高中数学选修2-3第一章计数原理2排列《排列》教学设计
《排列》教学设计
河南济源市第一中学：温玉萍
教学目标：
1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数
2、经历探索简单事物排列规律的过程。
3、培养学生有顺序地全面地思考问题的意识。
4、感受数学与生活的紧密联系，激发学生学好数学的信心。
教学重点：自主探究，掌握有序排列，并用所学知识解决实际生活的问题；
教学难点：怎样排列可以不重复、不遗漏
教学流程：
（一）复习提问：
1、分布计数原理（乘法原理）和分类计数原理（加法原理）
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m
1
种不同的方法，在第二
类办法中有m
2种不同的方法，……，在第n类办法中有m
n
种不同的方法．那么完成这件事共
有N＝m1十m2十…十m n种不同的方法．
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2…m n种不同的方法．
2、两个原理的区别
（二）引入新课练习
1、某同学要在周日一整天参加培训班，分上下午两个班，共五门课程，不重复选取，共有多少中选法？
2、由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条。
从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?
老师把两个题型归类，做小结，引入新课
（三）新课讲解
1、什么叫排列？（找同学归纳）
从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．
老师：强调关键词
举生活实例:（1）照相问题
（2）参加运动会问题
（3）班级组织班干部问题
2、排列数（让同学归纳）
（1）定义：从n 个不同元素中，任取m(n m ≤)个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的
排列数，用符号m n A 表示.
提问：用符号表示课前练习的排列数.
探讨：由2n A 引入m n A
(2)排列数公式：m n A =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
探讨：11m m n n A nA --=
(四)例题精练
例1、某班主任从14个人中任选两人分别担任班长和团书记，所有选法的总数为多少种？
例2、（1）有5本不同的书，从中选取3本送给三名同学，每人各一本，共有多少种不同分法？
（2）有5种不同的书，从中选取3本送给三名同学，每人各一本，共有多少种不同分法？
设计：找出两题的区别，试着让学生回答
例3、某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上来表示信号，每次可以任挂一面，两面，
三面，不同的顺序可以表示不同的信号，有多少种不同的信号？
例4、用0—9这10个数字组成没有重复数字的三位数，有多少种排法？
这两道题和学生一起分析作答
变式练习：用0、1、2、3、4、5、6组成满足下列条件的数各多少个？
①无重复数字的四位数；
②无重复数字的四位数偶数；
③无重复数字的四位数且能被5整除；
④个位数字大于十位数字的四位数.
小结：解有条件限制的排列问题思路：①正确选择原理；②处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；③再考虑其余元素或其余位置；④数字的排列问题，0不能排在首位
（五）课堂总结
这节课你学到了什么？
排列组合的知识运用非常广泛，与顺序有关的咱们用排列，而生活中还会遇到很多与顺序无
关的实例，这又怎么办呢？下节课我们将继续学习。
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列(第3课时)教案新人教A版选修2-3(2021
高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列（第3课时）教案新人教A版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列（第3课时）教案新人教A版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1。
2。
1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程,从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识,正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．错误!错误!提出问题：7位同学排队,根据上一节课所学的方法，解决下列排列问题．(1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法?（4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1）问题可以看作：7个元素的全排列A错误!＝5 040。
(2）根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A错误!＝720。
高中数学人教A版选修(2-3)1.2.1《排列》教案
§1．2．1排列教学目标：知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列、排列数的概念 教学难点：排列数公式的推导 授课类型：新授课 课时安排：2课时 内容分析：分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n Nm m m =+++ 种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题,区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,其中各种方法相互独立,每一种方法只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,只有各个步骤都完成才算做完这件事应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么；2.是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立，“步”间互相联系；3.有无特殊条件的限制二、讲解新课：1、问题：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有6种不同的排法：甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙，其中被取的对象叫做元素解决这一问题可分两个步骤：第 1 步，确定参加上午活动的同学，从 3 人中任选 1 人，有3 种方法；第 2 步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的 2 人中去选，于是有 2 种方法．根据分步乘法计数原理，在 3 名同学中选出2 名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有 3×2=6 种，如图1.2一1 所示．图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。
排列优秀教学设计
强调：分类和分步的关键就是
看完成一件事情是分类完成还是分步完成，能否独立完成一件事
复习两个原理，为新知识的学习奠定基础
二、创设情境，引入课题
引例、假设汽车车牌号码有6位组成，号码中每一位都是从大写英文字母或阿拉伯数字中任意选择一个，这种办法共能给多少辆车上牌？
变式：假设每一位都不能重复，这种办法共能给多少辆车上牌？
-------这个问题和元素的顺序有关就是我们今天要研究的排列问题
------能求出其方法种数吗？把被取的人看成元素，是否和顺序有关，我们可以如何描述呢？
从3个不同的元素a，b，c中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
问题2的抽象叙述：从4个不同的元素a，b，c，d中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？
②排列数：从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是自然数。
回顾
问题1：
问题2：
4.排列数公式：
（1）观察及归纳：
（2）排列数公式：
n！=
规定0！=1
（3）练习：
（学生回答）
根据乘法原理：36×36×36×36×36×36
这个是我们上一节课的知识
（学生回答）利用分步计数原理：
36×35×34×33×32×31
②从5本不同的书中选3本送给3个同学，每人一本，有多少种不同的送法？
③有10个车站,共需要多少种车票？
④用1，2，3，4，5，6，7这7个数可以组成多少个无重复的四位数？
2、简单的有条件限制的排列问题
例：用0，1，2，3，4，5，6，7这8个数可以组成多少个无重复的三位数？无重复的三位偶数？
练习：
高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列教案 新人教B版选修2-3(2021年整理)
辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列教案 新人教B 版选修2-3
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1.2.1 排列
辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列教案 新人教B 版选修2-3 辑整理：
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辽宁省本溪满族自治县高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列教案 新人教B 版选修2-3
2
教学过程设计
教材处理
师生活动
比赛，每名运动员比赛一局，有多少不同的方法排定他们（2)有5名大学毕业生，到3个招聘雇员的公司应聘，每个公司只招聘一名新雇员，并且不允许兼职，现假定这3杆上表示信号,每次可以挂一面，两面或三面，并且不同的顺序表示不同的信号,一共可以表示多少种不同的信号？
2-3
教学过程设计
教材处理师生活动
例8．有6个人
（1）甲和乙两
（2）甲、乙、
（3）甲、乙两
排法有多少种？
（4）甲、乙中
（5）甲在乙左
(6）甲不在排头（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同
板书设计：
3
辽宁省本溪满族自治县高中数学第一章计数原理 1.2.1 排列教案新人教B版选修2-3
课题
1。
人教版数学选修2-3第一章《计数原理》教案
XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板XX中学课时教学设计模板一、复习知识点：1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有n k种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+n k种不同的方法。
2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有n K种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×n k种不同方法二、典型例题1、.用5种不同颜色给图中的A、B、C、D四个区域涂色, 规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色, 不同的涂色方案有种。
2、将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可用，则不同的染色方法共有多少种？3、用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为_______.4、用0,1,2,3,4五个数字（1）可以排出多少个三位数字的电话号码？（2）可以排成多少个三位数？（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？5、用0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字的比2000大的四位奇数______个。
XX中学课时教学设计模板求以按依次填个空位来考虑，排列数公式：=（）说明：（1）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是，共有个因数；（2）全排列：当时即个不同元素全部取出的一个排列全排列数：（叫做n 的阶乘）4.例子：例1．计算：（1）； （2）； （3）． 解：（1） ＝＝3360 ； （2） ＝＝720 ； （3）＝＝360例2．（1）若，则 ， ．（2）若则用排列数符号表示 ． 解：（1） 17 ， 14 ． （2）若则＝ ．例3．（1）从这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？解：（1）； （2）； （3）课堂练习：P20 练习 第1题mn A m (1)(2)(1)m n A n n n n m =---+(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+!()!n n m -,,m n N m n *∈≤n 1n m -+m n m =n (1)(2)21!nn A n n n n =--⋅=316A 66A 46A 316A 161514⨯⨯66A 6!46A 6543⨯⨯⨯17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----n =m =,n N ∈(55)(56)(68)(69)n n n n ----1569n A -2,3,5,7,11255420A =⨯=5554321120A =⨯⨯⨯⨯=2141413182A =⨯=XX 中学课时教学设计模板解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；问题可以用“捆绑法”；“分离”2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=等．解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．互斥分类——分类法先后有序——位置法反面明了——排除法相邻排列——捆绑法分离排列——插空法例1求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？分析符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个．解符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．答在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个．例3 某小组6个人排队照相留念．(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？分析：(1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法．(4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．(5)采用“插空法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法．XX 中学课时教学设计模板一、复习引入：1．排列数公式及其推导：（）2、解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．二、典型例题1.满足不等式>12的n 的最小值为 ( ) A .7 B . 8C .9D .10【解析】选D .由排列数公式得:>12，即(n -5)(n -6)>12， 整理得n 2-11n +18>0， 所以n <2(舍去)或n >9. 又因为n ∈N *，所以n min =10. 2.若=89，则n =______.【解析】原方程左边==(n -5)(n -6)-1.(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+,,m n N m n *∈≤所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89，即n2-11n-60=0，解得n=15或n=-4(舍去).15>7满足题意.3.解关于x的不等式:>6.【解析】原不等式可变形为>，即(11-x)(10-x)>6，(x-8)(x-13)>0，所以x>13或x<8，又所以2<x≤9且x∈N*，所以2<x<8且x∈N*，所以原不等式的解集为.4.求证:+m+m(m-1)=(n，m∈N*，n≥m>2).【证明】因为左边=+m+m(m-1)======右边，所以等式成立.习题1.2 B组第2、3题XX 中学课时教学设计模板组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个不同元素中取出个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同2)(n m -+(1)(2)21!n n n n =-⋅=n m（2）；2)(1)!n m m -+710C2)(1)!n m m -+,m N ∈*且XX 中学课时教学设计模板．2)(1)!n m m -+mn n C -=XX 中学课时教学设计模板．＝+2)(1)!n m m -+mn n C -=m C．2)(1)!n m m -+,N m ∈*且mn n C -=XX 中学课时教学设计模板a+b ）相乘，每个（a+b ）在相乘时，有两种选择，(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈叫二项式系数表示，即通项0,1,)n 1+1)1n r rn n n C C x x =+++++23344111)()()C x x x++(r n r rn nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板9)的展开式常数项； (r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈(r n r r n nn n C a b C b n N -++++∈XX 中学课时教学设计模板．二项展开式的通项公式：二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表）增减性与最大值．的增减情况由二项式系数逐渐增大．的，且在中间取得最大值；(r n r r n n n n C a b C b n N -++++∈1r n r rr n T C a b -+=n 1,2,32)(1)!n k k -+n，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项，，，的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系说明：由性质（3）及例1知.，求：；）； （.时，，展开式右边为，，∴ ，r r n n C x x ++++12rnn n n n C C C C ++++++(nr n r r n nn n a b C a b C b n N -++++∈23(1)n nn n n C C C +-++-13)()n n C C +-++13n n C C +=++021312n n n n n C C C C -++=++=7277(12)x a a x a x a x -=++++7a ++1357a a a a +++7||a ++1x =7(122)1-=-127a a a ++++27a a +++1=-1=127a a a +++=-0127a a a ++++1=-234567a a a a a a +-+-+-77)13a +=--(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)+3x+2)5的展开式中，求本节课学习了二项式系数的性质 7||a ++=61)(a a +-。
高中数学 第一章 计数原理 1.2.1 排列(一)教案 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数
2.排列(一)一、复习引入：1.分类加法计数原理；2.分步乘法计数原理。
二、学生自学阅读课本第7-8页内容, 完成优化设计第4页“知识梳理〞。
1．排列的概念：〕个元素〔这里的被取元素各从n个不同元素中，任取〔m nn个不同元素中取出个元不相同〕按照一定的顺．．．．序．排成一列，叫做从素的一个排列．．．．说明：〔1〕排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；〔2〕两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同2．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取〔m n ≤〕个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列〞是指：从n 个不同元素中，任取个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数〞是指从n 个不同元素中，任取〔m n ≤〕个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列3．排列数公式及其推导：求m n A 以按依次填个空位来考虑(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+， 排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+=!()!n n m -〔,,m n N m n *∈≤〕 说明：〔1〕公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有个因数；〔2〕全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=〔叫做n 的阶乘〕三、典例精讲例1．计算：〔1〕316A ； 〔2〕66A ； 〔3〕46A ．例2．〔1〕假设17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，那么n =，m =．〔2〕假设,n N ∈那么(55)(56)(68)(69)n n n n ----用排列数符号表示． 例3．〔1〕从2,3,5,7,11这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？〔2〕5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？〔3〕某年全国足球甲级〔A 组〕联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？四、课堂检测1、22.课本第10页练习1、2、3五、课堂小结：1．排列、排列数的定义；2. 排列数公式及其应用；3.应用排列知识解决简单的实际问题。
高中数学 第1章 计数原理 1.2 排列 第1课时 排列与排列数公式学案 苏教版选修2-3-苏教版高
第1课时排列与排列数公式1.了解排列及排列数的意义．2.理解排列数公式的推导并应用．3.掌握排列数公式并会运用．1．排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．排列数一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．3．排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.4．全排列与n的阶乘(1)n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，在排列数公式中，当m＝n时，即有A n n＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1．(2)正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，即有A n n＝n！.5．排列数公式的阶乘形式A m n＝n！（n－m）！(n≥m)，规定0！＝1．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．( )(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．( )(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．( )(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列．( ) 答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．下面问题中，是排列问题的是( )A．由1，2，3，4四个数字组成无重复数字的四位数B．从60人中选11人组成足球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合答案：A3．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为________．答案：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙4．A24＝________，A33＝________．答案：12 6排列的有关概念判断下列问题是否为排列问题：(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．【解】(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题，(1)(3)(4)不是排列问题．判断一个具体问题是否为排列问题的方法1.判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题．“树形图”解决排列问题四个人A，B，C，D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来．【解】先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法，由分步计数原理，有4×3×2×1＝24种．画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ABCD，ABDC，ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA.1．若本例条件再增加一条“A不坐排头”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为BACD，BADC，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CABD，CADB，CBAD，CBDA，CDAB，CDBA，DACB，DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA，共18种坐法．2．若在本例条件中再增加一条“A，B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：由“树形图”可知，所有坐法为ACBD，ACDB，ADBC，ADCB，BCAD，BCDA，BDAC，BDCA，CADB，CBDA，DACB，DBCA共12种．利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树形图写出排列．2.将语文、数学、英语书各一本分给甲、乙、丙三人，每人一本，共有多少种不同的分法？请将它们列举出来．解：按分步计数原理的步骤：第一步，分给甲，有3种分法；第二步，分给乙，有2种分法；第三步，分给丙，有1种分法． 故共有3×2×1＝6种不同的分法． 列出树形图，如下：所以，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英，语英数，数语英，数英语，英语数，英数语．排列数公式及其应用(1)计算2A 58＋7A 48A 88－A 59；(2)解方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x . 【解】 (1)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×（8＋7）8×7×6×5×（24－9）＝1.(2)由3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x ，得3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)． 因为x ≥3，且x ∈N *，所以3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)， 即3x 2－17x ＋10＝0. 解得x ＝5，x ＝23(舍去)．所以x ＝5.利用排列数公式①A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)或②A mn ＝n ！（n －m ）！解题时，要注意题目特点，当m 较小时，用公式①较方便，第②个公式常用在化简或证明问题中．3.已知3A n －18＝4A n －29，则n 等于________．解析：由已知3×8！（9－n ）！＝4×9！（11－n ）！，即4×3（11－n ）（10－n ）＝1，因为n ≤9，所以解得n ＝7. 答案：71．排列定义的两个要素一是“取出元素”，二是“将元素按一定顺序排列”，这是排列的两个要素． 2．对排列数公式的说明(1)这个公式是在m ，n ∈N *，m ≤n 的情况下成立的，m ＞n 时不成立．(2)公式右边是m 个数的连乘积，形式较复杂，其特点是：从n 开始，依次递减1，连乘m 个．3．排列与排列数的区别排列与排列数是两个不同的概念，一个排列就是完成一件事的一种方法，不是数；排列数是指所有排列的个数，它是一个数．符号A m n 中，m ，n 均为正整数，且m ≤n ，A mn 是一个整体．10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？【解】 坐在椅子上的6个人是走进屋子的10个人中的任意6个人，若把人抽象地看成元素，将6把不同的椅子当成不同的位置，则原问题抽象为从10个元素中取6个元素占据6个不同的位置．显然是从10个元素中任取6个元素的排列问题．从而，共有A 610＝151 200(种)坐法．(1)本题易出现以下错解：10个人坐6把不同的椅子，相当于从含10个元素的集合到含6个元素的集合的映射，故有610种不同的坐法．该错解是没弄清题意，题中要求每把椅子必须并且只能坐一个，是从10个人中取出6个人的一个排列问题．(2)在用排列数公式求解时需先对问题是否是排列问题做出判断．1．4×5×6×…×(n －1)×n 等于( ) A ．A 4n B ．A n －4n C ．n ！－4!D ．A n －3n解析：选D.4×5×6×…×(n －1)×n 中共有n －4＋1＝n －3个因式，最大数为n ，最小数为4，故4×5×6×…×(n －1)×n ＝A n －3n .2．从1，2，3，4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有( ) A ．9个 B ．12个 C ．15个D ．18个解析：选B.用树形图表示为：由此可知共有12个． 3．5A 35＋4A 24＝________．解析：原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348. 答案：3484．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________． 解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6. 答案：6[A 基础达标]1．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从a ，b ，c ，d 中选出3个字母；④从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选B.由排列的定义知①④是排列问题． 2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：选D.A 67－A 56A 45＝7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×25×4×3×2＝7×6－6＝36.3．若α∈N *，且α<27，则(27－α)(28－α)…(34－α)等于( ) A ．A 827－α B ．A 27－α34－α C ．A 734－αD ．A 834－α解析：选D.从27－α到34－α共有34－α－(27－α)＋1＝8个数．所以(27－α)(28－α)…(34－α)＝A 834－α.4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为( ) A ．6 B ．4 C ．8 D ．10解析：选B.列树形图如下：5．不等式A 2n －1－n ＜7的解集为( ) A ．{n |－1＜n ＜5} B ．{1，2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}解析：选C.由不等式A 2n －1－n ＜7， 得(n －1)(n －2)－n ＜7， 整理得n 2－4n －5＜0， 解得－1＜n ＜5.又因为n －1≥2且n ∈N *， 即n ≥3且n ∈N *， 所以n ＝3或n ＝4，故不等式A 2n －1－n ＜7的解集为{3，4}． 6．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3，所以A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7447．给出的下列四个关系式中，其中正确的个数是________．①A mn ＝（n －m ）！n ！；②A m －1n －1＝n －1！（m －n ）！；③A m n ＝n A m －1n －1；④n ！＝（n ＋1）！n ＋1.解析：①②不成立，③④成立． 答案：28．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b 为首的不同的排列，它们分别是____________________．解析：画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed .答案：12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 9．求证：12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！<1.证明：因为n －1n ！＝n n ！－1n ！＝1（n －1）！－1n ！， 所以12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！＝11！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1（n －1）！－1n ！ ＝1－1n ！<1. 所以原式得证． 10．计算下列各题． (1)A 215； (2)A 66； (3)A m －1n －1·A n －mn －m A n －1n －1；(4)1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n ·n ！. 解：(1)A 215＝15×14＝210.(2)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(3)原式＝（n －1）！[n －1－（m －1）]！·(n －m )！·1（n －1）！＝（n －1）！（n －m ）！·(n －m )！·1（n －1）！＝1.(4)因为n ·n ！＝[(n ＋1)－1]·n! ＝(n ＋1)n ！－n! ＝(n ＋1)！－n ！，所以原式＝(2！－1)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n ＋1)！－n ！]＝(n ＋1)！－1.[B 能力提升]1．若S ＝A 11＋A 22＋A 33＋A 44＋…＋A 100100，则S 的个位数字是( ) A ．8 B ．5 C ．3D ．0解析：选C.因为当n ≥5时，A nn 的个位数字是0，故S 的个位数取决于前四个排列数．又A 11＋A 22＋A 33＋A 44＝33，故选C.2．若2<（m ＋1）！A m －1m －1≤42，则满足条件的m 的集合是________． 解析：原不等式可化为2<（m ＋1）！（m －1）！≤42.即2<m 2＋m ≤42.所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0m 2＋m －42≤0，解不等式组得，－7≤m <－2或1<m ≤6，又m ∈N *，所以满足题意的m 的集合为{2，3，4，5，6}． 答案：{2，3，4，5，6}3．一条铁路有n 个车站，为适应客运需要，新增了m 个车站，且知m ＞1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？解：由题意可知，原有车票的种数是A 2n 种，现有车票的种数是A 2n ＋m 种，所以A 2n ＋m －A 2n ＝62，即(n ＋m )(n ＋m －1)－n (n －1)＝62，所以m (2n ＋m －1)＝62＝2×31，因为m ＜2n ＋m －1，且n ≥2，m ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，2n ＋m －1＝31， 解得m ＝2，n ＝15，故原有15个车站，现有17个车站．4．(选做题)A ，B ，C ，D 四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法．解：假设A ，B ，C ，D 四名同学原来的位子分别为1，2，3，4号，树形图如下：换位后，原来1，2，3，4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC ，BCDA ，BDAC ，CADB ，CDAB ，CDBA ，DABC ，DCAB ，DCBA .。
人教高中数学选修2-3第一章121排列(优质公开课教案)
1．2．1排列上课班别：高二授课教师：教材：人教版选修2—3教学目标：1、知识与技能：了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会“化归”的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。
2、过程与方法：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题3、情感、态度与价值观：能运用所学的排列知识，正确地解决的实际问题.教学重点：排列数公式的理解与运用；排列应用题常用的方法有直接法，间接法教学难点：排列数公式的推导授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体内容分析：分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.教学过程：一、复习引入：1分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，……，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法二、讲解新课：问题1．从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？图 1.2一1把上面问题中被取的对象叫做元素，于是问题可叙述为：从3个不同的元素 a , b ，。
高中数学第1章计数原理1.2排列教学案苏教版选修2-3(2021年整理)
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1。
2 排列第1课时排列与排列数公式1．甲、乙两名同学参加一项活动，其中一名参加上午的活动,另外一名参加下午的活动．问题1:甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗？提示：不是．问题2:有几种不同的排法？提示：两种．甲上午，乙下午;甲下午，乙上午．2．若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动．问题3：让你去安排这项活动,需要几步？提示:分两步．问题4：它们是什么？提示：第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学．问题5：有几种排法?提示：上午有3种,下午有2种，因分步完成共3×2＝6种．问题6：这些排法相同吗?提示：不相同，它们是有顺序的．3．从a、b、c中任取两个元素，按照一定的顺序排成一列．问题7：共有多少种不同的排列方法？提示：3×2＝6种．问题8:试写出它们的排列．提示：ab,ac，ba,bc，ca，cb.排列的定义一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
已知数字1，2，3,4，5，6。
问题1：从1，2，3，4,5，6中选出两个数字,能构成多少个没有重复数字的两位数?提示：有6×5＝30（个)．问题2：从1，2，3，4，5，6中选出三个数字，能构成多少个没有重复数字的三位数？提示：有6×5×4＝120(个)．问题3：从1，2，3，4,5，6中选出四个数字，能构成多少个没有重复数字的四位数？提示：有6×5×4×3＝360(个)．问题4：若从n个不同元素中取出m（m≤n)个元素排成一列,有多少种不同的排法？提示：有n(n－1）（n－2）…(n－m＋1）（个)．排列数全排列定义从n不同元素中取出m个（m≤n）元素的所有n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数同元素的一个全排列表示法A错误!A错误!公式乘积形式A m n＝n(n－1) （n－2）…（n－m＋1）A错误!＝n(n－1)（n－2)·…·3·2·1阶乘形式A错误!＝错误!A错误!＝n！性质A0，n＝1;0!＝1备注n，m∈N＊，且m≤n1．判断一个具体问题是不是排列问题主要看从n个元素中取出m个元素后,在安排m个元素时，是有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列．也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺序无关的不是排列．2．排列与排列数是两个不同的概念,排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数，它是一个数．［例1] 下列哪些问题是排列问题:(1)从10名学生中抽2名学生开会;（2）从2,3，5，7，11中任取两个数相乘；（3)以圆上的10个点为端点作弦；(4)10个车站，站与站间的车票．［思路点拨］利用排列的定义去判断，关键是看取出的元素是否与顺序有关．[精解详析] (1）2名学生开会没有顺序,不是排列问题．（2）两个数相乘,与这两个数的顺序无关，不是排列问题．(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题．(4）车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题．[一点通] 判断一个具体问题是否有顺序的方法：变换元素的位置，看结果有无变化，若有变化,则与元素的顺序有关,是排列问题；否则，为非排列问题．1．更改例题的各条件如下,请重新判断是不是排列问题：(1)抽2名学生当正、副班长；（2)取两个数相除；(3)以圆上10个点为端点作有向线段；（4）10个车站间站与站的票价．解:（1）2名学生当正、副班长是有顺序的，故是排列问题．（2）两个数有除数和被除数之分，有顺序，是排列问题．(3)有向线段有起点和终点之分,有顺序，是排列问题．(4）两车站间来回的票价一样，故与顺序无关,不是排列问题．2．判断下列问题是否为排列问题．（1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格（假设来回的票价相同）；(2）选2个小组分别去植树和种菜;（3)选2个小组去种菜；(4）选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员;（6)某班40名学生在假期相互通信．解:(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．（2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3）、（4）不存在顺序问题，不属于排列问题．（5)中每个人的职务不同，例如，甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题,属于排列问题．（6）A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题,属于排列问题．所以在上述各题中（2）、（5)、（6）属于排列问题。
人教A版高中数学课件 选修2-3：第一章 计数原理 2-1《排列》
，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后
的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？
第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任
选1名，有3种选法.
第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法 根据分步计数原理：3×2=6
上午 下午 乙
即共6种方法。
相应的排法 甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙
甲
乙 丙
m 所有排列的个数，是一个数；所以符号 An 只表示 排列数，而不表示具体的排列。
问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的排
列数，记为
A
2 3
,
A 3 2 6
2 3
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的
3 排列数，记为 A4 ，已经算出
A 4 3 2 24
3 4
探究：从ｎ个不同元素中取出２个元素的排
√ √ √
（8）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线 （9）有10个车站，共需要多少种车票？
2、排列数： 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有
排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素
的排列数。用符号 A
m n
表示。
“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ “一个排列”是指：从 n个不同元素中，任取 m 个元素 按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从 n 个不同元素中，任取 m 个元素的
注意：
1、元素不能重复。n个中不能重复，m个中也不能重复 。 2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个
问题是否是排列问题的关键。 3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完
全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列 。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏， 最好采用“树形图”。