根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在,驻点又唯一,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚.2.解：方法1 利用球坐标方程.设球面方程为r a =，球面面积元素为2222d sin d d d sin d 4A a A aaππϕϕθθϕϕπ=∴==⎰⎰方法2 利用直角坐标方程.3. 解：12012:0(1)01z x y y x x ≤≤--⎧⎪Ω≤≤-⎨⎪≤≤⎩，121(1)1200d d d d d d x x y x x y z x x y z ---Ω∴=⎰⎰⎰⎰⎰⎰121(1)d (12)d xx x x y y -=--⎰⎰123011(2)d 448x x x x =-+=⎰ 五．证明题1. 证：令sin 2(),x f x x π=-则()f x 在(0,]2π上连续，在(0,)2π上可导，且 22cos sin cos ()(tan )0x x x xf x x x x x⋅-'==-<， ()(0,),2f x π因此在内单调递减(),2f x π又在处左连续 因此()()02f x f π≥=，从而sin 2,(0,]2x x x ππ≥∈。
高等数学竞赛试题2答案
高等数学竞赛试题2答案一、选择题1. 下列命题中正确的命题有几个？…………………………………………………………（ A ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个.2. 设1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0x x g x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 则0x =是间断点的函数是…………………………（ B ）(A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}max (), ()f x g x ； (D) {}min (), ()f x g x ..3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则 22limb b ξ→=…………（ C ） (A) 1； (B) 12 ； (C) 13 ； (D) 14.4. 设() , ()f x g x 连续，当0→x 时，()f x 与()g x 为等价无穷小，令0()()xF x f x t dt =-⎰，10() () G x x g xt dt =⎰, 则当0→x 时，() ()F x G x 是的 …………………………………… （ D ）(A) 高阶无穷小； (B) 低阶无穷小； (C) 同阶无穷小但非等价无穷小；(D) 等价无穷小. 5. 设),(y x f 在点)0,0(的某邻域内连续，且满足 220(,)(0,0)lim31sin cos x y f x y f x x y y→→-=-+--则),(y x f 在点)0,0(处 …………………………………………………………………………………………… （ A ）(A) 取极大值； (B) 取极小值； (C) 无极值； (D) 不能确定是否有极值. 6. 设()f x 在(,)-∞+∞连续，且导函数()y f x '=的图形如图所示，则()f x 有……………… （ D ）(A) 1个极小值点与2个极大值点，无拐点；(B) 2个极小值点与1个极大值点，1个拐点； (C) 2个极小值点与2个极大值点, 无拐点； (D) 2个极小值点与2个极大值点，1个拐点.7. 设f 有连续的一阶导数，则 (1,2)(0,0)()d ()d f x y x f x y y +++=⎰ …………………………… （ B ）(A) 102() d f x x ⎰； (B) 3() d f x x ⎰； (C) (3)(0)f f -； (D) 0 .8. 设任意项级数 1n n a ∞=∑条件收敛，将其中的正项保留负项改为0所组成的级数记为1n n b ∞=∑, 将其中的负项保留正项改为0所组成的级数记为1n n c ∞=∑，则1n n b ∞=∑与1n n c ∞=∑……………………（ B ）(A) 两者都收敛； (B) 两者都发散； (C)一个收敛一个发散； (D) 以上三种情况都可能发生.二、设()f x 在区间(,)-∞+∞连续，01()() d (>0), ()() d 2x ax x aF x f t t aG x f t t a +-==⎰⎰, 试解答下列问题：（1）用()G x 表示()F x ；（2）求()F x '；（3）求证：0lim ()()a F x f x →==；（4）设()f x 在[],x a x a -+内的最大值和最小值分别是M m 、,求证：()()F x f x M m -≤-.解（1）00111()()[()()][()()]222x a x a x a x a F x f t dt f t dt f t dt G x a G x a a a a ++--==-=+--⎰⎰⎰ （2）11()['()'()][()()]22F x G x a G x a f x a f x a a a'=+--=+--（3）000()()[()()][()()]lim ()lim lim22a a a G x a G x a G x a G x G x G x a F x a a→→→+--+-+--== 1['()'()]'()()2G x G x G x f x =+== （4）11|()()||()()||[()()]()()|22x a x a F x f x f t dt f x x a x a f f x a aξ+--=-=+---⎰|()()|()f f x M m x a x a ξξ=-≤--≤≤+三、求曲线 ln ln 1x y += 所围成的平面图形的面积. [解1]去掉绝对值曲线为：,11,1,101,0111,0101xy e x y y x x y ey ex x y xy x y e =≥≥⎧⎪⎪=≥<<⎪⎨=<<≥⎪⎪=<<<<⎪⎩且且且且11111()()e ee x A ex dx dx e ex x e e =-+-=-⎰⎰[解2]令ln ,ln ,,,:||||1,uv x u y v x e y e D u v '====+≤则00uuv u v v uv xx e J e e y y e===⋅. ||DD dxdy J dudv '==⎰⎰⎰⎰u vD e e dudv '⋅=⎰⎰01111111u uu v u v u u e du e dv e du e dv e e+-----+=-⎰⎰⎰⎰.四、设曲面S 为曲线 e 0y z x ⎧=⎨=⎩ (12y ≤≤) 绕z 轴旋转一周所成曲面的下侧，计算曲面积分24 d d 2 d d (1) d d SI zx y z z z x z x y =-+-⎰⎰[解1]S的方程为22(14)z x y =≤+≤补两平面2222212:(1,):(4,)S z e x y S z e x y =+≤=+≤下侧上侧122S S S VzdV ++=⎰⎰⎰⎰⎰2()2e e D z zdz d σ=⎰⎰⎰224252ln 22e e z zdz e e πππ==-⎰ 1222242(1)(1)(1)(1)xyS D zxdydz zdzdx z dxdy e dxdy e eππ-+-=--=--⋅=-⎰⎰⎰⎰；2121244225(1)4(1);(1)4(1)22xyS D S S S S S e dxdy e I e e e e πππππ44++=-=-=--=-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰42332e e πππ13=--2 [解2]2(4,2,1)(,,1)x y DI zx z z z z dxdy =--⋅-⎰⎰222220142221(4cos 2sin 1)(41)1333(:14)22DD r edxdy dxdyd e r rdr e e D x y πθθθππππ⎤⎥=+-⎥⎦=-+--=--≤+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰五、设幂级数 0n n n a x ∞=∑, 当1n >时2 (1) n n a n n a -=-，且014, 1a a ==;（1）求幂级数0n n n a x ∞=∑的和函数()S x ；（2）求和函数()S x 的极值..解（1）令101(),()nn n n n n S x a x S x na x ∞∞-=='==∑∑则22222()(1)()n n n n n n n n n S x n n a xa xa x S x ∞∞∞---===''=-===∑∑∑，()()0S x S x ''-=1201()(0)4,(0)1x x S x c e c e S a S a -'=+====由，求得125353,,()2222x x c c S x e e -===+（2）由000531313()0ln ,()0,()(ln )222525x x S x e e x S x S x S -'''=-==>∴=得又为极小值.六、设函数),(y x f 可微，(,), 0,12f f x y f x π∂⎛⎫=-= ⎪∂⎝⎭, 且满足()coty 1 ( 0, )lim e 0,nn f y n f y →∞⎛⎫+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求 (,)f x y . 解 1(0,)(0,)lim (0,)11(0,)(0,)(0,)lim lim 1(0,)(0,)n nnf y f y n f y nn n f y f y f y n n e f y f y →∞+-→∞→∞⎡⎤⎡⎤++-⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(0,)(0,)y f y f y e = (0,)ln (0,)cot (0,)y f y d f y y f y dy==，对y 积分得ln (0,)lnsin ln (0,)sin f y y c f y c y =+=代入(0,)112f c π==得，(0,)sin ff y y f x∂==-∂又已知(,)()x f x y c y e -⇒=，(0,)sin f y y =，()sin (,)sin .xc y y f x y e y -∴==故七、如图所示，设河宽为a ，一条船从岸边一点O 出发驶向对岸，船头总是指向对岸与点O 相对的一点B 。
高等数学竞赛试题解答
高等数学竞赛试题参考答案一、选择题（15）1. 下列命题中正确的命题有几个？ …………………………………………（ A ） （1）无界变量必为无穷大量； (2) 有限多个无穷大量之和仍为无穷大量； （3）无穷大量必为无界变量； (4) 无穷大量与有界变量之积仍为无穷大量. (A) 1个； (B) 2个； (C) 3个； (D) 4个.2. 设 1, 0()0, 0x f x x ≠⎧=⎨=⎩，1sin , 0() 1 , 0x x g x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x =是间断点的函数是 …（ B ）(A) ()()f x g x +； (B) ()()f x g x -； (C) {}m ax (), ()f x g x ； (D) {}m in (), ()f x g x3. 设ξ为()arctan f x x =在[ 0, ]b 上应用拉格朗日中值定理的“中值”，则22limb bξ→= …………………（ C ）(A) 1； (B) 12； (C) 13； (D) 14.4. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在；(D) 一定不存在.5. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ） (A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数.二、填空（每题3分共15分）6、已知)(x f 在),(∞+-∞内可导，且2e )(lim ='∞→x f x ，()[])1()(lim lim--=-+∞→∞→x f x f ax a x x x x ，则=a 17、设函数)(x f 在0=x 点的某个邻域内连续，且21)(lim 0=-→xx e x f ，则曲线)(x f y = 在0=x 处的法线方程为 02=+y x 8、设)(sin 42x y =，则)(3x d dy =42sin 34x x9、已知2sin ()lim ()tt t xf x t →+∞-=， ()f x '等于x xe 2sin 2sin --10、不定积分1[ln(ln )]ln x dxx+⎰等于C x x +)ln(ln三、计算解答（60） 11、 计算：nn nxnx )21(lim 22++∞→解：nnn n n xn x x n x n x n xn x n x n x n x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++<++=++<+214)2(1))2(1()21()1(22222易知 ,1x ne n x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+对nx n x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+21进行变量代换，令,2m x n =-则当∞→n 时,∞→m 并且,2xm += 因此有xxm m nn e m x m x x n x=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→∞→2)1()1(lim 21lim 由夹逼原理得.)21(lim 22xn n e nxnx =++∞→12、设()1tan 1x f x arc x-=+，求在x=0处的n 阶导数。
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高等数学2竞赛参考答案
一. 填空题
1、3 2
、ln (22
+-
3、0()f x '
4、3
5、2e 二. 选择题. 1. (C) 2. (A) 3. (A) 4.(B) 5.(D)
三. 计算题 1.解：1
(1)sin lim
(1)(1)x x x x x x →-++-1
sin12
=
x = –1 为第一类可去间断点
1
lim ()x f x →=∞
x = 1 为第二类无穷间断点
0lim ()1,x f x +
→=-0
lim ()1,x f x -→=
x = 0 为第一类跳跃间断点
2.解
2
sin 2(cos 2 )x y e x x '=⋅⋅
2
sin 21(
2)x e x x +
2
2
2sin sin 2cos x x x x e =
3. 解: (1) 利用对称性. 2d d D
I x x y =⎰⎰ 2
2
d d x
y D
xye x y ++⎰⎰
213001d d 2r r πθ=⎰⎰
(2) 积分域如图:
添加辅助线,y x =-将D 分为1
2
,,D D 利用对称性 , 得
2
2
1
2d d d d x
y D
D I x x y xye x y +=+⎰⎰⎰⎰2
2
2
d d x
y D xye x y ++⎰⎰
1
2
1
1
d d 00x
x x y --=++⎰⎰
,
22
1()d d 02
D x y x y =
++⎰⎰4π
=
23
=
四．应用题
1.解：设观察者与墙的距离为 x m ,
2.4(0,)x =∈+∞则
1.4 1.8 1.8
arctan
arctan ,(0,)x x x
θ+=-∈+∞ 2222222223.2 1.8 1.4( 5.76)
3.2 1.8( 3.2)( 1.8)
x x x x x θ---'=+=
++++, 令0,θ'=得驻点 2.4(0,)x =∈+∞
根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在,驻点又唯一,因此观察者站在
距离墙 2.4 m 处看图最清楚.
2.解：
方法1 利用球坐标方程.
设球面方程为r a =，球面面积元素为
222
2
d sin d d d sin d 4A a A a
a
ππ
ϕϕθθϕϕπ=∴==⎰
⎰
方法2 利用直角坐标方程.
3. 解：12012:0(1)01z x y y x x ≤≤--⎧⎪
Ω≤≤-⎨⎪≤≤⎩
，
12
1
(1)
1200
d d d d d d x x y x x y z x x y z ---Ω
∴
=⎰⎰⎰
⎰⎰
⎰
12
1(1)
d (12)d x
x x x y y -=--⎰⎰123
011(2)d 448
x x x x =
-+=⎰ 五．证明题
1. 证：令sin 2(),x f x x π=
-则()f x 在(0,]2π上连续，在(0,)2π
上可导，且 2
2cos sin cos ()(tan )0x x x x
f x x x x x
⋅-'==-<， ()(0,),2f x π因此在内单调递减(),2f x π
又在处左连续 因此()()02f x f π≥=，从而sin 2,(0,]2
x x x π
π≥∈。
2. 证: 欲证
()(),2f f a b ξηη''=+即要证22
()()()
.2f b a f b a ξηη
''-=- 因 f ( x ) 在 [ a , b ] 上满足拉氏中值定理条件,故有
()()()(),
(f b f a f b
a a b
ξξ'-=-∈ ① 2()[,]f x x a b 又因及在上满足柯西定理条件，故有
22()()()
,(,)2f b f a f a b b a ηηη
'-=∈- ②
将①代入② , 化简得()(),,(,)2a b
f f a b ξηξηη
+''=
∈。