2-资产定价-期权定价的数值方法
期权定价的基本原理及方法
一个简单套利的例子
• 对一个欧式买权，假设 c=3 S0 = 20 T=1 r = 10% K = 18 D=0 • 这个期权的定价是否存在套利机会呢?
为了说明这个问题，我们可以构造如下简单的组合： 卖出一份股票，然后买入一份买权，多余的资金买入相同期限的无风险债券。 该组合初始投入为零。
买权到期时组合的收益情况: 若,ST K 执行期权，获得一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) K (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 若，ST K 不执行期权，通过市场买入一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) ST (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 因此，无论股价朝哪个方向运行，我们的策略都可以获得大于0. 元的利润。 7 所以这个期权的定价明显偏低。
11 12 13
期权价格 期权价格
买权价格
0 5
10
5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19 18 17 16 15
期权内在价值 利率增加后的价格 红利率增加后的价格
14
利率对买权价值的影响
红利对买权价值的影响
2年期期权价格 期权内在价值 5年期期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权内在价值 波动率增加后的价格
期限对买权价值的影响
波动率对卖权价值的影响
买权价格
10 15 20 25 10 15 20 25 0
金融协议中的资产定价与投资组合管理策略
金融协议中的资产定价与投资组合管理策略在金融行业中，资产定价和投资组合管理是至关重要的议题。
通过合理的资产定价和科学的投资组合管理策略，投资者能够最大化回报并降低投资风险。
本文将探讨金融协议中的资产定价方法，以及在投资组合管理中的相关策略。
一、资产定价方法在金融协议中，资产定价是实现公平交易和风险控制的基础。
以下是几种常见的资产定价方法：1. 折现现金流量模型（DCF）DCF模型基于资金的时间价值，将未来现金流折现至现值。
该方法适用于评估长期投资项目和股票等资产。
投资者通过计算资产现值来确定是否具有投资价值，并进行相应的买入或卖出决策。
2. 相对估值方法相对估值方法是将不同资产之间的相对价值进行比较。
常见的相对估值方法包括市盈率比较、市净率比较和市销率比较等。
通过对比同行业或同类资产的指标来进行估值，投资者可以更好地了解资产的相对价值，并进行投资决策。
3. 期权定价模型期权定价模型适用于衍生品等特殊金融工具的定价。
著名的期权定价模型包括Black-Scholes模型和蒙特卡洛模拟等。
这些模型通过考虑不确定性和波动性因素，计算出期权的合理价格，为投资者提供参考。
二、投资组合管理策略在金融协议中，投资组合管理是指根据投资者的目标、风险偏好和市场条件等因素，合理配置和管理不同资产的策略。
下面是几种常见的投资组合管理策略：1. 分散投资分散投资是通过将投资分配至不同的资产类别、行业或地区，以降低投资组合的整体风险。
通过分散投资，投资者可以减少特定资产或市场的风险对整体投资组合的影响。
2. 资产配置资产配置是根据市场环境和投资者的目标，确定不同资产在投资组合中的比例。
根据投资者的风险偏好和预期回报，合理配置权益类资产、固定收益类资产和现金等资产，以实现最佳投资效果。
3. 动态平衡动态平衡是根据市场波动和投资者的风险承受能力，定期调整投资组合的比例。
通过及时的资产再分配，投资者可以保持投资组合的风险水平和回报预期，以适应市场变化。
期权时间价值数值计算公式
期权时间价值数值计算公式期权是一种金融衍生品，它给予持有者在未来特定时间内以特定价格买入或卖出标的资产的权利。
期权的价格由多种因素决定，其中时间价值是其中一个重要的因素。
时间价值是指期权合约中剩余时间对期权价格的影响，它反映了期权未来可能变动的潜在价值。
期权时间价值数值的计算公式可以通过Black-Scholes期权定价模型来进行计算。
Black-Scholes模型是一个用来估算欧式期权价格的数学模型，它是由费雪·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年提出的，因此得名。
Black-Scholes模型包含了五个主要的变量，标的资产价格（S）、期权行权价格（K）、无风险利率（r）、标的资产价格的波动率（σ）和期权到期时间（t）。
其中，期权时间价值数值的计算公式主要涉及到标的资产价格、期权行权价格、无风险利率和期权到期时间这四个变量。
期权时间价值数值的计算公式如下：时间价值 = 期权价格内在价值。
其中，期权价格可以通过Black-Scholes模型来计算，内在价值表示期权当前的实际价值。
期权的内在价值等于标的资产价格与期权行权价格之间的差值，如果是看涨期权，内在价值等于标的资产价格减去行权价格；如果是看跌期权，内在价值等于行权价格减去标的资产价格。
当期权价格大于内在价值时，期权的时间价值为正数；当期权价格小于内在价值时，期权的时间价值为负数。
具体来说，期权时间价值数值的计算公式可以分为以下几个步骤：1. 计算期权的内在价值，根据期权类型（看涨期权或看跌期权）、标的资产价格和期权行权价格来计算期权的内在价值。
2. 计算期权价格，利用Black-Scholes模型来计算期权的价格，其中需要输入标的资产价格、期权行权价格、无风险利率、标的资产价格的波动率和期权到期时间等参数。
3. 计算时间价值，将期权的价格减去内在价值，即可得到期权的时间价值数值。
通过以上计算公式，我们可以得到期权的时间价值数值，从而更好地理解期权价格的形成机制。
期权定价的连续模型及BS公式
期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题，它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。
在期权定价的研究中，连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时，假设资产价格（或指数）是连续的、随机的过程。
这些模型通常是基于随机微分方程的形式，最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。
其中几何布朗运动是一个经典的连续模型，它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。
几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中，S_t是资产价格（或指数），\mu是资产的预期收益率，\sigma是资产价格的波动率，dW_t是布朗运动的增量。
这个方程描述了资产价格的变化情况，包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。
通过这个方程，可以计算出期权的价格。
另一个常用的连续模型是扩散模型。
扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型，它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。
在扩散模型中，资产价格的波动率是一个随机过程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。
这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况，特别适用于对期限较长的期权进行定价。
BS（Black-Scholes）公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。
它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的，被广泛应用于期权定价。
BS公式的数学表达式为：C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中，C是看涨期权的价格，S_0是资产的当前价格，N(\cdot)是标准正态分布函数，d_1是一个与标准正态分布相关的变量，d_2是另一个与标准正态分布相关的变量，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T是期权的时间到期。
金融领域中的资产定价技术的使用教程
金融领域中的资产定价技术的使用教程资产定价技术是金融领域中一项重要的工具，它能够帮助投资者和金融机构评估和确定资产的合理价格。
通过使用不同的资产定价技术，投资者可以更好地了解市场中的投资机会，并做出明智的投资决策。
本文旨在介绍金融领域中常用的资产定价技术，并提供相应的教程和实际应用案例，以帮助读者更好地理解和应用这些技术。
一、资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型（CAPM）是一种常用的资产定价技术，它基于资产的预期收益和风险来确定其价格。
CAPM模型的核心思想是，投资者应该要求一个与资产风险相匹配的预期回报率。
这个模型通常是通过计算投资资产的预期回报率与市场无风险回报率之间的差异来确定资产的价格。
CAPM模型的计算公式如下：E(Ri) = Rf + βi(E(Rm) - Rf)回报率，βi表示资产i的系统风险。
为了使用CAPM模型，首先需要确定资产的系统风险β值。
这可以通过回归分析来计算得出。
具体步骤如下：1. 收集资产i的历史收益率和市场整体的历史收益率数据。
2. 通过线性回归分析计算资产i的回归系数β值。
3. 将β值代入CAPM模型中，计算资产i的预期回报率。
二、实证资产定价模型（APT）实证资产定价模型（APT）是另一种常用的资产定价技术，它与CAPM模型类似，但比CAPM模型更具灵活性。
APT模型可以通过考虑多个市场风险因素来定价资产，而不仅仅局限于一个市场因素。
APT模型的基本假设是，资产的回报率与一系列经济因素（如通货膨胀率、利率、产业发展等）之间存在关系。
通过对这些因素的分析和预测，可以确定资产的合理价格。
APT模型的计算公式如下：E(Ri) = Rf + β1F1 + β2F2 + ... + βnFn回报率，β1到βn表示资产i与因素F1到Fn之间的敏感性系数。
为了使用APT模型，首先需要确定资产与各个因素之间的敏感性系数。
这可以通过回归分析来计算得出。
具体步骤如下：1. 收集资产i的历史收益率和各个经济因素的历史数据。
期权定价期权定价公式
期权定价—期权定价公式什么是期权定价？期权定价是指确定期权在市场上的合理价格的过程。
期权是一种金融工具，它授予买方在未来某一特定时间点购买或出售标的资产的权利，而不是义务。
期权的价格取决于多种因素，包括标的资产价格、行使价格、到期时间、无风险利率和波动率等。
期权定价的目标是确定一个公平的市场价格，使得买卖双方在交易中均获得合理回报。
对于买方来说，期权的价格应该对应于未来可能获得的收益；对于卖方来说，期权的价格应该对应于承担的风险以及可能获得的收益。
期权定价公式的重要性期权定价公式是用于计算期权合理价格的数学模型。
它基于一些假设和前提条件，通过对相关变量进行运算，得出期权的价格。
期权定价公式对于市场参与者来说具有重要意义，它为投资者提供了一个参考，可以帮助他们做出更明智的投资决策。
期权定价公式的提出可以追溯到20世纪70年代初，当时经济学家Fischer Black 和 Myron Scholes 提出了著名的Black-Scholes模型。
该模型基于一些假设，包括期权在到期前不支付股息、标的资产价格在特定时间内的变动是连续且满足几何布朗运动以及市场不存在无风险套利机会等。
Black-Scholes模型是第一个用于计算期权价格的理论模型，它提供了一个简单而有效的方法来评估期权的价格。
在此之后，许多其他的期权定价模型相继被提出，如Binomial模型、Trinomial模型、Monte Carlo模拟和Heston模型等。
这些模型都是基于不同的假设和计算方法，用于满足不同的情景和需求。
期权定价公式的基本要素期权定价公式通常包括以下几个基本要素：1.标的资产价格（S）：标的资产是期权所关联的基础资产，它可以是股票、商品、外汇等。
标的资产价格是期权定价的一个重要变量，它代表了期权的内在价值。
2.行使价格（X）：行使价格是期权合约约定的价格，买方可以在到期时基于该价格购买或者出售标的资产。
行使价格与标的资产价格之间的差异会影响期权的价值。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
《金融衍生品》课件_第11章_期权定价数值方法
美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权
的价值。
20
美式看跌期权的二叉树定价 (cont.)
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为
五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可
u e t 1.1224
以算出
d e
t
0.8909
4、资产价格随机路径模拟（风险中
性概率测度）
（1）常数波动率模型的离散化和模拟
• 在风险中性世界中，为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
（11.4）
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的
时间段，则上式的离散的近似方程为：
（11.5）
6
（２）GARCH模型模拟
模型的离散化形式：
2、欧式期权蒙特卡罗模拟定价
假设标的资长价格服从波动率为常数的几
何布朗运动。对于欧式期权，只需要模拟出
标的资产到期的分布。如欧式看涨期权，第i
条路径下的支付：
()
为标准正态分布的一个随机抽样,
（11.3）=.源自3、蒙特卡罗模拟方法的适用性
• （1）普通的蒙特卡罗模拟方法不适用于美式
（10.23）
（10.24）
其中,
定义为：
（10.25）
３、Heston模型的离散化和模拟
模型的离散化和模拟
5、GARCH模型下的蒙特卡洛模拟定价
二、二叉树模型
1、二叉树模型原理
假设股票当前价格是S，下一期价格有两种可能 (= u)
和 =(Sd)，风险中性下上升概率是p，下跌概率是1-p。
e r q t d
p
ud
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支付连续红利率资产的期权定价
当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在 风险中性条件下，证券价格的增长率应该为rq，因此：
e ( r q) Dt pu (1 p)d
其中
p
e
( r q ) Dt
d ud
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证券价格的树型结构
Su4 Su3 Su2 Su S Sd Sd2 Sd3 Sd4 S S Sd Sd2 Su Su2
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倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉 树模型中采用倒推定价法，从树型结构图的末 端T时刻开始往回倒推，为期权定价 值得注意的是，如果是美式期权，就要在树型 结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行 期权和继续再持有时间，到下一个时刻再执行 期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值 。
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续
为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段， 每段一个月（等于0.0833年）。可以算出：
u e d e
Dt
1.1224 0.8909
Dt
e r Dt d p 0.5076 ud 1 p 0.4924
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美式看跌期权二叉树
70.70 0 62.99 56.12 50 A 4.48 2.15 44.55 6.95 0.63 50 3.76 39.69 B 10.35 D 56.12 1.30 C 44.55 6.37 35.36 14.64 79.35 0 62.99 0 50 2.66 39.69 10.31 31.51 18.50 E 89.07 0 70.70 0 56.12 0 44.55 5.45 35.36 G 14.64 28.07 21.93
F
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二叉树方法的一般定价过程
以无收益证券的美式看跌期权为例。把该期权 有效期划分成N个长度为 Dt 的小区间，令
f ij (0 i N ,0 j i) 表示在时间 iDt 时第j个结 点处的美式看跌期权的价值，同时用 Su j d i j 表示结点 (i, j ) 处的证券价格，可得：
支付已知红利率资产的期权定价
如果 iDt 时刻在除权日之前，则结点处证券价 格仍为： j i j
Su d
, j 0,1, , i
如果 iDt 时刻在除权日之后，则结点处证券价 格相应调整为： S (1 )u j d i j 对在期权有效期内有多个已知红利率的情况，
S (1 i )u j d i j
已知红利额
把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的， S* 其价值用 表示，而另一部分是期权有效期 内所有未来红利的现值，假设在期权有效期内 只有一次红利。
S * (iDt ) S (iDt )
i Dt
r ( iDt )
S (iDt ) S (iDt ) De
*
i Dt
ˆ ˆ f A f A fB fB
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适应性网状模型
在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价 格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的 树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那 些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步 Dt 进一步细分，如分为 Dt 4 ，每个小步长仍 长 然采用相同的三叉树定价过程，这样使得树图 更好地反映了实际情形，从而大大提高了定价 的效率和精确程度。
第八章 期权定价的数值方法
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主要内容
二叉树期权定价模型 蒙特卡罗模拟 有限差分方法
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SerDt pSu (1 p)Sd
erDt pu (1 p)d
同样可以推得：
f e r Dt pf u 1 p f d
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二叉树定价模型的深入理解
二叉树图模型的基本出发点在于：假设资产价格的运 动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游 走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。同 时二叉树模型与风险中性定价原理相一致，即模型中 的收益率和贴现率均为无风险收益率，资产价格向上 运动和向下运动的实际概率并没有进入二叉树模型， 模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率，从 而为期权定价。实际上，当二叉树模型相继两步之间 的时间长度趋于零的时候，该模型将会收敛到连续的 对数正态分布模型，即布莱克－舒尔斯偏微分方程。
合
ƒu f d D Su Sd
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无套利定价法（续）
组合在 T 时刻价值为 Su D – ƒu 组合现值应为： (Su D – ƒu )e–rT 组合现值的另外一个表达式为：S D – f 因此：ƒ = S D – (Su D – ƒu )e–rT
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举例说明
假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价 为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年 利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协 议价格为50元，求该期权的价值。 利用倒退定价法，可以推算出初始结点处的期 权价值为4.48元。
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蒙特卡罗模拟
蒙特卡罗模拟是一种通过模拟标的资产价格的 随机运动路径得到期权价值期望值的数值方法， 也是一种应用十分广泛的期权定价方法 基本过程：蒙特卡罗模拟要用到风险中性定价 原理，其基本思路是：由于大部分期权价值实 际上都可以归结为期权到期回报的期望值的折 现，因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的 资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果 下的期权回报均值，之后贴现可以得到期权价 值。
e
rDt
d p ud
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风险中性定价法
在风险中性世界里： （1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。 在风险，j max( X Su j d N j ,0)
Dt 后 ，假定期权不被提前执行，则在风险中
性条件下：
fij e
rDt
[ pfi1, j 1 (1 p) fi1, j ]
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隐含树图
通过构建一个与目前市场上的期权价格信息相 一致的资产价格树图，从而得到市场对标的资 产价格未来概率分布的看法。其具体方法是在 二叉树图中，通过前一时刻每个结点的期权价 格向前推出（注意不是倒推）下一时刻每个结 点的资产价格和相应概率
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无套利定价法（续）
将
fu f d D Su Sd
代入上式，可以得到：
f e
其中：
r Dt
pf u 1 p f d
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已知红利额
Su S S-D Sd Su2-D
Sd2-D 除权日
假设红利数额已知且波动率为常数时的二叉树图
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