正方体与球的组合体
高中数学常见结论
高中数学常见结论三角形中的结论 1、三角形中，任意两角的余弦之和大于零，即coscos 0,cos cos 0,cos cos 0A B A C B C +>+>+>2、三角形中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⨯⨯3、三角形中，sin sin A B A B >⇔>,其他同理4、锐角三角形中，任意一个角的正弦值大于另一个角的余弦值，即sincos ,sin cos A B A C >>,其他同理5、钝角三角形中（角C 为钝角），一个锐角的正弦值小于另一个锐角的余弦值。
即sin cos ,sin cos A B B A <>6、直角三角形中的结论都有逆定理7、三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=++，特别地，直角三角形中：2a b cr +-=8、三角形中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…函数中的结论1、函数()y f x =在定义域D 上单调递增⇔对任意的12,,x x D ∈若12x x >，都有12()()f x f x >⇔对任意的12,,x x D ∈1212()(()())0x x f x f x -->⇔对任意的12,,x x D ∈1212()()0f x f x x x ->- ⇔对任意的,x D ∈/()0f x ≥恒成立⇔对任意的,x D ∈总存在t>0，使()()f x t f x +>2、函数()y f x =在定义域D 上单调递减，对应以上结论是什么？3、函数单调递增、递减的运算性质：（加、减、乘、除、开方） （1）增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减，（2）()k f x ⨯与()f x 的单调性的关系是 （3）1()f x 与()f x 的单调性的关系是 （4()f x 的单调性的关系是4、对称轴、对称中心、周期之间的结论是：（1）若函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(a-x)↔x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x)=f(2a-x) ↔ x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(b-x) ↔ x=2a b+是y=f(x)的一条对称轴.（2）函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心. 函数y=f(x)满足:f(x)=-f(2a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心.函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(b-x) ↔A(2a b+,0)是y=f(x)的一个对称中心 （3）函数y=f(x)满足:f(x+T)=f(x) ↔T 是y=f(x)的一个周期函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(x+b) ↔T=a-b 是y=f(x)的一个周期(a ＞b ) 函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(x) ,则T=2a 是y=f(x)的一个周期（4）若x=a,x=b 是函数y=f(x)的两条对称轴，则T=2(a-b) (a ＞b ) ，反之也成立若A(a,0),B(b,0)是函数y=f(x)的两个对称中心，则T=2(a-b) (a ＞b )， 反之也成立 若x=a,B(b,0)分别是函数y=f(x)的对称轴和对称中心，则T=4(a-b) (a ＞b )5、若两个函数()y f x a =+，()y f b x =-有对称轴，则对称轴是2b a x -=6、函数奇偶性：函数y=f(x)是定义域D 上的偶函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x --=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=恒成立7、函数y=f(x)是定义域D 上的奇函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x -+=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=-恒成立8、函数奇偶性的运算性质：加减乘除：偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶奇+奇=奇，奇-奇=奇，奇⨯奇=奇，奇÷奇=奇 偶⨯偶=偶，偶⨯奇=奇，奇⨯奇=偶 除法运算结论依然 9、奇偶性与单调性的关系：奇函数在关于原点对称的两区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的两区间上的单调性相反 10、奇函数定义域中若有0，则(0)0f =11、奇函数定义域中若有最大值M 和最小值N ，则M+N=0 12、奇偶性与导数的关系：奇函数的导函数是偶函数 偶函数的导函数是奇函数 13、若函数y=f(x)是偶函数，则()()f x f x =14、若函数y=f(x)是D 上的上凸函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x x f ++<15、若函数y=f(x)是D 上的上凹函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x xf ++>16、二次函数2y ax bx c =++是偶函数⇔b=0三次函数32y ax bx cx d=+++是奇函数⇔b=d=017、二次函数在限定区间上的最值问题：讨论对称轴与区间的位置关系----大大小小（1）当a>0时，求最小值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最大值讨论对称轴与区间中点的位置关系（2）当a<0时，求最大值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最小值讨论对称轴与区间中点的位置关系18、二次函数2y ax bx c =++的对称轴是2b x a=-，三次函数32y ax bx cx d =+++的对称中心是,()33b b f aa ⎛⎫--⎪⎝⎭19、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，且在定义域的任何子区间上导函数不恒为0，则/()0f x ≥⇔y=f(x)在D 上单调递增/()0f x ≤⇔y=f(x)在D 上单调递减20、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，/0()0f x =不能保证0()f x 为极值，反之成立。
高考数学专题突破：外接球题型总结
高考数学专题突破：外接球模型模板一：即一、题型描述几何体的外接球问题：题目中涉及几何体外接球体，或者球内接几何体，再或者说成球面上有几个点围成几何体，这类题型称之为几何体的外接球问题。
二、模法讲解以下这幅图，大家应该都能看明白吧！一个底面半径为，高为的圆柱，求它的外接球半径。
那么问题来了？这个式子怎么来的。
那么这个式子有何妙用？1、如果我们对圆柱上下底面对应位置处，取相同数量的点，比如都取三个点，如图所示：我们可以得到（直）三棱柱，它的外接球其实就是这个圆柱的外接球，所以说直棱柱的外接球求半径符合这个模型。
在这里棱柱的高就是公式中h的，而棱柱底面外接圆的半径则是公式中的r（至于怎么求外接圆半径可以用正弦定理。
2、我们再继续进行，如果我把刚刚那个三棱柱上面的两点去掉，我将得到三棱锥，如图：这个三棱锥的特点是AA1⊥底面ABC，即有一根侧棱⊥底面的锥体，依然符合这个模型。
那条竖直棱AA1就是公式中的h，而底面ABC的外接圆半径是公式中的r。
3、题目还喜欢这么干：面PAD垂直面ABCD。
它非常符合圆柱外接球模型！我们知道，这里的r为PAD的外接圆半径，h为AB或者CD为的长。
接着看，当我对第二幅图中的三棱柱 ABC-A1B1C1只去掉C1这个点，会得到什么呢？没错！这就是刚刚那个四棱锥放倒了！它的特点是：底面A1B1AB⊥CAB侧面，出题的时候则不会这么仁慈，就会像上一幅图那样，有一个侧面⊥矩形底面的四棱锥！圆柱外接球模型——适用于：①圆柱-------r,h自带②直棱柱-------r:底面外接圆半径；h:直棱柱的高③一根侧棱⊥底面的锥体-------r:底面外接圆半径；h:垂直于底面的那条侧棱④一个侧面⊥矩形底面的四棱锥-------r:垂直底面的侧面的外接圆半径；h:垂直于那个侧面的底边长那么接下来第二步就是找到，求出，而又怎么求呢？用正弦定理。
可以说正弦定理求外接圆半径这种方法咱们基本上就在高一学的时候提及过，根本就没用过它！告诉你，几乎整个高考也就此处求外接球题型可以用它来求求那个了。
高考复习28-组合体的“切”“接”综合问题高考试题解读与变式
高考复习28 ：组合体的“切”“接”综合问题知识储备汇总1.知识储备汇总: 1.1球的性质球被平面截得的图形是圆，球心与截面圆圆心的连线与截面圆垂直，球的半径R ，截面圆的半径r ，球心到截面圆的距离为d ，则222d r R +=.1.2长方体性质：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 1.3几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则23R a =； ②正方体的内切球，则2R a =； ③球与正方体的各棱相切，则22R a =.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为,,a b c ，外接球的半径为R ，则2222R a b c =++. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.1.4与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图. 1.5.解决与球有关的切、接问题的方法：(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各素之间的关系．(2)若球面上四点,,,P A B C 中,,PA PB PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．1.6.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的．题型与相关高考题解读1.棱柱的外接球问题 1.1考题展示与解读例1 长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 ________．【命题意图探究】本题主要考查长方体的对角线性质、球的表面积公式,是容易题.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接直棱柱问题，利用球心到棱柱底面所在的截面圆的距离就是棱柱高的一半，棱柱底面所在的截面圆的半径利用正弦定理计算，再利用球的截面性质即可求出球的半径，再利用球的表面积或体积公式计算球的表面积或体积.1.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A. 163πB.193πC.1912πD.43π【变式2：改编结论】底面边长为1，侧棱长为263的正三棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（)A. 32π3B. 4πC. 2πD.4π3【变式3：改编问法】已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（）A. 16B.C.D. 82.球与圆柱或圆锥的切接问题2.1考题展示与解读例2已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．A．πB．3π4C．π2D．π4【命题意图探究】本题主要考查球内接圆柱的体积问题，是基础题.【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】对球内接圆柱问题，利用球的截面性质沟通球的半径与圆柱底面半径高之间的关系.2.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积是( )A. πB. 34πC.2πD. 6π【变式2：改编结论】已知圆锥的底面半径为4，高为8，则该圆锥的外接球的表面积为（）A. 10πB. 64πC. 100πD. 500 3π【变式3：改编问法】某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图都是边长为23的正三角形，该几何体的外接球的表面积为（）A. 9πB. 16πC. 24πD. 36π3.棱锥的外接球问题3.1考题展示与解读例3已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．【命题意图探究】本题主要考查球内接棱柱问题及球的表面积，是中档题.【解题能力要求】空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力【方法技巧归纳】球内接棱锥问题，若有同一顶点上三条垂直的棱，可将三棱锥补成球内接长方体，利用长方体的对角线的平方等于同于同一顶点三棱长的平方和、长方体的对角线等于球的直径沟通球与棱锥量之间的关系.3.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】某多面体的三视图如图所示，每一小格单位长度为l，则该多面体的外接球的表面积是A. 27πB.π C. 9π D.π 【变式2：改编结论】在正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的直径为( )A. 7B. 8C. 9D. 10【变式3：改编问法】已知四棱锥E-ABCD 的都在球心为，半径为的球面上，四边形ABC D 为矩形，，且，则四棱锥E-ABCD 的体积的最大值为（ ）A.324B. 372，C. 38D. 348 4.多面体内切球问题 4.1考题展示与解读例4在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π【命题意图探究】本题主要考查直棱柱内的球的最大体积问题，是中档题. 【解题能力要求】空间想象能力、运算求解能力【方法技巧归纳】立体几何最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解． 4.2【典型考题变式】【变式1：改编条件】在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_______．【变式2：改编结论】在正方体1111ABCD A B C D -中，若1D AC ∆内切圆的半径为263，则该正方体内切球的表面积为 ( )A. 2πB. 8πC. 12πD. 16π【变式3：改编问法】已知一个直三棱柱，其底面是正三角形，一个体积为43π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是A. 243B. 183C. 123D. 3典例高考试题演练1.若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，设正四棱锥P ABCD -的高为1，则球O的体积为（ ） A.43π B. 23π C. 4π D. 22π 2.如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．B ．27πC ．27πD ．3.网络用语“车珠子”，通常是指将一块原料木头通过加工打磨，变成球状珠子的过程，某同学有一圆锥状的木块，想把它“车成珠子”，经测量，该圆锥状木块的底面直径为12cm ，体积为96πcm 3，假设条件理想，他能成功，则该珠子的体积最大值是（ ） A ．36πcm 3 B ．12πcm 3C ．9πcm 3D ．72πcm 34.半径为2的球O 中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（ ） A ．16（）B ．16（） C ．8（2）D ．8（2）5.已知一个四棱锥三视图如图所示，若此四棱锥的五个顶点在某个球面上，则该球的表面积为( )A. 48πB. 52πC.1723π D. 1963π6.将半径为4的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（ ） A.83π B. 163π C. 43π D. 43 7.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12S S ＝（ ）A.6π B. 2π C. 16πD. 63π8.已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为（ ） A.823π B. 833π C. 863π D. 1623π 9.某三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.556π10.已知三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，底面满足，若该三棱锥体积最大值为3，则其外接球的表面积为（ ） A.B.C.D .11.三棱锥A BCD -的一条长为a ，其余棱长均为1，当三棱锥A BCD -的体积最大时，它的外接球的表面积为( ) A.53π B. 54π C. 56π D. 58π 12.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则的值是13.已知三棱锥的三条棱所在的直线两两垂直且长度分别为3，2，1，顶点都在球的表面上，则球的表面积为__________.14.已知四棱锥 P ﹣ABCD 的底面ABCD 是正方形，侧棱PA 与底面垂直，且PA=AB ，若该四棱锥的侧面积为16 __．15.已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为2，当球的体积最小时，正六棱柱底面边长为_________．。
高中必修1至选修1-1常用公式及结论(北师大版)
高中必修1至选修1-1常用公式及结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2. 德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ⋂=⋃⋃=⋂.3. 包含关系A B A A B B ⋂=⇔⋃=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆4．集合12{,,....,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个； 5. 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;(2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 6. 解连不等式()N f x M <<常有以下转化()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --< 7.方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于 0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k ab k +<-<,或0)(2=k f 且22122k ab k k <-<+.8. 闭区间上的二次函数的最值 ：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在ab x 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p ab x ,2∈-=，则{}m in m ax m ax()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=；若[]q p a b x ,2∉-=，则{}max max()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =.(2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =， 若[]q p ab x ,2∉-=，则{}m a x ()ma x(),()f x f p f q=，{}min ()min (),()f x f p f q =.9.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. （注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.） 10.11.常见结论的否定形式12.四种命题的相互关系13.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 []1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.14．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 15．多项式函数110()nn n n P x a x a xa --=+++ 的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零.16.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.17.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）()()f x a f x a -=+，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,则)(x f 的周期T=2a ；18.分数指数幂(1)1mn a =（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nmnaa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.19．根式的性质（1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.20．有理指数幂的运算性质(1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈. (2) ()(0,,)r s rsa a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rrrab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.21.指数式与对数式的互化式log ba Nb a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.22.对数的换底公式log log log m a m N N a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log mna a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).23．对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a M N M N =+; (2) log log log aa a M M N N=-; (3)log log ()na a Mn M n R =∈.24.设函数)0)((log)(2≠++=a c bx axx f m,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.25. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+. 26.数列的通项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩ ( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ).27.等差数列的通项公式 *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-.28.等比数列的通项公式 1*11()n nn a a a q qn N q-==⋅∈；其前n 项的和公式为 11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.29.分期付款(按揭贷款) ： 每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).30．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤ (3) |sin ||cos |1x x +≥.31.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=， tan θ=θθcos sin ， tan 1cot θθ⋅=.32.正弦、余弦的诱导公式○1Sin(2k π+α)=sin α cos(2k π+α)=cos α tan(2k π+α)=tan α○2Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α tan(-α)= - tan α○3Sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cos α tan(2π-α)= - tan α○4Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cos α tan(π-α)= - tan α○5Sin(π+α)=sin α cos(π+α)= - cos α tan(π+α)= tan α○6Sin(π/2 +α)=cos α cos(π/2 +α)= -Sin α ○7Sin(π/2 -α)=cos α cos(π/2 -α)= Sin α○8Sin(3π/2 +α)=cos α cos(3π/2 +α)= -Sin α ○9Sin(3π/2 -α)=cos α cos(3π/2 -α)= Sin α 33.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b aϕ= ).34.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan ααα=-.35.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.36.正弦定理 2sin sin sin a b c R ABC===.37.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.38.面积定理 （1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. (3)O AB S ∆=39.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.40.实数与向量的积的运算律 ：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ;(2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 41.向量的数量积的运算律：(1) a ·b= b ·a （交换律）;(2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 42.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 43．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 44. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 45. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 46.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 47.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).48.平面两点间的距离公式,A B d =||AB ==(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).49.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 50.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.51. 三角形四“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222O A O B O C ⇔== .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.52.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．53.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s .54.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x aa x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.55.斜率公式 2121y y k x x -=- （111(,)P x y 、222(,)P x y ）.56.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x y ab+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 57.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；58．直线系方程(1)共点直线系方程：经过两直1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++= 的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++= (除2l )，其中λ是待定的系数．(2)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 59.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).60. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 仅讨论A>0的情况（只分直线左右侧，不论上下）Ax By C ++>0 : 表示直线右侧区域 Ax By C ++<0 : 表示直线右侧区域61. 圆的方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0). 62. 圆系方程(1)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(2) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++= 的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定系数．63.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.64.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d . 其中22BA C Bb Aa d +++=.65.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21124d r r >+⇔⇔相离条公切线; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .66.圆的切线方程(1)已知圆方程为一般式220x y Dx Ey F ++++=时． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=.当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=; ②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±. 67.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by ax ⇒渐近线方程：22220x y ab-=⇔x ab y ±=.(2)若渐近线方程为x ab y ±=⇔0=±by ax ⇒双曲线可设为λ=-2222by ax .(3)若双曲线与12222=-by ax 有公共渐近线，可设为λ=-2222by ax （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.68. 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p C F x =+.过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122.69.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212||x x y y ==-==-=（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,k 为直线的斜率）. 70. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧.②1V S l =斜棱柱.71.球的半径是R ，则其体积 343V R π=, 其表面积24S R π=．72.球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a 的正四面体的内切球的半径为12a ,外接球的半径为4a .73．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体 13V Sh =锥体 （S 是的底面积、h 是的高）.74.古典概型等()m P A n=. 几何概型 P(点M 落在G1) =1G G 的面积的面积75.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 76.瞬时速度 0()()()limlimt t ss t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 77.瞬时加速度0()()()limlimt t v v t t v t a v t tt ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.78.)(x f 在),(b a 的导数()f x y ''==00()()lim lim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆.79. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 80.几种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()nn x nxn R -=∈.(3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) xx 1)(ln ='；e axxa log1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.（7）2211(tan )(cot )cos sin x x xx''==-81.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±.（2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)uu v uv v vv-=≠.82.判别)(0x f 是极大（小）值的方法： 当函数0()0f x '=时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.。
立体几何复习初步
【自主解答】(1)在等边△ABC中,AD=AE,所以 AD AE ，在折叠
DB EC
后的三棱锥A-BCF中也成立,所以DE∥BC.因为DE⊄平面BCF,BC⊂ 平面BCF,所以DE∥平面BCF. (2)在等边△ABC中,F是BC的中点, 所以AF⊥FC①,BF=CF= 1 .
6.表面积与体积公式 (1)柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②体积:V=S底h(h为柱体的高).
1 (2)锥体:①表面积:S=S侧+S底;②体积:V= S底h(h为锥体的高). 3 (3)台体:①表面积:S=S侧+S上底+S下底;②体积:V= 1 (S上底+ S上底S下底 3
+S下底)h(h为台体的高).
3
×60+402×20=32000+32000=64000(cm3). 答案:64000cm3
【延伸探究】本例中如何证明直线BD⊥平面PEG. 【证明】如图,连接EG,HF及BD,EG与HF相交于O点,连接PO, 由正四棱锥的性质可知,PO⊥平面EFGH, 所以PO⊥HF.因为EG⊥HF, PO∩EG=O,所以HF⊥平面PEG. 又因为BD∥HF,所以BD⊥平面PEG.
所以BA⊥平面PAD,
因为AB∥CD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD且CD⊥AD, 又因为在平面PCD中,EF∥PD(三角形的中位线),于是CD⊥FE 因为在平面ABCD中,由(2),BE∥AD,于是CD⊥BE. 因为FE∩BE=E,FE⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,所以CD⊥平面BEF, 又因为CD⊂平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
【解析】易知该四棱锥中,PA⊥底面ABCD,PA=a,底面是边长为a 的正方形,故体积V= 答案: 1 a3
正方体与球的组合体
06
组合体的扩展思考
其他几何形状的组合
01
02
03
圆柱与圆锥的组合
形式美
运用对称、平衡、比例等美学原则， 可以赋予组合体和谐、优美的外观。
感谢观看
THANKS
几何形状的特性
对称性
正方体具有高度的对称性，其对称轴有六个，分别是经过相 对两面的中心的三条直线。
稳定性
由于正方体的结构特点，它是一种非常稳定的几何体，不易 发生形变。
空间位置关系
组合关系
正方体可以与其他几何体组合形成复杂的组合体。
运动关系
正方体可以在空间中做平移、旋转等运动。
02
球的基本特性
3D打印正方体与球的组合体的步骤包括设计模型、切片、打印和后处理等。设计软件可以使用专业的 CAD软件，如SolidWorks、AutoCAD等，也可以使用在线的3D模型设计平台。
手工制作
手工制作正方体与球的组合体需要一 定的手工技巧和材料。可以使用木材、 塑料、纸张等材料，通过切割、折叠、 粘合等步骤制作出组合体。
定义与性质
定义
球是三维空间中，所有与固定点等距的点的集合。
性质
球是中心对称和旋转对称的几何体，其表面是连续且光滑的。
几何形状的特性
1 2
体积
球的体积公式为 V = (4/3)πr³，其中 r 是球的半 径。
表面积
球的表面积公式为 A = 4πr², 其中 r 是球的间距离最短的点，即球心。
高中阶乘公式总结大全多篇
高中阶乘公式总结大全多篇高中阶乘公式总结大全12篇高中阶乘公式总结大全(1)1 元素与集合的关系:,.2 集合的子集个数共有个；真子集有个；非空子集有个；非空的真子集有个.3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式;(2) 顶点式;（当已知抛物线的顶点坐标时，设为此式）(3) 零点式；（当已知抛物线与轴的交点坐标为时，设为此式）（4）切线式：。
（当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时，设为此式）4 真值表：同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式;6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题互逆逆命题若ｐ则ｑ若ｑ则ｐ互互互为为互否否逆逆否否否命题逆否命题若非ｐ则非ｑ互逆若非ｑ则非ｐ充要条件：(1)、，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；（2）、，且q ≠ p，则P是q的充分不必要条件；(3)、p ≠ p ，且，则P是q的必要不充分条件；4、p ≠ p ，且q ≠ p，则P是q的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有成立，则就叫f（x）在xD上是增函数。
D则就是f（x）的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在xD上有定义，若对任意的，都有成立，则就叫f（x）在xD上是减函数。
D则就是f（x）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：等价关系：(1)设那么上是增函数；上是减函数.(2)设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数.8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）奇函数：定义：在前提条件下，若有，则f（x）就是奇函数。
2020新课标高考数学讲义：立体几何含解析
球
S＝4πR2
V＝ πR3
2.空间线面位置关系的证明方法
(1)线线平行： ⇒a∥b、 ⇒a∥b、
⇒a∥b、 ⇒c∥b.
(2)线面平行： ⇒a∥α、 ⇒a∥α、 ⇒a∥α.
(3)面面平行： ⇒α∥β、 ⇒α∥β、
⇒α∥γ.
(4)线线垂直： ⇒a⊥b.
(5)线面垂直： ⇒l⊥α、 ⇒a⊥β、 ⇒a⊥β、 ⇒b⊥α.
(6)面面垂直： ⇒α⊥β、 ⇒α⊥β.
[提醒]要注意空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理中的条件.如由α⊥β、α∩β＝l、m⊥l、易误得出m⊥β的结论、就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件.
3．用空间向量证明平行垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1、b1、c1)、平面α、β的法向量分别为μ＝(a2、b2、c2)、υ＝(a3、b3、c3)．则有：
若存在某个位置．使得AD⊥BC、又因为AD⊥AB、则AD⊥平面ABC、所以AD⊥AC、而斜边CD小于直角边AD、矛盾、故C错误．
6. 如图、在四棱锥PACBD中、底面ACBD为正方形、PD⊥平面ACBD、BC＝AC＝a、PA＝PB＝ a、PC＝ a、则点C到平面PAB的距离为________．
解析：
解析：选B.若存在某个位置、使得AC⊥BD、作AE⊥BD于E、则BD⊥平面AEC、所以BD⊥EC、在△ABD中、AB2＝BE·BD、BE＝ 、而在△BCD中、BC2＝BE·BD、BE＝ 、两者矛盾．故A错误．
若存在某个位置、使得AB⊥CD、又因为AB⊥AD、则AB⊥平面ACD、所以AB⊥AC、故AC＝1、故B正确、D错误．
4．用向量求空间角
(1)直线l1、l2的夹角θ有cosθ＝|cos〈l1、l2〉|(其中l1、l2分别是直线l1、l2的方向向量)．
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正方体的外接 球的球心是体 对角线的交点， 半径是体对角 线的一半
设 正 方 体 的 棱 长a，为则
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体
对
角线ຫໍສະໝຸດ 长3a为3正方体的内 切球的球心 是体对角线 的交点，半 径是棱长的 一半
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