函数的单调性微课课件
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1 第1课时 函数的单调性(共44张PPT)
提示：不一定，可能是定义域的一个子区间，单调性是局部概念，不是整体 概念.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性.
(×)
(2)若函数 y＝f(x)在区间[1，3]上是减函数，则函数 y＝f(x)的单调递减区间是
[1，3].
(×)
(3)若函数 f(x)为 R 上的减函数，则 f(－3)>f(3).
解：由题意，确定函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的单调递增区间，即寻找图象呈上 升趋势的一段图象. 由题图(1)可知，在[1，4)和[4，6)内，y＝f(x)是单调递增的. 由题图(2)可知，在(－4.5，0)和(4.5，7.5)内，y＝g(x)是单调递增的.
()
3.设(a，b)，(c，d)都是 f(x)的单调递增区间，且 x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，
则 f(x1)与 f(x2)的大小关系为
()
A.f(x1)<f(x2)
B.f(x1)>f(x2) C.f(x1)＝f(x2)
D.不能确定
解析：选 D.根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区 间内的值时，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中 的 x1，x2 不在同一单调区间内，故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定.
4.若函数 f(x)在 R 上是单调递减的，且 f(x－2)<f(3)，则 x 的取值范围是 ______________. 解析：函数的定义域为 R.由条件可知，x－2>3，解得 x>5. 答案：(5，＋∞)
5.如图分别为函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的图象，试写出函数 y＝f(x)和 y＝g(x)的 单调递增区间.
函数的单调性课件(共17张PPT)
如果我们以x表示时间间隔（单位：h),y表示记忆保持量，则 不难看出，图3-7中，y是的函数，记这个函数为y =f(x).
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
问题情境：我们知道，“记忆”在我们的学习过程中 扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都 是人们研究的课題。德国心理学家艾宾浩斯曾经对记 忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图37所示的记忆规律．
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
△x表示自变量x的增量，△y表示因变量y的增量． 这时，对于属于这个区间上的任意两个不相等的值x1,x2: 这个数是增函数的充要条件是yx ＞0； 这个数是增函数的充要条件是y ＜0.
x
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
因此，函数f(x)=3x+2在（- ,+ ）上是增函数.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
数学Biblioteka 基础模块（上册）第三章 函数
3.1.3 函数的单调性
数学课件：函数的单调性
02
如果函数在某区间的两端点取值 相等，则函数在该区间内可能存 在拐点或极值点。
常见函数的单调性
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
一次函数在其定义域内是单 调的，其单调性取决于一次 项系数的正负。一次项系数 大于0时，函数单调递增； 一次项系数小于0时，函数 单调递减。
二次函数的单调性取决于二 次项系数和一次项系数的正 负。当二次项系数大于0时 ，函数开口向上，对称轴左 侧函数单调递减，右侧函数 单调递增；当二次项系数小 于0时，函数开口向下，对 称轴左侧函数单调递增，右 侧函数单调递减。
要点二
详细描述
在函数中，如果函数在某个区间内单调递增或递减，那么 我们可以根据这个性质来确定参数的取值范围。例如，如 果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上单调递增，那么对于任意的 $x_1, x_2 in [a, b]$，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) < f(x_2)$。因此，如果函数在某个区间内单调递增，那么参 数必须满足一定的条件才能使函数在这个区间内单调递增 。
函数单调性的几何解释
单调性的几何解释
在平面坐标系中，如果函数图像在某区间内是上升或下降的，则该函数在此区间 内是单调递增或单调递减的。
单调性的判定方法
通过观察函数图像或利用导数来判断函数的单调性。如果函数图像在某区间内是 上升或下降的，或者导数大于0或小于0，则该函数在此区间内是单调递增或单调 递减的。
02
判断函数单调性的方法
导数与函数单调性
导数大于0，函数单 调递增；导数小于0 ，函数单调递减。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数的符号变化点可 能是函数的拐点或极 值点。
如果函数在某区间的两端点取值 相等，则函数在该区间内可能存 在拐点或极值点。
常见函数的单调性
一次函数
二次函数
指数函数
对数函数
一次函数在其定义域内是单 调的，其单调性取决于一次 项系数的正负。一次项系数 大于0时，函数单调递增； 一次项系数小于0时，函数 单调递减。
二次函数的单调性取决于二 次项系数和一次项系数的正 负。当二次项系数大于0时 ，函数开口向上，对称轴左 侧函数单调递减，右侧函数 单调递增；当二次项系数小 于0时，函数开口向下，对 称轴左侧函数单调递增，右 侧函数单调递减。
要点二
详细描述
在函数中，如果函数在某个区间内单调递增或递减，那么 我们可以根据这个性质来确定参数的取值范围。例如，如 果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上单调递增，那么对于任意的 $x_1, x_2 in [a, b]$，如果$x_1 < x_2$，则有$f(x_1) < f(x_2)$。因此，如果函数在某个区间内单调递增，那么参 数必须满足一定的条件才能使函数在这个区间内单调递增 。
函数单调性的几何解释
单调性的几何解释
在平面坐标系中，如果函数图像在某区间内是上升或下降的，则该函数在此区间 内是单调递增或单调递减的。
单调性的判定方法
通过观察函数图像或利用导数来判断函数的单调性。如果函数图像在某区间内是 上升或下降的，或者导数大于0或小于0，则该函数在此区间内是单调递增或单调 递减的。
02
判断函数单调性的方法
导数与函数单调性
导数大于0，函数单 调递增；导数小于0 ，函数单调递减。
导数等于0的点可能 是函数的极值点或拐 点。
导数的符号变化点可 能是函数的拐点或极 值点。
人教版高中数学必修一1.3.1 函数的单调性说课课件 (共20张PPT)
说课应遵循的四个原则 一、科学性原则－－说课活动的前提 科学性原则是教学应遵循的基本原则，也是说课应遵循的基本原则，它是保证说课质量的前 提和基础。科学性原则对说课的基本要求主要体现在以下几个方面。 1、教材分析正确、透彻。2、学情分析客观、准确，符合实际。3、教学目的的确定符号大 纲要求、教材内容和学生实际。4、教法设计紧扣教学目的、符合课型特点和学科特点、有利于 发展学生智能，可行性强。 二、理论联系实际原则－－说课活动的灵魂 说课是说者向听者战士其对某节课教学设想的一种方式，是教学与研究相结合的一种活动。 因此在说课活动小中，说课人不仅要说清其教学构想，还要说清其构想的理论与实际两个方面 的依据，将教育教学理论与课堂教学时间有机的结合起来，做到理论与实践的高度统一。 1、说课要有理论指导。2、教法设计应上升到理论高度。3、理论与实际要有机统一。 三、实效性原则－－说课活动的核心 任何活动的开展，考试大都有其鲜明的目的。说课活动也不例外。说课的目的就是要通过“ 说课”这一简易、速成的形式或手段来在短时间内集思广益，检验和提高教师的教学能力、教 研能力，从而优化了课堂教学过程，提高课堂教学效率。因此，“实效性”就成了说课活动的 核心。为保证每一次说课活动都能达到预期目的、收到可观实效，至少要做到以下几点。 1、目的明确。2、针对性强大。3、准备充分。4、评说准确。 四、创新性原则——说课活动的生命线 说课是深层次的教研活动，是教师将教学构想转化为教学活动之前的一种课前预演，其本身 也是集体备课。在说课活动的一个组成部分。尤其是研究性说课，其实质就是集体备课。在说 课活动中，说课人一方面要立足自己的教学特长、教学风格。另一方面更要借助有同行、专家 参与评说众人共同研究的良好机会，树立创新的意识和勇气，大胆假设，小心求证，探索出新 的教学思路和方法，从而为断提高自己的业务水平，进而不断提高教学质量。只有在说课中不 断发现新问题、解决新问题，才能使说课活动永远“新鲜”、充满生机和活力。
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
感谢您的观看
03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
1.3.1函数的单调性课件
O
·
x1
1
x
根据下列函数的图象，观察其变化规律：
y
f(x) = x2
f(x1)
O
x1
x
根据下列函数的图象，观察其变化规律：
y
f(x) = x2
f(x1)
O
x1
x
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
y
f(x1)
f(x) = x2
f(x1)
f(x1)
x1
x1 O x1
x
1 、在区间(____ ∞,0] 上， f(x) 的值随着 x 的增大而 减小 ． ______
1.3.1
单调性与最大（小）值
函数单调性的概念
第1课时
永几切隔数形数焉本数 远何莫离形少无能是与 联代忘分结数形分相形 系数 家合时时作倚 莫统 万百难少两依 分一 事般入直边 华 离体 休好微觉飞 罗 庚
———
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据：
根据下列函数的图象，观察其变化规律：
y
f(x1)
f(x) = x2
f(x1)
f(x1)
O x1 x1
x1
x
2、 在区间 (0,+∞) _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 增大 ． _____
根据下列函数的图象，观察其变化规律：
y
f(x1)
图象在y轴右侧” 上升“
f(x) = x2
f(x1)
们就说函数f ( x) x 2在区间 0， 上是增函数.
1．增函数
y
f(x2) f(x1)
y=f(x)
·
x1
1
x
根据下列函数的图象，观察其变化规律：
y
f(x) = x2
f(x1)
O
x1
x
根据下列函数的图象，观察其变化规律：
y
f(x) = x2
f(x1)
O
x1
x
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
y
f(x1)
f(x) = x2
f(x1)
f(x1)
x1
x1 O x1
x
1 、在区间(____ ∞,0] 上， f(x) 的值随着 x 的增大而 减小 ． ______
1.3.1
单调性与最大（小）值
函数单调性的概念
第1课时
永几切隔数形数焉本数 远何莫离形少无能是与 联代忘分结数形分相形 系数 家合时时作倚 莫统 万百难少两依 分一 事般入直边 华 离体 休好微觉飞 罗 庚
———
问题提出
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类 的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得 到了以下一些数据：
根据下列函数的图象，观察其变化规律：
y
f(x1)
f(x) = x2
f(x1)
f(x1)
O x1 x1
x1
x
2、 在区间 (0,+∞) _____ 上，f(x)的值随着x的增大而 增大 ． _____
根据下列函数的图象，观察其变化规律：
y
f(x1)
图象在y轴右侧” 上升“
f(x) = x2
f(x1)
们就说函数f ( x) x 2在区间 0， 上是增函数.
1．增函数
y
f(x2) f(x1)
y=f(x)
函数的单调性ppt课件
应用实例
THANKS
感谢观看
定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
THANKS
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定义法
通过求函数的导数来判断函数的单调性。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
导数法
03
单调性在解决函数的零点问题中也有着重要的应用。通过判断函数的单调性，可以确定函数的零点所在的区间，进而求出函数的零点。
01
单调性在解决不等式问题中有着广泛的应用。通过判断函数的单调性，可以确定不等式的解集或解的范围。
成本效益分析
利用单调性，可以分析企业生产成本与收益之间的关系，制定合理的经营策略。
风险评估
在金融学中，单调性可用于评估投资风险，例如股票价格的变化趋势。
03
02
01
单调性与其他数学概念的关系
04
CATALOGUE
单调性与导数之间存在密切的联系，导数的符号决定了函数的增减性。
单调性是指函数在某个区间内的变化趋势，而导数则是函数在某一点的切线斜率。如果函数在某个区间内单调递增，则其导数在该区间内大于等于零；如果函数在某个区间内单调递减，则其导数在该区间内小于等于零。因此，通过求函数的导数，可以判断函数的单调性。
安静
一度1
01
2
02
on on
03
asiest s掏燕 credit, members on,
切实实地 金字,
on thebbbb斯特 to , therefore, ,2 core on鉴于后者 on, core yes on
,
, on the, core, credit. on buried.,,xe.
函数的单调性可以通过函数的导数来判断。如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
第1课时 函数的单调性 课件(42张)
点拨：二次函数的单调性与对称轴有关．
与二次函数单调性相关的参数问题 (1)若已知函数的单调区间，则对称轴即区间的端点； (2)若已知函数在某区间上的单调性，则该区间是函数相关区间的子区间，利用端 点关系求范围．
பைடு நூலகம் 【加固训练】
函数 f(x)＝x2＋(2a＋1)x＋1 在区间[1，2]上单调，则实数 a 的取值范围是( )
创新思维 抽象函数的单调性(逻辑推理) 【典例】已知函数 f(x)对任意的 a，b∈R，都有 f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当 x>0 时，f(x)>1. 求证：f(x)是 R 上的增函数； 【证明】设 x1，x2∈R，且 x1<x2， 则 x2－x1>0，即 f(x2－x1)>1， 所以 f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝ f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0. 所以 f(x1)<f(x2)，所以 f(x)是 R 上的增函数．
范围为－32，＋∞ ∪－∞，－25 .
解不等式
【典例】(2020·昆明高一检测)已知 f(x)是定义在 R 上的减函数，则关于 x 的不等
式 f(x2－x)－f(x)＞0 的解集为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(0，2)
C．(－∞，2)
D．(2，＋∞)
【解析】选 B.因为 f(x)是定义在 R 上的减函数，则 f(x2－x)－f(x)＞0.所以 f(x2－ x)＞f(x)，所以 x2－x＜x.即 x2－2x＜0，解可得 0＜x＜2.即不等式的解集为(0，2).
基础类型二 利用定义证明函数的单调性(逻辑推理) 【典例】证明：函数 f(x)＝x2－x 1 在区间(－1，1)上单调递减．
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0
图象 特征 数量 特征
在区间I内
y f(x2)
在区间I内
y=f(x)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
从左至右，图象上升
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小 当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
y随x的增大而增大 数量 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
问题2：
根据函数的定义，对于自变量X的每一个确定的值，
变量Y有唯一确定的值与它对应，那么，当一个函数在某 个区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的自变量 的值与对应的函数值的变化规律是怎样的呢？
问题3： 函数f(x)区间（a,b）上有无数个自变
量x, 使得当a＜x1＜x2＜…＜b时，有f(a)＜
1.3.1函数的单调性
2014年11月12日
函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了
解函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律。
在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质。 问题1：观察下图中各个函数的图象，你能说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律吗？
y y 6 4 y 2 0 x -1 0 -2 1 x
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于 定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间 D上是减函数 ． 如果函数y=f(x)在区间Ｄ上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有严格的单调性， 区间Ｄ叫做函数y=f(x)的单调区间.
证明函数单调性的四步骤：
（1）设值: （在所给区间上任意设两
个实数 x1 , x2且x1 x2 .）
（2）比较: （作差
f ( x1 ) f ( x2 ) ，然后变形，常
通过“因式分解”、“通分”、“配方 ”等手段将差式变形）
（3）判号: （判断的
f ( x1 ) f ( x2 ) 符号）
由此得出单调增函数和单调减函数的定义. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
f(x1)＜f(x2)＜…＜f(b),能不能说明它在(a,b)
上单调增？请你说明理由。（举例或画图）
y
o
a
x1
x2
b x
问题4：
如果对于区间（a,b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数 f(x)在区间(a,b)上单调增，这个说法对吗？请你说明理由。
y
（举例或画图）
a
b
x
一、函数单调性定义 1．增函数
1 问题5：画出反比例f(x)= 的图象，并回答下列问题： x
(1)指出这个函数的单调性；
(2)是否可以说“这个函数在定义域上单调减”，为什么？
y
f(x2)
x1 o
x2 f(x1)
x
练习
k 物理学中玻意耳定律p= （k为正常数）告诉我们， v
对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大。试用函 数的单调性定义证明之。
（4）结论: （作出单调性的结论）
知识小结： 1、 这节课我们学习了函数的单调性，请问你 有什么收获和感悟？ 2、如果函数在区间(a,b)单调减，那么这个函 数有什么特征？
在区间I内
y f(x2)
在区间I内
y=f(x)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
函数的单调减区间。
例1．下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上， 它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),
[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间 [-5,-2), [1,3)上是减函数， 在区间 [-2,1), [3,5]上是增函数.
作业： 教材P39第1、2、3题。
100 50
2
6 -2 x -1 -2 -4 1 2
-6
-50 0 -100
设函数的定义域为I，区间D I，
1. 在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是
上升的，则称函数在区间D上是增函数，区间D称为
函数的单调增区间；
2. 在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是
下降的，则称函数在区间D上是减函数，区间D称为
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
图象 特征 数量 特征
在区间I内
y f(x2)
在区间I内
y=f(x)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
从左至右，图象上升
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小 当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
y随x的增大而增大 数量 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
问题2：
根据函数的定义，对于自变量X的每一个确定的值，
变量Y有唯一确定的值与它对应，那么，当一个函数在某 个区间上是单调增（或单调减）的时候，相应的自变量 的值与对应的函数值的变化规律是怎样的呢？
问题3： 函数f(x)区间（a,b）上有无数个自变
量x, 使得当a＜x1＜x2＜…＜b时，有f(a)＜
1.3.1函数的单调性
2014年11月12日
函数是描述事物运动变化规律的数学模型。如果了
解函数的变化规律，那么也就掌握了相应事物的变化规律。
在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质。 问题1：观察下图中各个函数的图象，你能说说它们分别反映 了相应函数的哪些变化规律吗？
y y 6 4 y 2 0 x -1 0 -2 1 x
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对 于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 ， x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x) 在区间D上是增函数．
2．减函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于 定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间 D上是减函数 ． 如果函数y=f(x)在区间Ｄ上是增函数或减函数， 那么就说函数y=f(x)在这一区间具有严格的单调性， 区间Ｄ叫做函数y=f(x)的单调区间.
证明函数单调性的四步骤：
（1）设值: （在所给区间上任意设两
个实数 x1 , x2且x1 x2 .）
（2）比较: （作差
f ( x1 ) f ( x2 ) ，然后变形，常
通过“因式分解”、“通分”、“配方 ”等手段将差式变形）
（3）判号: （判断的
f ( x1 ) f ( x2 ) 符号）
由此得出单调增函数和单调减函数的定义. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2)
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2， 的任意两个自变量的值x ,x ，
f(x1)＜f(x2)＜…＜f(b),能不能说明它在(a,b)
上单调增？请你说明理由。（举例或画图）
y
o
a
x1
x2
b x
问题4：
如果对于区间（a,b）上的任意x有f(x)＞f(a)，则函数 f(x)在区间(a,b)上单调增，这个说法对吗？请你说明理由。
y
（举例或画图）
a
b
x
一、函数单调性定义 1．增函数
1 问题5：画出反比例f(x)= 的图象，并回答下列问题： x
(1)指出这个函数的单调性；
(2)是否可以说“这个函数在定义域上单调减”，为什么？
y
f(x2)
x1 o
x2 f(x1)
x
练习
k 物理学中玻意耳定律p= （k为正常数）告诉我们， v
对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大。试用函 数的单调性定义证明之。
（4）结论: （作出单调性的结论）
知识小结： 1、 这节课我们学习了函数的单调性，请问你 有什么收获和感悟？ 2、如果函数在区间(a,b)单调减，那么这个函 数有什么特征？
在区间I内
y f(x2)
在区间I内
y=f(x)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
函数的单调减区间。
例1．下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上， 它是增函数还是减函数？
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),
[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间 [-5,-2), [1,3)上是减函数， 在区间 [-2,1), [3,5]上是增函数.
作业： 教材P39第1、2、3题。
100 50
2
6 -2 x -1 -2 -4 1 2
-6
-50 0 -100
设函数的定义域为I，区间D I，
1. 在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是
上升的，则称函数在区间D上是增函数，区间D称为
函数的单调增区间；
2. 在区间D上，若函数的图象（从左至右看）总是
下降的，则称函数在区间D上是减函数，区间D称为
1 2
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 )
>
f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间