武汉市部分重点中学2017—2018高一上学期期末数学试卷(五校联考)含详细答案

武汉市部分重点中学2017—2018学年度上学期期末测试高一数学试卷命题人：武汉市第14中学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.已知cos⁡α=45，sin⁡α=−35，那么2α的终边所在的象限为（ ）A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合A ={y |y =log 2⁡x,x >0}，B ={y |y =(12)x,x >1}，则A ∩B =（ ）A (12,1) B ⁡⁡(0,12) C (0,1) D ∅3.已知函数f (x )=3sin⁡(2x +π4)若对任意的x ∈R 都有f (a +x )=f (a −x )，则f (a +π4)=（ ）A. 0B. -3C. 3D. 以上都不对 4.已知sin⁡140°=a ，则tan⁡1700=（ ） A √1−a 2B√1−a 2C −√1−a 2aD√1−a 2a5.已知函数f (x )={|lgx |,x >0−x(x +4),x ≤0则函数y =f (x )−3的零点的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 6.计算a√−1a 等于（ ）A. √−aB. √aC.⁡−√−aD. −√a 7.⁡sin⁡570−sin⁡270cos⁡300cos⁡27o =（ ）A. −√32B. −12C. 12D.√328.已知sin⁡α=13+cos⁡α，且α∈(0,π2)，则cos⁡2αsin⁡(α−π4)的值为（）A. √173B. −√173C. √343D. −√3439.已知函数f(x)=cos2ωx+2√3sin⁡ωx⋅cos⁡ωx−sin2⁡ωx，(ω>0,x∈R)的最小正周期为π，则函数f(x)的图像的一条对称轴方程是（）A. x=π12B.⁡x=π6C.⁡x=π12D. x=π310.下列结果为√3的是（）①tan⁡250+tan⁡350+√3tan⁡250⋅tan⁡350;②sin⁡1640sin⁡2240+sin⁡2540sin⁡3140;③1+tan⁡15°1−tan⁡150;④2tan⁡π61−tan2⁡π6A.⁡①②B. ①②③C. ①③④D. ①②③④11.对于函数f(x)=4sin⁡(2x+π3)，(x∈R)，有以下四个判断：①把y=sin⁡2x的图像先沿x轴向左平移π3个单位，再将纵坐标伸长到原来的4倍（横坐标不变）后就可以等到函数y=f(x)图像；②该函数图像关于点(π3,0)对称；③由f(x1)=f(x2)=0可得x1−x2必是π的整数倍；④函数y=f(x)在[−π3,π12]上单调递增。

其中正确判断的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 412.设x,y∈R，且满足{sin(x−1)+2017(x−1)=cos2018π3sin(y−1)+2017(y−1)=cos2017π6，则x+y=（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.求使不等式√2+2cos⁡x ≥0，(x ∈R )成立的x 的取值集合为 14.化简：sin⁡50°(1+√3tan⁡100)=15.若f (x )=2sin⁡ωx ，(0<ω<1)在区间[0,π3]上的最大值为1，则ω=16.对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ={a,a ≥bb,a <b ，设函数f (x )=sin⁡x ⊗cos⁡x ，(x ∈R )，下列说法正确的序号是 ①y =f (x )是周期函数，且周期为2π；②该函数的值域为[−√22,1]；③该函数在[π2,5π4]上单调递减；④f (2π3)=√3z三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合A ={x |−2≤log z ⁡x ≤1}，函数f (x )=4∗−2x+1−1，求x ∈A 时f (x )的最大值。

18.（本小题满分12分）已知−π2<α<π2，−π2<β<π2，且tan⁡α、tan⁡β是方程x 2+7x +8=0的两个根，求α+β的值。

19.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数f (x )=Asin⁡(ωx +φ)+B ，(A >0,ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：（I ）请求出上表中的x 1,x 2,x 3，并直接写出函数f (x )的解析式；（II ）将f (x )的图像上点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把所得图像上所有点向右平移π12个单位，得到函数g (x )，若当χ0∈(0,π4)且g (x 0)=4√25时，求g (x 0+π6)的值。

20.（本小题满分12分）定义运算：(abcd)=ad −bc ，设函数f (x )=(√3sinx cosx⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡sinx−√3cosx )函数g (x )=f (x )+a（I ）求函数f (x )的最小正周期 （II ）若函数g (x )在[−π12,5π12]上的最大值与最小值之和为√3，求实数a 的值21.（本小题满分12分）人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，1989年7月11日本定为“世界人口日”，以引起国际社会对人口问题的重视（I）世界人口在过去的50年里翻了一番，问每年世界人口平均增长率是多少？（II）我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在今年（2018年）底至多将有多少亿？以下数据供计算时使用22.（本小题满分12分）对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为“漂亮函数”①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时，总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立已知函数g(x)=x2与T(x)=sin⁡x和ℎ(x)=2x−b都是定义在[0,1]上的函数（I）请证明函数g(x)=x2为“漂亮函数”；（II）试问函数T(x)=sin⁡x是否为“漂亮函数”？并说明理由；（III）若函数ℎ(x)=2x−b是“漂亮函数”，求实数b组成的集合。

参考答案及解析13.⁡x∈[−34π+2kπ,34π+2kπ],k∈Z14. 115. 1216. ①②③④详细解析如下：一、选择题1.D∵cos⁡α=45,sin⁡α=15∴α∈(−π4+2kπ,2kπ)∴2α∈(−π2+4kπ,4kπ)故2α在第四象限2.BA=(−∞,+∞)，B=(0,12)∴A∩B=(0,12)3.A∵f(a+x)=f(a−x)∴对称轴为x=a∴2x+π4=π2+kπx=π8+kπ2∴a=π8+kπzf(a+π4)=3sin⁡[2(π8+kπ2+π4)+π4]=3sin⁡[π4+kπ+π2+π4]=3sin⁡[kπ+π]=04.B∵sin⁡170°=−sin⁡190o =−a ∴ cos⁡170°=−√1−a 2 ∴tan⁡170°=−a −√1−a 2=a √1−a 25.D由图像可知，y =f (x )−3的零点个数必有4个 6.C∵−1a >0 ∴a <0原式=−(−a )√−1a=−√(−a )2⋅1−a=−√−a 7.C 原式=sin⁡(270+30°)−sin⁡270cos⁡300cos⁡270=sin 270cos 30°+cos 270sin 300−sin 270cos 300cos 270=sin 300 =128.D∵sin⁡α−cos⁡α=13∴⊢2sin⁡αcos⁡α=112sin⁡αcos⁡α=89∴(sin⁡x +COSα)2=179∵α∈(0,π2)且sin⁡αcos⁡α>0 ∴sin⁡α+cos⁡α=√173原式=22√22(sin⁡α−cos⁡α=−√2(cos⁡α+sin⁡α)=−√3439.Bf(x)=cos2ωx−sin2⁡ωx+2√3sin⁡ωxcos⁡ωx =⁡cos⁡2ωx+√3sin⁡2ωx=⁡2sin⁡(ωx+π6)∵T=π∴2πω=πω=2∴f(x)=2sin⁡(2x+π6)对称轴2x+π6=π2+kπx=π6+kπ2k=0时，x=π610.C①⁡tan⁡(25°+35°)=tan⁡25°+tan⁡35°1−tan⁡25°tan⁡35°=√3故tan250+tan350+√3tan250⋅tan350=√3②sin1640sin2240+sin2540sin3140=⁡−sin16°sin44°+sin74°sin46°=⁡−sin16°sin44°+cos16°cos44°=⁡cos⁡(16°+44°)=cos600=⁡12③1+tan⁡15°1−tan⁡150=tan 45°+tan 15°1−tan 45°tan 15°=tan 30° =√3 ④原式=2⋅√331−13=√311.B①y =sin⁡2x 向左平移π3个单位得y =sin⁡2(x +π3)即y =sin⁡(2x +23π)，横坐标不变，纵坐标伸长4倍得y =4sin⁡(2x +23π)，故①错误②f (π3)=4sin⁡(23π+π3)=4sin⁡π=0 正确③∵T =π且f (x 1)=f (x 2)=0∴|x 1−x 2|=π2+kπ 相隔π2的整数倍，故错误④π12−(−π3)=512π<T2f (π12)=4sin⁡(π6+π3)=4 为最大值 故④正确 12.B⁡cos⁡20183π=cos⁡(672π+23π)=cos⁡23π=−12sin⁡20176π=sin⁡(336π+16π)=sin⁡16π=12∴两式相加为0设f (x )=sin⁡x +2017x ，显然f (x )=−f (−x )为奇函数且单调递增 又f (x −1)+f (y −1)=0 ∴x −1+y −1=0，即x +y =2二、填空题13 √2+2cos⁡x≥0cos⁡x≥−√22∴x∈[−34π+2kπ,34π+2kπ],k∈Z14.原式=sin50°⋅cos10°+√3sin10°cos10°=sin50°⋅2sin40°cos10°=⁡sin⁡80°cos⁡10°=115. ∵0<ω<1,x∈[0,π3]∴ωx∈(0,π3)∴f(x)=2sin⁡ωx在[0,π3]上单调递增∵f(x)在[0,π3]最大值为1∴f(π3)=1∴2sin⁡ωπ3=1∴ωx3=π6∴ω=1216.画出函数图像，由图像可知T=2π，f(x)∈[−√22,1]，f(23π)=sin⁡23π=√32故①②③④都正确三、解答题17.∵⁡A={x|−2≤log2x≤1}∴A∈[14,2]f(x)=(2x−1)2−2在A∈[14,2]上单调递增∴f(x)max=f(2)=718.∵⁡tan⁡α+tan⁡β=−7<0tan⁡αtan⁡β=8>0∴tan⁡α<0,tan⁡β<0∵−π2<α<π2，−π2<β<π2∴−π2<α<0，−π2<β<π2∴α+β∈(−π,0)tan⁡(α+β)=tan⁡α+tan⁡β1−tan⁡αtan⁡β∴α+β=−34π19.（I）{π12ω+φ=π27π12ω+φ=32π解得{ω=2φ=π3A=√2 B=0∴f(x)=√2sin⁡(2x+π3)∴{2x1+π3=02x2+π3=π2x3+π3=2π解得{x1=−π6x2=π3x3=5π6（II）g(x)=√2sin⁡(x−π12+π3)=√2sin⁡(x+π4)∵g (x 0)=45√2 ∴√2sin⁡(x 0+π4)=45√2 ∴sin⁡(x 0+π4)=45 ∵x 0∈(0,π4) ∴x +π4∈(π4,π2) ∴cos⁡(x +π4)=35 g (x 0+π6)=√2sin⁡(x 0+π6+π4) =√2[sin⁡(x 0+π4)cos⁡π6+cos⁡(x 0+π4)sin⁡π6] =√2[45⋅√32+35⋅12] =65√6+310√220.（I ）f (x )=sin⁡x(sⅈ.nx +√3cos⁡x)−cos⁡x(cos⁡x −√3sin⁡x) =2√3sin⁡xcos⁡x +sin 2⁡x −cos 2⁡x = √3sin⁡2x −cos⁡2x=2sin⁡(2x −π6) T =2π2=π（II ）g (x )=f (x )+a =2sin⁡(2x −π6)+a ∵x ∈[−π12,512π] ∴2x −π6∈[−π3,23π]∴g (x )max =2+a ，g (x )min =−√3+a∴2+a −√3+a =√3a =√3−121.（I ）设平均增长率为x(1+x )50=2log (1+x )⁡2=50lg2lg(1+x)=50lg(1+x)=lg250=0.301050lg(1+x)=0.00602≈lg1.014∴1+x≈1.014x≈1.4%（II）12.48×(1+1%)20设(1+1%)20=Nlog1.01N=20lgNlg1.01=20lgN=20×0.0043lgN=0.086∴N=1.218∴12.48×1.218=15.2006422.（I）∵g(x)=x2在[0,1]上单调递增∴g(x)≥g(0)=0即x∈[0,1]时总有g(x)≥0当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时g(x,+x2)−g(x1)−g(x2)=(x1+x2)2−x12−x22=2x1x2≥0∴g(x1+x2)≥g(x1)−g(x2)∴g(x)=x2为“漂亮函数”（II）T(x)=sin⁡x在[0,1]上单调递增∴T(x)≥T(0)=0T(x,+x2)−T(x1)−T(x2)=sin⁡x1cos⁡x2+cos⁡x1sin⁡x2−sin⁡x1−sin⁡x2 =sin⁡x1(cos⁡x1−1)+sin⁡x2(cos⁡x1−1)<0不是“漂亮函数”（III）∵ℎ(x)min=ℎ(0)=1−b≥0∴b≤1ℎ(x1+x2)−ℎ(x1)−ℎ(x2)=2x1+x2−2x1−2x2+b≥0b≥2x1+2x2−2x1+x2当x1=x2=0时，b≥1∴b=1。