高等数学知识网络图(详细版本)
高等数学讲义第4集——无穷级数
幂级数的收敛半径及其求法
定理：如幂级数
anxn
n0
系数满足 lim n
an 1 an
(或 lim n
n
an
)
则（1） 0
R1
（2） 0
R
（3）
R0
注意：当 x R
a
n
x
n
的敛散性不能确定，要讨论
an
(R)n
n0
n0
例 6：求下列幂级数的收敛域
(1) n 1
3n
x
n
n1
n
一、 知识网络图
常数项级数的一般概念和性质
常数项级数交正几错 项何级 级级数 数数，与条p级件数和绝对收敛
幂级数收敛半径
幂级数函数的幂级数展开
幂级数的和函数
傅里叶级数函三数角在级对数称区间上的的傅里叶展开
二、典型错误分析
例 1、判断级数 1 是否收敛。
n1 2n 1
[错解]
∵
lim
n
h0
f
n
x
n!
0
x
x
0
n
f x0
f
x
1!
0
x
x
0
f
x
2!
0
x
x
0
2
f n x 0 x
n!
x 0 n
称为 f x在 x x 0 点的泰勒级数
特别当 x 0 0 ，则级数
f n0 x n
f 0
f 0 x
f 0 x 2
f n0 x n
h0 n!
1!
2!
n!
称为 f x的麦克劳林级数
2、函数 f x展开成泰勒级数的条件 x x 0 R
高中数学知识框架思维导图(整理版)
基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究，整体考察 复合函数的单调性：同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换：������ = ������(������) → ������ = ������(������ ± ������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������) ± ������，������, ������ > 0 函数图象 及其变换 对称变换：������ = ������(������) → ������ = −������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(−������)，������ = ������(������) → ������ = −������(−������) 翻折变换：������ = ������(������) → ������ = |������(������)|，������ = ������(������) → ������ = ������(|������|) 伸缩变换：������ = ������(������) → ������ = ������������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������������)
������
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
弧长公式������ = ������������、扇形面积公式������ = ������������
2 1 π 2
考研数学 知识结构思维导图(数二)
1.分离变量，物以类聚人以群分 2.y'在等式左侧，右侧应写成乘积形式
一阶微分方程的求解
齐次型
y'=f(y/x)
对x求导
1/y'=f(x/y)
对y求导
换元后分离变量，交换x和y的地位
一阶线性型（或可换元为它）
y'+p(x)y=q(x) 伯努利方程
y'+p(x)y=q(x)的特殊形式
伯努利方程可理解为一 阶线性方程的普遍形式
符号函数 抽象函数
复合函数
偏导函数
换元法
一元函数积分换元法 二元函数积分换元法
应用
面积
1.积分变化口诀：后积先定限，限内画直 线，先交先下限，后交写上限；
2.注意对称性得0的应用可以极大地化简计 算
微分方程
可分离变量
y'=f(x).g(y)
分离变量
y'=f(ax+by+c)
换元后再分离变量
一般一层积分不易处理，化成两层积分，在交换 积分次序
分部积分法
换序型
反常积分的计算
研究对象
常规题型取绝对值时取值范围
曲线平移时相关符号不同取值范围所对应的面积
切线综合
函数列综合
题型总结
在平面极坐标系中，如果极径ρ随极角θ的 增加而成比例增加（或减少），这样的动
点所形成的轨迹叫做螺线。
阿基米德螺旋线
数列极限
定义
定义及使用
唯一性 有界性
使用
保号性
为常数
收敛充要条件
归结原则的使用（变量连续化）
直接计算法
定义法（先暂后奏）
高等数学中的图论与网络分析
高等数学作为大学数学教育的核心课程之一，包含了许多重要的数学概念和方法。
其中，图论与网络分析是高等数学中的一个重要分支，涉及了图的定义、图的性质以及与网络相关的问题的解决方法。
首先，让我们来了解一下什么是图。
在数学中，图是由若干个节点和连接这些节点的边组成的结构。
节点可以表示各种实体，如人、城市等，而边则表示节点之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
在有向图中，边具有方向，表示节点之间的单向关系；而在无向图中，边没有方向，表示节点之间的双向关系。
我们可以通过绘制节点之间的边来可视化地表示图的结构。
在高等数学中，我们主要研究的是无向图。
通过图的分析，我们可以更好地理解各种实体之间的相互关系。
例如，在社交网络中，可以用图来表示人与人之间的关系；在物流领域中，可以用图来表示商品与配送中心之间的联系。
通过对图的分析，可以帮助我们揭示隐藏在复杂关系中的规律，并为解决实际问题提供指导。
而图论是研究图的性质和图中问题的解决方法的一门学科。
通过图的性质分析，可以推断出图中节点之间的关系，比如节点的连通性、路径的存在性等。
图论中的常用概念包括度、连通图、路径等。
节点的度表示与该节点相连的边的数量，连通图指的是任意两个节点之间都存在路径的图，而路径则是指从一个节点到另一个节点所经过的边的序列。
借助这些概念，我们可以计算图的直径（即最长路径的长度）、聚类系数（表示节点之间的紧密联系程度）等指标，从而更好地了解图的结构。
在网络分析中，我们关注的是如何在真实世界中获得图的数据并对其进行分析。
近年来，随着互联网的发展，大量的网络数据被生成和存储。
通过网络分析，可以从这些数据中挖掘出有价值的信息。
例如，在社交网络中，可以通过分析用户之间的连接模式，了解人们的兴趣爱好和行为习惯；在生物学中，可以分析蛋白质相互作用网络，推断出未知蛋白质的功能等。
网络分析的方法包括社区发现、中心性分析、网络模型等。
这些方法可以帮助我们揭示网络结构中的规律和特征，并为决策者提供支持。
1不等式知识网络
不等式知识网络 一．不等式知识结构图二．高考要求考试内容 ：不等式，不等式的基本性质，不等式的证明，不等式的解法，含绝对值的不等式。
考试要求：（1） 理解不等式的性质及其证明。
（2） 掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
（3） 掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
（4） 掌握简单不等式的解法。
（5） 理解不等式.a b a b a b -≤+≤+三．高考热点（1） 不等式的性质在高考题中往往不单独命题，而是以其他知识为载体进行考查，但它仍然是高考的重点内容。
因为无论是不等式的证明还是不等式的解法，都要对不等式进行正确的变形，而这种变形的依据正是不等式的性质。
因此本章要求掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，理解不等式的性质定理1~5及其推论的证明，能正确使用不等式的性质进行两个代数式大小的比较以及判断某些不等式是否成立。
（2） 算术平均数与几何平均数是高考的一个考点，在历年高考中常常出现综合函数、几何等知识的考查，近几年高考中又多次出现运用该知识的应用题。
因此要求掌握算术平均数与几何平均数定理及其变形，会用来求函数最值、证明不等式以及解决一些实际应用题。
新的高考要求对于算术平均数与几何平均数定理及应用不扩展到三个，因此在复习时不必做“三个数”以上的扩展。
（3） 不等式证明是高考的一个考点，在历年高考中经常出现，本章要求重点掌握不等式证明的三种方法：比较法、综合法、分析法，其他不作为重点。
但其它方法，如反证法、换元法、函数法、放缩法等等都是高等数学常用的思维方法，因此也是考查学生的能力的一个方面，希望同学们注意掌握。
（4） 解不等式是历年高考的热点，题目多以中档难度出现。
要求在掌握一元一次不等式和一元二次不等式解法的基础上，还要会解绝对值不等式、分式不等式及简单的高次不等式，并会运用分类讨论思想以及等价转化思想解某些较复杂的与不等式解法有关的问题。
高中数学必修全思维导图
调性不同，则 y f [g(x)] 是减函数。
4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作 函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论：
1、如果一个奇函数在 x 0 处有定义，则 f (0) 0 ，如果一个函数 y f (x) 既是
高一数学必修 1 知识网络
集合
（ 1）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）
集合与元素
（ 2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性 （ 3）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集 （ 4）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法
C.
4、空集是任何集合的（真）子集。
集合
真子集：若A
B且A
B（即至少存在x0
B但x0
A），则A是B的真子集。
集合与集合
运算集并交合集集Ca相r定定性性d等(义义质质A：：：：：ABAAAA)BBBC且AAaArdAAxx，(，A//BxAxA) CAAa或且rAdxx(AB，B，)BB-AACarBdB(ABBBA)A，，AABBAA，, AABB
定义
按照某个对应关系f , y都有唯一确定的值和它对应。那么y就是x的函数。记作y f ( x ).
近代定义：函数是从一个数集到另一个数集的映射。
定义域 函数及其表示 函数的三要素 值域 对应法则
解析法
函数的表示方法 列表法
函数
几类不同的增长函数模型 函数模型及其应用 用已知函数模型解决问题 建立实际问题的函数模型
数学分析第二章极限与连续知识网络思维导图及复习
量求极限。 6、 理解函数连续的概念，会判断函数不连续点的类型。 7、 掌握用基本定理证明闭区间上连续函数的最大值、最小值、介值性定理的基本思路和方
法。 8、 理解一致连续的概念，并会应用其证明相关命题。 三、知识点梳理 1、数列极限的概念、性质与定理
不一致连续： 0
0,
xn
,xn
,
lim(
n
xn
x)
0 ，而 lim( n
f
(xn )
f
( xn)
c
0.
四、典型例题分析
基本题型 I 利用定义证明数列的极限
例
证明
lim
n
n 2n
0
证 明 ： 0, 要 使 得
n 2n
0
成立，只要
n 2n
0
n 2n
2 n
(这是因为
2n (11)n 1 n n(n 1) ... n2
(ii) 同 阶 无 穷 小 ： lim f (x) a 0 ， 则 称 f (x) 是 g(x) 的 同 阶 无 穷 小 ， 记 为 xx0 g(x)
f (x) Og(x) x x0 ，
0
特别地，如果 f (x) 在 O(x0 ) 有界，记作 f (x) O(1), (x x0 )
③ 函数的不连续点
(i)第一类不连续点： f (x0 0), f (x0 0) 存在，但不相等。
(ii)第二类不连续点： f (x0 0), f (x0 0) 中至少有一个不存在.
(iii)可移不连续点:
f (x0
0)
f
(x0
高等数学各章节知识点框架
第⼀一讲极限与连续分为如下部分：1.定义2.性质3.⽆无穷⼩小4.⽆无穷⼤大5.函数极限的计算6.数列列极限的计算7.应⽤用!定义（极限定义——四句句话）⼀一.⼀一共有25种定义（6x4+1）6:x的六种趋向⽅方式，分为局部性质与渐进性质（注意对于x不不等于x0）4:f的四种趋向⽅方式，有三种是⽆无穷的情况（注意：任取M，与⽆无界定义相区别）（宇哥基础笔记）1:数列列定义（注意n为⾃自然数，只有渐进性质）函数极限定义注意两点：1.x趋向于x0，x不不等于x02.若f在x0的去⼼心邻域⽆无定义，则极限不不存在，反之，极限存在，则推在x0的去⼼心邻域处处有定义数列列极限的定义也注意两点：1.xn的极限与其前有限项⽆无关（类似于⽆无穷级数的收敛性与前n项⽆无关）2.xn的极限为a互推xn的任意的⼦子列列的极限也为a，特别的，xn的极限为a互推xn的奇数项与偶数项的极限均为a（注意：要涵盖xn的所有项）⼆二.有关定义的考法（17宇哥强化笔记）1.定X，N以及那个什什么（打不不出来）（主要是利利⽤用极限语⾔言来证明极限）⽅方法是：从有关f的不不等式推导出有关x的不不等式，从⽽而来定，若f的式⼦子复杂，可通过适当的放缩。
2.定e（原谅我不不能打出来）来讨论f（x）的范围Note1.注意例例题中有个结论 f极限为a可以推出f的绝对值极限为a的绝对值（利利⽤用极限的定义与中学知识来证，同理理数列列极限也是）2.e要取正整数，不不能取变量量。
3.由极限来推出的f的范围，只是陈述事实，⽽而不不是取值范围。
4.即使给我整个世界，我也只在你的身边"性质及其考法三⼤大性质——唯⼀一性，局部有界性，局部保号性1.唯⼀一性——极限存在必唯⼀一，所以极限存在可以推左极限等于右极限Note：⼀一般分左右极限的情况1.分段点 2.e的∞ 3.arctan∞2.局部有界性（注意局部包括局部性质与渐进性质）定义（会证会⽤用）（利利⽤用了了中学知识，绝对值的不不等式）Note：该定义只是有界的充分⾮非必要条件，即函数有界不不⼀一定极限存在，如sinx关于函数f（x）的有界性的判定⽅方法：1.理理论法（中学知识）：连续初等函数在闭区间内必有界2.计算法（⼤大学知识）：函数在开区间内连续，再加上端点的极限存在，则可以推出该函数在区间内有界3.四则运算：当极限不不存在时，拆！（⚠）（有限个）有界+有界=有界（有限个）有界x有界=有界Note：初等函数在闭定义区间内连续有界（初等函数在定义区间内连续，在闭定义区间内连续，必有界）3.局部保号性（此处的局部也是包括局部和渐进性质）定义（会证会⽤用）拓拓展：脱帽法（没有=号）带帽法（有等号，尤其极限A必须有等号，如x分之1在x趋于∞）Note：1.极限的运算法则：能不不能拆，拆了了再说。
高等数学各章知识结构
高等数学各章知识结构高等数学是一门广泛涉及多个领域的学科，包括微积分、线性代数、概率论等。
下面将介绍高等数学各章的知识结构。
一、数列与数学归纳法（150字）数列与数学归纳法是高等数学的起点，包括等差数列、等比数列、递推数列等概念。
这一章主要讨论数列的性质、极限与收敛性等问题，并引入数学归纳法进行证明。
二、函数与极限（200字）函数与极限是高等数学的核心概念，也是微积分的基础。
这一章主要包括函数的定义、性质、基本函数、复合函数等内容，引入了极限的概念和计算方法。
三、导数与微分（250字）导数与微分是微积分的重要内容，也是应用最广泛的部分。
这一章主要讨论导数的定义、求导法则、高阶导数等内容，以及微分的定义与应用。
四、不定积分（200字）不定积分是微积分的另一个重要内容，研究的是函数的原函数。
这一章主要介绍不定积分的定义、基本积分法、换元积分法、分部积分法等内容。
五、定积分（200字）定积分是微积分的重要应用之一，主要研究函数在区间上的积分。
这一章主要包括定积分的定义、性质、基本公式、几何应用等内容。
六、微分方程（250字）微分方程是高等数学的又一重要内容，研究的是包含导数的方程。
这一章主要介绍了一阶线性微分方程、高阶线性微分方程、常微分方程的基本概念、解法和应用。
七、无穷级数（200字）无穷级数是数列的延伸，研究的是无穷多个数的求和。
这一章主要介绍级数的概念、收敛性、常用级数以及级数收敛的判定方法等内容。
八、多元函数与偏导数（250字）多元函数与偏导数是高等数学的另一个重要部分，研究的是多个变量间的关系。
这一章主要包括多元函数的概念、偏导数的定义与计算、全微分等内容。
九、多重积分（200字）多重积分是对多元函数求积分的扩展，研究的是多维空间中的积分。
这一章主要介绍二重积分、三重积分的定义、计算方法以及应用。
十、曲线与曲面积分（200字）曲线与曲面积分是高等数学的应用之一，主要研究曲线和曲面上的积分。
高数学习中的思维导图与总结技巧
高数学习中的思维导图与总结技巧
在高等数学学习中，思维导图与总结技巧扮演着重要角色。
它们如同一位引导者，带领着学生们在广袤的数学知识海洋中航行，找到宝贵的知识珍珠并将它们串联成精巧的项链。
首先，思维导图可以比喻为一张引导地图。
当学生们面对复杂的数学概念和公式时，这张地图为他们指明方向，帮助他们理清头绪。
通过将各个概念、定理、公式用节点和链接连接起来，思维导图呈现出数学知识的结构和逻辑关系。
就像一位热心的导游，它们把学生们从迷失的迷宫中带出来，让他们能够更清晰地看到整个数学学科的全景图。
其次，总结技巧像是一位智者，帮助学生们从学习的浩瀚中提炼精华。
通过总结，学生们可以把学到的知识归纳概括，从而更深刻地理解和记忆。
就像一个精巧的工匠，总结技巧帮助学生们将零散的数学知识点打磨成统一的整体。
它们教导学生们如何从细节中抽丝剥茧，发现并把握住数学问题的核心。
在实际运用中，思维导图与总结技巧相辅相成。
思维导图提供了一个构建知识结构的框架，而总结技巧则在这个框架上填充内容，使其更加丰富和有力。
通过将两者结合运用，学生们可以
在高等数学学习中事半功倍，既提高学习效率又加深对数学内容的理解。
总之，高等数学学习中的思维导图和总结技巧如同学习之路上的得力助手。
它们不仅指引着学生们前行的方向，还帮助他们在广袤的数学知识海洋中留下深刻的足迹。
通过不断地练习和应用，学生们能够将这些技巧内化成为自己学习的一部分，从而在数学学习的旅程中获得更多的收获和成长。