非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法
数学中的非线性动力系统
数学中的非线性动力系统在数学领域中，非线性动力系统是一种研究系统中相互作用的复杂现象的分支。
它在探索生物学、物理学、经济学等多个领域中具有广泛的应用。
本文将讨论非线性动力系统的基本概念、数学模型和动力学行为。
一、基本概念非线性动力系统是由非线性微分方程或离散差分方程描述的系统。
相比线性系统，非线性系统的特点在于其输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，而是包含更为复杂的非线性函数。
二、数学模型非线性动力系统可以用一组微分方程或差分方程表示。
其中，最常见的非线性微分方程模型之一是洛伦兹方程，它描述了空气流体中对流运动的行为。
洛伦兹方程可以表示为：dx/dt = σ(y - x)dy/dt = x(ρ - z) - ydz/dt = xy - βz其中，x，y，z是系统的状态变量，t是时间，σ，ρ和β是模型中的参数。
三、动力学行为非线性动力系统的动力学行为多样且复杂。
其中最常见的动力学行为包括稳定点、周期解、混沌和吸引子。
1. 稳定点：当系统的状态变量不发生变化时，称之为稳定点。
稳定点有两种类型，分别是吸引性稳定点和不稳定点。
2. 周期解：当系统的状态变量在一定时间范围内以周期性方式变化时，称之为周期解。
周期解与稳定点不同，它们的动态行为是有规律可循的。
3. 混沌：混沌是非线性动力系统中最令人困惑和吸引人的现象之一。
它是指系统的状态变量在长时间内表现出高度的不可预测性和敏感性。
混沌系统具有无限数量的周期解，其轨迹在相空间中像蜿蜒曲折的河流一样。
4. 吸引子：吸引子是非线性系统中的一个重要概念，它描述了系统动力学行为的基本特征。
吸引子是一种在状态空间中具有稳定性的集合，它可以将系统的运动轨迹吸引到其中。
四、应用领域非线性动力系统的研究与实际应用密切相关。
以下是一些应用领域的例子：1. 生物学：非线性动力系统可以用于研究生物体内的神经活动、心脏跳动等生物过程。
2. 物理学：非线性动力系统可以用于描述混沌现象、相变行为以及复杂系统中的粒子运动等。
非线性动力系统的数值计算方法及稳定性分析
非线性动力系统的数值计算方法及稳定性分析非线性动力系统是一种非常常见的实际物理系统，例如电路、化学反应、天气系统等，它们的行为通常比线性系统更加复杂。
数值计算非线性动力系统的稳定性与动力学特性是一个非常重要的课题，对于研究和预测实际系统的行为有着非常重要的意义。
在本文中，我们将介绍几种常见的非线性动力系统的数值计算方法及它们的稳定性分析。
一、欧拉法欧拉法是动力系统数值计算中最基本的一种方法。
它的基本思路是将连续的时间离散化，将微分方程转化成差分方程，然后用迭代的方式求解。
欧拉法的迭代公式为：$$y_{n+1}=y_{n}+hf(y_n)$$其中，$h$为步长，$f(y_n)$是微分方程在$y_n$处的导数。
欧拉法是一种比较简单易懂的方法，但是它的稳定性较差，容易产生数值误差。
欧拉法对于初始值的依赖性很强，如果步长$h$选取过大，就会导致解的不稳定。
因此，在使用欧拉法进行数值计算时，我们需要根据实际问题来调整步长，以保证数值解的正确性。
二、龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常见的数值积分方法，在动力系统数值计算中也常常被使用。
它的基本思路是利用微分方程的某些性质，选取合适的时间步长和权重，在数值上求得微分方程的积分近似解。
龙格-库塔法通常可以由一些权重系数和步长系数组成，如下：$$Y_{n+1}=Y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$$$k_1=hf(Y_n)$$$$k_2=hf(Y_n+\frac{1}{2}k_1)$$$$k_3=hf(Y_n+\frac{1}{2}k_2)$$$$k_4=hf(Y_n+k_3)$$其中，$k_1,k_2,k_3,k_4$均为微分方程在相应位置处的导数。
龙格-库塔法比欧拉法更加稳定，适用于多数动力系统的数值计算。
但是，龙格-库塔法在计算一些比较长时间范围内的运动时，需要降低步长以保证解的精度。
同时，权重系数和步长系数也需要根据具体问题调整，才能得到更加准确的数值解。
非线性动力学系统的建模与分析
非线性动力学系统的建模与分析深入探究非线性动力学系统的建模与分析在科学研究中，许多系统都具有非线性特征，只有对这些系统进行深入的研究和建模，才能更好地了解其规律和特性。
非线性动力学系统的建模与分析，便是其中重要的一个方面。
一、非线性动力学系统的基本概念非线性动力学系统是由一个或多个非线性微分方程组成的系统，其特点在于其响应不随着输入信号呈线性变化。
这种系统一般存在着混沌现象、周期现象或者其他的非线性现象，因此其建模和分析具有很大的挑战性。
二、非线性动力学系统的建模方法1. 全局建模法全局建模法是一种直接把原系统转化为通用数学形式的建模方法，其核心是准确地描述系统的动力学状态，并且建立一个合适的数学模型以描述其动态行为。
2. 基于神经网络的建模法基于神经网络的建模法通过构建一种可以学习的算法，来从实验数据中获取非线性系统的内在结构和动态特征。
3. 非线性滤波法非线性滤波法是以基本的线性和非线性滤波器为基础来建立非线性动力学系统模型的方法。
三、非线性动力学系统的分析方法1. 稳态分析法稳态分析法主要是通过计算系统的稳定点、特征值和特征向量等指标来研究非线性系统的稳定性和性态。
2. 线性化分析法线性化分析法是将非线性系统模型线性化后，研究其内在特征，例如特征值和特征向量。
3. 数值分析法数值分析法是通过计算机模拟和数值解析方法，来研究非线性系统的动态特性和性态。
其中最为常用的方法包括Euler法和Runge-Kutta法等。
四、实例分析以一个简单的非线性动力学系统为例，假设其状态方程如下：$$\begin{cases} \dot{x}=y \\ \dot{y}=-\sin{x}-\cos{y}\end{cases}$$应用数值分析法，我们可以通过Euler法进行模拟仿真。
在t=10时，得出系统的稳定点位于(x,y)=(nπ,nπ/2)，n为整数。
此外，我们还可以通过计算特征值和特征向量等指标，来研究该系统的特性。
非线性动力分析方法
二 经典非线性测量方法
4.K熵 K熵（柯尔莫哥洛夫熵） S熵（香农熵，信息论） 一个吸引子的K熵是它（吸引子）所表示
的动态系统的信息损失率。 等于该系统具有的所有正Lyapunov指数
之和。
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二 经典非线性测量方法
四 小结
• 小结 采用何种方法 非线性分析
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一 非线性动力系统
3.吸引子及其特性 c.Torus 准周期 不可通约
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一 非线性动力系统
• 奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它 们的特点之一是终态值与初始值密切相关 ，或者说对初始值具有极端敏感性；初始 取值的细微差别可能会导致完全不同的结 果，这时的吸引子毫无周期可言，即所谓 混沌。
非线性动力分析方法
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Outline
一、非线性动力系统
二、经典非线性测量方法
三、例子
四、小结
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一 非线性动力系统
1.线性与非线性 线性方程： y(t)=a*t+b1 非线性方程： Y(t)=cos(t)+b2; Y(t)=t^2+b3
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吸引子可存在于高维相空间内。在这相空间中大于零的李雅普诺夫指数可能不止一个，
非线性代数方程组的数值解法
a (a
2u ) (2 ) 0
i m i 1 m i m i 1 m
i 1 i 1 i 1 i i 1 i i 1 i 1 am am 2am um 2m m m m 0 a
1 2 1i 1 1i 1 (im ) 2 1i 1 i 1 2 1i 1 um im 2 i 1 2
a
i 1 m
i 1 1 i 1 m
i 1 2
i 1 i i2 ( K T ) P m m
1 2 1 a(im ) 2bim c 0
4
增量弧长法
a(
i 1 2 m
) 2b
i 1 m
c 0
式中系数为
a 1 ( 1i 1 ) T ( 1i 1 )
3 增量方法
混合法:在增量法每一增量步进行自修正的迭 代计算。其m增量步n次迭代的计算公式为 自修正 n n 1 n 不平衡力 am ( K Tm ) ( R m Pm ) n n n 1 n n Pm (a m , m ) am a a 1 m m 在实际计算中，对于 m＜M-1的各增量步的 计算，可以只进行少许几次(例如3次)迭代， 而对于m=M-1，即最后的一个荷载增量，需耍 使用较多次迭代，以使近似解更接近于真解。 用混合法求解时，所选取的荷载增量的步长 可以比普通增量算法的步长大一些。
3
增量方法
求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。 使用这种方法需要知道“荷载”项(R)为零时问 题的解(a)0。在实际问题中，(R)经常代表真实 荷载，(a)0 代表结构位移。在问题的初始状态， 它们均为零。这种从问题的初值开始，随着荷 载列阵(R)按增量形式逐渐增大，研究(a)i的变 化规律的方法，称为增量方法。
非线性动力系统的建模与分析
非线性动力系统的建模与分析非线性动力系统是指其运动方程包含非线性项的动力系统。
与线性动力系统不同，非线性动力系统具有更加复杂的行为和特性。
因此，建模和分析非线性动力系统是理解和预测实际系统行为的重要一环。
本文将介绍非线性动力系统的建模方法以及各种分析工具和技术。
一、非线性动力系统建模方法：1. 分析系统的特性：了解系统的背景和工作原理，找出系统的主要组成部分和相互作用关系。
这样可以更好地理解系统行为和特性，为后续的建模提供基础。
2. 选择适当的数学模型：非线性动力系统可以用多种数学模型进行描述，如微分方程、差分方程、动力学方程等。
根据系统的特性和需求，选择适合的数学模型是非常重要的。
3. 确定系统的状态变量：状态变量是描述系统状态的变量，可以是位置、速度、温度等。
根据系统的特性和需要，确定适当的状态变量是非线性动力系统建模的关键一步。
4. 构建系统的运动方程：根据数学模型和状态变量，建立非线性动力系统的运动方程。
这些方程描述了系统的演化规律和相互关系，是进一步分析系统行为的基础。
5. 校验和验证模型：将模型与实际数据进行比较和验证，确保模型能够准确描述系统的行为和特性。
如果有必要，可以对模型进行调整和改进，以提高模型的准确性和可靠性。
二、非线性动力系统分析工具和技术：1. 稳态分析：稳态分析是研究系统在长时间尺度下的行为稳定性和平衡点的性质。
通过稳态分析，可以判断系统的稳定性和吸引子的性质，进一步预测系统的长期行为。
2. 线性化分析：将非线性动力系统线性化为一组近似的线性方程，以便在局部范围内对系统进行分析。
线性化分析可以简化非线性系统的复杂性，从而更好地理解系统的行为和特性。
3. 相平面分析：相平面分析是用相图表示系统状态的演化和相互关系。
通过分析相图的特征，可以得到系统的稳定性和周期解等信息，为进一步研究系统的行为提供参考。
4. 分岔分析：分岔分析是研究系统参数变化时系统行为的变化和性质的分析方法。
非线性系统的线性方法
非线性系统的线性方法
非线性系统表现出的动力学特性比线性系统要复杂，因此通常不能直接使用线性方法来分析或控制非线性系统。
然而，还有一些基于线性化的方法可以在一定程度上处理非线性系统，这些方法被称为线性方法。
其中最常用的线性方法包括：
1. 线性化方法：通过在某个工作点附近对非线性系统进行泰勒展开，得到一个线性模型，然后使用线性系统的理论和方法来分析和控制该线性模型。
这种方法适用于非线性系统在某个工作点附近的小扰动，且要求非线性系统在其他工作点上的行为与线性模型类似。
2. 线性误差反馈（LEF）方法：通过估计非线性系统与线性系统的误差，并利用误差来设计一个线性系统的反馈控制器。
该方法的关键是如何估计非线性系统与线性模型之间的误差，通常使用状态观测器或者误差动态模型来实现。
3. 线性拟合方法：通过在非线性系统的某个工作点上采集大量数据，并利用数据拟合技术（如最小二乘法）来得到一个线性模型。
然后使用线性系统的方法来分析和控制该线性模型。
这种方法适用于非线性系统在某个工作点附近的输入输出数据已知的情况。
需要注意的是，这些线性方法只是对非线性系统的一种简化处理，只能在一定程
度上解决非线性系统的分析和控制问题。
对于复杂的非线性系统，需要使用更加复杂和全面的非线性方法来分析和控制。
非线性动力系统的数值计算方法及稳定性分析
非线性动力系统的数值计算方法及稳定性分析非线性动力系统是指系统中的动力学方程无法通过线性变换等简单方法化简为线性形式的动力系统。
这类系统具有复杂的行为和性质，其数值计算方法和稳定性分析非常具有挑战性。
本文将介绍非线性动力系统的数值计算方法，并对其中一些常用方法的稳定性进行分析。
为了数值计算非线性动力系统，在时间上离散化动力学方程是首要任务。
最简单的方法是使用欧拉法，即将连续时间上的动力学方程转化为离散时间上的差分方程。
欧拉法公式如下：\[x_n = x_{n-1} + hf(x_{n-1})\]其中，\(x_n\)表示在时间步n上的系统状态，\(f(x_{n-1})\)是在时间步n-1上的系统状态的导数。
h是时间步长。
这种方法的优点是简单易行，但由于其误差随时间步长的平方增长，因此需要小心选择时间步长，以保证计算结果的精确性。
一种改进的方法是四阶龙格-库塔法（RK4）。
RK4方法将时间步长内的系统动力学进行多次迭代，以获得更精确的结果。
RK4方法的公式如下：\begin{align*}k_1 & = hf(x_{n-1}) \\k_2 & = hf(x_{n-1} + \frac{k_1}{2}) \\k_3 & = hf(x_{n-1} + \frac{k_2}{2}) \\k_4 & = hf(x_{n-1} + k_3) \\x_n & = x_{n-1} + \frac{k_1}{6} + \frac{k_2}{3} +\frac{k_3}{3} + \frac{k_4}{6}\end{align*}\]与欧拉法相比，RK4方法具有更高的精度，但计算量也相对更大。
此外，还有一种常见的数值计算方法是基于级数展开的方法，如幂级数法和泰勒级数法。
这些方法通过将非线性动力学方程展开为多项式级数，以近似求解系统的状态。
这些方法的优点是可以通过增加级数的项数来提高精度，但随着级数项的增加，计算量也会显著增加。
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垫拯生』选盆煎非线性动力系统的连续线性化模型及其数值计算方法。
苏志霄郑兆昌（清华大学工程力学系，北京，１０００８４）谁≮＇Ｉ广摘要秭４用Ｔａｙｌｏｒ级数展开导出了任意自治或非自治非线性动力系统的瞬时线性化方程，该线性方程的连续变化描述了系统的全部复杂动力行为。
进一步求解系统的线性化方程，得到一种非线性动力系统数值计算的新的递推格式，计算实例表明其精度高于传统的Ｈｏｕｂｏｌｔ、Ｗｉｌｓｏｎ．ｏ及Ｎｅｗｍａｒｋ－１３等方法，且在计算时间步长较大时，仍然具有足够的计算精度３文末通过数值计算研究了Ｄｕｆｆｉｎｇ方程和ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的混沌及周期特性。
关键词非线性动力系统连续线性化模型Ｄｕｍｎｇ方程ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌ方程近年来，非线性动力系统的定性分析方法在低维系统中的应用已逐步完善。
然而。
由于非线性系统一般不存在解析解，因此通常利用逐步积分法、有限差分法［１，２］及其他方法，如Ｔａｙｌｏｒ变换法［３】等数值算法得到其数值解。
各种数值方法均是基于时间历程上的差分方法，也即通过各种形式的函数曲线来近似代替时间步长上振动系统的实际响应形式。
运动学研究历史上，静止被认为是运动的瞬时存在状态。
与此类似，线性结构可认为是非线性系统的瞬时表现形式，线性系统的连续变化反映了非线性动力系统的全部复杂行为。
非线性系统的瞬态响应依赖于该瞬时的线性结构，而该时刻线性结构的确定又依赖于上一连续瞬时非线性系统的响应。
因此，非线性系统的响应具有连续递推性。
由此观点可发展为非线性动力系统的连续线性模型理论。
本文即从此出发，推导了一般自治或非自治非线性动力系统的瞬态线性方程，精确求解该线性化方程得到非线性系统的一种新的数值算法。
该方法本质上以瞬态线性结构的精确响应来近似代替离散时间段内非线性系统的响应，区别于传统差分方法中以直线或各种曲线近似代替的思想。
计算实例表明该方法较传统方法相比，大大提高了计算精度。
文末计算了强迫Ｄｕｆｆｍｇ方程与强迫ｖａｌｌｄｅｒＰ０１方程的混沌及周期特性。
１非线性系统的连续线性化模型考虑相空间中的，ｌ维自治或非自治非线性系统‘国家重点基础研究发展规划项目（编号：Ｇ１９９８０２０３１６）。
国家自然科学基金资助项目（ＮＯ．１９９７２０２９），中国博士后科学基金资助项目（中博基【１９９９】）１７号。
！望２幽生主圄谴±生生查垄金逢圭塞ｄ＝ｆ（ｕ，ｆ）ｆ１）其中ｕ＝缸。
“。
…“。
）Ｔ，ｆ（ｕ，ｆ）＝矗（ｕ，ｆ）Ａ（ｕ，ｆ）…＾（ｕ，ｆ））Ｔ，且ｕ∈ＤｃＲ一。
ｆ为（Ｄ，Ｒ）到Ｄ上的Ｃ”映射。
考虑时刻ｔ＝ｔ，设此时相空间中的状态值为ｕ（∞＝每。
（Ｄ１／２（Ｄ…／＇／ｎ（曰）Ｔ，于是将ｆ（ｕ，，）在ｔ处展开为Ｔａｙｌｏｒ级数眠嗍㈣ｍｃ㈣·制。
＋缸∽哪，，式中角标（Ｔ）表示ｔ＝ｔ，ｕ＝ｕ（Ｔ），ｏ伍）表示（ｒ—ｔ）和［ｕ（ｔ）一ｕ（Ｔ）］的高阶小量。
当时间ｔ属于ｔ的右极小邻域内，即ｔ∈ｎ，Ｔ＋矾】时，略去上式中的高阶项ｏ（Ｅ）影响其精度极小，于是㈣㈣肿卜兮剿。
十和廿“训令Ａ（田：ｉ坚警到，ｗ（∞：ｉ！！｝堕ｌ，于是将（３）式整理为仇１ｈｄｔｆ（ｔ】ｄ＝Ａ（ｆ）ｕ＋（ｔ—ｆ）Ｗ（ｆ）一Ａ（ｆ）ｕ（ｆ）＋ｆ（ｕ（ｚ），ｆ），ｆ∈【ｆ，ｆ＋ｄｚ】（４）（４）式即为非线性系统（１）在ｔ＝ｔ时刻右极小邻域内的瞬态线性化方程，当时间ｔ连续变化时，该线性化方程也连续变化。
非线性系统任意时刻的响应依赖于其上一连续时刻的线性化方程，而该连续化方程的确定又依赖于该时刻非线性系统的响应，因此，非线性系统的解对初值具有连续依赖性。
２非线性系统的数值方法（４）式为一个非齐次线性系统的方程，根据线性微分方程理论［４】’得到其解析解如下ｕ（ｔ）＝Ｐ‘“Ⅺ叫’ｕ（ｔ）＋１１ｅＡ（。
ｔｘｔ－，）【ｆ（ｕ（ｔ），百）一Ａ（伽（ｔ）＋（Ｊ－＇ＯＷ（＇Ｏ］ｄｓ（５）其中ｔ∈ｎ，ｔ＋疵１，采用梯形积分法计算（５）式得盼卅喜尘≠心榔）＋譬（删＋ｇ（ｔ）（㈨）＋半（ｗ（６）其中ｔ∈ｎ，ｔ＋州，ｇ（ｘ）＝ｆ（ｕ（Ｔ），ｔ）一Ａ０；）ｕ（ｘ）。
当时间历程被离散化后，上式中以ｔ代替１，以ｔ＋Ａｔ代替ｔ，可得非线性系统数值计算的一种递推格式为ｎ和＋△力＝ｎ④十砉等Ａ∞抽钟＋甙力争十ｇ（，）缸＋ｗ＠等（７）玲一等事实上，上式描述的数值方法本质上在时间步长上以一个线性系统的解来近似代替非线性系统的实际解，由于线性系统的解具有封闭性，因此构成非线性系统的数值解Ｆｄ样具有封闭性，也即当计算时间较长时不会造成较大的累积误差。
下面以非线性单摆为例进行计算并说明该方法的优越性。
非线性单摆的振动方程为０＋∞：ｓｉｎ０＝０（８）其中∞：＝ｇ／ｌ，ｇ为重力加速度，ｆ为摆长。
数值计算的参数及初始条件为ｇ＝９．８，ｆ－１，ｅ（ｏ）＝０Ｒａｄ，ｅ（ｏ）＝６．２Ｒａｄ／Ｓｅｃ，计算时间为４秒。
单摆振动的最大摆角由能量守恒原理得到为ｅ～＝２．８６２２０Ｒ她。
表１为不同时间步长下采用Ｈｏｕｂｏｌｔ法、Ｗｉｌｓｏｎ－Ｓ．法、Ｎｅｗｍａｒｋ－［］．法及递推式（７）（其中求和级数中ｋ取至５）四种数值方法的最大摆角计算结果及误差。
分析计算结果可知，在各种传统方法中，以Ｎｅｗｍａｒｋ－Ｄ．法的计算精度最高。
而本文方法较Ｎｅｗｒａａｒｋ－Ｄ．法的误差约减小一半，且当时间步长较大时，仍然具有一定的计算精度。
衰，非线性单摆最大撄角数值计算结果３Ｄｕｆｆｉｎｇ方程与ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的数值解下面利用本文方法计算Ｄｕｆｆｍｇ方程与Ｖａｉｌｄ口ＰＤｌ方程的数值解，并通过计算结果分析这两个经典非线性系统的动力学特性。
强迫Ｄｕｔｆｉｎｇ振动的方程为ｊ＋缸一ｋｘ＋ｚ３＝ｂｃｏｓ∞ｔ强迫ｖａｉｌｔｉｅｒＰｏｌ振动的方程为置＋Ｕ（ｘ２—１）ｋ＋工＝ｂｃｏｓ（Ｏｔ（１０１其中Ｄｕｆｆｍｇ方程的参数取为ｋ－－－０、８＝０．２５、６＝８．５、∞２１，ＶａｌｌｄｅｒＰｏｌ方程的参数取为肛＝５、ｂ＝５、∞＝２．４６６。
！丝！！螋生主垦竖±壁芏查盘金鱼耋基图１Ｄｕ腼Ｉｇ方程的Ｐ０ｉＩＩｃａ托截面图图２ｖ锄ｄｅｒＰ０ｌ方程的Ｐｏｉｌｌｃ：ｋ截砸图（∞－２．４６６）图１和图２分别为计算得到的Ｄｕｆｆｉｎｇ方程与ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｔ６截面图。
可见，在上述参数下，Ｄｕｆｆｍｇ方程产生混沌运动，其Ｐｏｉｎｃａｒ６截面反映出系统具有一个复杂的Ｕｅｄａ混沌吸引子；ｖａｎｄｅｒＰｏｌ方程则产生一个周期３运动，而在以往的研究结果中，在同样的参数下，认为ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程经由倍周期分叉产生混沌“。
作者通过进一步计算结果表明，当参数Ｕ和ｂ保持不变时，需要更高的强迫力频率才能使系统产生混沌运动，如当ＣＯ＝１０时，ＶａｎｄｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｒ６截面如图３，可见此时系统具有一个混沌吸引子。
图３ＶａｉｌｔｉｅｒＰｏｌ方程的Ｐｏｉｎｃａｒ６截面图（ｔｏ＝１０）有关应用连续线性模型理论对高维非线性系统进行模态缩减及相应的计算方法，作者将另文介绍。
参考文献Ⅲ１郑兆昌机械振动（中册）．北京：机械工业出版杜，１９８６【２］ＷｅｅｄＷＬ，Ｐｒａｃｔｉｃａｌ＂Ｃｔｒａｅ－ｓｔｅｐｐｉｎｇＳｃｈｅｍｅｓＣｌａｒｅｎｄｏｎＰｒｅｓｓ，Ｏｘｆｏａ＇ｄ，１９９０【３）３ＣｈｉｏｕＪＳ，ＴｚｅｎｇＪＲ．Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ山ｅＴａｙｌⅡＴｒａａｓｆｃｃｍｔｏＮｏｎｌｉｎｅａｒＶｉｂｒａｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓ＂Ｉｔ＇ａｎ．ｓ∞ｆｉｏｎｓｏｆ山ｃＡＳ／ｖＩＥ，ＪｏｕｒｎａｌｏｆＶｉｂｒａｔｉｏｎａｎｄＡｃｏｕｓｔｉｃｓ，１９９６１１８：ＰＰ８孓８７【４］李云非线性动力系统的现代数学方法及其应用北京：人民交通出版杜１９９８【５】ＵｌｒｉｃｈＰａｒｌｉｔｚ，ｗⅫＬⅡｔｅｆｌｍｍＰｅｆｉｏｄ－ｄｏｕｂｎａｇｃａｓｃａｄｅｓａｎｄｄｅｖｉｌ’ｓｍｈａｓⅨｏｆｔｈｅ士咖ｖａｎｔｉｅｒＰｏｌ∞ｃｉｌｌａｔｏｔ．ＰｈｙｓｉｃａｌＲｅｖｉｅｗ．Ａ，１９８７，３６（３）：１４２８－１４３４垫垫生垡蠢金丛！堑．ＡＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓＬｉｎｅａｒｉｚａｔｉｏｎＭｏｄｅＩａｎｄＩｔｓＮｕｍｅｒｉｃａＩＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｆｏｒｔｈｅＮｏｎ·ＬｉｎｅａｒＤｙｎａｍｉｃＳｙｓｔｅｍｓＳｕＺｈｉｘｉａｏ，ＺｈｅｎｇＺｈａｏｃｈａｎｇ∞＂ｏｆＥａｇｈｍｌｎｇＭｒｒＡｕｍｉｃｓ，Ｔ￥ｉｌｌｇｈｕａＵｍｖｅｒｓｉ吼Ｂｅｉｊ％１０００８４．Ｏａｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ砷１ｅｔｉｍｅ－ｄｅｐｅｎｄｅｎｔｆｉｎｅａｒｉｚａｆｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｆｏｒａｌｌａｒｂｉｔｒａｒｙａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｏｒｎｏｎ—ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ，ｗｈｉｃｈｃａｌｌｆｕｌｌｙｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｓｙｓｔｅｍｄｙｎａｍｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ｉｓｄｅｄｕｃｅｄｔｈｒｏｕ翻ａｔｈｅＴａｙｌｏｒｐｒｏｇｒｅｓｓｉｏｎｍｅｔｈｏｄ．Ｂｙｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ，ａｎｅｗｍｎｌｌｅｒｉｃａｌｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｉｍｍｆｉｖｅｓｃｈｅｍｅｆｏｒｔｈｅｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍｉｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｐｒａｃｔｉｃａｌｅｘａｍｐｌｅｓｈｏｗｓｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｅｃｉｓｉｏｎｏｆｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｈｉｇｈｅｒｔｈａｎｔｈａｔｏｆｔｈｅｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌｍｅｔｈｏｄ，ｓｕｃｈａｓＨｏｕｂｏｌｔｍｅｔｈｏｄ，Ｗｉｌｓｏｎ一０ｍｅｔｈｏｄａｎｄＮｅｗｍａｒｋ－ｐｍｅｔｈｏｄ，ｅｔｅ，ａｎｄｔｈｅｐｒｅｃｉｓｉｏｎｉｓｈｉ曲ｅｎｏｕｇｈｅｖｅｎｗｈｅｎｔｈｅｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｔｉｍｅｓｔｅｐｉｓｌｏｎｇｅｒ．Ａｔｌａｓｔ，ｔｈｉｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｉｓａｐｐｌｉｅｄｔｏｔｈｅｃｈａｏｓａｎｄｐｅｒｉｏｄｉｃｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆＤｕｆｆｍｇａｎｄｖａｎｄｅｒＰｎｌｅｑｕａｔｉｏｎｓＫｅｙｗｏｒｄｓｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒｄｙｎａｍｉｃｓｙｓｔｅｍ，ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓｌｉｎｅａｒｍｏｄｅｌ，ｄｕｆｆｍｇｅｑｕａｔｉｏｎ，ｖａｉｌｄｅｒＰｏｌｅｑｕａｔｉｏｎ【作者简介】苏志霄，男，１９７２年１２月生，山西山阴人，１９９９年４月获西安理工大学工学博士学位，研究方向为机械强度设计理论、机械动力学及非线性振动。
摘要关键词腔体噪声主动控制的数值分析与优化设计高峰沈亚鹏田晓耕（西安交通大学建筑工程与力学学院西安，７１００４９）本乏、ｒ一有限抚方法被用来分析合压电体的立方腔体振动噪声的主动控制问题』采用一阶剪切Ｍｉｎｄｌｉｎ板理论，建立了包含腔体奔质影响的二维动态有限元方程。
主动控制采用速度反馈，数值分析了不同结构与声腔共振频率下主动控制效果。