球与多面体的组合体问题
第5讲 竞赛和自主招生专题——立体几何中与球关于的问题
第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题 编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题（1）多面体内接于球：若球O 是多面体 的外接球，则球O 的球心O 在多面体 的各个表面上的射影为该表面多边形的外心.根据这个性质我们可以确定球心的位置，结合截面法求解相应的量.（2）多面体的内切球：若球O 内切多面体 ，则球O 的球心到多面体 各个表面的距离均为球半径.根据这个性质，结合等体积法求解内切球的半径.（3）球O 被平面 相截，所得的截面为圆截面，设截面圆的圆心为1O ，则1OO 平面 . （4）若多面体是通过长方体或正方体切割所得，则求其外接球的半径可以等价转化为求长方体或正方体的外接球半径.例1（1）如图，一个四面体棱长分别为6,6,6,6,6,9， 则其外接球的半径为______________.（2）如图，已知空间一球，SC 为其直径且||4,,SC A B =为球上两点，满足：||30AB ASC BSC ︒=∠=∠=，则四面体S ABC -的体积为___________.AP（3）在四面体ABCD 中,1AD DB AC CB ====，则四面体ABCD 体积最大时，它的外接球半径R =.（4）（2018·浙江预赛）在四面体PABC 中，PA BC PB AC PC AB ======,则该四面体外接球的半径为_________.B例2 （有关几何体中球的内切问题）(1)四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是正方形,边长为,,a PD a PA PC ===,在这个四棱锥中放入一个球,则球的最大半径为(2)在边长为1的正方体C 内作一个内切大球1O ，再在C 内作一个小球2O ，使它与大球1O 外切，同时与正方体的三个面都相切，则球2O 的表面积为___________.(3)在正三棱锥P ABC 中，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切. 如果半球的半径等于1，则正三棱锥的体积最小时，正三棱锥的高等于 _______________.(4)设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为r 的一个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为_______________二.有关球与球的组合体（抓住球心构建的多面体）例3（1）若4个半径为1的球两两外切，则这4个球的外切正四面体的棱长为__________（2）桌面上有3个半径为2017的球两两相切，在其上方空隙里放入一个球，使其顶点（最高点）与3个球的顶点（最高点）在同一平面内，则该球的半径是___________.（3）若半径为R 的球的内部装有4个相同半径为r 的小球,则小球半径r 的最大可能值是________.（4）将3个半径为1的球和一个半径为1-的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是___________.O2第5讲 竞赛和“三一”专题资料——立体几何中与球有关问题（练习） 编写林国夫班级___________姓名____________学号__________一.多面体与球的问题相关练习1.外接球的半径为1的正四面体的棱长为________________2.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .3.在四面体ABCD 中，AB BCD ⊥平面，BCD △是边长为3的等边三角形。
多面体的外接球和内切球(解析版)
多面体的外接球和内切球一、结论1、球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。
球的内切问题(等体积法)例如：在四棱锥P -ABCD 中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：V P -ABCD =V O -ABCD +V O -PBC +V O -PCD +V O -PAD +V O -PAB即：V P -ABCD =13S ABCD ⋅r +13S PBC ⋅r +13S PCD ⋅r +13S PAD ⋅r +13S PAB ⋅r ，可求出r .球的外接问题1.公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2.补形法(补长方体或正方体)①墙角模型(三条线两个垂直)题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)②对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB =CD ，AD =BC ，AC =BD )3.单面定球心法(定+算)步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=asin A)；②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上；③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出球半径R.4.双面定球心法(两次单面定球心)如图：在三棱锥P-ABC中：①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.二、典型例题1(2023春·湖南湘潭·高二统考期末)棱长为1的正方体的外接球的表面积为()A.3π4B.3πC.12πD.16π【答案】B【详解】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为R，则2R=12+12+12=3，故R=3 2．所以S=4πR2=4π×322=3π．故选：B．【反思】本例属于正方体外接球问题，其外接球半径公式可直接记忆.2(2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)在四面体PABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，∠BAC= 120°，AB=AC=AP=2，则该四面体的外接球的表面积为()A.12πB.16πC.18πD.20π【答案】D【详解】因为PA⊥AB，PA⊥AC，AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC,所以PA⊥平面ABC.设底面△ABC的外心为G，外接球的球心为O，则OG⊥平面ABC，所以PA⎳OG.设D为PA的中点，因为OP=OA，所以DO⊥PA.因为PA⊥平面ABC，AG⊂平面ABC,所以PA⊥AG，所以OD⎳AG.因此四边形ODAG为平行四边形，所以OG=AD=12PA=1.因为∠BAC=120°，AB=AC=2，所以BC=AB2+AC2-2AB⋅AC cos∠BAC=4+4-2×2×2×-1 2=23,由正弦定理，得2AG=2332=4⇒AG=2.所以该外接球的半径R满足R2=OG2+AG2=5,故该外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选:D.【反思】本例属于单面定球心问题①用正弦定理求出ΔABC外心G；②过G做平面ABC的垂线，则外接球球心O在此垂线上；③通过计算算出半径.3(2023秋·湖南娄底·高三校联考期末)《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图P-ABCD 是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=3，BC=4．则该阳马的外接球的表面积为()A.1252π3B.50π C.100π D.500π3【答案】B【详解】因PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又因四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD.则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长宽高的长方体的外接球相同.又PA=5，AB=3，AD=BC=4．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：R=PA 2+AB 2+AD 22=32+42+522=522，则外接球的表面积为：S =4πR 2=4π⋅504=50π.故选：B【反思】本例属于墙角型模型，通过补形，将原图形补成长方体模型，借助长方体模型求外接球半径.4(2023·全国·高三专题练习)已知菱形ABCD 的各边长为2,∠D =60°．如图所示，将ΔACD 沿AC 折起，使得点D 到达点S 的位置，连接SB ，得到三棱锥S -ABC ，此时SB =3．E 是线段SA 的中点，点F 在三棱锥S -ABC 的外接球上运动，且始终保持EF ⊥AC ，则点F 的轨迹的周长为()A.233π B.433π C.533π D.2213π【答案】C【详解】取AC 中点M ，则AC ⊥BM ,AC ⊥SM ,BM ∩SM =M ，∴AC ⊥平面SMB ，SM =MB =3，又SB =3，∴∠SBM =∠MSB =30°，作EH ⊥AC 于H ，设点F 轨迹所在平面为α，则平面α经过点H 且AC ⊥α，设三棱锥S -ABC 外接球的球心为O ,△SAC ,△BAC 的中心分别为O 1,O 2，易知OO 1⊥平面SAC ,OO 2⊥平面BAC ，且O ,O 1,O 2,M 四点共面，由题可得∠OMO 1=12∠O 1MO 2=60°，O 1M =13SM =33，解Rt △OO 1M ，得OO 1=3O 1M =1，又O 1S =23SM =233，则三棱锥S -ABC 外接球半径r =OO 21+O 1S 2=73，易知O 到平面α的距离d =MH =12，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r 1=r 2-d 2=73-14=536，∴截面圆的周长为l =2πr 1=533π，即点F 轨迹的周长为533π．故选：C 【反思】此题典型的双面定球心。
高考数学易错题7.1 多面体与球的组合体问题-2019届高三数学提分精品讲义
专题七 不等式问题一：多面体与球的组合体问题一、考情分析纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．二、经验分享(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． (3)研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱三、知识拓展(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1四、题型分析(一) 球与柱体的组合体规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示,正方体1111ABCD A B C D -,设正方体的棱长为a ,,,,E F H G 为棱的中点,O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形EFGH 和其内切圆,则2aOJ r ==；二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形EFGH 和其外接圆,则22GO R a ==；三是球为正方体的外接球,截面图为长方形11ACA C 和其外接圆,则132AO R a '==.通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.【例1】 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上,E F ，分别是棱1AA ,1DD 的中点,则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ） A ．22B ．1C ．212+D ．2【分析】本题求解关键是得出直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径 【解析】由题意可知,球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径12,22AD R ==11EF AA DD ⊂面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径22R =.【小试牛刀】【2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研】已知棱长为2的正方体,球与该正方体的各个面相切,则平面截此球所得的截面的面积为（ ）A. B. C. D.1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径222.22l a b c R ++==【例2】在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( ) A.10π3B.4πC.8π3D.7π3【分析】转化为求正方体的内切球【解析】利用运动的观点分析在小球移动的过程中,进过部分的几何体.因半径为1的小球恰好为棱长为2的正方体的内切球,故小球经过空间由上往下看为：半个小球、高为2的圆柱和半个小球,三部分的体积为：3241101212=.323πππ⨯⨯⨯+⨯⨯ 【小试牛刀】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32,则该正四棱锥的外接球的表面积为 . 1.3 球与直棱柱球与一般的直棱柱的组合体,常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ,如图2所示,D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点,球心必落在高1DD 的中点O ,3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理,可求223()()23h R a =+.【例3】已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB ＝3,AC ＝4,AB ⊥AC ,AA 1＝12,则球O 的半径为( )A.3172 B ．210 C.132D ．310【分析】先确定球心位置,再利用222R r d =+确定球的半径 【解析】如图所示,由球心作平面ABC 的垂线,则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52,OM ＝12AA 1＝6,所以球O 的半径R ＝OA ＝522＋62＝132. 【点评】直棱柱的外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点.【小试牛刀】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上,若1AB BC ==,0120ABC ∠=,123AA =,则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π (二) 球与锥体的组合体规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 2.1 球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4,设正四面体S ABC -的棱长为a ,内切球半径为r ,外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ,E 为S 在底面的射影,连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切,圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为O .此时,,CO OS R OE r ===,23,,33SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.412R r ==这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心O 为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.【例4】将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ( ) A.3263+ B. 2+263 C. 4+263 D. 43263+【小试牛刀】【2017届云南曲靖一中高三上学期月考】正四面体的棱长为a ,其内接球与外接球的体积比为 ．2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法,即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5,三棱锥111A AB D -的外接球的球心和正方体1111ABCD A B C D -的外接球的球心重合.设1AA a =,则32R =.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.2222244a b c l R ++==(l 为长方体的体对角线长).【例5】在正三棱锥S ABC -中,M N 、分别是棱SC BC 、的中点,且AM MN ⊥,若侧棱23SA =,则正三棱锥S ABC -外接球的表面积是 .【解析】如图6,正三棱锥对棱相互垂直,即,AC SB ⊥又,,,.SB MN MN AC MN AM MN SAC ∴⊥⊥∴⊥∥又平面于是,,,SB SAC SB SA SB SC ⊥∴⊥⊥平面从而.SA SC ⊥此时正三棱锥S ABC -的三条侧棱互相垂直并且相等,故将正三棱锥补形为正方体.球的半径23,3,436.2R SA R S R ππ=∴=∴==【小试牛刀】一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )A ．12πB ．43πC ．3πD ．123π 2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.【例6】在三棱锥P －ABC 中,PA ＝PB=PC=3,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（ ） A ．π B.3πC. 4πD.43π【解析】如图7所示,过P 点作底面ABC 的垂线,垂足为O ,设H 为外接球的球心,连接,,AH AO 因60,3,PAO PA ∠==故32AO =,32PO =，又△AHO 为直角三角形,222,,AH PH r AH AO OH ==∴=+22233344()(),1,1.2233r r r V ππ∴=+-∴=∴=⨯=【小试牛刀】【河北省邯郸市2018届高三第一次模拟】设正三棱锥P ABC -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径为R ，若二面角P AB C --35，则HR=（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如,四个面都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置.如图8,三棱锥S ABC -,满足,,SA ABC AB BC ⊥⊥面取SC 的中点为O ,由直角三角形的性质可得：,OA OS OB OC ===所以O 点为三棱锥S ABC -的外接球的球心,则2SCR =.【例7】矩形ABCD 中,4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( )A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125【解析】由题意分析可知,四面体ABCD 的外接球的球心落在AC 的中点,此时满足,OA OD OB OC ===522AC R ∴==,343V R π=1256π=. 【小试牛刀】【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上学期联考】已知三棱锥内接与球,且,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为（ ）A.B.C.D.(三) 球与球的组合体对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解. 【例8】 在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球,则小球半径r 的最大值为（ ） A. (2－1)R B . (6－2)R C. 14R D.1 3R 【解析】要使得小球的半径最大,需使得4个小球的球心为一个正四面体的四个顶点,如图9所示,此时正四面体A BCD -的外接球的球心为O ,即为半径为R 的球的球心,则,AO R r =-又因O 为1AO 的四分点,故14(),3AO R r =-在1Rt ABO ∆中,22212422,3,[()](2)(3),333(62).AB r BO r R r r r r R ==∴-⨯=-∴=-【小试牛刀】如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O 1,O 2,这两个球外切,且球O 1与正方体共顶点A 的三个面相切,球O 2与正方体共顶点B 1的三个面相切,则两球在正方体的面AA 1C 1C 上的正投影是( )(四) 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r '=.【例9】把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为（ ）A ．l03cmB ．10 cmC ．102cmD ．30cm【解析】如图11所示,由题意球心在AP 上,球心为O,过O 作BP 的垂线ON 垂足为N,ON=R,OM=R,因为各个棱都为20,所以AM=10,BP=20,BM=10,AB=102,设BPA α∠=,在Rt ∆BPM 中,222BP BM PM =+,所以103PM =.在Rt ∆PAM 中, 222PM AM AP =+,所以102PA =.在Rt ∆ABP 中, 1022sin 202AB BP α===,在Rt ∆ONP 中, sin ON ROP OPα==,所以22R OP =,所以2OP R =.在Rt ∆OAM 中, 222OM AO AM =+,所以,22(1022)100R R =-+,解得,10R =或30（舍）,所以,10,R cm =故选B.(五) 与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图,然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还 原几何体,根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.【例10】【湖南G10教育联盟2018年4月高三联考】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A.32π B. 34π C. 3π D. 3π【小试牛刀】【2017届河北省正定中学高三上学期期中）】如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.综合上面的五种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解．如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.五、迁移运用1.【河南省六市2018届高三一模】在三棱锥S ABC -中， SB BC ⊥， SA AC ⊥， SB BC =， SA AC =，12AB SC =，且三棱锥S ABC -932，则该三棱锥的外接球半径是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】取SC 中点O ，则OA=OB=OC=OS,即O 为三棱锥的外接球球心，设半径为r,则2139323,342r r r ⨯⨯=∴=选C. 2．【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期模拟】图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球O 是该正八面体的内切球，则球O 的表面积为（ ）A.83π B. 43πC. 8627πD. 4627π【答案】A【解析】如图所示，设已知的正八面体为SABCDI ，可知SI ⊥平面ABCD 于球心O ，且点O 为正方形ABCD 的中心，设球O 与正四棱锥S ABCD -的侧面SBC 相切于点F ，连接SF 并延长，交BC 于点E ，可知E 为BC 的中点，连接,OE OF ，则1,3OE SE == 2SO =，由1122SOE S SE OF SO OE ∆=⨯⨯=⨯⨯，得63OF =，即正八面体内切球的半径为63，所以内切球的表面积为268433O S ππ⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选A. 3．【宁夏吴忠市2018届高三下学期高考模拟】半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（ ） A. 22R π B. 252R π C. 23R π D. 272R π 【答案】A【解析】设圆柱的上底面半径为r ，球的半径与上底面夹角为α，则cos r R α=圆柱的高为2sin R α，圆柱的侧面积为22sin 2R πα，当且仅当4πα=时， sin 21α=，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为22R π球的表面积为24R π，球的表面积与该圆柱的侧面积之差为22R π，故选A4．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评】已知,,,A B C D 是球O 表面上四点，点E 为BC 的中点，若,,120AE BC DE BC AED ⊥⊥∠=︒, 3,2AE DE BC ===，则球O 的表面积为（ ） A.73π B.283πC. 4πD. 16π 【答案】B5．【四川省德阳市2018届高三二诊】如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π 【答案】C6．【四川省雅安中学2018届高三下学期第一次月考】已知三棱锥A BCD -中， ,,AB AC AB AC =⊥BD DC ⊥， 6DBC π∠=，若三棱锥A BCD -的最大体积为32，则三棱锥外接球的表面积为A. 43πB. 8πC. 12πD. 123π 【答案】C【解析】取BC 的中点O ，连接AO ， DO ，作DE BC ⊥于点E ，设AB AC x ==. ∵,AB AC ⊥ BD DC ⊥∴AO OB OC OD ===，即O 三棱锥A BCD -外接球的球心. ∵,AB AC AB AC =⊥，∴22AO OB OC OD x ====∵6DBC π∠=，∴22CD x =，∴64DE = ∵三棱锥A BCD -的最大体积为32∴当DE 为三棱锥A BCD -的高时，三棱锥A BCD -的体积最大，即211633242x x ⨯=. ∴6x =，则三棱锥A BCD -2632=.∴三棱锥A BCD -的外接球的表面积为()24312ππ⨯=.故选C.7．【四川省成都市龙泉驿区第一中学校2018届高三3月“二诊”】如图，在四棱锥C －ABOD 中，CO⊥平面ABOD ，AB∥OD，OB⊥OD，且AB ＝2OD ＝12，AD ＝62，异面直线CD 与AB 所成角为30°，点O ，B ，C ，D 都在同一个球面上，则该球的表面积为 A. 72π B. 84π C. 128π D. 168π【答案】B8．【2017届河北省石家庄市高三第二次质量检测】四棱锥的底面是边长为6的正方形,且,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是（ ）A. 6B. 5C.D.【答案】D【解析】由题知,四棱锥是正四棱锥,球的球心在四棱锥的高上,过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：其中是斜高,为球面与侧面的切点．设,易知,所以,即,解得,故选D ．9．【2017届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末】如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6,如不计容器的厚度,则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆,则圆心为正方体上底面正方形的中心. 如图,设球的半径为,根据题意得球心到上底面的距离等于,而圆的半径为,由球的截面圆性质,得,解得.球的表面积为,故选A.10．【2017届云南省云南师范大学附属中学高三高考适应性月考】四面体的四个顶点都在球的球面上,,且平面平面,则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图,分别为的中点,易知球心点在线段上,因为,则．又∵平面平面,平面平面=BC,∴平面ABC,∴,∴．因为点是的中点,∴,且．设球心的半径为,,则,在中,有,在中,有,解得,所以,故选B．11．【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知,几何体为三棱锥,底面等腰直角三角形的底边长为2,底面三角形的高为1,棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点,棱锥的高为1,其外接球的球心是底面斜边的中点,故外接球的半径,故外接球的表面积为,故选B.12．【2017学年湖北省黄冈市黄冈中学上学期期末】在矩形中,,现将沿对角线折起,使点到达点的位置,得到三棱锥,则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 大小与点的位置有关【答案】C【解析】由题意,的中点为三棱锥的外接球的球心, ∵, ∴球的半径为, ∴三棱锥的外接球的表面积为．故选C．13．【湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B14．【2017届甘肃省高台县第一中学高三上学期期末】已知三棱锥,在底面中,,,面,,则此三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意,利用正弦定理有,其中为三角形的外接圆半径.设球的半径为,则,故球的体积为.15．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】如图,直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB AC =,侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形,则侧面11ABB A 的面积为 ．【答案】1【解析】由图可得⇒==21,21AB AA 111112ABB A S AA AB =⨯=. 16．【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知某棱锥的三视图如图（最左侧是正视图）所示,俯视图为正方形及一条对角线,根据图中所给的数据,该棱锥外接球的体积是_____.【答案】823π 【解析】由该棱锥的三视图可知,该棱锥是以边长为2的正方形为底面,高为2的四棱锥,做出其直观图所示,则2222PA AC PC ===，， ,PA ⊥面ABCD ,所以PC 即为该棱锥的外接球的直径,则2R =,即该棱锥外接球的体积3(2)482•33V ππ==,故答案为823π.17．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ．【答案】16π-, 18．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCDPA=,且PA⊥平面ABCD,则球体毛坯体积的最小值应为．其中底面四边形是边长为1的正方形,132．【解析】如图,将四棱锥CD 补全为一个正方体,则：当正方体为球的内接正方体时球的体积最小,此时正方体的体对角线为球的直径,长为222321113,2R R =++==∴球的体积为：3344333322V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭；故答案应填：32．19．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图,在四面体CD AB 中,AB ⊥平面CD B ,CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =,则四面体CD AB 外接球的表面积为 ．【答案】64π【解析】该四面体的外接球与下面的正三棱柱的外接球是同一个球,因为底面是正三角形,边长为6,所以26sin 60233AE =⨯⨯︒=,122OE AB ==,所以22216R OE AE =+=,表面积2464S r ππ==． OD'C'B C AE。
高考复习28-组合体的“切”“接”综合问题高考试题解读与变式
高考复习28 ：组合体的“切”“接”综合问题知识储备汇总1.知识储备汇总: 1.1球的性质球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R ，截面圆的半径r ，球心到截面圆的距离为d ，则222d r R +=.1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.3几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则23R a =； ②正方体的内切球，则2R a =； ③球与正方体的各棱相切，则22R a =.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为,,a b c ，外接球的半径为R ，则2222R a b c =++. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 1.5.解决与球有关的切、接问题的方法：(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各素之间的关系．(2)若球面上四点,,,P A B C 中,,PA PB PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的．题型与相关高考题解读1.棱柱的外接球问题 1.1考题展示与解读例1 长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ________．【命题意图探究】本题主要考查长方体的对角线性质、球的表面积公式,是容易题.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接直棱柱问题，利用球心到棱柱底面所在的截面圆的距离就是棱柱高的一半，棱柱底面所在的截面圆的半径利用正弦定理计算，再利用球的截面性质即可求出球的半径，再利用球的表面积或体积公式计算球的表面积或体积.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A. 163πB.193πC.1912πD.43π【变式2：改编结论】底面边长为1，侧棱长为263的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（)A. 32π3B. 4πC. 2πD.4π3【变式3：改编问法】已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A. 16B.C.D. 82.球与圆柱或圆锥的切接问题2.1考题展示与解读例2已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．A．πB．3π4C．π2D．π4【命题意图探究】本题主要考查球内接圆柱的体积问题，是基础题.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接圆柱问题，利用球的截面性质沟通球的半径与圆柱底面半径高之间的关系.2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A. πB. 34πC.2πD. 6π【变式2：改编结论】已知圆锥的底面半径为4，高为8，则该圆锥的外接球的表面积为（）A. 10πB. 64πC. 100πD. 500 3π【变式3：改编问法】某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是边长为23的正三角形，该几何体的外接球的表面积为（）A. 9πB. 16πC. 24πD. 36π3.棱锥的外接球问题3.1考题展示与解读例3已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【命题意图探究】本题主要考查球内接棱柱问题及球的表面积，是中档题.【解题能力要求】空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力【方法技巧归纳】球内接棱锥问题，若有同一顶点上三条垂直的棱，可将三棱锥补成球内接长方体，利用长方体的对角线的平方等于同于同一顶点三棱长的平方和、长方体的对角线等于球的直径沟通球与棱锥量之间的关系.3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是A. 27πB.π C. 9π D.π 【变式2：改编结论】在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【变式3：改编问法】已知四棱锥E-ABCD 的都在球心为，半径为的球面上，四边形ABC D 为矩形，，且，则四棱锥E-ABCD 的体积的最大值为（ ）A.324B. 372，C. 38D. 348 4.多面体内切球问题 4.1考题展示与解读例4在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【命题意图探究】本题主要考查直棱柱内的球的最大体积问题，是中档题. 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】立体几何最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_______．【变式2：改编结论】在正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC ∆内切圆的半径为263，则该正方体内切球的表面积为 ( )A. 2πB. 8πC. 12πD. 16π【变式3：改编问法】已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是A. 243B. 183C. 123D. 3典例高考试题演练1.若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，设正四棱锥P ABCD -的高为1，则球O的体积为（ ） A.43π B. 23π C. 4π D. 22π 2.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．B ．27πC ．27πD ．3.网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm ，体积为96πcm 3，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是（ ） A ．36πcm 3 B ．12πcm 3C ．9πcm 3D ．72πcm 34.半径为2的球O 中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ） A ．16（）B ．16（） C ．8（2）D ．8（2）5.已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为( )A. 48πB. 52πC.1723π D. 1963π6.将半径为4的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A.83π B. 163π C. 43π D. 43 7.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12S S ＝（ ）A.6π B. 2π C. 16πD. 63π8.已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（ ） A.823π B. 833π C. 863π D. 1623π 9.某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.556π10.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ） A.B.C.D .11.三棱锥A BCD -的一条长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为( ) A.53π B. 54π C. 56π D. 58π 12.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则的值是13.已知三棱锥的三条棱所在的直线两两垂直且长度分别为3，2，1，顶点都在球的表面上，则球的表面积为__________.14.已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PA 与底面垂直，且PA=AB ，若该四棱锥的侧面积为16 __．15.已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为2，当球的体积最小时，正六棱柱底面边长为_________．。
简单多面体的外接球问题解析版
为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A.5030π cm3
B.8636π cm3
1 372π C. 3
cm3
2 048π D. 3
cm3
[解析] 如图，作出球的一个截面，则 MC＝8 －6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半 径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5030π(cm3)．
A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
O
O
16
3
O
O1
什么样旳三棱锥外接球球心好拟定？
上下底面中心旳连线旳中点
•
（贵州省• 2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3 3，所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1旳正四面体外接球旳体积． 6
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题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一
个球面上，则该球的表面积为
()
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
ห้องสมุดไป่ตู้D．5πa2
解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱
与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中
心，O为球心，易知AP＝23× 23a＝ 33a，OP＝12a，所以
[活学活用] 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________． 解析：由三视图可知，该几何体为一个半 径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截 面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π. 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的
多面体与球的组合体问题的求解策略
多面体与球的组合体问题的求解策略如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用． 策略一：公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为_________． 【解析】设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,936,84x x h =⎧⎪⎨=⨯⎪⎩∴1,23x h ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离32d =．∴外接球的半径221R r d =+=，43V π∴=球 【小结】本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式策略二：多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A ．16πB ．20πC ．24πD ．32π【解析】设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =． ∴222222426,6R R =++=∴= ．∴这个球的表面积是2424R ππ=．选C ．【小结】本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的． 策略三：补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_________．【解析】据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球．设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=．∴294R =． 故其外接球的表面积249S R ππ==．【小结】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径．设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++．策略四：寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为_________．CDA B SO 1图3【解析】设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示．∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面．又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上．∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径．在ASC ∆中，由22SA SC AC ===，，得222SA SC AC +=．∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt ．∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径．故43V π=球． 【小结】根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径．本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．这种等价转化的数学思想方法值得我们学习．CA O DB 图4策略五：确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 【解析】设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===．∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示，∴外接球的半径52R OA ==．故3412536V R ππ==球，故选C ．。
立体几何中球内切和外接问题(完美版)
1
剖析定义
一、由球心的定义确定球心
在空间，如果一个定点与一个简单多面体的 所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简 单多面体的外接球球心。
1 一、定义法 针对讲解
D
AO
C
图4 B
2 求正方体、长方体的外接球的有关问题
2
求正方体、长方体的外接球的有关问题
②出现正四面体外接球时利用构造法(补形法)，联系正方体。
考点一 考点二 考点三
4
举一反三-突破提升
-30-
解:(1)底面正三角形中心到一边的距离为1 × 3×2 6 = 2,则正棱锥
32
侧面的斜高为 12 + ( 2)2 = 3.
∴S 侧=3×12×2 6 × 3=9 2.
∴S 表=S 侧+S 底=9
2+1×
2
3×(2
2
6)2=9
2+6
3.
考点一 考点二 考点三
球与多面体的内切、外接
球的半径r和正方体 的棱长a有什么关系？
.r
a
一、 球体的体积与表面积
①
V球
4 R3
3
二、球与多面体的接、切
② S球面 4 R2
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个 多面体的内切球 。
A. 6 B. 2
C. 3
D．2
一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内．接．于．
半径为 3 的球，则该棱柱体积的最大值为（ ）
2023年新高考数学一轮复习8-2 空间几何体的表面积和体积(知识点讲解)含详解
专题8.2 空间几何体的表面积和体积（知识点讲解）【知识框架】 【核心素养】1.通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.结合三视图、直观图、展开图、轴截面等，考查球的切、接问题，主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）几何体的表面积圆柱的侧面积圆柱的表面积圆锥的侧面积圆锥的表面积圆台的侧面积圆台的表面积球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.（二）几何体的体积圆柱的体积rl S π2=)(2l r r S +=πrl S π=)(l r r S +=πl r r S )(+'=π)(22rl l r r r S +'++'=π24R S π=h r V 2π=圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积正方体的体积（三）常用结论多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a ，则它的内切球半径r ＝2a ，外接球半径R＝2a . (2)设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则它的外接球半径R＝2. (3)设正四面体的棱长为a ，则它的高为H＝3a ，内切球半径r ＝14H＝12a ，外接球半径R ＝34H＝4a . 【常考题型剖析】题型一：空间几何体的表面积例1.（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%例2.（2020·全国·高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π例3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是60︒，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为（ ）A ．56πB ．64πC ．112πD ．128πh r V 231π=)(3122r r r r h V '++'=π334R V π=3a V =abc V =几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．题型二：空间几何体的体积例4. （2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））若圆锥的母线与底面所成的角为π6，则该圆锥的体积为（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．3π例5.（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，2.65）（ ）A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯例6.（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（ ）AB ．CD 例7.（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．如图，已知阿基米德多面体的所有顶点均是一个棱长为2的正方体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体积为______；若M ，N 是该阿基米德多面体表面上任意两点，则M ，N 两点间距离的最大值为______．1.处理体积问题的思路(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高，即等体积法；(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算，即分割法；(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法，即补形法．2.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.题型三：三视图与几何体的面积、体积例8．（2020·全国·高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+42B．4+42C．6+23D．4+23例9. （2020·浙江·高考真题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．73B．143C．3D．6例10.（2022·浙江省春晖中学模拟预测）某几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是___________，体积是___________.【总结提升】求空间几何体体积的常见类型及思路（1）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法（2）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.题型四：简单几何体的外接球与内切球问题例11.（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π例12.（2020·全国高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A B ．32 C ．1 D例13.（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 例14.（2019·全国·高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）A． B． C． D例15.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．πB ．34πC ．2πD ．4π 例16.(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3例17.（2021·福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积是______．例18. (2019年高考天津卷理)的正方形，侧棱长均若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．例19.（2020·全国·高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【总结提升】1.常见类型：（1）利用长方体的体对角线探索外接球半径；（2）利用长方体的面对角线探索外接球半径；（3）利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心；（4）利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心；（5）锥体的内切球问题；（6）柱体的内切球问题2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．3．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方25体确定直径解决外接问题．专题8.2 空间几何体的表面积和体积（知识点讲解）【知识框架】 【核心素养】1.通过考查几何体体积和表面积的计算，主要考查棱柱、棱锥或不规则几何体的特征及体积与表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.结合三视图、直观图、展开图、轴截面等，考查球的切、接问题，主要考查几何体与球的组合体的识辨，球的体积、表面积的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】（一）几何体的表面积圆柱的侧面积圆柱的表面积圆锥的侧面积圆锥的表面积圆台的侧面积圆台的表面积球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.（二）几何体的体积圆柱的体积rl S π2=)(2l r r S +=πrl S π=)(l r r S +=πl r r S )(+'=π)(22rl l r r r S +'++'=π24R S π=h r V 2π=圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积正方体的体积（三）常用结论多面体的内切球与外接球常用的结论(1)设正方体的棱长为a ，则它的内切球半径r ＝2a ，外接球半径R＝2a . (2)设长方体的长、宽、高分别为a ，b ，c ，则它的外接球半径R. (3)设正四面体的棱长为a ，则它的高为H＝3a ，内切球半径r ＝14H＝12a ，外接球半径R ＝34H＝4a . 【常考题型剖析】题型一：空间几何体的表面积例1.（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O ，半径r 为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）A ．26%B ．34%C ．42%D ．50%【答案】C【解析】【分析】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为： 226400164003600002(1.cos )1cos 44242%22r r πααπ---+==≈=.h r V 231π=)(3122r r r r h V '++'=π334R V π=3a V =abc V =故选：C.例2.（2020·全国·高考真题（理））已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π 【答案】A【解析】【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意，得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 60AB r =︒=，1OO AB ∴==1OO ⊥平面ABC ，11,4OO O A R OA ∴⊥====，∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A例3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知某圆台的母线长为2，母线与轴所在直线的夹角是60︒，且上、下底面的面积之比为1⊙4，则该圆台外接球的表面积为（ ） A ．56πB ．64πC ．112πD ．128π 【答案】C【解析】【分析】作出圆台的轴截面等腰梯形，其外接圆是圆台外接球的大圆，在这个轴截面中进行计算可得．【详解】如图等腰梯形ABCD 是圆台的轴截面，EF 是圆台的对称轴，圆台上、下底面的面积之比为1：4，则半径比为1：2，设圆台上、下底面半径分别为r ，2r ，因母线与轴的夹角是60︒，母线长为2，可得圆台的高为1，r =R ，球心到下底面（大圆面）的距离为x ，若球心在圆台两底面之间，如图点M 位置，则222R x =+且222(1)R x =-+，无解；若圆台两底面在球心同侧，如图点O 位置，则222R x =+且222(1)R x =++，解得4x =，则228R =， 则该圆台外接球的表面积为2112R 4π=π．故选：C ．【总结提升】几类空间几何体表面积的求法(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．题型二：空间几何体的体积例4. （2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））若圆锥的母线与底面所成的角为π6，则该圆锥的体积为（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．3π【答案】B【解析】【分析】设圆锥的高为h ，利用母线与底面所成角求出高即可得解.【详解】设圆锥的高为h ， 因为母线与底面所成的角为π6，所以πtan 61h =．圆锥的体积2π1π3=⨯⨯=V ． 故选：B例5.（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，2.65）（ ）A ．931.010m ⨯B ．931.210m ⨯C ．931.410m ⨯D ．931.610m ⨯ 【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴((66119140101801033V h S S =+=⨯⨯⨯+⨯' ()()679933320607109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ．例6.（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙，则=V V 甲乙（ ） AB．CD【答案】C【解析】【分析】 设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ，根据圆锥的侧面积公式可得122r r =，再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为1r ，乙圆锥底面圆半径为2r ， 则11222S rl r S r l r ππ===甲乙， 所以122r r =， 又12222r r l lπππ+=， 则121r r l +=， 所以1221,33r l r l ==，所以甲圆锥的高1h ==，乙圆锥的高2h ==，所以221122214313r h l V V r h ππ==甲乙 故选：C.例7.（2022·湖北·黄石市有色第一中学模拟预测）阿基米德多面体也称为半正多面体，是以边数不全相同的正多边形为面围成的多面体．如图，已知阿基米德多面体的所有顶点均是一个棱长为2的正方体各条棱的中点，则该阿基米德多面体的体积为______；若M ，N 是该阿基米德多面体表面上任意两点，则M ，N 两点间距离的最大值为______．【答案】 203##263 22##322 【解析】【分析】第一空，将该多面体置于正方体中，由此可知该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成，由此可求得其体积；第二空，结合阿基米德多面体的外接球刚好是补形后正方体的棱切球，再求M ，N 两点间距离的最大值即可.【详解】依题意，可将该多面体补成一个棱长为2的正方体，如图，所以该阿基米德多面体是由正方体切掉8个全等的三棱锥形成，其体积112088111323V =-⨯⨯⨯⨯⨯=; 该阿基米德多面体的外接球刚好是正方体的棱切球，即与正方体的各条棱相切于棱的中点的球，该球直径为M ，N 两点间距离的最大值为外接球的直径，则max MN =故答案为:203； 【总结提升】1.处理体积问题的思路(1)“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高，即等体积法；(2)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算，即分割法；(3)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法，即补形法．2.求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.题型三：三视图与几何体的面积、体积例8．（2020·全国·高考真题（文））下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）A．6+42B．4+42C．6+23D．4+23【答案】C【解析】【分析】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积.【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形根据立体图形可得：12222ABC ADC CDBS S S===⨯⨯=△△△根据勾股定理可得：AB AD DB===∴ADB△是边长为根据三角形面积公式可得：211sin 6022ADB S AB AD =⋅⋅︒==△该几何体的表面积是：632⨯++ 故选：C.例9. （2020·浙江·高考真题）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．73B ．143C ．3D ．6【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A例10.（2022·浙江省春晖中学模拟预测）某几何体的三视图如图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是___________，体积是___________.【答案】232π+33π##3π3【解析】【分析】先画出直观图，再求出圆锥的高，求出两个半圆锥的侧面积之和，从而求出此几何体的表面积和体积.【详解】该几何体为两个底面半径为1，母线长为2的半圆锥拼接而成，设圆锥的高为h，由勾股定理得：413h=-=，则两个半圆锥的侧面积之和为12π22π2⨯⨯=，如图，AB =2CD =，且AB CD ⊥，所以四边形ADBC 的面积为22÷=， 该几何体的表面积为232π+，该几何体的体积为21π13⨯=故答案为：2π 【总结提升】 求空间几何体体积的常见类型及思路（1）规则几何体：若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，求三棱锥的体积常用等体积转换法（2）不规则几何体：若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解.题型四：简单几何体的外接球与内切球问题例11.（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【答案】B【解析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R ππ=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==， 所以，1BD =，3AD =，CD AB ⊥，则90CAD ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠=，所以，CAD BCD ∠=∠，又因为ADC BDC ∠=∠，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CD CD BD=，CD ∴= 因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD πππ⨯⋅+=⨯⨯=. 故选：B.例12.（2020·全国高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）A B ．32 C ．1 D ．2【答案】C【解析】 设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===.故选：C.例13.（2020·全国·高考真题（理））已知△ABC O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）AB ．32C ．1D 【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离d = 【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ππ=，解得：2R =.设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC212a ∴=3a =，2233r ∴==∴球心O 到平面ABC 的距离1d .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.例14.（2019·全国·高考真题（理））已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ）A ．B ．C ． D【答案】D【解析】【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得PA PB PC ===P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==34433R V R =∴=π==π，故选D ． 解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形，CF ∴=90CEF ∠=︒1,2CE AE PA x ∴=== AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x +--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =， D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=，2212122x x x ∴+=∴==PA PB PC ∴=====2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，2R ∴R ∴=，34433V R ∴=π==，故选D. 例15.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A ．π B ．34π C ．2π D ．4π 【答案】B 【解析】设圆柱的底面半径为r ，球的半径为R ，且R ＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r ，R 及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴2r ==. ∴圆柱的体积为V ＝πr 2h ＝34π×1＝34π. 故选B ．例16.(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB ．9π2C ．6πD ．32π3【答案】B【解析】由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切．设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为68102+-＝2，∴R ≤2. 又2R ≤3，∴R ≤32，∴V ma x ＝3439()322ππ=.故选B ． 点睛：解答本题的关键是当V 取得最大值时，球与上下底面还是与侧面相切的问题．例17.（2021·福建·厦门大学附属科技中学高三阶段练习）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为6π，则该球的表面积是______．【答案】144π【解析】【分析】设球心为O ，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可.【详解】 设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则OA =由截面圆的周长为6π，得26AB ππ⨯=，∴3AB =，6．所以该球的表面积为246=144ππ⨯.故答案为：144π.例18. (2019年高考天津卷理)的正方形，侧棱长若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．【答案】，借助勾股定理，可知四棱锥的高.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为， 故圆柱的体积为. 例19.（2020·全国·高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【解析】【分析】将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值.【详解】 25π42=11221ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，其中2,3BC AB AC ===，且点M 为BC 边上的中点，设内切圆的圆心为O ， 由于223122AM =-=，故1222222S =⨯⨯=△ABC ， 设内切圆半径为r ，则：ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△111222AB r BC r AC r =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()13322r =⨯++⨯=解得：22r，其体积：343V r π==.. 【总结提升】1.常见类型：（1）利用长方体的体对角线探索外接球半径；（2）利用长方体的面对角线探索外接球半径；（3）利用底面三角形与侧面三角形的外心探索球心；（4）利用直棱柱上下底面外接圆圆心的连线确定球心；（5）锥体的内切球问题；（6）柱体的内切球问题2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．3．若球面上四点P ，A ，B ，C 中PA ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．。
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问题一：多面体与球的组合体问题 纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题. 1.1 球与正方体如图1所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2a OJ r ==； 二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则22GO R a ==； 三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则13A O R '==. 通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例1棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（） A ．22 B ．1 C ．212+ D ．2【牛刀小试】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为,,,a b c 其体对角线为l .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径222.22l a b c R ++==例2在长、宽、高分别为2，2，4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为()A. B.4π C. D.【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为32，则该正四棱锥的外接球的表面积为.1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱111ABC A B C -的高为,h 底面边长为a ，如图2所示，D 和1D 分别为上下底面的中心.根据几何体的特点，球心必落在高1DD 的中点O ，3,,,23h OD AO R AD a ===借助直角三角形AOD 的勾股定理，可求223()()23h R a =+. 例3正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最值，为.【牛刀小试】直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，若1AB BC ==，0120ABC ∠=，123AA =，则球O 的表面积为（）A ．4πB ．8πC ．16πD ．24π二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4，设正四面体S ABC -的棱长为a ，内切球半径为r ，外接球的半径为R ,取AB 的中点为D ，E 为S 在底面的射影，连接,,CD SD SE 为正四面体的高.在截面三角形SDC ,作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为O .此时，,CO OS R OE r ===,23,,3SE a CE ==则有2222233a R r a R r CE +=-=，=，解得：66,.R r a ==这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例4将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为()【牛刀小试】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为()A．12πB．C．3πD．2.3球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和例7矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是()A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125例8三棱锥A BCD -中，AB CD ====AC AD BD BC ==A BCD -的外接球的半径是.三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例9在半径为R的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径r的最大值为（）A.(－1)RB.(－2)RC.RD.R四、球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：24r a '=.例10把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．l03cm B．10cmC．102cm D．30cm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解.例11【河北省唐山市2014－2015学年度高三年级摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A .5πB .12πC .20πD .8π 【牛刀小试】若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A.πB.πC.πD.π综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.【针对训练】1.【2016届云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒则此球的表面积等于（）A ．952πB ．π20C ．π8D ．352π 2．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中】已知四面体P －ABC 的外接球的球心O 在AB 上,且PO ⊥平面ABC,23AC =,若四面体P －ABC 的体积为32,则该球的体积为（） A ．3πB ．433C ．83πD ．8333．【2016届河北省衡水二中高三上学期期中考试】某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A ．4πB ．283πC ．443πD ．20π4．【2016届福建省三明一中高三上第二次月考】如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（）A ．2B ．22C ．2D ．1 5.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图)为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为()(A )π(B )2π(C )3π(D )4π6.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）】一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A. B. C. D.7．【2016届贵州省贵阳市六中高三元月月考】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．8．【2016届陕西省渭南市白水中学高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是．9．【2016届重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】已知S A B C ，，，都是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2SA =，3AB =，4BC =，则球O 的表面积等于______．10．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥P ABCD -,其中底面四边形是边长为1的正方形，1PA =，且PA ⊥平面ABCD ,则球体毛坯体积的最小值应为．11．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图，在四面体CD AB 中，AB ⊥平面CD B ，CD ∆B 是边长为6的等边三角形．若4AB =，则四面体CD AB 外接球的表面积为．12.正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为.13.已知正三棱锥P -ABC ,点P ,A ,B ,C 都在半径为3的球面上,若P A,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为____________.14.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是?,则这个三棱柱的体积为.15.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为．。