球的组合体问题教师版

题型1：球的截面问题
说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量，
也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．
1.平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 （A ）6π （B ）43π （C ）46π （D ）63π 【答案】B
2.在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积．
解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ． ∵ππ492
2=⋅B O ，∴)(72cm B O = 同理ππ4002
1=⋅A O ，∴)(201cm A O = 设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=．
在A OO Rt 1∆中，22220+=x R ；在B OO Rt 2∆中，2
227)9(++=x R ， ∴222)9(720++=+x x ，解得15=x ，∴2
2222520=+=x R ，∴25=R
∴)(250042
2
cm R S ππ==球．∴球的表面积为2
2500cm π．
3.球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．
分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式2
22d R r -=求出球半径R ．
解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，
∴2
22AC BC AB =+，ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=
，∴22215)2
1
(=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(442
2
===R S ．
4．如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当
球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
（ ）
A ．
3
5003
cm π B ．
3
8663
cm π C ．
313723
cm π
D ．
320483
cm π
【答案】A
题型2：球与几何体的切、接问题
①． 正方体棱长为a ，则其内切球半径r 内切= ；棱切球半径r 外接= ；外接球半径r 外接=
②．长方体长宽高分别为c b a ,,，则其外接球半径r 外接=_________
③．正四面体棱长为a ，则其内切球半径r 内切=_________；外接球半径r 外接=_________
C
B
A
D
S
O
E
④. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．
分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．
解：如图，等边SAB ∆为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDD C ，截球面得球的大圆圆1O ．
设球的半径R OO =1，则它的外切圆柱的高为R 2，底面半径为R ；
R O O OB 330cot 1=︒⋅=， R R OB SO 33360tan =⋅=︒⋅=，
∴334R V π=
球，3222R R R V ππ=⋅=柱， 3233)3(3
1
R R R V ππ=⋅⋅=锥， ∴964∶∶∶∶
锥柱球=V V V ．
1.设长方体的长、宽、高分别为a a a ,,2,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （A ）23a π
（B ）26a
π
（C ）212a
π
（D ） 2
24a
π
【答案】B
【解析】本题考查长方体的外接球问题.
222,46.R R S R a ππ∴∴==
练1.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别 为1，2，3，则此球的表面积为 ．
练2.，则其外接球的表面积是 .:
练3．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为
（ ）
A ．
2 B ．C ．
132
D ．【答案】C
2．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为
92
π
, 则正方体的棱长为 ______.
3.过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．
由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面B C D 与球心的距离R a d -=
36，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 3
3
=，所以222)36()33(
R a R a --=得R a 3
6
2=． 4．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知正四棱锥O-ABCD 的体积为
,底面边长为
,则以O 为球心,OA 为半
径的球的表面积为________. 【答案】24π
5.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O
的球面上，且6,AB BC ==,则棱锥O ABCD
-的体积为 。

6．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的
3
16
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
7. 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．
解：如图，球O 是正三棱锥ABC P -的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．
PH 是正三棱锥的高，即1=PH ．E 是BC 边中点，H 在AE 上，
ABC ∆的边长为62，∴2626
3
=⨯=
HE ． ∴3=PE 可以得到232
1
=⋅=
==∆∆∆PE BC S S S PBC PAC PAB ． 36)62(432==∆ABC S 由等体积法，ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++= ∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=
⨯⨯3631
3233113631
得：263
3232-=+=
R ， ∴πππ)625(8)26(442
2
-=-==R S 球． ∴33)26(3
4
34-==
ππR V 球． 说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出
R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．
8.【2012高考新课标理11】已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
()
A ()
B ()
C ()
D 【答案】A
【解析】ABC ∆的外接圆的半径r =
O 到面ABC 的距离d ==,SC 为球O 的直径
⇒点S 到面ABC 的距离为2d =
此棱锥的体积为11233ABC V S d ∆=
⨯==
另：1236
ABC V S R ∆<
⨯=
排除,,B C D ,选A. 9．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与
前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．
分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．
解：四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高3
62)332(222=⋅
-=
h ． 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3
6
22+．。