球与盒子的组合问题

球与盒子的组合问题1.n个相同的球装进m个不同的盒子,共多少种不同方法显然，这是个排列组合里的隔板问题如果要求每个盒子至少有一个球，则答案为C(m-1,n-1)如果允许有盒子可空出来不装球，则答案为C(m-1,n+m-1)这个问题可以引入一个比较经典的例子，就是对于方程x1+x2+…+xn=a 的正整数解（或非负整数解）的解的个数，（a为正整数）2.n个不同的球装进m个相同的盒子,共多少种不同方法这个问题的一般形式：把n个不同元素划分成m个子集是的，这就是第二类Stirling数,用递推的方法S[n,m]=S[n-1,m-1]+m*S[n-1,m]如果要求每个盒子至少有一个球，那么 answer=S[n,m]如果允许有盒子可空出来不装球，那么answer=S[n,1]+S[n,2]+…+S[n,m]3.n个不同的球装进m个不同的盒子，共多少种不同的方法如果要求每个盒子至少有一个球，对于这个问题直接用上面问题的answer*m!即可如果允许有盒子可空出来不装球，留作思考吧~ 呵呵4.n个相同的球装进m个相同的盒子，共多少种不同的方法这是个经典的DP问题，先来讨论要求每个盒子至少有一个球的情况相当于把一个整数划n分成m个数，这m个数以升序排列S[n,m,min]表示n分成m部分且最小的那部分min的方案数那么S[n,m,min]=Sigma(S[n-min,m-1,i]) for i=min to(n-min)/(m-1)对于这个三维的状态，我们可以把它优化到二维不要考虑min，假设最小的那个数是1，这样的话如果想把它加大，这样的方案数和这种情况等价：这个1不变而是把后面所有数减小1，这样就能表示所有情况了比如12分成3部分，显然 3 4 5 和 1 2 3 等价， 2 5 5 和 1 4 4 等价。

所以就变成二维状态S[n,m]=S[n-1,m-1]+S[n-m,m]，其中S[n,m]表示n分成m个部分，最小部分至少唯一，它等于最小部分为一（S[n-1,m-1]）的加上最小部分至少为二的（S[n-m,m]）据说，这道题还可以优化到一维，不过这要用到组合数学里的母函数知识，这里就不介绍了，思考思考吧~对于允许有盒子可空出来不装球的情况，也思考思考吧~呵呵元素分组又分为相同元素分组和不相同元素分组这两类问题。

对于相同元素分组来说，如果是相同元素分到相同的组里，问题就变的没有意义，公考中也不会涉及到。

那么对于相同元素分到不同的组里，一般我们就用插板法来解决。

【基本题型】有n个相同的元素，要求分到m组中，并且要求每组中至少有一个元素问有多少种分法？【基本解题思路】将n个相同的元素排成一行，n个元素之间出现了（n-1）个空档，现在我们用（m-1）个“档板”插入（n-1）个空档中，就把n个元素隔成有序的m份，每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素（可能是1个、2个、3个、4个、….），这样不同的插入办法就对应着n 个相同的元素分到m组的一种分法，这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。

【基本题型例题】【例1】共有10完全相同的球分到7个班里，要求每个班至少要分到一个球，问有几种不同分法？解析一：我们首先用常规方法。

若想将10个球分到7个班里，球的分法共三类：第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。

这样，第一步，我们从7个班中选出3个班，每个班分2个球；第二步，从剩下的4个班中选4个班，每班分1球。

其分法种数为：C （7，3）*C（4，4）=35注明：由于排版的关系，我用C（n，m）和A（n，m）代替原来的组合与排列公式。

第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。

其分法种数：C（7，1）* C（6，1）* C（5，5）=42第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。

其分法种数：C（7，1）* C（6，6）=7所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：35+42+7=87（种）。

解析二：从上面的解题过程可以看出，用常规方法解这类题，需要分类计算，计算过程繁琐。

并且如果元素个数较多的话处理起来就变得十分的困难了。

因此我们需要寻求一种新的方法解决问题，也就是——插板法。

我们可以将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空隙，现在我们用6个档板”插入这9个空隙中，就“把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），这样，借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。

由上述分析可知，原问题就可以转化成：在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组）的问题，这是一个很简单的组合问题，其方法种数为：C（9，6）=84【基本题型总结】对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有C（n-1，m-1）种不同方法。

【注意】这种插板法解决相同元素分到不同组的问题非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：（1）所有要分的元素须完全相同；（2）所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；（3）参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。

这样对于很多的问题，是不能直接利用插板法解题的。

但，可以通过一定的转变，将其变成符合上面3个条件的问题，这样就可以利用插板法解决，并且常常会产生意想不到的效果。

【基本题型的变形（一）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组中，问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”，也就是组中可以为空的。

对于这样的题，我们就首先将每组都填上1个，这样所要元素总数就m个，问题也就是转变成将（n+m）个元素分到m组，并且每组至少分到一个的问题，也就可以用插板法来解决。

【例2】有8个相同的球放到三个不同的盒子里，共有（）种不同方法.A．35 B．28 C．21 D．45解析：这道题很多同学错选C，错误的原因是直接套用“插板法”，而忽略了题中并没有说每个盒子至少要分到一个球，也就是可以出现空盒子。

原题并不符合“插板法”的条件不过，此题只要我们多一个小变化，就可以将其转化为用“插板法”解题的类型了。

我们可以人为地在每个盒子增加一个球，原有8个相同的球放到三个不同的盒子里这样这个问题就变成了，11个相同的球放到3个不同盒子里面。

要求每个盒子里最少有一个的问题了。

这样，此题就有C（10，2）=45（种）分法了，选项D为正确答案。

总结：对于这种要求每组元素至少要分到一个的情况，则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份即可,共有C （n+m-1，m-1）种不同方法。

【基本题型的变形（二）】题型：有n个相同的元素，要求分到m组，要求各组中分到的元素至少某个确定值s（s＞1，且每组的s值可以不同），问有多少种不同的分法？解题思路：这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s，各组分到的不是至少为一个了。

对于这样的题，我们就首先将各组都填满，即各组就填上对应的确定值s那么多个，这样就满足了题目中要求的最起码的条件，之后我们再分剩下的球。

这样这个问题就转变为上面我们提到的变形（一）的问题了，我们也就可以用插板法来解决。

【例3】15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内，盒内球数不少于编号数，有几种不同的放法？解析：先用6个球按编号数“填满”各盒(符合起码要求)，再把9个球放入3个盒内即可,也就对应着将12个球分成3组里，并且每组不能为空的问题，这样利用插板法，就有：C（11，2）=55（种）【总结】对于要求分到各组的个数至少为某个一个确定值(大于1)的题，我们就先每组中人为填上等于确定值的那么多的球数，这样满足其最起码的条件，然后我们再分剩下的球，就可以利用我们前面提到的“插板法”第一种变形题的解法来解决了。

看似很简单的问题其实非常复杂，球是否相同，箱是否相同？是否允许有空盒不难看出一共8类情况1）球同，盒同，无空箱2）球同，盒同，允许空箱3）球同，盒不同，无空箱4)球同，盒不同，允许空箱5)球不同，盒相同，无空箱6）球不同，盒相同，允许空箱7)球不同，盒不同，无空箱6）球不同，盒不同，允许空箱-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------先来看3,4.这个就是最典型的公考中经常遇见的插板法（关于插板法的解释我懒的说了，自己搜，论坛百度都容易找的到）只是需要注意是否允许空箱3的公式是把n个球排成一排，（一种方法），它们中间有n-1个空。

取m-1个小棍，放到空上，就把它们分成m部分，由于小棍不相邻，所以没有空箱子。

它的方法数有C(N-1,M-1),也就是球减1里面挑M-1个箱子做组合4的公式在3的基础上升华出来的，为了避免空箱子，先在每一个箱子假装都放一个球，这样就有n+m个球，C（n+m-1,m-1)，多了M个元素而已------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------关于1,2类情况，本来我想教大家一个特殊三角形的，但画起来比较麻烦，速度还不如穷举快，所以就略了，愿意学的我还是可以教他，不会真的还不如穷举来的快。

个人建议还是用最常见的凑数法，而且公考中不会出现球和盒子数字比较大的情况。

法，例如7个相同球放入4个相同盒子，每盒至少一个（1号情况），则先4个盒子每个放1个，多余3个。

只需要考虑这3个球的去处就OK,由于盒子相同，所以只需要凑数就OK,不必考虑位置。

比如300，211，111只有三种例如7个相同球放入4个相同盒子，可以空盒，则还是凑数，大的化小的，小的化更小的。

0，0，0，70，0，1，60，0，2，50，0，3，40，1，1，50，1，2，40，1，3，30，2，2，31，1，1，41，1，2，31，2，2，211种1，2，3，4公考常见类型，必须学会！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1234都是球相同的情况。