抽 象 函 数 的 解 题 方 法
1.2.2-函数的表示法(要用)
0 x ≤5 5 x ≤10 10 x ≤15 15 x ≤20
票价 y(元)
2
3
4
5
此分段函数的定义域为 (0,20]
此分段函数的值域为 {2,3,4,5}
①自变量的范围是怎样得到的？ ②自变量的范围为什么分成了四个区间？区间端点
是怎样确定的？ ③每段上的函数解析式是怎样求出的？
作函数图象：
王伟 张城 赵磊 班级平均分
第一次 98 90 68 88.2
第二次 87 76 65
78.3
第三次 91 88 73 85.4
第三次 92 75 72 80.3
第五次 88 86 75 75.7
第六次 95 80 82 82.6
请你表对格这能三否直位观同地学分在析高出一三学位年同度学成的绩数高学低学? 如习何情才况能做更一好的个比分较析三。个人的成绩高低?
分段函数
2. 化简函数 y | x 5 | x2 2x 1
解：由题意知 y = | x + 5 | + | x －1 |
y
当 x ≤－5 时，
y = －( x + 5 ) －( x －1 )=－2x－4
当 －5 ＜ x ≤ 1 时，
6
y = ( x + 5 ) －( x －1 ) = 6
一函次数函解数析：式y=一kx定+b是（方k≠程0）；
可看成关于x、y的方程。
二方次程函不数一：定y=是ax函2+数bx+解c 析（式a≠。0） 例如：x2+y2=1
复习回顾
(1)炮弹发射
（解析法）
h=130t-5t2 （0≤t≤26）
(2)南极臭氧层空洞 （图象法）
压轴题型03 抽象函数问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题03抽象函数问题抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。
由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。
○热○点○题○型1定义域问题解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围）。
○热○点○题○型2求值问题通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。
○热○点○题○型3值域问题○热○点○题○型4解析式问题通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。
○热○点○题○型5单调性与奇偶性问题○热○点○题○型6周期性与对称性问题○热○点○题○型7几类抽象函数解法(1)求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体）2.赋值法（令0=x 或1，求出)0(f 或)1(f 、令x y =或x y -=等等）（2）几种抽象函数模型：1.正比例函数：)0()(≠=k kx x f ——————————)()()(y f x f y x f ±=±；2.幂函数：2)(x x f =——————————————)()()(y f x f xy f =，)()()(y f x f y x f =；注：反比例函数：1)(-=x x f 一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。
3.指数函数：x a x f =)(———————————)()()(y f x f y x f =+，)()()(y f x f y x f =-4.对数函数：x x f a log )(=————————)()()(y f x f xy f +=，)()()(y f x f yxf -=5.三角函数：x x f tan )(=————————————)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+6.余弦函数：x x f cos )(=———————)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++一、单选题1．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()102f xy f x f y +--=，若一组平行线()1,2,...,i x x i n ==分别与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，...，(),n n x y ,且()2121n i i x x f -+=⎡⎤⎣⎦，其中1,2,...,i n =，则1nii y n==∑A ．1B ．12C ．2nD ．2n 【答案】B【分析】令1x y ==得到()112f =；令1,n i i x x y x -+==得到()()11n i i f x f x -++=，代入计算得(6)()6f x f x +-≥，则(2016)f =A ．2015B ．2016C ．2017D ．2018【答案】D【分析】根据递推式可得(6)()6f x f x +-=，再由(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+即可得答案.【详解】解：(2)()2,f x f x +-≤ (4)(2)2,f x f x ∴+-+≤(6)(4)2f x f x ∴+-+≤三是相加得：(6)()6f x f x +-≤，又(6)()6f x f x +-≥，则(6)()6f x f x +-=，当且仅当(2)()2f x f x +-=时等号成立，(2016)f =[(2016)(2010][(2010)(2004)]......[(6)(0)](0)f f f f f f f -+-++-+633622018=⨯+=，故选：D.3．已知定义域为R 的函数()f x 满足()31f x +是奇函数，()21f x -是偶函数，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线=1x -对称B ．()f x 的图象关于点(1,0)对称C ．()31f -=D ．()f x 的一个周期为8【答案】C【分析】根据()31f x +是奇函数，可得()()20f x f x +-+=，判断B;根据()21f x -是偶函数，推出()()2f x f x --=，判断A;继而可得()()4f x f x +=-，可判断D ；利用赋值法求得(1)0f =，根据对称性可判断C.【详解】由题意知()31f x +是奇函数，即()()()()3131,11f x f x f x f x -+=-+∴-+=-+，即()()2f x f x -+=-，即()()20f x f x +-+=，故()f x 的图象关于点(1,0)对称，B 结论正确；又()21f x -是偶函数，故()()()()2121,11f x f x f x f x --=-∴--=-，即()()2f x f x --=，故()f x 的图象关于直线=1x -对称，A 结论正确；由以上可知()()()22f x f x f x =--=--+，即()()22f x f x -=-+，所以()()4f x f x +=-，则()()4()8x x f f f x =-=++，故()f x 的一个周期为8，D 结论正确；由于()()3131f x f x -+=-+，令0x =，可得(1)(1),(1)0f f f =-∴=，而()f x 的图象关于直线=1x -对称，故()30f -=，C 结论错误，故选：C【点睛】方法点睛：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.4．已知定义在R 上的函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，若()()4g x f x =-是奇函数，且()40g =,则不等式()0f x ≤的解集是A ．(](],84,0-∞-⋃-B ．[)[)8,40,--⋃+∞C ．[][)8,40,--⋃+∞D ．[]8,0-【答案】C【详解】∵()()4g x f x =-是奇函数，∴函数()()4g x f x =-图象的对称中心为（0,0），∴函数()f x 图象的对称中心为()4,0-.又函数()f x 在(),4-∞-上是减函数，∴函数()f x 在()4,-+∞上为减函数，且()()400f g -==.∵()()400g f ==，∴()80f -=．画出函数()f x 图象的草图（如图）．结合图象可得()0f x ≤的解集是[][)8,40,--⋃+∞．选C ．点睛：本题考查抽象函数的性质及利用数形结合求不等式的解集．解题时要从函数()f x 的性质入手，同时也要把函数()()4g x f x =-的性质转化为函数()f x 的性质，进一步得到函数()f x 的单调性和对称性，进而画出其图象的草图，根据图象写出不等式的解集．其中在解题中不要忘了()f x 是定义在R 上的函数，故应该有()()400f g -==这一结论，即函数()f x 的图象中要有()4,0-这一个点．5．已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,014211,14xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程()()20f x af x b ⎡⎤++=⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（）A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭二、多选题(共0分)6．下列说法中错误的为（）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()2f x 的定义域为[]0,1B ．若(121f x =+，则()[)2243,1,f x x x x ∞=++∈+C ．函数的421x x y =++值域为：1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．已知()25,1,1x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是[]3,2--7．若定义在R 上的函数()f x 满足：（ⅰ）存在R a +∈，使得()0f a =；（ⅱ）存在R b ∈，使得()0f b ≠；（ⅲ）任意12,R x x ∈恒有()()()()1212122f x x f x x f x f x ++-=．则下列关于函数()f x 的叙述中正确的是（）A ．任意x ∈R 恒有()()4f x a f x +=B ．函数()f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[]0,a 上是减函数D ．函数()f x 最大值是1，最小值是-18．已知的定义域为R ，且对任意，有1f x f y f x y ⋅=+-，且当1x >时，()1f x >，则（）A ．()11f =B ．()f x 的图象关于点()()1,1f 中心对称C ．()f x 在R 上不单调D ．当1x <时，()01f x <<故选：AD9．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A ．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．m Z ∀∈，()30mf =C ．函数()f x 的值域为[)0,∞+D ．n Z ∃∈，()512019nf +=10．已知()f x 为非常值函数，若对任意实数x ，y 均有()()()1f x y f x f y +=+⋅，且当0x >时，()0f x >，则下列说法正确的有（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 是()0,∞+上的增函数C ．()1f x <D ．()f x 是周期函数对于D:因为()f x 是()0,∞+上的增函数,又因为()f x 为奇函数且()00f =,所以()f x 是(),-∞+∞上的增函数,故()f x 不是周期函数,故D 错误.故选:ABC.11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()312f x f x f +++=，()()24f x f x -=+，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是周期函数B ．1(2022)2f =C ．()f x 的图象关于1x =对称D ．200111002k k f k =⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∑可得())1(3f x f x +=－，从而可得()f x 是周期为4的周期函数，是解决本题的关键.12．已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，其导函数分别为()f x '，()g x '．若()()32f x g x -+=，()()1f x g x ''=+，且()()20g x g x -+=，则（）A ．函数()2g x +为偶函数B ．函数()f x 的图像关于点()2,2对称C ．()202410i g n ==∑D ．()202414048i f n ==-∑【答案】ACD【分析】由()()1f x g x ''=+，可设()()()1,R f x a g x b a b +=++∈，，由()()32f x g x -+=，得()()321g x a g x b --+=++，赋值1x =，则有2a b -=，即()()31g x g x -=+，函数()g x 的图像关于直线2x =对称，又()()20g x g x -+=得()()4g x g x =+，()f x 也是周期为4的函数，通过赋值可判断选项【详解】因为()()1f x g x ''=+，所以()()()1,R f x a g x b a b +=++∈．又因为()()32f x g x -+=，所以()()23f x g x +=-．于是可得()()321g x a g x b --+=++，令1x =，则()()31211g a g b --+=++，所以2a b -=．所以()()31g x g x -=+，即函数()g x 的图像关于直线2x =对称，即()()4g x g x -=+．因为()()20g x g x -+=，所以函数()g x 的图像关于点()1,0对称，即()()20g x g x ++-=，所以()()24g x g x +=-+，即()()2g x g x =-+，于是()()4g x g x =+，所以函数()g x 是周期为4的周期函数．因为函数()g x 的图像关于直线2x =对称，所以()2g x +的图像关于y 轴对称，所以()2g x +为偶函数，所以A 选项正确．将()g x 的图像作关于y 轴对称的图像可得到()y g x =-的图像，再向右平移3个单位长度，可得到()()33y g x g x =--=-⎡⎤⎣⎦的图像，再将所得图像向下平移2个单位长度，即可得到()()32g x f x --=的图像，因此函数()f x 也是周期为4的函数．又()g x 的图像关于点()1,0对称，所以()f x 的图像关于点()2,2-对称，所以B 选项不正确．因为()()20g x g x -+=，令1x =，得()()110g g +=，即()10g =，所以()()130g g ==；令0x =，得()()200g g +=，所以()()240g g +=，所以()()()()12340g g g g +++=，所以()202410i g n ==∑，所以C 选项正确．因为()()32f x g x =--，所以()()0322f g =-=-，()()2122f g =-=-，()()122f g =-，()()302f g =-，()()402f f ==-，则有()()()()()()()123422202f f f f g g +++=-+-+-()28+-=-，可得()202414048i f n ==-∑，所以D 选项正确．故选：ACD ．【点睛】方法点睛：一般地，若函数的图像具有双重对称性，则一定可以得到函数具有周期性，且相邻的两条对称轴之间的距离为半个周期；相邻的两个对称中心之间的距离也是半个周期；相邻的一条对称轴和一个对称中心之间的距离为四分之一个周期．三、填空题13．下列命题中所有正确的序号是__________.①函数1()3x f x a -=+(1a >)在R 上是增函数；②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)；③已知53()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则(2)8f =-；④11()122x f x =--为奇函数.⑤函数()f x =[]0,4（3）构造奇函数求对应的函数值；（4）定义法判断函数奇偶性；（5）直接法求具体函数的值域.14．给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根；其中正确命题的序号是_____________．（填上所有正确命题的序号）【答案】③⑤【详解】试题分析：①因为函数的定义域为R ，函数的定义域为{}|>0x x ，所以函数与函数不表示同一个函数；②奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点，此命题错误，若奇函数在x=0处没定义，则奇函数的图像就不过原点；③函数的图像可由的图像向上平移1个单位得到；，正确．④因为函数的定义域为，所以0<2<2,0<x<1x 即，所以函数的定义域为[0,1]；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根，正确．考点：函数的定义；奇函数的性质；图像的变换；抽象函数的定义域；函数零点存在性定理．点评：此题考查的知识点较多，较为综合，属于中档题．抽象函数的有关问题对同学们来说具有一定的难度，特别是求函数的定义域，很多同学解答起来总感棘手，鉴于此，我们在学习时要善于总结．①已知的定义域求的定义域，其解法是：若的定义域为，则在中，，从中解得x 的取值范围即为的定义域；②已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域．15．已知函数()241f x x -+-的定义域为[]0,m ，则可求得函数()21f x -的定义域为[]0,2,求实数m 的取值范围__________.【答案】[]24，【详解】 函数()21f x -的定义域为[]0,2，02,1213x x ∴≤≤∴-≤-≤，令241t x x =-+-,则13t -≤≤，由题意知，当[]0,x m ∈时，[]1,3t ∈-，作出函数241t x x =-+-的图象，如图所示，由图可得，当0x =或4x =时，1t =-，当2x =时，3,24t m =∴≤≤，时[]1,3t ∈-，∴实数m 的取值范围是24m ≤≤，故答案为24m ≤≤.16．给出下列说法：①集合{}1,2,3A =，则它的真子集有8个；②2(),((0,1))f x x x x=+∈的值域为(3,)+∞；③若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)()2f xg x x =-的定义域为[)0,2；④函数()f x 的定义在R 上的奇函数，当0x >时，()1f x x =-+，则当0x <时，()1f x x =-⑤设53()=5f x ax bx cx +++（其中,,a b c 为常数，x R ∈），若(2012)3f -=-，则(2012)13f =；其中正确的是_______（只写序号）．【答案】②⑤【详解】试题分析：①集合{1,2,3}A =，则它的真子集有个；③由函数()f x 的定义域为[0,2]得：，解得；④设，则,所以，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x =-；⑤设g(x)=,则g(x)是奇函数且()f x =g(x)+5，因为(2012)3f -=-，所以，所以．考点：本题考查真子集的性质、抽象函数的定义域、函数的奇偶性．点评：此题主要考查集合子集个数的计算公式、函数的奇偶性和抽象函数定义域的求法，是一道基础题，若一个集合的元素个数为n ，则其子集的个数为2n ，真子集的个数为2n -1个．17．函数()f x 满足()11f x f x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭对任意[)0,x ∈+∞都成立，其值域是f A ，已知对任何满足上述条件的()f x 都有(){},0f y y f x x a A =≤≤=，则a 的取值范围为___________.18．对任意集合M ，定义()0,M f x x M⎧=⎨∉⎩，已知集合S 、T X ⊆，则对任意的x X ∈，下列命题中真命题的序号是________.（1）若S T ⊆，则()()S T f x f x ≤；（2）()1()X S S f x f x =-ð；（3）()()()S T S T f x f x f x =⋅ ；（4）()()1()[2S S T T f x f x f x ++= （其中符合[]a 表示不大于a 的最大正数）19．设()1f x -为()cos 488f x x x ππ=-+，[]0,x π∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________.R ，对任意的都有且当0x ≥时，则不等式()0xf x <的解集为__________．【答案】(2,0)(0,2)- 【详解】当0x ≥时，由()220f x x x =->，得2x >；由()220f x x x =-<，得02x <<.∵()()f x f x -=-，∴函数()f x 为奇函数．∴当0x <时，由()220f x x x =->，得20x -<<；由()220f x x x =-<，得2x <-.不等式()0xf x <等价于()00x f x >⎧⎨<⎩或()00x f x <⎧⎨>⎩，解得02x <<或20x -<<．∴不等式()0xf x <的解集为()()2,00,2-⋃．答案：()()2,00,2-⋃21．已知函数21,0()21,0,x x f x x x x +≤⎧=⎨-+>⎩若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有5个不同的实数解，则实数a 的取值范围是_____．【答案】01a <<【分析】采用数形结合的方法，由2()()0f x af x -=确定有两个解()0f x =或()f x a =，在通过图象确定a 的范围．【详解】由2()()0f x af x -=得()0f x =或()f x a =，如图，作出函数()f x 的图象，由函数图象，可知()0f x =的解有两个，故要使条件成立，则方程()f x a =的解必有三个，此时0<a <1．所以a 的取值范围是(0,1)．故答案为：01a <<.22．已知函数()f x 满足1(1)()f x f x +=-，且()f x 是偶函数，当[1,0]x ∈-时，2()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()log (2)a g x f x x =-+有个零点，则实数a 的取值范围是______________．【答案】所以可得132a log ≥+（），∴实数a 的取值范围是[5+∞，）．故答案为[5+∞，）．考点：函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系【名师点睛】本题主要考查函数的周期性的应用，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．四、双空题23．设函数()f x 是定义在整数集Z 上的函数，且满足()01f =，()10f =，对任意的x ，y ∈Z 都有()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，则()3f =______；()()()()22222122023122023f f f f 2++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+______．五、解答题24．已知()f x 定义域为R 的函数，S ⊆R ，若对任意1212,,x x x x S ∈-∈R ，均有()()12f x f x S -∈，则称()f x 是S 关联．(1)判断函数()()12112f x xg x x =-=-、是否是[)1,+∞关联，并说明理由：(2)若()f x 是{}2关联，当[)0,2x ∈时，()2f x x x =-，解不等式：()02f x ≤≤；(3)判断“()f x 是{}2关联”是“()f x 是[]1,2关联”的什么条件?试证明你的结论．25．设函数(),f x x x M=⎨-∈⎩其中P ，M 是非空数集．记f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝∅，且f(x)是定义在R上的增函数，求集合P，M；（Ⅲ）判断命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以证明．【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析【解析】(Ⅰ)求出f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，由此能过求出f(P)∪f(M)．(Ⅱ)由f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，得到当x＜0时，f(x)＜0，(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．由此能求出P，M．(Ⅲ)假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．证明0∈P∪M．推导出f(﹣x0)＝﹣x0，且f(﹣x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，由此能证明命题“若P∪M≠R，则f(P)∪f(M)≠R”是真命题．【详解】(Ⅰ)因为P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，所以f(P)∪f(M)＝[0，+∞)．(Ⅱ)因为f(x)是定义在R上的增函数，且f(0)＝0，所以当x＜0时，f(x)＜0，所以(﹣∞，0)⊆P．同理可证(0，+∞)⊆P．因为P∩M＝∅，所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．(Ⅲ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．首先证明0∈P∪M．否则，若0∉P∪M，则0∉P，且0∉M，则0∉f(P)，且0∉f(M)，即0∉f(P)∪f(M)，这与f(P)∪f(M)＝R矛盾．若∃x0∉P∪M，且x0≠0，则x0∉P，且x0∉M，所以x0∉f(P)，且﹣x0∉f(M)．因为f(P)∪f(M)＝R，所以﹣x0∈f(P)，且x0∈f(M)．所以﹣x0∈P，且﹣x0∈M．所以f(-x0)＝﹣x0，且f(-x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，根据函数的定义，必有﹣x0＝x0，即x0＝0，这与x0≠0矛盾．综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．26．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且(1)1f =.若对任意的[],1,1m n ∈-，0m n +≠都有()()0f m f n m n+>+.（1）用函数单调性的定义证明：()f x 在定义域上为增函数；（2）若()()214f a f a +>，求a 的取值范围；（3）若不等式()()122f x a t ≤-+对所有的[]1,1x ∈-和[]1,1a ∈-都恒成立，求实数t 的取值范围.于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成()()()()f g x f h x ≥后再利用单调性和定义域列不等式组.27．已知函数()f x ，若存在非零实数a ､b ，使得对定义域内任意的x ，均有()f x a +=()f x b +成立，则称该函数()f x 为阶梯周期函数.（1）判断函数()[]|sin |()f x x x x π=+∈R 是否为阶梯周期函数，请说明理由.(其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[3,5]4-=-，[2,1]2=)（2）已知函数()g x ，x ∈R 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称.①求证：函数()g x 为阶梯周期函数；②当[0,4]x ∈时，()[,]g x p q ∈(p ､q 为实数)，求函数()g x 的值域.【答案】（1）是，理由见解析；（2）①证明见解析；②[4,4]n p n q ++，n ∈Z .【解析】（1）根据阶梯周期函数的定义求解判断.（2）①根据函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，得到()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩求解.②根据①的结论，分[]()4,44,x n n n N ∈+∈和[]()4,44,x n n n N ∈--+∈两种情况讨论求解.【详解】（1）因为()()(1)[1]|sin 1|[]1|sin |1f x x x x x f x ππ+=+++=++=+,所以存在1,1a b ==,使得函数()f x 为阶梯周期函数（2）①因为函数()g x 的图像既关于点(1,0)对称，又关于点(3,2)对称，所以()()()()2064g x g x g x g x ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩，两式相减得：()()624g x g x +-+=，即()()44g x g x +=+所以函数()g x 为阶梯周期函数；②当[]()4,44,x n n n N ∈+∈时，[]40,4x n -∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =-+=-⨯+⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =-+∈++∈，当[]()4,44,x n n n N ∈--+∈时，[]40,4x n +∈，由()()44g x g x +=+，得()()()444242...g x g x g x =+-=+⨯-⨯=()[]()444,4g x n n n p n q n N =+-∈-+-+∈，综上：函数()g x 的值域是[4,4]n p n q ++n ∈Z .【点睛】关键点点睛：本题关键是阶梯周期函数定义的理解以及()f x 若关于点(),a b 对称，则()()22f x f a x b -++=结合应用.28．已知函数()f x 对于任意的,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且1(1)2f =-．（1）求(0)f ，(1)f -的值；（2）当34x -≤≤时，求函数()f x 的最大值和最小值；（3）设函数2()()3()g x f x m f x =--，判断函数g (x )最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．29．已知函数，如果存在给定的实数对，使得恒成立，则称()f x 为“S -函数”.（1）判断函数()1f x x =，()23xf x =是否是“S -函数”；（2）若()3tan f x x =是一个“S -函数”，求出所有满足条件的有序实数对(),a b ；（3）若定义域为R 的函数()f x 是“S -函数”，且存在满足条件的有序实数对()0,1和()1,4，当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，求当[]2018,2018x ∈-时函数()f x 的值域.1(1)3f =-.（1）求证()f x 是奇函数；（2）求()f x 在区间[3,3]-上的最大值和最小值.【答案】（1）详见解析；（2）最小值-1，最大值1.【分析】（1）利用赋值法,令0x =,0y =代入函数式,可求得(0)f ,再令y x =-代入函数式,即可31．已知函数的定义域为，且同时满足①13f =；②2f x ≥恒成立，③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，则有()()()12122f x x f x f x ++-≥．（1）试求函数()f x 的最大值和最小值；（2）试比较f （12n）与122n +（n ∈N ）的大小．（3）某人发现：当12nx =（n ∈N ）时，有()22f x x <+，由此他提出猜想：对一切x ∈（0，1]，都有()22f x x <+，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．32．已知，1,2,n 是定义在M 上的一系列函数，满足：()1f x x =，()()11i i x f x f i x ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭N .(1)求()()()234,,f x f x f x 的解析式；(2)若()g x 为定义在M 上的函数，且()11x g x g x x -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.①求()g x 的解析式；②若方程()()()()222121318420x m x x g x x x x x ---++++++=有且仅有一个实根，求实数m 的取值范围.都有()()f x s f x s +-=，则称()y f x =是S -关联的.(1)判断函数2y x =和函数[]y x =是否是{1}-关联的，无需说明理由.（[]x 表示不超过x 的最大整数）(2)若函数()y f x =是{2}-关联的，且在[0,2)上，()2x f x =，解不等式2()4f x <<.(3)已知正实数,a b 满足a b <，且函数()y f x =是[,]a b -关联的，求()f x 的解析式.【答案】(1)函数2y x =不是{1}-关联的，函数[]y x =是{1}-关联的；(2)(1,3)x ∈(3)()f x x C=+【分析】（1）根据()y f x =是S -关联的定义逐个判断可得结果；（2）根据函数()y f x =是{2}-关联的定义求出()f x 在[2,4)上的解析式，将()f x 代入2()4f x <<可解得结果；（3）根据()()f x t f x t +-=，得()()()f x t x t f x x +-+=-，令()()g x f x x =-，得()()g x t g x +=34．已知定义域为的函数y f x =满足：①对0,x ∈+∞，恒有22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.(1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和.【答案】(1)0；35．f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ）求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）【详解】试题分析：（I）利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x ﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．解：（I）f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．由此得，解得，所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．。
初中数学常见计算错误的解析及处理方法
教育观察初中数学常见计算错误的解析及处理方法高洁本文立足于中学生数学学习中出现的计算问题，对普遍现象及问题进行具体分析。
根据教学经验和长期积累、观察，我搜集了学生在数学运算中常见的问题及错误现象，总结过后，将主要从以下四个方面进行详细论述，探究问题产生的原因，并在此基础上提出教改措施，通过理论分析反映一定的实践效果，并最终提出解决该类问题的方法，帮助学生解决特定类型中计算方法不扎实的弊病。
1 常见的计算错误及分析1.1 代数运算——“概念混淆，运用不当”对于代数运算，应该说是每位学生从刚接触数学起便不断在反复练习的计算内容，是所有数学应用的基础。
中学的代数式，归根结底，即为研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支。
而对有理数、无理数、整式、分式等的区分，还是需要以概念作为落脚点。
在教学过程中，不难发现，教材的灵活性对能力较强的学生而言是如鱼得水，而对能力偏弱的学生来说则是一头雾水。
以有理数的减法及代数和为例，在有理数的减法中，10-3被看成是一道减法题，3之前的符号的含义是两个数相减的意思；但学到代数和，学生又被灌输新的概念：10-3看成10+（-3）的意思，因此这里3前面的符号应该看作是“负号”，而绝非“减号”了。
这样，对于数学思维强、吸收速度快的学生来说，是举一反三，能够透过现象看本质，但对于学习能力薄弱的学生而言，对概念的把握没有前者如此清晰，这种理解上的偏差很容易导致做题时“想太多”，不知应该是“减号”还是“负号”了。
再比如，平方和和平方差公式。
两者虽一字之差，结果却是千差万别，在做题中，如果没有对二者清楚的记忆和理解，写错、写反都是常有的情况。
1.2 方程运算——“系数、符号是难题”对于方程类的题目而言，最重要的是解题思路，但除此以外，计算同样是解题的关键。
不论是一元一次方程还是二元一次方程，重要的都是要将“元”解出来。
但是，这其中涉及到了许多解方程的便捷方法，甚至隐藏着许多计算陷阱。
高中数学题型方法图
基本不等式实际是对勾函数的特例，可以考虑利用对勾实际应用题考虑解析式有意义且考虑实际问题有意义解析式表示的斜率、截距、距离等几何意义一般适用含有绝对值的函数6种基本函数及其加减形式形如f[g(x)]确定函数的定义域．将复合函数分解成基本初等函数y ＝f(u)，u ＝g(x)．分别确定这两个函数的单调区间．如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，对称轴是两个横坐标的中点对称中心为函数对称两点的中点，可以利用中点坐标如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有奇偶性的判断利用奇偶性求解析式负数和零没有对数含义分数指数幂的意义是解决根式与分数指数幂互化0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义注意：（1）要求指数的底数都大于0（2）有理数指数幂的运算性质也适用于无理数指数幂幂函数判断定义域利用幂函数的特征及性质列式根据求定义域法则列式（1）指数的底数大于0且不等于1定义辨析根据3个1和底数范围列式解不等式将两个函数值放两边,再根据单调性比大小，若f 前有负号借助所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合特征解法分式或等式，弦的次数相同奇变偶不变，符号看象限求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期（1）根据函数定义域求解法则列不等式组（2）根据三角函数线或者三角函数图像解不等式公式法利用二倍角、两角和差、辅助角公式进行化简已知两角和一边已知两边一对应角已知三角求边已知两边一角求边A ＋∠B ＋∠C ＝π在三角形中大边对大角，大角对大边中项性质中项分母可拆成偶数个因式因式相乘裂项后通分过程的总结，除了k为指数函数指数相同前面系数差(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－前n项和与项、项数的关系一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和“在”曲线上一点处的切线，该点为切点函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题极小值点：左减右增如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与平面垂直[0，π]l⊥α，l⊥b⊄α⊥β两个平面垂直，如果一个平面内的有一直线垂直与这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于垂直于同一条直线的两个平面平行空集的性质：是任何集合的子集，任何非空集合的真子集集合为不等式画数轴、点集数形结合、抽象集合用韦恩图明确集合中的元素是什么，例如数集、点集等解题常用思路用语言、符号或式子表达可以判断真假的陈述句叫做命题．①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.对于不等式，小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围命题的否定”与“否命题”的区别口诀：p∨q见真即真，p∧q见假即假，p与非p真假相反①先分类再分步②有无特殊条件的限制；③检验是否有重复或遗漏特殊优先法优先安排特殊元素或特殊位置1.并(和)事件包含三种情况：①事件A 发生，事件B 不发生；②事件A 不发生，事件B 发生；③事件A ，B 都发生.即事件A ，B 至少有一个发生.2.互斥事件具体包括三种不同的情形：①事件A 发生且事件B 不发生；曲线与x 轴之间的面积为1若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，X 是随机变量，①Y 也是随机变量；随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均任何事件的条件概率都在0和1之间“X 与Y 有关系”这种推断犯错误的概率不超过α；否则，就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推特殊方程平行相交重合标准方程一般方程平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r ＞0)圆心：(a ，b)，半径： rx 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F ＞0)(1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点；(2)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形．，y 1)，B(x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.相交相交线直线方程：两个圆方程相减平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a(2a ＞|F 1F 2|=2c)的动点P 的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的离心率表示椭圆的扁平程度．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b ＝越小，因此椭圆越扁．中点弦相关问题是椭圆双曲线上不同的三点，A 、B 关于原点对称根据题意列式，算出某点的横坐标或纵坐标为一个常数从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至三种表示代数式z=a+bi点（a,b)向量OZ。
解决抽象函数问题的常用方法
解决抽象函数问题的常用方法一、赋值法观察与分析抽象函数问题中的已知与未知的关系，巧妙地对一般变量赋予特殊值，或把函数赋予特殊函数等，从而达到解决问题的目的，这是常用的方法 1、赋特殊值例 1. 设函数)0x R x )(x (f y ≠∈=且，对任意实数1x 、2x 满足)x x (f )x (f )x (f 2121=+。
（1）求证：0)1(f )1(f =-=； （2）求证：)x (f y =为偶函数；（3）已知)x (f y =在),0(+∞上为增函数，解不等式0)21x (f )x (f <-+。
证明：（1）令1x x 21==，得)11(f )1(f )1(f ⨯=+，故0)1(f =；令1x x 21-==，得0)1(f )]1()1[(f )1(f )1(f ==-⨯-=-+-，故0)1(f =-。
（2）令x x x 21==，得)x (f )x (f 22=；令x x x 21-==，得)x (f )x (f 22=-，所以)x (f )x (f =-，即)x (f y =为偶函数。
（3）0)21x (f )x (f <-+，即)1(f )]21x (x [f <-，或)1(f )]21x (x [f -<-，由（2）和)x (f y =在),0(+∞上为增函数，可得0)21x (x 11)21x (x 0<-<-<-<或，解得4171x 4171+<<-且21,0x ≠。
2、赋特殊函数例2. 对于任意的函数)x (f y =，在同一个直角坐标系中，函数)1x (f y -=与函数)x 1(f y -=的图像恒（ ）（A ）关于x 轴对称 （B ）关于直线1x =对称（C ）关于直线1x -=对称（D ）关于y 轴对称解：取函数2x )x (f =，则22)x 1()x 1(f y ,)1x ()1x (f y -=-=-=-=，这两个函数是同一个函数，它们的对称轴为1x =，故选（B ）。
求函数解析式的几种思路
２ １＋ 一 ＝ ｆ ＋身 （
’
．
。
求 ｇ ） 。 （ ］
） ＝
。
解’ ＋ ） ２ １（ ｛ ２ ： ｛： ＋ ： ＋ ） ， ． ’ 一
・
．
．
－ ＝ 厂 （ ）
２ 。
５特殊值法 ． 例７ 设 ） 是定义在 Ⅳ上的函数 ， 足 厂１ 满 （）
一
设 ） ：戤 ＋Ｃ ａ ） ＋ （ ≠０ ， 贝 （ 一２ ＝０ 一２ ＋ｂ 一２ ＋ｃ ０厂 ） （ ） （ ） ＝ ＋（ 一 ａ ＋（ ａ一２ ｂ ４ ） ４ ｂ＋ｃ 。 ） 又 厂 一２ ＝２ ９ （ ） ｘ 一 ｘ＋１ ， ３ 比较 系 数 得 ｒ 口：２ ， ｒ ａ＝２ ，
（ ）高 高
，
＋｝ ：＋ 一） （ １ — １（ １＋￡ ） 一：
ｔ一ｔ ，－ （ ＝ 一 ＋１ ＋１ ．， ） ． 。
４ 消 去法 ．
Ｉ。 ）
‘
例 ６ 若
析式 。
） 羔 ） ＋ ， 厂 ） 十 ：１ 求 （ 的解 （） １
一
解 ：． ） 一５ ＋６ ．ｆ ＋１ ．（ ＋ １ 。 ‘ ／ ： ，‘ （ ． ）－ ７ ） ５ ＋１ ＋ ～３ ２ （ ） ６： ｘ＋ 。
Ｉ配 凑 法 ．
１ １ ＇
） ， 一 １ ） ＋ （ ＝
。
（） ２
代替（ ） 中的 得 １式
，一 （
） ） － ＋ ＝ｘ ２
。
（） ３
（） ３ 一（） 得 １ ＋（） ２ ，
例 ３ 设
１
，
＋ ） ２ ， ＋－ ＝ ＋ ＝ ＋ （ Ｌ） ３
“ ”
【 ｃ：３ 。
厂 （ ＝２ ２ ＋３ ） ｘ 一 。 ３ 换 元 法 ．
抽象函数解题点滴
ｆ一 ）ｆ一 Ｔ 的大小 。解 ： （４ 、 叮 ） （ 由函数 ｆｘ 的最小正 周期为 （）
２ 可 分 别 得 ｆ 一 ｇ ２＝（ ）ｆ１４＿（ ）ｆ一 ）ｆ ， （ｌ ）ｆ １＝（＋ ）ｆ５ ，（４ － ｏ
丁
Ｃｆ １） ｉ ｆ１ ． ： （ ） （
Ｄｆ一 ）ｆ ） （ｘ ． ｘ ＜０ （
【 教法研究】
抽 象函数解题 点滴
韦绍龙 （ 广西壮族 自治 区南丹县 高级 中学 ， 广西
摘要 ： 中数学抽 象函数解题策略 高
关键词 ： 象函数 ； 抽 解析 ； 策略
南丹
５７ ０ ） ４ ２ ０
引言
令 ｘ ｙ －＝１
＝
，
人 的逻辑思 维总是抽象 的思维 ，但是数 学 的抽象 有 自己的特征 ， 同一事 物 ， 同思 维特征 的人 ， 以 对 不 可 从不 同的角度 提出互 不相同的问题 。 而进行数学抽象 ， 可以对 照 自己头脑 中的数学模 型 ，也 可 以提 出新 的问 题 。顾 名思义 ， 抽象 函数不 是一种具 体形态 的函数 ， 对 这一类 的题 目， 要依据 已知提供有关 函数 的一般 特征 ， 结合 问题的需要 ， 抽象 出问题 的实质 或将 问题 特征化 ， 从 而获 得问题 的解决思路 。以下从不 同的角度对 高 中 常见 的一些抽象 函数进行点滴解析 。
成立 。选 Ｄ。 二、 利用 函数 的性质
１ ． 函数 的定 义域 。 利用 例 ４若 函数 ｆ３ ２ ） ． （— ｘ 的定义 域为 ［ １２ ， 函数 ｆ 一 ，］ 则 （） ｘ 的定义域为 （ ） ．
、
赋值法
例 １ ． 设定 义 在实 数集 Ｒ上 的函数 ｆｘ 对任 意 的 （）
高考微专题三 构造法解导数问题
答案:(-1,0)∪(0,1)
方法点晴
(1)由于[xf(x)]′=f(x)+xf′(x),[ f x ]′= xf x f x ,后者导数的符号与
x
x2
xf′(x)-f(x)一致.在含有 xf′(x)±f(x)类问题中,可以考虑构造上述函数. (2)F(x)=xnf(x),F′(x)=nxn-1f(x)+xnf′(x)=xn-1[nf(x)+xf′(x)];
sin x
sin2 x
tan x-f(x)符号相同.在含有 f(x)±f′(x)tan x 的问题中,可以考虑构造函数
f(x)sin x,f(x)cos x, f x , f x 等.
sin x cos x
技巧五 构造具体函数解析式 【例 6】 若α ,β ∈[- π , π ],且α sin α -β sin β >0,则下列结论正确的是( )
技巧三 含xf′(x)±nf(x)类
【例3】 f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)+xf′(x)<0,且f(-4)=0,则
不等式xf(x)>0的解集为
.
解析:构造F(x)=xf(x),则F′(x)=f(x)+xf′(x),当x<0时,f(x)+xf′(x)<0, 可以推出x<0,F′(x)<0,F(x)在(-∞,0)上单调递减. 因为f(x)为偶函数,y=x为奇函数,所以F(x)为奇函数, 所以F(x)在(0,+∞)上也单调递减.根据f(-4)=0可得F(-4)=0,根据函数的单调 性、奇偶性可得函数图象,根据图象可知xf(x)>0的解集为(-∞,-4)∪(0,4). 答案:(-∞,-4)∪(0,4)
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解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法
抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。
此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。
然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。
我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考.
一、 利用线性函数模型
在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。
常见的抽象函数模型有：
例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2，
f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。
0a a ≠且
解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得
k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。
例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时，
f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。
分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果
这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。
解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则
， 即，∴f （x ）为单调增函数。
∵，
又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。
∴2(22)
(1)f a a f --，∴2221a a --，
解得不等式的解为－1 < a < 3。
例3、定义在Ｒ上的函数()y f x =，对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠，且有
()()()f x y f x f y +=成立。
求：
（1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。
分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数()(01)x f x a a
a =≠且的抽象函数，
从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。
解：（1）令y ＝0代入()()()f x y f x f y +=，则()()(0)f x f x f =，
∴[]()1(0)0f x f -=。
若f （x ）＝0，则对任意12x x ≠，有12()()0f x f x ==，
这与题设矛盾，∴f （x ）≠0，∴f （0）＝1。
（2）令y ＝x ≠0，则[]2(2)()()()0f x f x f x f x ==≥，又由（1）知f （x ）≠0，
∴f （2x ）＞0，即f （x ）＞0，故对任意x ，f （x ）＞0恒成立。
例４、已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），当1x 时()
0f x 且()()()f xy f x f y =+ （1）求(1)f ；（２）证明f （x ）在定义域上是增函数。
分析：由题设可猜测f （x ）是对数函数()log (01)x a f x a a =≠且的抽象函数，第（1）问采用
赋值法易求出结果；第（2）应用函数的单调性定义来证明，其中注意()()()f xy f x f y =+的应用。
解：（1）令1x y ==得(1)2(1)f f =，故(1)0f =.
（2）令1y x =得1(1)()()0f f x f x =+=，故1()()f f x x
=-， 任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ，则221211
1()()()()()x f x f x f x f f x x -=+=， 由于21x x ＞1，故21
()x f x ＞0，从而2()f x ＞1()f x ∴()f x 在（0，+∞）上是增函数。
上面列举了几种特殊类型的抽象函数，解法上是借助特殊函数模型铺路，虽然不 可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意，类比探索出解题思路。
二、利用函数的相关性质
1．函数的单调性：在函数与不等式相结合的题目中，若把所给式子适当变换，转化为利用
函数的单调性，巧妙地脱去抽象符号“ f ”，从而化为一般不等式求解。
例5、已知奇函数)(x f 在其定义域(－1,1)上是减函数,且)1()1(2a f a f -+-＜0，则实数a 的
取值范围是
分析：要得到关于a 的不等式，由)(x f 在其定义域(－1,1)上是减函数易去掉抽象符号“ f ”。
解：∵)(x f 是奇函数
∴)1()1(2a f a f -+-＜0 ⇔2(1)
(1)f a f a ---⇔2(1)(1)f a f a -- 又)(x f 在其定义域(－1,1)上是减函数
∴111a --且2111a --且211a
a --
解得0＜a ＜1 2．函数的周期性：利用函数的周期性对函数进行自变量的平移变换，使新的自变量在同一
个单调区间或与条件的取值相同，然后求解。
例6、已知函数()f x 满足(3)()()f x f x f x +=-=，(1)1f =-，求(2005)f ＋(2006)f 的值 解析：由(3)()f x f x +=可得函数()f x 的周期为3，则(2005)f =(1)f ，(2006)f =(2)f ， 又(3)()f x f x +=- ∴(2)f =(13)(1)f f -+=-=(1)f ，故结果为2 。
3．运用函数的图象：根据题目条件作出函数略图，用图象的单调性、对称性与特殊点的函
数值等寻求解题方法。
例7、已知函数(1)f x +是偶函数，且()f x 在[)1,+∞上是增函数，又(0)0f =，则(1)()0
x f x -
的解集是 。
解析：由函数(1)f x +是偶函数得其图象对称轴为0x =，所以函数()y f x =的图象对称轴为
1x =，又(0)0f =且()f x 在[)1,+∞上是增函数，可作出函数()y f x =的简图
∴ (1)()0x f x -⇔(1)
0x -且()0f x 或(1)0x -且()0f x
⇒0x
或1
2x 三、 其他方法 1、赋值法：在定义域内成立的式子对于定义域内的特殊值总成立。
因此通过观察和分析，将一般量赋予特殊值，从而转化为要解决的问题。
例8、已知()f x 的定义或为R ，且对任意实数12,x x 有1212()()f x x f x x ++-=122()()f x f x +
总成立。
求证()f x 为偶函数（()f x ≠0）。
分析：取特殊值使等式产生()f x 与()f x -，以便解决问题。
解：令120,0x x ==，则22(0)(0)f f =， ∵(0)f ≠0， ∴(0)f =1，
令120,x x x ==-，则()()2(0)()f x f x f f x +-=，
∴()()f x f x =- 即 ()()f x f x -= 故()f x 是偶函数。
2、 换元法：引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量，便可实现未知向已知的转换。
例9、已知函数()f x 满足条件1()2()f x f x x
+=，则()f x = 解析：由于难以判断()f x 是何种类型的函数，故不可能先设出()f x 的表达式，但把条件中
的x 换成1x ，即11()2()f f x x x +=，把它与原条件式联立消去1()f x
得 2
2()3x f x x
-=。
3、整体变换：从函数的局部不能找到解题方法，但将函数式作适当变形后把部分视为一个
整体来考虑，就可找到解题方法。
例10、设()f x 、()g x 都是定义在R 上的奇函数，()()()2F x af x bg x =++在区间(0,)+∞上
的最大值是5，求()F x 在(,0)-∞上的最小值。
分析：将式子()()()2F x af x bg x =++变形为()2()()F x af x bg x -=+是奇函数。
解：令()()2()()x F x af x bg x Φ=-=+，则()x Φ是奇函数且在(0,)+∞上有最大值是3，
∴()x Φ在(,0)-∞上有最小值3-，
故()F x 在(,0)-∞上有最小值1-。
总之，只要能透彻理解概念，在实际解题过程中不断转换思维角度，综合各种方法，灵活运用技巧，就会寻找到抽象函数解题的突破口。
参考文献：1、《奥林匹克竞赛解题方法》，山西教育出版社，周沛耕、王中峰主编；
2、《解决抽象函数的基本方法》，中学教研，2002.1，李加军；
3、《直击高考（数学）》，世界图书出版社，张斌主编。