武汉大学数学与统计学院重修试题2006-2007学年第二学期《线性代数》
武汉大学大一高数下五年期末考试试题
[ey f (y) + y − x] dσ ≥ (e − 1)
பைடு நூலகம்
1 0
f (y) dy. 其中 D = {( x, y)|0 ≤
x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.
3
武汉大学 2007 – 2008 学年第二学期
《 高等数学B 》 试题
一. (36 分) 试解下列各题 ⎧ ⎪ ⎪ 2x + y = 0 x y z ⎨ 1. (6 分) 求通过直线 ⎪ 且平行于直线 = = 的平面方程. ⎪ ⎩ 4 x + 2y + 3z = 6 1 2 4
x2 y2 z2 + + 在点 M (1, 2, 3) 处的梯度及方向导数的最大值. 6 12 18
x2 + y2 在点 (0, 0) 处的连续性, 偏导数的存在性.
4. 已知以 2π 为周期的连续函数 f ( x) 的傅里叶系数为 a0 , an , bn (n = 1, 2, · · · ), 求函数 f (− x) 的傅里叶系数.
D
∂2 z . ∂ x ∂y
xy d x dy, 其中 D = {( x, y)| x2 + y2 ≤ a2 , x ≥ 0, y ≥ 0}.
0 −1
6. (6 分) 交换积分次序
dx
1− x 2 x +1
√
f ( x, y) dy.
二. (10 分) 求函数 z = x + y +
1 ( x > 0, y > 0) 的极值. xy
x2 + y2 = 0
性. 三. (10 分) 验证变换 x = et 可将微分方程 x2 微分方程
d2 y dy −3 + 2y = tet 的通解. dt dt2
高等代数II06-07下期末试卷A
红河学院2006－2007学年下学期期末 《高等代数II》课程考试试卷A卷考试院系： 数学系 考试日期： 题 号 一 二 三 四 总 分 得 分一、判断题（每题1分，合计8分）1、奇数次实多项式一定有实根。
（ ）2、本原多项式的乘积是本原多项式。
（ ）3、负定二次型的顺序主子式全小于零。
（ ）4、正定矩阵的行列式大于零。
（ ）5、可逆线性变换将线性无关向量组变为线性无关向量组。
（ ）6、阶实对称矩阵一定可以对角化。
（）n7、任意两个正交基下之间的过渡矩阵是正交矩阵。
（ ）8、正交向量组线性无关。
（ ）二、填空题（每题3分，合计30分）1、设都是首一多项式且)(),(xgxf)()(xgxf，则))(),((xgxf。
2、的标准分解式为311146)(2345−−−−+=xxxxxxf。
3、的标准形是()42233121432142,,,xxxxxxxxxxf++−=。
得 分阅卷人得 分阅卷人4、n 阶实二次型AX X T半正定的充分必要条件是A 与 合同。
5、设)4,3,2(),1,2,1(),1,0,1(),1,0,1(),1,1,1(21321===−==ββααα， )3,4,3(3=β是线性空间3R 的两组基,则由基123,,ααα到基123,,βββ过渡矩阵为 。
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=02221121122211211x x x x x x x x W ，则W 的一个基为 6、设 。
7、设线性变换σ在)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321=ε=ε=ε下的矩阵为，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−111110111=)1,1,1(σ 。
8、在3P 中定义()(c a b c b a ,,,,)=σ，σ在)1,1,1(1−=α，)0,1,1(2−=α，)0,0,1(3−=α下的矩阵为 。
9、设A 为阶矩阵且n A A =2，则A 的特征根为 。
10、设n εε,,1"是欧氏空间V 的标准正交基，，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=11),,(,11),,(11#"#"n n εεβεεα=),(βα 。
2006武汉大学数字逻辑试题答案
≥1 CLR QD QC CP “1” CP U CP D QB QA A2
F
LD
“0”
A1 八选一 MUX A0 G D 0 D 1 D 2 D3 D 4 D 5 D 6 D7
“1”
1
0
0
1
0
0
1
0
5
输出 F 0 0 0 1 0 1 1 1
② 输出函数表达式 F=∑ m(3,5,6,7) ③ 变换表达式形式
A B C & F
F m3 m5 m6 m7 m3 m5 m6 m7
④画逻辑图
1 0 0
2. 解答 ① 把 74193 设计成 8 进制计数器，计数规律为 QDQCQBQA： 0000→0001→0010→0011 ↑ ↓
2
④ 时间图
1 x 20 分） 1. 解答 设初态为 A/0
原始状态图如下
0 A/0 0 1 E/1 1 0 C/1 D/1 0 1
x:
1 0
原始状态表
B/0 1
现态 A B C D E
次态 输出 x=0 x=1 A B 0 A C 0 D C 0 A E 0 A B 1
输入 ABCD 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
输入 F 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
Z xy2 y1
电路属 Mealy 模型
J 2 k2 1 c2 y1 J1 k1 1 c1 x
C1 ↓ ↓ ↓ ↓
输出 Z 0 0 0 1
武汉大学近2年第二学期高数试卷甄选
武汉大学近2年第二学期高数试卷（优选.)武汉大学2007—2008学年第二学期《高等数学A2》（216学时）考试试题 （A 卷）一、（24分）试解下列各题1、设有向量{0,4,3},{4,5,0}=-=-a b ，求Prj a b；2、设2ln yzxy x ，求二阶偏导数2zx y；3、计算二重积分2d d Dx x y ⎰⎰，其中222{(,)|}D x y x y a =+≤；4、交换积分次序011(,)x dx f x y dy-+⎰。
二、（12分）设有直线20:4236x y L x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩和曲面222:6x y z ∑++=, 1、求曲面∑在点(1,2,1)-处的切平面π和法线l 的方程; 2、求通过直线L 且与法线l 平行的平面方程。
三、（10分）求函数1(0,0)z x y x y xy=++>>的极值。
四、（12分）设函数()g x 具有连续导数，曲线积分+-⎰[()]d ()d x L e g x y x g x y与路径无关，1、求满足条件=-1(0)2g 的函数()g x ；2、计算+-⎰(1,1)(0,0)[()]d ()d x e g x y x g x y的值。
五、（12分）证明级数135724816++++收敛，并求其和。
六、（15分）1、求函数2222222,0(,)0,0x yx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩的二阶偏导数(0,0)xy f ；2、问微分方程20y y y ''''''--=的哪一条积分曲线()y y x =通过点(0,3)-，在这点处有倾角为arctan6的切线，且0|=''=x y (0,0)xy f 。
七、（15分）试求向量2z e F izj =++穿过由1,2z z z ===所围成区域的外侧面（不包含上、下底面）的流量。
2006-2007(2)高等数学试题(A卷)(90)解答.
广州大学2006-2007学年第二学期考试卷高等数学（A卷）（90学时）参考解答一．填空题（每小题3分，本大题满分30分）1..2.设,则.3.函数的全微分.4.若,,则.5.改换积分次序:.6.平面在第一卦限部分的面积等于.7.设为圆周,则.8.若级数条件收敛，则级数的敛散性为：发散 .9.函数的定义域为.10.若为全微分方程,则.二．解答下列各题(每小题7分,本大题满分14分1.已知是由方程确定的隐函数, 求和.解:………………………………………………………4分………………………………6分……………………………………7分2.求曲面在点处的切平面及法线方程.解:……………………………………………3分所求切平面方程……………………5分即所求法线方程……………………………7分三．解答下列各题（每小题7分，本大题满分14分）1.计算,其中是顶点分别为,和的三角形闭区域.解: 积分区域如图(从略……………………………………………2分…………………………………………4分…………………………………………5分…………………………………………………………7分2.设为正向圆周,计算.解: 记,由格林公式有………………………………………………3分………………………………………………5分……………………………………………………………7分四．(本题满分8分）求幂级数的收敛域.解: 收敛半径………………………3分当时,得级数,因,而发散,所以发散……………………………5分当时,得交错级数,因,且,所以收敛……7分所求收敛域为……………………………………………………8分五．(本题满分6分）求微分方程的通解.解: 令,则………………………………………2分原方程化为………………………………………3分分离变量得……………………………………………4分两边积分得………………………………………5分回代得…………………………………6分六．（本题满分8分）某厂家生产两种产品I和II，出售单价分别为10元与9元，生产单位的产品I 与生产单位的产品II的总费用是：（元）假定销售量等于生产量.求取得最大利润时，两种产品的产量各多少？解: 利润函数为………………3分由……………………………………………5分得驻点…………………………………………………………7分因驻点唯一,所以取得最大利润时，两种产品的产量分别为,…………………………………………………………8分七．（本题满分8分）设是由曲面及所围成的有界闭区域,求的体积.解: 在面上的投影区域为……………………2分的体积为…………………5分………………………6分……………………8分八．(本题满分12分）（1）验证函数，（）满足微分方程；（2）利用（1）的结果求幂级数的和函数.解: (1……………………………………4分(2 的通解为………………………7分设的待定特解,代入,求得,……………………………………………9分的通解为……………………10分由,,求得,幂级数的和函数为……………………………12分。
线代答案
内蒙古科技大学2006/2007学年第二学期《线性代数》试题 课程号：10132105 考试方式： 闭卷 使用专业、年级： 06级(本科) 工科各专业 命题教师：何林山 考试时间：2007.7.16 一、填空题（每题6分，共24分）1．若矩阵A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=230154012，则行列式|21A|= ，秩 R( A)= 。
2．向量组E ：),0,0,1(1=Te )0,1,0(2=Te ，)1,0,0(3=T e 是线性 关的，任一个三维向量),,(321b b b T =β由向量组E 的线性表示式是=β 。
3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n a a a a ...............1111， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b b b 1，如果秩R(A)= r <n ，并且非齐次线性方程组b Ax =有无穷多解，则R （A ，b ）= ，行列式|A|= 。
4．设A 是m 行n 列的矩阵 ，且m>n,如果秩R(A)= n ，那么A 的列向量组线性 关 ， A 的行向量组线性 关 。
二、选择题（每题4分，共16分）1．设A 、B 都是n 阶方阵，下面结论不正确的是： 。
A.行列式 |AB|=|B| |A|B. 如果 A 、B 都可逆，则111---=A B AB ）（ C.T T T A B B A +=+)( D.若 AB=O 则必有A=O 或B=O2．设A 、B 是已知的n 阶方矩阵，X 是未知矩阵，且|A|0≠ ，则矩阵方程XA —B=0中的未知矩阵X= 。
A.1-BAB.B A 1-C.A B 1-D.1-A3．设A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m n a a a a ......1111 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x 1，秩r （A ）= r < n ，齐次线性方程组O Ax =有非零解，则它的基础解系中解向量的个数是 。
2007全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分
2007-2010年全国硕士研究生入学考试数学真题详解——线性代数部分一、2007年：1、(2007年数学一、二、三、四) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. [ ] 【答案】A【详解】用定义进行判定:令0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x .因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩ 又 011011101=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.2、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ ] 【答案】B【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .3、(2007年数学一、二、三、四) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为 . 【答案】1【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1.4、(2007年数学一、二、三、四)设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++04,02,03221321321xa x x ax x x x x x ①与方程12321-=++a x x x ②有公共解，求a 的值及所有公共解．【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++=++=++=++.12,04,02,03213221321321a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112104102101112a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11000)1)(2(0001100111a a a a a .于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→0000000000100101A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101,所以①与②的全部公共解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101k ，k 为任意常数.2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0000110010100001A ，故方程组③的解为:011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭, 即①与②有唯一公共解: 为123011x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5、(2007年数学一、二、三、四)设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T)1,1,1(1-=α是Ａ的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．(II) 求矩阵Ｂ．【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A , 进一步 113αα=A , 115αα=A ， 故 1351)4(ααE A A B +-=113154ααα+-=A A1114ααα+-=12α-=，从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值−2的特征向量.因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即0,03121==ααααT T 所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：0)1,1,1(321=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x ,其基础解系为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101 , 故可取2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011, 3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101.即B 的全部特征值的特征向量为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111k , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数.(II) 令),,(321ααα=P =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111, 则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1121BP P ，得 1112-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=P P B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101011111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---102012112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21112111131⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=011101110.二、2008年：1、（2008年数学一、二、三、四）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则[ ]则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=． 故E A -，E A +均可逆．故应选(C).2、（2008年数学一）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x x yz A y z ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为[ ](A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【答案】 应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z a c +-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).3、（2008年数学二、三、四）设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上，与A 合同矩阵为[ ] (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭ . (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 【答案】 应选(D). 【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=-则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.4、(2008年数学一) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此0201AP P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值． 因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．5、（2008年数学二）设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．【详解】由482-=A ，依据方阵行列式的性质，则有48223-==A A ，即6-=A .又A 等于其特征值的乘积，即632321-=⨯⨯=⨯⨯=λλλλA ,得1-=λ. 6、（2008年数学三）设3阶方阵A 的特征值为1,2,2,E 为单位矩阵，则=--E A 14 .【答案】应填3．【详解】由方阵特征值的性质，E AA f -=-14)(，则14)(1-=-λλf ，故方阵EA --14的特征值分别为1,1,3，又由方阵行列式等于其特征值的乘积，则有341=--E A .7、（2008年数学四）设3阶方阵A 的特征值互不相同，若行列式0=A ，则A 的秩为 . 【答案】应填2．【详解】由题可知，方阵A 的特征值含有0，而其余两个非零，故A 的秩为2.8、（2008年数学一）设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明： （I ） 秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤． 【证法2】因为TTA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤． 因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0T T αξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0Ax =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00T TTT A αααββαββ⎛⎫⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以|||0|00TT a A αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TT T r A r r k rααβββββ=+=+≤≤<． 9、(2008年数学一、二、三、四) 设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a aD A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n a a a aD aD a a a a 2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==-得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-=．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a aA a a a a =22122213121212212na a a ar ar a a a a -322222130124123321212naa a r ar a aa a a a -=n n na a a n r ar nn a n n a n 121301240113111----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a aa aD na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．10、(2008年数学二、三、四)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足321A ααα=+，(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=． 用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=． 因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+， 所以 1123233()0k k k k ααα-+++=， 即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故 123,,ααα线性无关．（II ）由题意，100011001AP P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)P ααα=可逆．故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．三、2009年：1、（2009年数学一）设123,,ααα是3维向量空间3R 的一组基，则由基12311,,23ααα到基 122331,,αααααα+++的过渡矩阵为()A 101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭. ()B 120023103⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.()C 111246111246111246⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭.()D 111222111444111666⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 【答案】A【解析】因为()()1212,,,,,,n n A ηηηααα=，则A 称为基12,,,n ααα到12,,,nηηη的过渡矩阵。
武汉大学2003-2004线性代数试题(54工)
备用试题武汉大学数学与统计学院2003-2004学年第1学期《线性代数》试题 (工科54学时)姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。
一、计算n 阶行列式D = 1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1 a a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 的值 。
二、若矩阵A 和B 满足关系：2242A B A B A =+-。
其中A ＝ 123012001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭－－－，求矩阵B 。
三、给定矩阵A ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------11011111100222021110，求()R A 。
四、已知1(1 0 2 3)α=，，，，2(1 1 3 5)α=，，，，3(1 1 2 1)a α=+，－，，，4(1 2 4 8)a α=+，，，， 且(1 1 +3 5)b β=，，，，1） a b ，为何值时，β不能表示成1α，2α，3α，4α的线性组合？ 2）、 a b ，为何值时，β有1α，2α，3α，4α的唯一线性表达式？并写出该表达式。
五、若A ，B 是同阶可逆矩阵，请证明()AB B A ***=，其中A *是A 的伴随矩阵，()A B *和B *具同样意义。
六、求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++43322321321321x x x x x x x x x 的通解。
七、已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T 2(2, 2, 1)α＝是A 的对应于121λλ＝＝的特征向量，1) 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，请求出该特征向量，若不能，也请说明理由。
2) 能否由此求得实对称阵A ？若能则请求之，若不能则请说明理由。
八、设222(,,)2422f x y z x y z axy yz =++++为正定二次型，试确定实数a 的最大取值范围。
华工2006-2007线性代数试题及解答
华南理工大学期末考试《 2006线性代数 》试卷A一、填空题（每小题4分，共20分）。
0．已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则2006()T P A E A P +=1．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( 2A )=2．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)<n 3．4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t=-85．231511523()5495827x D x xx -=-，则0)(=x D 的全部根为：1、2、-3二、 选择题（每小题4分，共20分）1．行列式001010100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ c ）。
DA ， 1，B ，-1C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于（ A ）。
A ， 左乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ， 左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}nM X AX X R ==∈。
则（ C ）。
DA ，M 是m 维向量空间，B ， M 是n 维向量空间C ，M 是m-r 维向量空间，D ，M 是n-r 维向量空间4．若n 阶方阵A 满足，2A =0，则以下命题哪一个成立（ A ）。
DA ， ()0r A =，B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ D ）。
A ，矩阵A T 为正交矩阵，B ，矩阵1A -为正交矩阵C ，矩阵A 的行列式是±1，D ，矩阵A 的特征根是±1三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A 为3阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 求det (*A )2．计算行列式111111111111a a a a。
武汉大学数学与统计学院 2005-2006第一学期《线性代数》B卷(供72学时用)
武汉大学数学与统计学院2005－2006第一学期《线性代数》B 卷（供72学时用）姓名 学号 专业 成绩一、计算题：（以下5题，每题8分，共40分） 1．设()11,1,1αT=()21,2,3αT=()31,3,t αT=，求t 使得线性相关.2．已知矩阵，求A 的伴随阵*A . 3．已知111222333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 求22005A A 和.4．计算：211121314222122324233132334244142434100001111x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+++.及矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩. 5．设n 阶方阵A 的各行元素之和均为，当A 可逆，且时，求的各行元素之和.二、解答题和证明题（以下6题，共60分）：1．(10分)求解齐次线性方程组: 12341234123412343 0253 044319022 0x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪--+=⎪⎨-++=⎪⎪--+=⎩.2．(10分)求矩阵X ，使满足AX =A +2X , 其中301110014A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.3．(10分)设线性空间3R 中的六个向量如下:1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652(1)求出由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数，并选出一个基； (2)对1β和2β中属于L (1α,2α,3α,4α)者，给出其在(1)中所选的基下的坐标. 4．(15分)设A 的一个特征值为1, 其中A ＝.(1)求常数；(2)求可逆矩阵P ，使AP 为对角阵；(3)设向量=(5, 3, 3)，计算A (k 为正整数).5．(10分)已知A 是n 阶可逆矩阵, 证明A T A 是n 阶正定矩阵. 6．(5分)设是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵（n m ≤），其中I 是n 阶单位矩阵，若AB I =，证明B 的列向量组线性无关.（2005－2006上）线性代数B 卷参考解答： 一、计算题：1．对实数,令：得方程组， 其系数行列式,即t=5时，方程组有非零解，相应，线性相关.2．由初等变换求得101110123321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，则*1011012321A A A -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭.3．记，，因此所以2()()()A αβαβαβαβT T TT ==，而，则26A A =；同理可求:20052004()()()()()()()AαβαβαβαβαβαβαβαβαβT T T T T T T T T =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=＝20046A .4. 第1列乘以i x -加到第1i +列(1,2,3,4)i =,则12341234110000100001001x x x x x D x x x ----=421234i=142i=11+010001+001000001001i i x x x x x x ----==∑∑.易知0D A =≠, 则矩阵211213142212232423132334241424341111x x x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭的秩为4. 5．因的各行元素之和为，即，(),或，即.又因为A 可逆，得，即各行元素之和均为.二、解答题和证明题：1．对系数矩阵作初等行变换化：因24()()R A R B ==<，故有无穷多解。
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武汉大学数学与统计学院重修试题
2006－2007学年第二学期《线性代数》（D）
学院 专业 学号 姓名
注：
1.本试题供线性代数D（即工科36学时）重修使用；
2.所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效。
一、(10分)设有三阶方阵
111011001A−
⎛⎞
⎜⎟
=
⎜⎜⎟⎟
−
⎝⎠
，求1A−和13AA∗−−.
二、(15分)设三阶方阵满足
BA,
BAEAB+=+2，且，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=101020101AB及*B
.
三、(10分)设为阶非零矩阵，且AnA＝O，证明存在阶非零矩阵nB使得BAO=.
四、(20分) 就
λ
取值讨论非齐次线性方程组123123123322,xxxxxxxxxλλλλ++=−⎧⎪++=−⎨⎪++=−⎩是否有惟一解、无解、
有无穷多解? 并在有无穷多解时，求出其通解.
五、（15分）已知向量组
A
：，，，，
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0111ξ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1102ξ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1113ξ⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=12
1
4
ξ
求向量组的秩及一个最大无关组，并给出向量组中不能由其余向量线性表示的向量。
A
六、(20分)设二次型
123121323
(,,)222fxxxxxxxxx=+−
,
(1).写出二次型
f的矩阵； A
(2).求的全部特征值与特征向量；
A
(3).求一个正交变换XPY=,把二次型f化为标准形；
(4).在
1x=
的条件下，求二次型f的最大值和最小值。
七、（10分）选做题（其中政管院学生做第1小题，其他专业学生做第2小题）
(1).设有三维向量
()11,1,1α=，()21,2,3α=，()
3
1,3,tα=
，
(3,8,2)β=−
求使得t线性无关，并在2t=时将β表示为一个的线性组合.
(2). 设列向量组
12
, , ...,
k
ααα为齐次线性方程组AXO=的基础解系，如果列向量β
不
是方程组
AXO=
的解，证明向量组12, , , , kαβαβαββ++⋅⋅⋅+线性无关。