抽象函数问题的求解策略探究完整版
抽象函数问题的解题策略
抽象函数问题的解题策略固镇二中陈学军2012-5-15抽象函数问题的解题策略抽象函数问题是高考中的热点、难点问题，处理这类问题往往需要深厚的数学知识的积淀。
同时掌握必要的解题技巧，对解决这类问题也有很大帮助。
下面通过实例来分析一下。
一、合理赋值对于求值问题，要善于通过对已知条件和结论的观察、比较，大胆尝试。
通过对变量合理赋值，使问题得到解决。
例1.已知定义在R上的函数f（x）满足对任意x,y∈R， f(x＋y)=f(x)+f(y)-1,则f(0)=______解：令x=y=0，得f(0)=1二、合理变形通过合理变形，使条件和结论更接近。
常见的变形有：和差互化、积商互化等。
例 2.对于任意x,y∈R ,f(x＋y)=f(x)+f(y),且对任意x>0有f(x)>0,求证:f(x)是R上的增函数。
分析：根据函数单调性的定义，要证f(x)在R上是增函数，即证对任意x1,x2∈R且x1<x2,都有f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0，也就是说，结论中出现的是函数值的差。
而条件中出现的是函数值的和，两者不“融合”，这就需要对条件进行“和差”互换，以使条件能和结论“融合”。
证：∵对任意x,y∈R ,f(x＋y)=f(x)+f(y)∴f(x)=f(x+y)-f(y)而x=x+y-y即f(x+y-y)=f(x+y)-f(y),设x>0,则f(x)= f(x+y-y)=f(x+y)-f(y)>0,令x+y= x2y= x1则x+y>y,即x2> x1 ,f(x2)>f( x1),由于x,y的任意性，∴x1,x2也是任意的。
由函数单调性的定义知f(x)是R上的增函数。
例3.已知f(x)是定义域为R的函数，且对任意x∈R,f(x)>0,对任意x,y∈R，f(x＋y)=f(x)〃f(y)，x>0时，f(x)>1.(1)求f(0)的值；（2）求证：f(x)是R上的增函数解：（1）通过合理赋值，令x=y=0,则由f(x＋y)=f(x)〃f(y)得f(0)=f2(0),又∵f(x)>0,∴f(0)=1.(2)分析：证明f(x)在R上单调递增，常用以下两种方法：一、证任意x1, x2∈R，且x1 <x2,证明f(x1)<f(x2),即f(x1)-f(x2)<0.二、当f(x)>0时，证明对任意x1, x2∈R且x1 <x2 ，f(x2)/ f(x1)>1.从本题的条件来看，可以看出它和方法二所需结果较为接近，而要把已知条件转化为所需结论，就需要实现两个转化：1.和差转化。
抽象函数问题的求解策略
抽象函数问题的求解策略425300 湖南省道县一中 李晓华1 抽象函数问题抽象函数专指没有给出具体的函数解析式或图象,只给出函数所满足的部分性质、运算法则或特殊条件的一类函数1由于此类函数问题既能考查学生对函数概念、性质的全面掌握情况,又能考查学生的代数推理、论证能力,还能考查学生对数学符号语言的阅读理解和综合运用能力以及对“一般”与“特殊”的辩证关系的认识能力,对发展学生思维能力,进行数学思维方法的渗透有较好的作用,因此而成为高考的一大命题热点,在近几年的高考中频频出现12 求解策略抽象函数问题,由于其本身所具有的模型抽象和给出的性质的隐蔽性,使得它的求解没有常规方法1这类问题的解法常常涉及到函数的概念和各种性质,因而具有抽象性、综合性和技巧性等特点1解题时需要通过对题目的信息作出具体分析与研究,根据不同的性质条件采用不同的方法和手段,可用的方法与手段有1211 赋值代换法在许多情况下,抽象函数问题中往往会给出函数所满足的等式或不等式,因此在解决此类抽象问题时,赋值代换是一个最基本、最重要的策略:在所给函数式中,对所要证明或求解的式子作结构上分析,在函数的定义域内对自变量采取对应的代换赋值,使所要证明或求解式子的结构与已知式的结构趋于相同,以帮助我们达到变形化简的目的1例1 设函数f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=12,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)等于A10 B11 C152 D15分析 用赋值代换法,先设法求出f(2)的值,再利用f(5)=f(1+2+3)达到求值目的;解答 令x=,则f()=f()+f(),∴f()=f()f()=f()=,∴f(5)=f(3+)=f(3)+f()=f(1+2)+f(2)=f(1)+2f(2)=52,故正确选项为C1例2 设y=f(x)是定义在区间[-1,1]上的函数,且同时满足条件:(ⅰ)f(-1)=f(1)=0;(ⅱ)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|;证明:(1)对任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;(2)对任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤11分析 注意对所需证明或求解的式子作结构上的变化,使所要证明或求解的问题的结构与已知的结构相同,(1)即要证|f(x)-f(1)|≤|x-1|;(2)中会优先考虑证|u-v|≤1,当发现不能直接推证出这一结论时,可以分类得出结论1解答 (1)由题设条件可知,当x∈[-1,1]时,有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x,即x-1≤f(x)≤1-x;(2)对任意的u,v∈[-1,1],当|u-v|≤1时,显然有|f(u)-f(v)|≤1,当|u-v|>1时,必有uv<0,不妨设u<0,v>0,则v-u>1,其中v∈(0,1],u∈[-1,0),此时|f(u)-f(v)|=|f(u)-f(-1)-(f(v)-f(1))|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v -1|=1+u+1-v=2-(v-u)<1,综上可知,对任意的u,v∈[-1,1]都有|f(u)-f(v)|≤11212 背景函数法一般地,考题中出现的大量抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得,现行中学教材中学过的基本函数有一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数,我们称这些初等函数为背景函数1给出此类命题时,会同时给出一些对应的抽象性质,解题时,虽然这些背景函数不能代替具体的证明和解答,若能根据条件从所给的性质特征出发,由研究抽象函数的“背景”入手,通过类比、联想,去猜想它所对应的“背景”函数,然后根据这种背景函数的相关结论和22 (2009年第6期高中版) 解题研究-11-1221--121122性质来预测、猜想出抽象函数可能具有的性质和结论或者得到某一结论的证明思路,也就是说利用背景函数作为指路灯往往能够寻觅到解题的切入点1常见的性质与对应的背景函数如下:(1)正比例函数型的抽象函数f(x)=kx(k≠0)→f(x±y)=f(x)±f(y)1(2)幂函数型的抽象函数f(x)=x a→f(xy)=f(x)f(y);f(xy)=f(x)f(y)1(3)指数函数型的抽象函数f(x)=a x→f(x+y)=f(x)f(y);f(x-y)=f(x) f(y)1(4)对数函数型的抽象函数f(x)=log a x(a>0且a≠1)→f(x y)=f(x)+f(y);f(xy)=f(x)-f(y)1(5)三角函数型的抽象函数f(x)=tan x→f(x+y)=f(x)+f(y) 1-f(x)f(y);f(x)=c o tx→f(x+y)=f (x)f(y)-1f(x)+f(y)1例3 函数f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的x1、x2,都有f(x1-x2)=f(x1)-f(x2)1+f(x1)f(x2)成立,判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论1提示 背景函数为f(x)=tanx,可以判断f(x)为奇函数,证明如下:f(x)=f(x-0)=f(x)-f(0) 1+f(x)f(0),f(-x)=f(0-x)=f(0)-f(x) 1+f(x)f(0),显然f(x)=-f(-x),故f(x)为奇函数1313 定义分析法抽象函数问题一般以单调性、奇偶性和周期性为主要研究对象和考查对象,若能注意利用相关定义对所给的条件进行定向分析,有利于发现解决问题的思路与方法1另外,解决抽象函数问题时,整体思维、特殊化方法、数形结合思想都可以派上用场1例4 已知定义域为正实数集,值域为实数集R的函数f(x),对于任意正实数x,y总有f(xy)=f(x)+ f(y),且当x>时恒有f(x)>1()求证函数f(x)必有反函数;(2)设f(x)的反函数为f-1(x),若不等式f-1(-4x +k2x-1)<1对于任意实数x恒成立,求实数k的取值范围1分析 若一个函数是定义域上的单调函数,则这一函数必有反函数,而解抽象函数不等式时往往也离不开利用函数的单调性性质,因此求解两问的关键就是要判断出函数的单调性来,这可以从定义出发,利用已知的函数关系式1解 (1)依题意,f(xy)-f(x)=f(y),令x1=xy,x2=x,则y=x1x2,设x1>x2>0,则x1x2>1,∴fx1x2>0,故得f(x1)-f(x2)=fx1x2>0,即证得f(x)是单调增函数,所以函数f(x)必有反函数1(2)令x=y=1,则有f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,故f-1(0)=1,原不等式化为f-1(-4x+k2x-1)<f-1(0),由于函数与其反函数有相同单调性,故f-1(x)也是增函数,则-4x+k2x-1<0恒成立,即k<4x+12k恒成立,所以g(x)=4x+12x=2x+12x≥2,当且仅当x=0时取等号1故k<2为所求的取值范围1例5 定义在(-1,1)上的函数f(x)同时满足下列两个条件:(1)对于任意实数x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y) =f(x+y1+xy)成立;(2)当x∈(-1,0)时,有f(x)>0成立1试判断f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)与f(12)的大小,并证明你的结论1分析 这是一道与不等式和数列相综合的抽象函数问题,审题后,可以从如下三个方面作出思考1首先,问题涉及到函数值之间的大小比较,一般要研究函数的单调性;其次,注意到第二个条件给出的仅是部分区间上函数的局部性质,还应该研究函数的奇偶性,以确定32解题研究 (2009年第6期高中版)10 1:它的整体性质;再有和式f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)与自然数有关,可以考虑对其化简求和,在求和的过程中要加强对条件1的理解运用,合理运用裂项相消方法1解 令x=y=0,得f(0)=0,再令y=-x,则f(x)+f(-x)=0,∴函数在(-1,1)上是奇函数,设-1<x1<x2<0,则x1-x2<0,1-x1x2>0,x 1-x21-x1x2<0,则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x21-x1x2)>0,∴f(x1)>f(x2),即函数在(-1,0)上是单调减函数,由奇函数的对称性可以证得函数在(-1,1)上都是单调递减的,且在(0,1)上f(x)<0;由f(1n2+3n+1)=f[1(n+1)(n+2)-1]=f[1(n+1)(n+2)1-1(n+1)(n+2)]=f[1n+1-1n+21-1n+1×1n+2]=f(1n+1)+f(-1n+2)=f(1n+1)-f(1n+2),∴f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)=f12-f13+f13-f14+…+f1n+1-f1n+2=f12-f1n+2>f121故得f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)>f(12)1抽象函数是考试中经常考查的问题,考生面对此问题会本能地产生恐惧,其实抽象函数的面纱并不神秘,只需多留心观察平时学过的函数,借助这些基本函数,抓住其特征结构,打开思维的闸门,问题是能解决的1从前面的分析可以看出,从特征结构式联系原型函数,其作用是显然的,一旦类比对路,那它就属于一捅就破的东西1因此在学习时,一方面要掌握基础,另一方面要触类旁通,这样才能进一步优化思维品质1虽然抽象函数问题有一定的难度,但只要在平时学习中注意认真归纳总结,牢固掌握基本初等函数的性质积极进行联想对比,就不难获得解决问题的思路,并且能够在提高学生的解题能力、培养学生思维的灵活性和创新意识方面收到良好的效果1(收稿日期:20090408)一道数学问题的简单证明350007 福建省福州市第十六中学 侯雪花 文[1]给出如下一个不等式证明问题.△A BC的外接圆和内切圆半径分别为R,r.证明:sin A2+sinB2+sinC2≥3rR1本文将给出此问题的一个简单证明.证明 记△A BC的面积和半周长为Δ,s,三边长为a,b,c,则rR =ΔRs=bcsin A2Rs=bcsin AR(a+b+c)=2sinAsinB sinCsinA+sinB+sinC=2sinA sinB sinCA B C=B,从而可知sin A2sinB2sinC2=r4R,又欧拉(Euler)不等式R≥2r可得12≥rR,所以sin A2sinB2sinC2=r4R=122rR≥rR3,显然sin A2,sinB2,sinC2>0,故由均值不等式可知sinA2+sinB2+sinC2≥33sinA2sinB2sinC2≥3rR,证毕.参考文献邹守义数学问题数学通报,(收稿日期)42 (2009年第6期高中版) 解题研究4co s2cos2cos24sin A2sin2sinC2.1779..20092:20090401。
(完整版)抽象函数解题方法与技巧
抽象函数解题方法与技巧函数的周期性：1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x -a)（或f(x -2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；2、若y=f(x)的图像关于直线x=a 和x=b 对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a -b|的周期函数；4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b （a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a -b|的周期函数；5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a -x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)()1()f x a f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭或()1()f x a f x ⎛⎫+=-⎪⎝⎭或，则y=f(x)是周期为2|a|的周期函数； 7、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；8、若()()()11f x f x a f x -+=+在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。
（7、8应掌握具体推导方法，如7） 函数图像的对称性： 1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线2a b x +=对称；2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a -x)或f(x+a)=f(a -x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称；3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b -x)=c ，则y=f(x)的图像关于点,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称图形； 4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b )的对称曲线的方程为f(2a -x,2b -y)=0； 5、形如()0,ax by c ad bc cx d+=≠≠+的图像是双曲线，由常数分离法 d ad ad a x b ba c c c y d d c c x c x c c ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知：对称中心是点,d a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭；6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b -x)的图像关于直线2b a x -=对称；7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a 对称。
抽象函数题的几种解题策略
抽象函数题的几种解题策略徐雅晶策略之一：定义法凡涉及函数的定义、函数的奇偶性、单调性等有关概念的抽象函数问题，其求解的一般思路是：紧扣有关概念，充分利用定义来解决问题。
例1： 已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且满足f (2)＝1，f (xy )＝f (x )＋f (y )，又当x 2>x 1>0时，f (x 2)>f (x 1)．(1)求f (1)、f (4)、f (8)的值；(2)若有f (x )＋f (x －2)≤3成立，求x 的取值范围．变式：设f(x)对任意x,y R ∈，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，f(x)<0，f(1)=－2．（1）求证：f(x)是奇函数；（2）试问在33≤≤-x 时，f(x)是否有最值？如果有求出最值；如果没有，说出理由.策略之二：特殊化思想根据抽象函数f(x)的性质和特征，从满足题设条件的特殊函数（或特殊值）入手分析、研究，寻求问题的解题思路或结论。
例2、定义在区间（-∞，+∞）的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间（0，+∞）的图象与f(x)的图象重合。
设a>b>0，给出下列不等式：①f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b) ②f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b) ③f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a)其中成立的是（ ） A 、①与④B 、②与③C 、①与③D 、②与④策略之三：整体思想运用整体思想进行求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获解。
例3、已知f(x)、g(x)为奇函数，F(x)=af(x)+bg(x)+3（a,b 为常数），若F(4)=-4，则F(-4)=。
策略之四：巧用性质合理利用抽象函数的性质及性质间的内在联系，经过推理或计算来解决问题。
例4、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是（ ）A 、增函数且最小值为-5B 、增函数且最大值为-5C 、减函数且最小值为-5D 、减函数且最大值为-5策略之五：数形结合充分挖掘抽象函数的图象信息，运用数形结合思想方法来解决问题。
抽象函数问题的解题策略.doc
抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市 东联现代中学抽象函数是指没有给出具体的解析式，只给出了其他的一些条件（如函数 的定义域、经过的点，解析递推式，部分图象特征等）的函数问题，它是高中 数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的一个衔接点，因为抽象函数没有具体的解析式，所以理解研究起来往往困难重重，但是着类问题对于培养 学生的创新精神和实践能力，增强运用数学的意识，有着十分重要的作用，近 几年的高考都设置了有关抽象函数问题试题，分量一年比一年重，为此，本文 根据近几年的教学经验，从利用特殊模型、函数性质，特殊方法等方面谈谈求 解抽象函数问题的策略。
一、 利用特殊模型中学阶段，抽象函数对应具体模型有:例1、若函数/（兀）具有性质：1. 为偶函数；2、对任意都有足条件的f ⑴的一个解析式即可） 分析：看到已知条件中有关于龙的不等式，所以联想到三角函数，结合 几兀）为偶函数，得满足条件的函数几兀）的解析式是f （x ）= cos4^或/(x) = |sin 2x| o例 2、 若函数/（x ）和g （x ）在 R 上有定义，且f(^-y) = f(^)g(y)-f(^)g(y)9f(-2) = f(i)^o 9 则 g(i) g(i)+g(_i) = _。
(用数字作答)。
分析与解：v/(x-y) = /(x)g (y)-/(x)g(y),则函数的解析式可以是 （只须写出满・•・联想到三角公式，可取/(x) = sin%,则/(兀)是奇函数，于是有：sin(-2)= sin(-1-1) = sin(-l)cc?c(l)-cos(-l)sin(l) = sinl cos 1 +cos(-1) =sinlcosl + cos(-l) =-1,即g(l) + g(-l) = _l例3、设函数/(x)的定义域为R,对于任意实数m,n,总有/(n + m) = /(/??)/(/?)且x>0,时0</(x)<l,⑴证明:/(0) = 1,且当xvO时,/(兀)>1(2)证明:/(兀)在R上单调第减.⑶设 A = /{(x,y)|/(x2)/(/)>/(l)},B = {(x,y)|/(ax-y + 2) = l,ae/?} … 若4门3 = 0,确定。
浅谈抽象函数的几种问题求解策略
浅谈抽象函数的几种问题求解策略摘要：抽象函数问题是近年来高考考查的热点之一，其中关于周期性、对称性是考查的重难点.本论文以高考常考题型为背景，较详细地归纳了各类题型及其解法点拨，并给出了历年高考题作为例题说明，对以周期性问题与对称性问题本文归纳了一些常考性质并给出了部分证明.关键词：抽象函数换元周期性奇偶性一、引言函数是高中数学的重要内容之一，也是高考的热点内容.近几年来，以抽象函数为背景或载体的函数问题成为高考函数命题的新亮点[1].所谓抽象函数是指没有给出具体的函数解析式和函数图象，只给出的的一些性质，并且它所涉及的知识较广泛，处理方法也不唯一，因此抽象函数是高中数学的一个难点.二、几种抽象函数问题的求解1、定义域问题在高中数学中，关于抽象函数的定义域问题一般会出现2种题型：对于已知或的定义域，求函数或的定义域的题型解法可表示为：若已知的定义域为，相当于已知的定义域为，据此求出的值域就是的定义域；若已知的定义域为，相当于已知的值域为，据此只要求出函数关于的定义域就是的定义域.对于已知函数的定义域，求函数的定义域(其中，均为关于的函数)，可利用的定义域作为过渡，也就是若已知的定义域，则先求出的定义域，然后由的定义域再求出的定义域.例1若函数的定义域是[0,2]，求函数的定义域.解：∵的定义域是[0,2]，则对于函数有，即.∴函数的定义域为[0,1].而分母不能为0，故.∴函数的定义域为[0,1).2、奇偶性、对称性问题在高中数学中，函数的对称问题是个难点也是重点，学生在学习的过程中感觉难以理解，而且易混淆.其实函数的对称性质只有两类：一类是函数自身对称；另一类是函数与函数的对称.其中对称又分为关于点对称、关于直线对称.另外，抽象函数的对称问题也可以转化为函数图象变化来考虑，通过函数图象按照题设的变化来找出其中的对称点或对称直线.下面将其几条对称性质加以归纳：性质1.对于函数，若为奇函数，则成立，那么函数的图象关于点对称[2].性质2.对于函数，若为偶函数，则成立，那么函数的图象关于直线对称[2].性质3.函数与函数的图象关于点对称[2].性质4.函数与函数的图象关于直线对称[2].例2设函数是定义在实数集上的偶函数，则函数与的图象关于（）1.直线对称 B. 直线对称 C. 直线对称 D. 直线对称解：若熟悉上述几种对称情况时不难知道选D.函数与函数关于y轴对称，函数是由函数向右平移了2个单位，函数是由向右平移了2个单位，故对称轴也向右平移了2个单位，由变为，故选D.3、周期性问题在高中数学中，函数的周期性考查较多，其中抽象函数的周期性问题常常与奇偶性、数列等知识结合考查，难度适中.要解决此类问题首先就要从题设中找到函数的周期，再结合其它知识那么这类问题就能够顺利解决.1.型如[3].令，则,即成立，即函数是以为周期.2.型如.，即函数是以为周期.3.型如.用代换,得到,即，即函数是以为周期.4.型如.用代换，则，即，即函数是以为周期.例3 已知函数的定义域为R，且满足，求证：是周期函数.证明：∵∴，即函数是以4为周期的周期函数.4、单调性问题在高中数学中，函数的基本性质是非常重要的，特别是函数的单调性是必考的内容之一，其中抽象函数的单调性问题主要会从三方面来考察：一是用定义证明函数的单调性；二是利用函数单调性求函数的最值；三是用函数的单调性求解不等式与证明不等式[4].下面对上述问题结合实例作简要说明：当抽象函数与不等式结合考查时一般就是求解不等式与证明不等式，此类问题的综合性较强而且比较繁琐，但是只要能够巧妙地利用赋值转化、反证、递推等特殊方法再结合不等式的性质，此类问题就迎刃而解了.例4 函数的定义域为，，对任意，，求的解集.解：设，则，即在时为增函数，由，即也就是的解为(-1,∞).所以的解为(-1,∞).5、函数值问题在高中数学中，关于抽象函数值得问题考查频率较高，一般会从值域、函数值、最大值、最小值、比较函数值大小等方面考查，值域、最大值、最小值问题一般考查会涉及单调性、奇偶性等内容.对于求函数值的方法一般是采用赋值法求解，也就是结合题设中的已知条件，取特定的值代入求解即可，其中在迭代的过程中容易出错.例 5 设函数的定义域为,且为偶函数，为奇函数，则（）解：因为函数为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，即.又为奇函数，所以.设，则，所以，所以.又易得到函数的周期为4，所以不一定为0.故选.小结本文主要对高中数学中经常出现的抽象函数问题进行归纳并给出解法及点拨，其中包括定义域问题、函数值问题、奇偶性问题、单调性问题、对称性问题、周期性问题等.通过历年高考数学题发现，高考涉及到的抽象函数问题难易程度一般都会偏难，其综合性较强，对学生的综合素养要求较高.本文尚有不足之处还望各位老师批评指正.参考文献[1] 袁建民，熊群，刘南山.应重视以抽象函数为背景的高考函数命题趋势[J].中学数学研究，2007，2：19-22.[2] 黄以民.抽象函数对称性的证明与辩证[J].考试（高考版），2003，04：47-48.[3] 郑艳.从抽象函数形式看函数性质[J].教育教学论坛，2011，15：200.[4] 张国栋.例谈抽象函数单调性问题的求解[J].中学数学研究，2006，7：31-32.。
抽象函数的解题策略
抽象函数的解题策略1．理解抽象函数：首先，应该了解抽象函数的定义，它是指一个函数不涉及具体的参数值，而是做出一般性的抽象，表达一般行为的形式。
2．掌握函数的概念：除了理解抽象函数的定义外，还需要掌握函数的概念，它被定义为一个参数变量到另一个输出值的关系，一般分为变量和参数，参数是可以改变的。
3．熟悉函数的几种类型：熟悉函数的几种类型，有一元函数、双元函数、多元函数以及化简函数，以及还有抽象函数等，仔细分析各种函数，理解抽象函数的特点，并利用这些特点解决问题。
4．理解函数运算：函数运算是关于函数关系的常见解决方案，其中包括函数的求值、常见函数的图像因素、单调及其他运算，要想解决抽象函数的问题，需要理解这些函数的运算，充分利用数学知识找出最佳的解决方案。
5．利用特殊工具解决特殊问题：特殊工具包括特定编程语言，如C 语言或Matlab，还有函数图像分析等，然后利用这些特殊工具来解决抽象函数的问题。
6．通过图像因素处理：利用图像因素处理的方法，可以解决抽象函数的复杂性及其他问题，因此，当需要解决抽象函数问题时，可采用图像因素处理的方法进行解决。
7．建立抽象模型：抽象模型是指通过不涉及具体数字的方法来描述函数，可以利用单位跳变模型、皮克定理以及关于解析函数分析的常见方法，结合抽象模型，可以很好的解决抽象函数问题。
8．利用算法工具：在解决抽象函数的问题时，可以采取算法的方式来解决，在算法方面，包括基本的数学归纳法、分式法、牛顿迭代法、区间分割法、差值拟合法等，可以利用算法工具求解抽象函数的问题。
9．结合实际：最后，解决抽象函数的问题时，还可以结合实际情况，借鉴或者组合已有方法，根据实际情况及需求来抽象通用解决方案，使得解决问题更加简单、高效。
浅谈抽象函数问题的解决策略
五、结束语 解决抽象函数问题的策略还有很多，本文只是给出了几种 常见的方法，在解题时选择恰当的方法对解决抽象函数问题会 有意想不到的效果。在解决抽象函数问题时，往往不是去考虑 如何求这个函数的表达式，而是应设法利用这个函数的性质， 如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决，倘若能 利用数形结合的方法，则抽象问题又会变得更加具体形象，更 有利于问题的解决。对常见方法的理解、分析和灵活运用，需 要学生在平常的学习中认真领悟、主动思考和探索，不断突破 难点，提高分析问题和解决问题的能力。 参考文献： [1] 人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教 材研究开发中心.数学1必修[M].A版.北京:人民教育出版社， 2004. [2] 舒忠田.抽象函数问题解题方法选粹[J].江西教育学 院学报(综合)，2012，6.
浅谈抽象函数问题的解决策略
刘传星
(广东省佛山市高明区第一中学)
摘 要：抽象函数是高中数学的一个重点和难点。现行高 考对学生数学思维能力的要求越来越高。近年来，抽象函数成 为了高考的热点。抽象函数能比较全面的考查学生对函数的基 本概念、基本性质、函数图像和数形结合思想的掌握情况，综 合考查学生数学推理和转化能力。
关键字：抽象函数 能力 性质 引言 函数是高中数学的核心内容，它对于学生掌握双基和思维 能力的发展具有十分重要的意义。通常所说的函数[1]，一般都 具有解析式、图像、表格等某种具体的表现形式。而抽象函数 是指不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或某些特征的 函数。抽象函数作为初等数学和近代数学的衔接点，既能体现 数学的本质特征，又能体现新课标、新高考对数学知识和技能 的考查，突出高考的能力立意。然而，由于抽象函数本身的抽 象性及其性质的隐蔽性，很多学生碰到此类问题时感到束手无 策。本文介绍几种解决抽象函数问题的基本方法，力求使抽象 函数问题的解法有“章”可循。 一、赋值法 赋值法的基本思路是：根据函数的概念和性质，通过观察 与分析，将所给函数的性质转化为条件等式，在条件等式中对 变量赋予一些具体的、特殊的值，构造出所需条件或发现某些
抽象函数的解题策略
抽象函数是数学中一个重要的概念，它用于表达抽象问题。
抽象函数可以帮助我们解决各种复杂问题，但如何正确地使用它们来解题是一个棘手的问题。
在本文中，我们将探讨抽象函数的解题策略，以帮助读者正确地解决抽象函数问题。
首先要明白，抽象函数是一种推理。
它们帮助我们找出一个函数的一组可能的值，这些值可以满足给定约束条件。
因此，使用抽象函数解决问题的关键是，要确定函数的可能值范围，只有这样，你才能选择一个最优解。
具体来说，要解决一个抽象函数问题，可以按以下步骤：
1. 首先，对函数的参数进行推断：它们是何种参数，可以取的范围是多大？比如说，整数型参数是否有范围限制？
2. 确定函数的参数大致范围，以限定函数的范围。
3. 测试函数取值。
试着进行一些取值测试，观察函数的输出，以期找到函数的最优解。
4. 通过观察函数的取值，识别它的模式。
5. 作出结论，确定函数的最优解。
此外，在解决抽象函数问题时，你还可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。
只有理解了这些工具，你才能更好地探索和解决抽象函数问题。
总之，抽象函数是一种有力的推理工具，可以用来描述问题的解决过程。
解决抽象函数问题的核心是确定函数的可能值范围，这可以使用一些数学工具，比如图像、积分、极限、微分等。
当你掌握了这些技能，就可以更好地研究并解决抽象函数问题。
例析抽象函数问题的求解策略
例析抽象函数问题的求解策略上海市吴淞中学 贺明荣 （200940）近年来，经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题。
一般地，抽象函数是指：没有给出具体的函数解析式，只是给出函数所具有的某些性质的函数。
这类1000561．评注： 当f(x)是定义在自然数集N 上的函数时，可根据题中所给函数方程，通过取特殊值得到关于f(n)的递推关系，然后根据递推关系进一步求解 ．2、适当赋值例2、设函数y=f(x)（x ∈R 且x ≠ 0），对任意实数x 1 、x 2 满足f(x 1)+ f(x 2)= f(x 1·x 2) ．(1) 求证：f(1)=f(-1)=0；(2) 求证：y=f(x)为偶函数；(3) 已知y=f(x)在（0，+∞）上为增函数，解不等式f(x)+f( x -12)＜0．． -12)〕或 -1解得1-17 4 ＜x ＜ 1+17 4 且 x ≠0 , 12． 评注： 对于抽象函数，根据函数的概念和性质，通过观察与分析，将一般量赋予特殊值，以简化函数，从而达到转化为要解决的问题的目的 ．3、巧妙换元例3、设f(x)的定义域为｛x∣x≠0,且x≠1｝，满足f(x)+f(x-1x)=1+x ， (1)求f(x) ．解：令x =y-1y(y≠0，y≠1)，并将y 换成x，得f(x-1x)+f(11-x)=1+x-1x， (2)，即求f(x)在〔-3 ， 3〕上的最大值和最小值．解：任取-3≤x1＜x2≤3 ，由条件（1）得f(x2)=f〔(x2-x1)+x1〕= f(x2-x1)+f(x1)，∴ f(x2)- f(x1) = f(x2-x1) ，∵ x2- x1＞0 ，由条件（2）得 f(x2-x1) ＜0 ，∴ f(x 2) ＜f(x 1) ， ∴ f(x)在〔-3 ， 3〕上 单调递减．在（1）中令x=y=0，得f(0+0)=f(0)+f(0) ， ∴ f(0)=0再令x=-y ， 得f(x-x)=f(x)+f(-x) ， ∴ f(-x)= -f(x) ， 从而f(x)为奇函数，比如，证明： 由（1）得， f(x+c)+f(x)=2f(x+c 2)f(c 2)=2f(x+c2)×0=0 ，∴ f(x+c)+f(x)=0 ，∴ f(x+c)= - f(x) ， ∴ f(x+2c)=f 〔(x+c)+c 〕= - f(x+c)= f(x) ， 又因为c ＞0，所以f(x)是周期函数，2c 是它的一个周期．评注：通过对题目所给条件与结论的比较并联想已学过的知识，开拓思路，即可找到解题的关键．对于本题，我们若联想公式cos(x+y)+cos(x-y)=2cosx×cosy ，再类比余弦函数y=cosx的性质：cos ?2= 0，又其周期为2? =?2×4，故，从中得到启示，并进一步探求f(x)的周期是否为，即．此逆命题为真命题．现证明如下：（用反证法）假设a+b≥0不成立，即有a+b＜0，则 a＜-b， b＜-a，根据单调性，得 f(a)＜f(-b)， f(b)＜f(-a)，从而f(a)+f(b)＜f(-b)+f(-a)，即f(a)+f(b)＜f(-a)+f(-b)，这与已知f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 相矛盾．故a+b＜0不成立，即a+b≥0成立，因此（1）中命题的逆命题是真命题．评注：当关于某些抽象函数的命题不易从正面直接证明时，可采用反证法，它往往需结合其它一些求解策略．以上通过实例介绍了求解抽象函数问题的几种常用策略，只有深刻理解概念，掌．试3、已知函数f(x) 满足 af(x)+f( 1x)=cx ，其中a 、b 、c是不为零的常数，且a≠b，求f(x) ．( 答： f(x)=c(ax2-b)(a2-b2)x)4、函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)×? 1-f(x)?=1+f(x)，又知f(1)=2 + 2 ，试求f(2002) 的值． ( 答： f(2002) = 1-2 2 )5、是否存在这样的函数f(x)，使下列三个条件：①f(n)＞0 ，n∈N；(Ⅲ) 记an =f( 2n +2n) ，求 limn??(lnan) ．（答：(Ⅰ) 求f( 12) = a ， f(14)=4a ；(Ⅱ) f(x)的一个周期为2；(Ⅲ) an =2na 、 limn??(lnan)=0 ）通讯地址：上海市吴淞中学贺明荣上海市泰和路99号（同泰北路99号）邮编：200940。
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抽象函数问题的求解策
略探究
HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
抽象函数问题的求解策略探究
湖南省黄爱民赵长春
函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则。
此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊关系的认识。
因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。
然而，由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。
一、具体模型策略
例1．已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)≠0，f(x+y)=f(x)(y),且当x＜0时，f(x)＞1,则当x＞0时f(x)的取值范围是。
解析：令f(x)=a x(0＜a＜1)易得0＜f（x）＜1。
评析：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可以迅速得到正确答案。
二、类比联想策略
例2．已知f(x)是定义在实数集Ｒ上的函数，且f(x＋2)[1－f(x)]=1＋f(x)，f(－2)=1
则f(2006)=（）
A B C D+
2121
分析：由条件知，f(x+2)= 1()1()
f x f x +-（*），又f(－1)＝2
，逐步推出f(2006)，显然比较繁锁，若将（*）式与1tan tan()41tan x x x
π++=-进行类比，则结构形式类似，而y=tanx 的周期为π=4×4
π .于是便产生一个念头：f(x)也有可能是周期函数，周期为4×2＝8. 1()
11(2)11()(4)[(2)2],1()1(2)()
11()f x f x f x f x f x f x f x f x f x ++
++-+=++===-+
-+-- 1(8)[(4)4]()1()
f x f x f x f x ∴+=++=-=- 于是猜想成立。
∴f(2006)＝f(8×250＋6)＝f(6)＝f(－2＋8)
＝－(2)1f -=-从而应选B 。
评析：由于抽象函数的结论对任何满足条件的具体函数都成立，因而可以通过考察一些具
体函数，巧妙类比联想，以找到解题的突破口，最后利用具体函数的一些性质探索出抽象
函数的解题思路。
三、运用函数性质策略
例3．定义在R 上的单调函数()y f x =满足2(3)log 3f =，且对任意的x 、y R ∈都有
()()()f x y f x f y +=+
（1）求证：()f x 为奇函数（2）若(3)(392)0x x x f k f +--<对任意x R ∈恒成立，求实数
k 的取值范围。
解：令0x y ==,代入()()()f x y f x f y +=+ 得:(0)2(0)f f = ∴(0)0f =
令y x =-代入上式得：()()()f x x f x f x -=+-，又(0)0f =
∴0()()f x f x =+- 即()()f x f x -=- 对任意x R ∈成立，
∴()f x 是奇函数
(2)2(3)log 30f =>, 又()f x 在R 上单调且(0)0f =，(3)(0)f f >， 故()f x 是R 上的增
函数，又由（1）知()f x 为奇函数 ∴2(3)(392)(392),3392,13()3
x x x x x x x x x x f k f f k k h x <---=-++∴<-++<-++=即恒成立，
只需min min ()()1, 1.k h x h x k <=∴<,易求
评析：函数的特征是通过其性质（如奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）反应出来的，
抽象函数也是如此．只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行等价转化，抽
象函数问题才能峰回路转，化难为易，常用的解题考法有：①利用奇偶性整体思考；②利
用单调性等价转化；③利用周期性回归已知，④利用对称性数形结合；⑤借助特殊点，列
方程（组）等．
四、赋值换元策略
例4．是否存在函数()f x 同时满足下列三个条件：
（1）()()2()cos ,(,)f x y f x y f x y x y R ++-=∈；（2）(0)(f a a =为常数)；
（3）()2f b π
=(b 为常数)若存在，求()f x 的表达式；若不存在，请说明理由。
分析：条件(1)中x 、y 的任意性，隐含着x 、y 既可“换元”，又可“赋值”，结合条件
(2)和(3)，可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式。
令0,x y t ==， 得 ()()2cos f t f t a t +-= ……………………① 令2x t π
=+，2y π
=， 得 ()()0f t f t π++= …………… ② 令2x π
=，2y t π
=+， 得()()2sin f t f t b t π++-=- …… ③
将①+②-③得()cos sin f x a t b t =+，故存在()cos sin f x a t b t =+符合题意。
评析：对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，
有时会收到事半功倍的效果。
方程观点是处理数学问题的一个基本观点，挖掘隐含条件，
合理赋值，构造方程（组），化函数问题为方程问题，可使这类抽象函数问题迅速获解。
如(1)在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换”的方法，将x 换成-x 或将x 换成1x
等； (2)在求函数值时，可用特殊值（如0或1或一1)"代人”； (3)研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或由具体模型函数对综合题的解答提
供思路和考法，或反证、逆推诸法共用．
五、分类讨论策略
例5．设f （x ）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，问是否存在实数k ，使不等式f
（k+sin2x ）≥f[（k-4）（sinx+cosx ）]对任意x ∈R 恒成立？并说明理由。
分析：令sinx+cosx =t，则sin2x = t2-1 ，原不等式对一切x∈R恒成立，等价于不等
式μ（t）= t2 -（k-4）t+（k-1）≥0对任意t
∈[恒成立，下列分三种情况讨
论：
（1）当Δ＜0时，μ（t）≥0，对t
∈[恒成立，由Δ=2
(4)
k--4（k-1）=（k-
2）（k-10）＜0得2＜k＜10；
（2）当Δ=0时，k=2或k=10，此时抛物线t2 -（k-4）t+（k-1）的顶点横坐标t=
-1或t=3，μ（t）≥0对任意t
∈[恒成立；
μ（t）= t2 -（k-4）t+（k-1）≥0
（3）当Δ＞0时，μ（t）≥0对任意t
∈[恒成立的充要条件是：
00
44
109
22
0(0
k k
k
u u
⎧⎧
>>
⎪⎪
--
⎪⎪
≥≤⇒<≤+
⎨⎨
⎪⎪
⎪⎪
≥≥
⎩⎩
综上所述得k
的取值范围是[2,9+.
评析：对于参数的抽象函数问题，通过挖掘隐含条件，寻求分类标准，逐类讨论，分而治之是解题的常用方法.
六、整体求解策略
例6、已知f(x)，g(x)为奇函数,F(x)=af(x)+bg(x)+3（a，b为常数）若F(4)=－4,则
F(－4)=___ 。
解:设φ(x)=af(x)+bg(x),则φ(x)=F(x)－3，由题设可知φ(x)为奇函数，φ(－4)=－φ(4)
即F(－4)－3=－[F(4)－3]，故F(－4)=10
评析：运用整体思想求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获解。
七、正难则反策略
例7．已知f(x)在实集Ｒ上是增函数，a，b都是实数，若f(a)+f(b)≥f(－a)+f(－b),求证：a+b≥0。
分析：本题若用直接证法显然无从下手，但考虑用反证法则问题可以很快解决。
证明：假设a+b<0，则a<－b,b<－a,因为f(x)是Ｒ上的增函数，故f(a)<f(－
b),f(b)<f(－a)，两式相加：f(a)+f(b)<f(－a)+f(－b),这与条件f(a)+f(b)≥f(－
a)+f(－b)矛盾，故假设不成立，于是a+b≥0。
八、数形转化策略
例8．已知f(x)是Ｒ上的奇函数，在区间（０，＋∞）上是增函数，又f(－3)＝０，那么x·f(x)＜0的解集是
（）
Ａ、｛x|－3＜x＜0或x＞3｝Ｂ、｛x|x＜－３或０＜x＜3｝
Ｃ、｛x|x＜－３或０＜x＜3｝Ｄ、｛x|－3<x<0或０＜x＜3｝
解：根据题设条件可画出函数y=f(x)的示意草图，如上图
∵f(3)=－f(－3)=0, 而x·f(x)<0 ∴x与f(x)异号，由图象知－3<x<0或0<x<3，
从而正确的答案为(Ｄ)
评析：对于抽象函数，若能依据条件所给出的函数性质，画出相应的草图，就可化无形为有形,增强解题的直观性。
总之，求解抽象函数问题，用常规方法一般很难奏效，但我们若能通过对题目的信息分析与研究，采用特殊的方法和手段求解，往往会收到事半功倍之功效，同时在运用这些策略时要做到密切配合，相得益彰。