流体力学和双星形成的非线性动力学模型
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另一方面梁的轴向应变的表达式也会因变形大小的不同而采用不同的表达式比如小变形时应变而当考虑大变形时可能采用的应变表达式就是进而得到的梁的振动方程将会是一个含有高度非线性项的偏微分方程组
非线性动力学入门
张新华
西安交通大学 工程力学系 2011 年 07 月
前 言
─1687 年，牛顿(Isaac Newton, 1643 ～ 1727)发表了《自然哲学之数学原 理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy)，标志着经典力学(亦即牛 顿力学)的正式诞生。牛顿力学主要研究自由质点系的宏观运动规律。 ─1788 年，拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736 ～ 1813)发表了分析力 学教程(Analytical Mechanics)，标志着拉格朗日力学的诞生。Lagrange 力学属 于分析力学的主要内容之一，在位形空间中研究带有约束的质点系动力学。 ─1833 年，哈密尔顿(William Rowen Hamilton, 1805 ～ 1865)对 Lagrange 力学进行了改造，引进了相空间(2n 维空间)，对系统内在的对称性(辛对称， Symplectic)进行了刻画。狭义上的哈密尔顿力学只适用于保守系统，而广义 的哈密尔顿力学在适用于非保守系统。哈密尔顿力学也属于分析力学的主要 组成部分。在此后发展起来的量子力学中 Hamilton 力学发挥着巨大的作用。 目前在天体力学、计算 Hamilton 力学，量子力学，甚至弹性力学(即所谓的 辛弹性力学)中哈密尔顿力学依然发挥着重要作用。 ─1927 年，Birkhoff(George David Birkhoff, 1844 ～ 1944)发表了“动力系 统”(Dynamical Systems)，标志着 Birkhoff 动力学的正式问世。Birkhoff 动力 学建立了研究非完整力学的框架。 ─1892 ～ 1899， 彭加莱(Henri Poincaré, 1854 ～ 1912)发表了三卷本的“天 体力学中的新方法”(New Methods of Celestial Mechanics)，系统性地提出了 研究动力学系统的定性方法，即几何方法。经典力学的目标之一就是设法求 得系统的解析解，而 Poincaré意识到对于大多数非线性系统而言，求其解析 解是不可能的，而必须发展新的研究方法。他超越了他的时代，极富远见地 预测到了非线性系统混沌现象(系统的解对初始条件具有极端敏感依赖性)的 存在。更为重要的是，Poincaré开创了研究非线性动力系统的几何方法，当之 无愧地被誉为非线性科学之父，其影响是划时代的。 ─1892 年，李亚普诺夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, 1857 ～ 1918)在 他的博士论文“运动稳定性的一般问题”(General problem of the stability of motion )中，系统地探讨了非线性动力学系统的稳定性问题。他提出了两种研 究稳定性的方法：李亚普诺夫第一方法(间接方法)和李亚普诺夫第二方法(直 接方法)。他从代数角度出发，对动力学系统的研究开创了一个崭新的领域。 彭加莱与李亚普诺夫，前者从几何角度，后者从代数角度，开拓了非线 性科学的研究疆域和研究手段。 ─1963 年，Lorenz(Edward Norton Lorenz, 1917 ～ 2008)发表了“确定性 非周期流”(Deterministic Nonperiodic Flow)的论文，认为大气系统的性态对 初值极为敏感，从而导致准确的长期天气预报是不可能的。该文标志着人类 首次借助于计算机发现了混沌(Chaos)现象的存在。 ─1757 年，欧拉(Leonhard Euler, 1707 ～ 1783)发表了压杆稳定性的论 文，首次探讨了力学系统的分岔现象。作为分岔理论重要分支的突变理 论(Catastrophe Theory)则主要由法国数学家托姆(René Thom, 1923 ～ 2002)于 上个世纪 60 年代创立，由齐曼(Christopher Zeeman，1925 ～)在 70 年代大力 推广普及。 ─1834 年，英国的罗素(John Scott Russell, 1808 ～ 1882)骑着马在 Union 运河上散步时，发现了现在称之为孤立波(又称作孤波，Solitary wave)的 i
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中三个主要力学模型流体力学是研究流体运动的一门学科，涉及到物理学、数学、工程学等多个领域。
在流体力学中，有三个主要的力学模型，分别是欧拉方程、纳维-斯托克斯方程和边界层方程。
这三个模型在不同的情况下有不同的应用，下面将分别介绍它们的基本原理和应用。
一、欧拉方程欧拉方程是描述流体运动的最基本的方程之一，它是由欧拉在1755年提出的。
欧拉方程是基于质点运动的牛顿第二定律得出的，它描述了流体在不受外力作用时的运动状态。
欧拉方程的基本形式如下：ρ/t + ·(ρu) = 0ρ(dv/dt) = -p其中，ρ是流体的密度，t是时间，u是流体的速度，p是压力，v是速度的随时间的变化率，是向量微分算子。
欧拉方程的应用范围很广，可以用来描述各种不可压缩流体的运动，例如水、油、气体等。
欧拉方程可以用来研究流体的基本运动规律，如速度分布、压力分布等。
欧拉方程还可以用来研究流体的力学性质，如流体的动量、能量守恒等。
二、纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的另一个重要方程，它是由纳维和斯托克斯在19世纪提出的。
纳维-斯托克斯方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在受外力作用时的运动状态。
纳维-斯托克斯方程的基本形式如下：ρ(dv/dt) = -p + μ^2v + f·v = 0其中，μ是流体的动力粘度，f是体积力，如重力、电磁力等。
纳维-斯托克斯方程适用于各种流体的运动，包括不可压缩流体和可压缩流体。
它可以用来研究流体的运动规律、流体的力学性质和流体的稳定性等问题。
纳维-斯托克斯方程还可以用来模拟流体在各种工程应用中的运动，如飞机、汽车、船舶等。
三、边界层方程边界层方程是描述流体在边界层内的运动的方程，它是由普拉特在1904年提出的。
边界层是指流体与固体表面接触的区域，它的厚度很小，但是流体的速度和压力在这个区域内发生了显著的变化。
边界层方程是基于牛顿第二定律和连续性方程导出的，它描述了流体在边界层内的运动状态。
空气动力学的数学模型和实验研究
空气动力学的数学模型和实验研究空气动力学是研究气流对物体运动的影响的一门学科。
它是现代航空、航天和汽车工业等重要领域的基础。
空气动力学的数学模型和实验研究在空气动力学的研究中起着至关重要的作用。
一、空气动力学的基本模型在研究空气动力学时，必须建立数学模型，以描述气流与物体之间的相互作用。
常用的模型包括流体力学和空气动力学模型。
流体力学是描述流体的运动规律和流量分布规律的一门学科，而空气动力学则是在流体力学的基础上探讨各种空气动力学现象的一门学科。
空气动力学的数学模型基于流体力学的方程式，其中最常用的是Navier-Stokes方程式和Bernoulli方程式。
Navier-Stokes方程式是描述无粘性流体运动的基本方程式，在空气动力学研究中，它可以帮助研究人员描述气流在物体表面的流动情况。
而Bernoulli 方程式是针对流速和压力的关系进行建模的一种方程式，它在描述气流运动时必不可少。
另外，空气动力学的数学模型还包含流场的数学表示方法，这些表示方法是建立在流场中流体力和质量守恒的基础上的。
由此可见，空气动力学的数学模型是包含多个方程式的模型。
二、空气动力学实验研究空气动力学的实验研究是通过测试和测量来检验空气动力学理论模型的正确性。
除了理论模型，实验研究还可以帮助研究人员发现航空、航天和汽车等领域存在的问题，并且探讨如何解决这些问题。
空气动力学实验研究主要涉及两个方面：物理实验和计算机模拟实验。
物理实验是直接在真实的环境中进行测量和测试，以获得真实的数据。
而计算机模拟实验则是在计算机环境下进行的，可以通过数学模型进行模拟计算，以支撑空气动力学研究。
物理实验和计算机模拟实验都是非常重要的，通常它们是相辅相成的。
空气动力学的实验研究可以在真实环境下进行或者在实验室中进行。
在真实环境下进行的实验研究可以直接获得实际数据并提供更精确的结果，但是它们通常更加昂贵、困难和危险。
在实验室中进行的实验研究则允许研究人员更加灵活地工作，在之前肯定的条件下能够提供有意义的数据。
高中物理双星模型公式总结
高中物理中的双星模型主要涉及到天体力学中的双星系统，其中包括质点双星和球面双星两种情况。
以下是一些常见的双星模型公式总结：1. 万有引力定律（Newton's Law of Universal Gravitation）：
两个质点之间的引力可以由以下公式表示：
F =
G * (m1 * m2) / r^2
其中，F 是引力大小，G 是万有引力常数，m1 和m2 是两个质点的质量，r 是两个质点之间的距离。
2. 角动量守恒定律（Law of Conservation of Angular Momentum）：
对于球面双星系统，其中一个球体的角动量可以通过以下公式计算：
L = I * ω
其中，L 是角动量，I 是惯性矩，ω 是角速度。
3. 开普勒定律（Kepler's Laws of Planetary Motion）：
开普勒定律描述了行星运动的规律，其中包括三个定律：
第一定律（椭圆轨道定律）：行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。
第二定律（面积速度定律）：在相等时间内，行星与太阳连线所扫过的面积是相等的。
第三定律（调和定律）：行星的公转周期的平方与行星到太阳平均距离的立方成正比。
这些公式和定律是在研究双星系统中应用最广泛的基本原理。
在实际应用中，还可能涉及到其他补充公式和计算方法，具体根据问题和情境而定。
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中三个主要力学模型
流体力学中的三个主要力学模型分别是：
1. 欧拉方程：描述流体的宏观运动，基于连续性方程和动量守恒方程。
该模型假定流体是连续分布的，无黏性、无压缩性和外部力场作用的理想流体。
2. 非牛顿流体模型：描述流体内部粘性特性与剪切速率的关系，包括粘弹性、塑性和黏度剪切等因素。
该模型适用于高浓度悬浮体、聚合物溶液等非牛顿流体。
3. 雾化模型：用于描述将一液滴或者液体流的分离成许多小液滴的现象，在工程领域得到广泛应用。
该模型包括通过理论和实验方法求解流体表面张力、液滴间距和液滴尺寸分布等参数。
非线性动力学
t∈R
x∈ Rn
的解，则显然它是不仅是时间的函数，而且也是初值的函数，即解随着初值的改变而改变， 可以将解记为
φ(t, x0 )
当 x0 是 R n 中的某一点时，φ (t, x0 ) 代表了 1 条解轨线，而
{φ(t, x0 ) x0 ∈ D}
则代表了一族轨线。将φ看成是一个映射，即
φ : R× Rn → Rn
运动行为，它在物理上对应了这样的一个观点：在系统的最初阶段，系统由于外界的初始干 扰，将呈现相当复杂的运动形式，但随着时间的延续，运动将进入平稳状态，而这种平稳状 态体现了动态系统的本质结构。
微分方程解的最终形态通常有： (1) 平衡点 (2) 周期解 (3) 拟周期解 (4) 混沌解
6.4.1 平衡点
图 6-7 所示是 2 维线性系统的相轨线，坐标原点是系统的平衡点，图 6-7a、b 中的平衡 点是稳定的，称为稳定结点，图 6-7c 中的平衡点是不稳定的，称为鞍点。
图 6-7 2 维线性系统的相轨线
6.5.2 任意解的稳定性
设 x = ψ (t)是微分方程 x& = F(t, x)
第 6 章 非线性动力学
-0.5
-1
-1.5
0.5
1
1.5
图 6-2 例 1 相图
例2
如图 6-3 所示是微分方程
&y& + 0.2 y& + y = 0
在相平面 (x1, x2 ) ，
x1 = y
x2 = y&
上的轨线图，平衡点为 (0,0)，当 t → ∞ 时，解轨线趋于平衡点。
0.6 0.4 0.2
-0.6
-0.4
-0.2 -0.2
双星形成的非线性动力学机制和定性分析理论
Ｌ Ｋ ｌｉ ｅ ｎ就提 出 双 星 因 “ 转 裂 变 ” 造 成 ． 是 ｖ 旋 而 但
Ｄｕｉ ｎ等 Ｊ ｒｅ ｓ 已经证 明裂变 在理论 上行 不通
目前 ， 星 形 成 的 最 成 功 的 理 论 之 一， 由 双 是 Ｂ 等提 出 的碎裂理 论 ． １８ ｃ 从 ９ ６年起 ， 他们 对此展 开 ｊ长 期 的 一 系 列 研 究 ＿ ． 假 定 双 星 在 原 始 星 ， ６其 Ｊ 体塌缩过 程 中． 自身 引 力 作 用 下形 成 计 算机 模 在 拟表 明最初 的球 形 星云， 迅 速旋 转 中首先 塌缩 为 在
当 Ｊａｓ 等 式 ＞ （ ＇（ 成立 时 ． ｅｎ 不 ／ ） 引 力不稳定 ， 且 星 云将 塌 缩 我们模 型 的基 础是 恒 并 星起源 于星 云， 主要 由氢 和 氮等离 子 体组成 的 星 而 云服从 非线 性 的磁 流 体动力 学 方程 ． 它们 的一 般形
收 璃 日期 ２０ —０ —２ ０１ ４ ９ 基 金 项 目 ： 南 省 自然 科 学 基 盎 资 助 项 目（０１，）０ １ ） 云 ２ （ ４ ０ ２ｔ ０／ ％ 作 者 简 彳 ： 一 方 （９ ６ ）只 ， 教 授 ． 要从 事 理 论 物 理 研 究 ｒ张 １４ 一 ， 副 主
双星形成的非线性动力学机制和定 － 性分析理论 ’
张一 方 ，李艳 梅
（ 云南大学 物理系， １ 云南 昆明 ６０ ９ ； ５０ １ ２云南大学 数学 系， 云南 昆 明 ６０９ ） ５ ０ １
摘要 ： 把星 云的复杂 的磁流体动力学方程， 似简化为只与速度相关 的方程 ， 近 则得到一个 可解 的简单模 型 应用非线性方程 的定性分析理论． 获得 双星演化的非线性动力学机 制 一定 条件下， 在 二维 空间中 的某 些奇点 捕应于双星 ． 而在别的条件下， 奇点相垃于单星 因此． 各种星的形成是星云演化的结果 美键词 ： 双星； 流体动力学 ； 非线性方程 ； 化； 演 星云
非线性科学,球形闪电和一般的三维非线性波的电磁孤子模型
非线性科学，球形闪电和一般的三维非线性波的电磁孤子模型张一方（云南大学物理系，昆明650091）摘要：非线性科学是当代科学发展的主要前沿之一。
由此得到的地震震级-周期公式预报的地震，不断被证实。
非线性引力波的预言也被证实。
球形闪电是大自然中一个未解之谜。
由非线性电磁场、非线性光学、一般的非线性电磁相互作用及其他非线性方程可以定量导出三维非线性波的电磁孤子模型，进而由此推测球形闪电应该是电磁孤子的特例。
关键词：非线性；球形闪电；电磁场；孤子；波中图分类号：P315.02文献标志码：A文章编号：1673-2928（2021）02-0090-05收稿日期：2020-9-15基金项目：国家自然科学基金项目（11664044）。
作者简介：张一方（1947-），男，云南人，教授，主要研究理论物理和交叉科学。
DOI:10.19329/ki.1673-2928.2021.02.0222021年3月第20卷第2期（总第110期）安阳工学院学报Journal of Anyang Institute of TechnologyMar,2021Vol.20No.2（Gen.No.110）非线性科学是当代科学发展的主要前沿之一。
众所周知，非线性科学有3个研究热点：混沌、孤子和分形。
1988年笔者提出一种粒子的分形模型，并推广分数维为复数维[1]。
对此《人民日报海外版》2002年4月29日第6版和哈尔滨工业大学出版社2004年出版的《探索未知世界》物理篇中68-69页都做过报道。
近年，笔者进一步展开了更深入的研究[2-3]。
本文讨论了某些非线性理论，并基于一般的非线性电磁场及其非线性方程定量导出三维非线性波的电磁孤子模型，由此推测球形闪电应该是电磁孤子的特例。
1某些非线性理论基于非线性流体力学方程等，可以导出笔者1989年提出的地震震级-周期公式[4-9]：T =T 010-b (M 0-M )（1）基于此可以在一定的时空范围对大地震做出定量预言。
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流体力学和双星形成的非线性动力学模型张一方云南大学物理系，昆明（650091）E-mail ：yifangch@摘 要：基于星云的流体力学和磁流体动力学，用非线性方程的定性分析理论讨论了双星的形成。
非线性相互作用和旋转取到非常关键的作用。
此外，Lorenz 模型可以由流体力学方程导出，模型中的双翼正好形成双星。
而线性方程仅仅形成单星。
关键词：双星，非线性动力学，流体力学，Lorenz 模型，磁流体动力学1. 引言近年来，双星系统的普遍存在和解释成为天文学中一个令人关注的问题[1-7]。
Itoh 等讨论了具有强场的相对论性紧密双星的运动方程[8]。
Taniguchi 等讨论了广义相对论中同步的无转动双中子星的准平衡序列[9]。
Büning 等用物理模型计算了在闭合双星中质量转移的数值稳定性[10]。
Pittard 等推广了正在碰撞缠绕双星（colliding-wind binaries, CWBs ）的幅射模型[11]。
Rensbergen 等重新分析了一类相互作用双星的演化[12]。
云南天文台黄润乾院士对双星系统进行了长期研究，并且1999年对大质量双星系统的非守恒演化作了系统总结[13]。
基于星云的旋转吸积盘的基本方程，我们应用非线性方程的定性分析理论得到了双星形成的非线性动力学模型[14]。
在一定条件下，一对奇点作为演化结果相应于双星。
而在其它条件下这些方程给出单个中心点，就相应于单星。
这一模型和著名的Boss 等计算机模拟的结果是一致的[15,16]。
但是，计算机模拟的定量过程仍然是一个问题。
进而我们定性指出用Lorenz 方程可以形成双星，其中具有两“翼”的Lorenz 吸引子相应于双星[14]。
Steinitz 和Farbiash 确定了双星中自旋（旋转速度）间的相互关系，并显示出自旋关系度与组成的分离是无关的。
这一结果可以作为例子联系于星云形成的双星Zhang’s 非线性模型[17]。
本文我们应用星云早期状态的流体动力学和别的非线性理论论证双星的形成，并证明非线性相互作用是其形成的必要条件。
2. 双星形成的非线性流体力学模型基于早期星云的流体力学方程和磁流体动力学方程，非线性相互作用将在二维平面形成某些奇点。
当Jeans 不等式λπρ>(/)/v G s 12成立时，引力不稳定，并且原始星云将塌缩。
我们模型的基础是恒星起源于星云，而主要由氢和氦等离子体组成的星云服从非线性的磁流体动力学方程。
它们的一般形式是著名的Alfver 方程[18]:graddivV V gradp B V ce F V V t V dt dV 3])([ηµ∂∂ρρ+∆+−×+=∇+=. (1) 这是具有磁力项的Navier-Stokes 方程。
在二维星云的吸积盘中，方程变为),(3)()(2222y v x u x u yx x p v B c e F u y v x u t u z x ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µρ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−+++−= (2) )(3)()(2222y v x u y v yx y p u B c e F v y v x u t v z y ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µρ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−−++−=. (3) 旋转作用显出后，方程可以重新写为[19]：)(3)()(2122222y v x u x u yx x p v B c e F y u x v v x V t u z x ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−++−+∂∂−=, (4) )(3)()(2122222y v x u y v yx y p u B c e F y u x v u y V t v z y ∂∂∂∂∂∂η∂∂∂∂µ∂∂∂∂∂∂ρ++++∂∂−−+−−∂∂−=. (5) 此时旋转角速度是)(21yu x v ∂∂∂∂ω−=. (6) 由于非线性流体力学方程的严格解迄今仍是一个未解决的难题，为得到定量的结果，对上述非线性方程组进行合理简化。
假设粘滞力为零,0==ηµ压强的梯度为零gradp=0，并且22)2/(,cV V gV V =∇=∇。
令 F=--kV 是Stokes 阻力和b c eB a k z ==ρρ/,/, 设u=X 和v=Y ，这样方程(4)和(5)只是速度的函数：)()( '222Y X c bY aX XY Y g X +−+−−=, (7) )()('222Y X c bX aY X XY g Y +−−−+−=. (8) 其中第一和第四项表示旋转力，第二项是与公式F b v u r th =−(/)432πρ[20]一致的阻力，第三项是磁力。
应用通常的场论方法，例如类似于Frances-Chini-Tebaldi 法，偏微分方程(4)和(5)可以化为两个常微分方程(7)和(8)。
它们的特征矩阵是：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−+−−+−−−−cY a gX cX b gX gY cY b gX gY cX a gY 222222. (9) 相应的特征方程是：λλ20−+=T D , (10) 其中 T=--2a—(g+2c)(X+Y),22222))(23())(2()2(4)(2b Y X c g b Y X g c a XY g c g Y X g a D +−−−+++−+++=, 和222222224))(23(4)241218())(744(4b Y X c g b XY gc c g Y X g cg c D T −−−+−+++−+=−=∆通常X’=0和Y’=0 的方程组有四个奇点。
这些点可以相应于多星。
对X Y 0000==,, 022>+=b a D ，042<−=∆b 时是焦点，如果a>0和T=--2a<0，它是稳定的汇；或如果a<0和T>0，它是不稳定的源。
对一般的情况：(a). 对D<0，一个相应的奇点是鞍点。
(b). 对D>0，如果∆<0，点是焦点；如果∆>0，点是结点。
(c). 对T<0，点是稳定的汇；对T>0，点是不稳定的源。
(d). 当非线性项和旋转作用略去时，唯一的奇点(0,0)是一个焦点，系统相应于单星。
Durisen 等[21]讨论的基础也是方程(1)，仅仅其中磁力项被忽略。
3. Lorenz 模型和双星非线性动力学的结论进一步，已知Lorenz 方程可以直接从Navier-Stokes 方程(1)导出。
Lorenz 吸引子有两 “翼”，它相应于双星。
当磁场和力F 被略去，并且η=0时，二维的方程(1)结合具有对流的连续性方程：ρρρρ∆+=++k w g N w u y x t )/(2. (11) 然后，获得Saltzman 模型[22]。
由此就能够得到著名的Lorenz 模型[23]。
它的方程组是； dx/dt=-vx+ky, (12)dy/dt=ax-by-xz, (13) dz/dt=-cz+xy, (14) 其中x 是流体速率，y 和z 分别是星云温度差的不均匀和均匀部分。
这些是Navier-Stokes 方程的简化结果。
通常我们假设各种参数都是正值。
如果方程组(12)(13)(14)中的各个参数取适当的数值，就可以获得漂亮的Lorenz 奇怪吸引子。
该吸引子具有某些类似于Paredes 等的从一个中心核喷出两极，最后合成图形的特性[24]。
应用Lorenz 模型的混沌机制，我们从二维平面星云讨论双星系统的形成。
如果dx/dt=0，并且x=(k/v)y=ey ，方程(13)和(14)变为：dy/dt=(ae-b)y-eyz, (15)dz/dt=2ey cz +−. (16) 用非线性方程的定性分析理论，方程(15)和(16)的特征矩阵是：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−− 2 c ey ey ez b ae . (17) 它的特征方程是：02)()(2222=+−−−−−−−=+−y e ez b ae c c ez b ae D T λλλλ. (18) 对dy/dt=0和dz/dt=0 的平面系统有三个奇点（平衡点）：O(0,0)，A 和 B()/(,/)(e b a e b ae c −−±)。
对O 点，两个特征根为1λ=ae-b 和2λ= -c 。
当ae>b ，它是一个鞍点；当 ae<b ，它是一个结点。
对A 和B 点。
T=-c<0时，它们是两个稳定的汇， 2/])88([2,1b ae c c c +−±−=λ。
当8ae>c+8b ，它们是两个焦点；当8ae<c+8b ，它们是两个结点。
对8ae>8b+c>8b ，系统具有鞍-焦点；对8b+c>8ae>8b ，系统具有鞍-结点；对8b+c>8b>8ae ，系统具有结-结点。
在这些情况，可以形成双星。
这些鞍点是某些分开不同吸引区域的临界点，而这些区域形成不同的星。
Lorenz 模型的天文学意义在于星云可以经过混沌，变成一对奇怪吸引子，最后由于自身的引力而形成双星。
Mardling[4]也讨论过在潮汐浮获双星的情况中，混沌的作用。
当奇点简并为单个点时，系统相应于单星[14]，例如在(7)和(8)中略去旋转时。
按照定性分析理论，一般的线性方程只有一个奇点，所以此时仅仅形成一个单星。
更一般地说，在天体的演化过程中，任何稳定的星应该是一个稳定的不动点。
假设演化方程是y=f(x)，其相应的不动点方程就是x*=f(x*)。
因此，如果f(x)是n 次非线性函数，则可能有n 个（稳定的或不稳定）的不动点。
而如果f(x)=ax+b 是线性函数，则只能有一个不动点x*=b/(1-a)，即此时只能形成一个单星。
由于非线性相互作用是普遍存在的，所以双星和多星也是非常普通的。
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