新华师大版九年级数学上册《一元二次方程的解法》第1课时导学案
九年级数学上册22.2一元二次方程的解法导学案(新版)华东师大版
22.2一元二次方程的解法【学习目标】1. 会用直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法解一元二次方程；2. 能根据方程特征，灵活选择解方程的方法；3. 能感受到方程在生活中的应用的价值。
【重点】灵活选择解方程的方法来解方程；【难点】一元二次方程解法的灵活选择。
【使用说明与学法指导】1.通过静思近几节课一元二次方程的解法，归纳概括出解法方程的特征；2.通过回顾概括A、B层能够掌握一元二次方程的四种解法，A层能解较复杂的一元二次方程，B层能熟练运用四种解法；C层至少要掌握一种解法，特别是公式法。
预习案一、回顾概括1.一元二次方程有哪几种解法？2.每一种解法方程的特点是什么？配方的关键点是什么（口诀）二、我的疑惑探 究 案探究点一： 直接指出下列方程用什么方法解比较合适？（1）27)12(32=+x （2）03422=--x x（3）025122=-x （4）022=-x x（5）()051=-+x x x （6）0652=--x x 合作交流：四种解法中，优先选取顺序是什么：探究点二：用适当的方法解下列方程例1.自主探究：（1）022=-x x （2）012122=-+x x合作交流：小组对所做的题目找出最简便的方法，为什么？达成共识。
【小结】【针对性练习】1.解方程：211232=-x x 0562=++x x【拓展提升】求最值：求二次三项式362++x x 的最小值【课堂小结】说一说四种解法中，优先选取的顺序？如何选择合适的方法？训练案一、选择题1．方程052=-x x 的解是( )A ．5=xB ．01=x ，52=xC ．0=xD ．51=x ，52-=x2．已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax (0≠a )有一个解为1-，则有( )A ．0=++c b aB ．0=+-c b aC ．1-=++c b aD ．1-=+-c b a3．方程)5(4)5(2-=-x x 最适合的解法是（ ）A ．直接开平方法B ．公式法C ．配方法D ．因式分解法4.用直接开平方法解方程8)3(2=-x ，解得方程的根为（ ）A ．223+=xB ．3231+=x ，3232-=xC ．223-=xD ．2231+=x ，2232-=x二、填空题5．一元二次方程342=-x x 的一般形式为 ，其二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .6．（1）方程092=-x 的解是 ；（2）方程1)3(2=-x 的解是 .7．（1）++x x 62 =+x ( 2) ； （2）+-x x 692 =( 2). 8.当 时，代数式632-x 的值等于21.三、解答题：9.解方程：0622=--x x 10.解方程：05)1(=-+x x x11.解方程：05.6)1(52=-x 12.解方程：01622=--x x13.国庆将至，某型号的手机连续两次降阶，每个售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程为用适当的方法解这个方程：。
华东师大版九年级数学上册《一元二次方程的解法》教案
《一元二次方程的解法》教案教学内容1.给出配方法的概念，然后运用配方法解一元二次方程．2.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．3.因式分解的探究及其方法．教学目标1.了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2.通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．3.会熟练应用公式法解一元二次方程．4.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．重难点关键重点：1.讲清配方法的解题步骤．2.求根公式的推导和公式法的应用．3.应用因式分解法解一元二次方程．难点与关键：1.把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方．2.一元二次方程求根公式法的推导．3.将方程化为一般形式后，对方程左侧二次三项式的因式分解．教学过程一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x2-8x+7=0 (2)x2+4x+1=0老师点评：我们前一节课，已经学习了如何解左边含有x的完全平方形式，右边是非负数，不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：(1)x2-8x+(-4)2+7-(-4)2=0(x-4)2=9x-4=±3即x1=7，x2=1(2)x2+4x=-1x2+4x+22=-1+22(x+2)2=3即x+2x12，x2-2二、探索新知像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法．可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例：解下列方程：(1)x2＝2 (2)4x2－1＝0分析：第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再两边同时除以4化为x2＝a的形式，再用直接开平方法解之.例：解下列方程：(1)x2+6x+5=0 (2)2x2+6x-2=0 (3)(1+x)2+2(1+x)-4=0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．解：(1)移项，得：x2+6x=-5配方：x2+6x+32=-5+32(x+3)2=4由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5(2)移项，得：2x2+6x=-2二次项系数化为1，得：x2+3x=-1配方x2+3x+(32)2=-1+(32)2(x+32)2=54由此可得x+32=±2，即x1=2-32，x2=-2-32(3)去括号，整理得：x2+4x-1=0移项，得x2+4x=1配方，得(x+2)2=5x+2x12，x22三、应用拓展用配方法解方程(6x+7)2(3x+4)(x+1)=6分析：因为如果展开(6x+7)2，那么方程就变得很复杂，如果把(6x+7)看为一个数y，那么(6x+7)2=y2，其它的3x+4=12(6x+7)+12，x+1=16(6x+7)-16，因此，方程就转化为y的方程，像这样的转化，我们把它称为换元法．解：设6x+7=y则3x+4=12y+12，x+1=16y-16依题意，得：y2(12y+12)(16y-16)=6去分母，得：y2(y+1)(y-1)=72 y2(y2-1)=72，y4-y2=72(y2-12)2=2894y2-12=±172y2=9或y2=-8(舍) ∴y=±3当y=3时，6x+7=36x=-4x=-2 3当y=-3时，6x+7=-36x=-10x=-5 3所以，原方程的根为x1=-23，x2=-53用配方法解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+b=0(a≠0)用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法．1．当b2-4ab>0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个不等实数根；2．当b2-4ab=0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)有两个相等实数根；3．当b2-4ab<0时，一元二次方程ax2+bx+b=0(a≠0)没有实数根．一般的，式子b2-4ab叫方程ax+bx+b=0(a≠0)根的判别式.用字母△表示.即△=b2-4ab.一元二次方程的判别式与根的情况有何关系？(1)当方程有两个不相等的实数根时，b2-4ab>0(2)当方程有两个相等的实数根时，b2-4ab=0(3)当方程没有实数根时，b2-4ab<0你能用公式法解方程2x2-9x=-8吗？解：2x2-9x+8=01.变形：化已知方程为一般形式；∵a=2，b=-9，b=82.确定系数：用a，b写出各项系数；△=b2-4ab=(-9)2-4×2×8=27>03.计算：b2-4ab的值；4．代入：把有关数值代入公式计算；().417922179242±=⨯±--=-±-=∴a ac b b x .4179;417921-=+=∴x x 5．定根：写出原方程的根.用公式法解一元二次方程的一般步骤：1、把方程化成一般形式，并写出a 、b 的值；2、求出△=b 2-4ab 的值；3、代入求根公式；4、写出方程的解；定义：先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例：解下列方程(1)02)2(=-+-x x x (2)432412522+-=--x x x x 解：(1)把方程02)2(=-+-x x x 因式分解得 0)1)(2(=+-x x →02=-x 或01=+x∴1,221-==x x(2)432412522+-=--x x x x 移项，合并同类项，得0142=-x →01422=-x因式分解，得0)12)(12(=-+x x于是得012=+x 或012=-x ∴21,2121=-=x x 归纳：配方法要先配方，再降次；通过配方法可以退出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0．配方法，公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法用于某些一元二次方程．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程．四、归纳小结本节课应掌握：配方法、公式法、因式分解法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．。
九年级数学上册第22章《一元二次方程》(第1课时)一元二次方程导学案新华东师大版
九年级数学上册第22章《一元二次方程》（第1课时）一元二次方程导学案新华东师大版一、学习目标1.会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想。
2.理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、学习重点重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。
难点：准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数还有常数项。
三、自主预习小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm,那么剪去的正方形的边长是多少？列出的方程是练习：根据题意列出方程：1.一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？2.一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。
3.一块面积是150cm长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？四、合作探究探究1.判断下列方程是否为一元二次方程。
小结：只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程。
探究2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
（1）（2）小结：一元二次方程的一般形式：,其中二次项，是一次项，是常数项，二次项系数，一次项系数。
五、巩固反馈1.将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）3x2－x=2（2）7x－3=2x2（3）(2x－1)－3x(x－2)=0（4）2x(x－1)=3(x＋5)－42.要使是一元二次方程，则k=_______。
3.关于x的一元二次方程有一个解是0，求m的值。
4.已知关于x的方程，问：（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？（2）当k 为何值时，方程为一元一次方程？。
【华东师大版】九年级数学上册 全册学案 22.2一元二次方程的解法第1课时
22.2 一元二次方程的解法第一课时 直接开平方法和因式分解法（1）【学习目标】会用开平方法、因式分解法解形如x 2=p 的一元二次方程. 能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理，并对其进行取舍.【学习重难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程，理解一元二次方程无实根的解题过程.【课标要求】会用因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程【知识回顾】1、求出或表示出下列各数的平方根.（1）25 （2）0.04 （3）0 （4）7 （5）169（6）121解：2、求出下列各式中的x.（1）x 2=49 (2) 9 x 2 =16 (3) x 2=6 (4) x 2=－9【自主学习】自学课本20---22页思考下列问题：1、教材“试一试”中由x 2=4得x=±2依据是什么？2、“试一试”中所列的方程是一元二次方程吗？有几个解？它们都符合问题的实际意义吗？为什么？3、请你总结一下“试一试”中解方程的过程.4、什么是直接开平方法？什么是因式分解法？【例题学习】1、解下列方程：（1）2x 2-8=0 (2)9x 2-5x=0（3） 501442=-x (4)x(x+1)-5x=0【巩固训练】（1）x 2=169 （2）45- x 2=0 （3）12 y 2-25=0(3) x 2-2x=0 (4)(t-2)(t+1)=0【归纳小结】幸福绝大多数是朴素的“尊重、自主、高效” 华师九上23章一元二次方程【板书设计】标题直接开方法 例1 习题因式分解法 例2【堂清】1、已知一元二次方程032=+c x ，若方程有解，则c .2、解下列方程：（1）36x 2-1=0 (2) 4x 2=81解： 解：【作业】1、解下列方程 （1）0.01y 412= （2）053x 0.22=-（3）(x+3)(x －3)=9 （4）(1－2)x 2=(1+2)x2、方程53x 0.22-=0的解是 .3、下面解方程的过程中，正确的是 （ ）A.x 2=2 解：2=x .B.2y 2=16 解：2y=±4，∴y 1=2，y 2=－2.C.2(x －1)2=8 解：(x －1)2=4， x －1=±4，x －1=±2.∴x 1=3，x 2=－1.D.x 2=－3 解：31-=x ，x 2=3--. 4、解下列方程（1）x 2=5； （2）3y 2=6； （3）2x 2－8=0；（4）－3x 2=0 （5） (x －1)(x+1)=1 （6）2x 2+4x=0.5、方程x 2=x 2的根是 .6、解下列方程（1）3y 2－6y=0； （2）25x 2－16=0；。
华师版九年级数学上册课件(HS)第22章 一元二次方程 一元二次方程的解法 直接开平方法和因式分解法
17．(湘潭中考)由多项式乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到 左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋ a)(x＋b) 示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3) (1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋________)(x＋________)； (2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
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22．2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法和因式分解法
知识点❶：用直接开平方法解一元二次方程
1．(徐州中考)方程 x2－4＝0 的解是_±_2__．
2．下列方程能用直接开平方法求解的是( B )
A．2x2－x＋1＝5
B．x2－41 ＝3
C．x2－x＋1＝4 D．x2－3x＝5
3．用直接开平方法解下列方程： (1)(教材 P21 例题 1 变式)2x2－32＝0；
解：x1＝4，x2＝－4
(2)(教材 P23 例题 3 变式)(2020·扬州)(x＋1)2＝9；
解：x1＝2，x2＝－4
(3)16y2－40y＋25＝72.
解：y1＝－21 ，y2＝3
知识点❷：用因式分解法解一元二次方程 4．(2020·镇江)一元二次方程 x2－2x＝0 的两根分别为_x_1_＝__0_，__x_2_＝__2__．
7．若实数 x，y 满足(x2＋y2＋1)(x2＋y2－2)＝0， 则 x2＋y2 的值为( B ) A．－1 B．2 C．2 或－1 D．－2 或－1
8．(凉山州中考)若关于 x 的方程 x2＋2x－3＝0 与x＋2 3 ＝x－1 a 有一个解相同，
华师大版-数学-九年级上册-22.2 一元二次方程的解法导学案
22.2 一元二次方程的解法学习目标：1、初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如2x=a(a≥0)或（mx+n）2=a(a≥0)的方程；会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些一元二次方程；2、理解一元二次方程解法的基本思想及其与一元一次方程的联系，体会两者之间相互比较和转化的思想方法；3、能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性。
重点：掌握用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的步骤。
难点：理解并应用直接开平方法和因式分解法解特殊的一元二次方程。
导学流程：修改批注复习导入：如果 x2=a(a≥0) ，则 x就叫做a的，x=如果 x2=64,则x=把下列各式分解因式：（1）x2-3x(2)x2+4/3x+4/9 (3)2χ2－χ－3自主探索试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.（1）x2＝4；（2）x2－1＝0;解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得x=____ ____________＝0，必有x－1＝0，或______＝0,得x1＝___，x2＝_____.精讲点拨对于方程(1),可以这样想:∵χ2=4 根据平方根的定义可知:χ是4的( ).即: χ=±2∴χ=4这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元二次方程的两个根。
∴方程χ2=4的两个根为χ1=2，χ2=－2.利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
巩固练习：利用直接开平方法解下列方程:)()13(2=+x4-x0-25x0)1(2=)2(2=9004） 12（2－χ）2－9=0精讲点拨：对于方程（2）χ2－1=0 ，你可以怎样解它？还有其它的解法吗？还可以这样解：将方程左边分解因式，得（χ+1）（χ－1）=0则必有：χ＋1=0，或χ－1=0分别解这两个一元一次方程，得χ1=－1,χ2=1.利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法。
巩固练习：利用因式分解法解下列方程:χ2－3χ=0； 2） 16χ2=25；（2χ+3）2－25=0.小结：采用因式分解法解方程的一般步骤：（1）将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式：（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
九年级数学上册(华师大版 导学案)：22.课题 一元二次
课题 一元二次方程【学习目标】1．了解一元二次方程的概念；2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，能分清一元二次方程的二次项及系数，一次项及系数，常数项；3．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根． 【学习重点】一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念． 【学习难点】通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型．情景导入 生成问题要设计一座2m 高的维纳斯女神雕像，使雕像的上部BC(肚脐以上)与下部AC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB 的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比，试求出雕像下部设计的高度．该问题可转化为下面的数学模型：如图，C 为AB 上一点，AB ＝2，AC 、AB 、BC 间存在等量关系AC AB＝CBAC，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．如果假设AC ＝x ，那么BC ＝2－x ，根据题意，得：x 2＝2(2－x)．整理得：x 2＋2x －4＝0．自学互研 生成能力知识模块一 一元二次方程的概念 阅读教材P 18～P 19的内容．归纳：观察问题1、问题2的两个方程：x 2＋10x －900＝0，5x 2＋10x －2.2＝0，都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程是一元二次方程．范例：下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的为( D )A ．ax 2＋bx ＋c ＝0B ．x 2－2＝(x ＋3)2C ．x 2＋5x －3＝0 D ．x 2－1＝0仿例：(m 2－m －2)x 2＋mx ＋3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( C ) A ．m ≠－1 B ．m ≠2 C ．m ≠－1且m ≠2 D ．一切实数 知识模块二 一元二次方程的一般形式归纳：一元二次方程的一般形式是：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是已知数，a ≠0)，其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数，一次项系数和常数项．范例：1.将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．2．x ＝2是方程3x(x －1)＝5(x ＋2)的根吗？为什么？解：1.方程3x(x －1)＝5(x ＋2)的一般形式是3x 2－8x －10＝0，二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10.2．把x ＝2代入方程3x(x －1)＝5(x ＋2)的左右两边，得到左边≠右边，所以不是原方程的根． 仿例：已知m 是方程x 2－x －3＝0的一个实数根，求代数式(m 2－m)(m －3m ＋1)的值．解：∵m 是方程x 2－x －3＝0的根．∴m 2－m －3＝0，m ≠0， ∴m －3m＝1，m 2－m ＝3.∴原式＝3×(1＋1)＝6交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 一元二次方程的概念 知识模块二 一元二次方程的一般形式仿例：(方法二)解：∵m 是方程x 2－x －3＝0的根，∴m 2－m －3＝0，∴m 2－m ＝3，m 2－3＝m.∴原式＝m 3－3m ＋m 2－m 2＋3－m ＝m(m 2－3)＋3－m ＝m 2－m ＋3＝3＋3＝6检测反馈 达成目标1．下列关于x 的方程，一元二次方程的个数是( A )①3x 2＋7＝0，②ax 2＋bx ＋c ＝0，③(x ＋2)(x －5)＝x 2－1，④3x 2－5x ＝0.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．关于x 的方程ax 2＋3x －2＝2x 2是一元二次方程，则a 的取值范围是__a ≠2__． 3．关于x 的方程(m ＋1)x |m －1|＋4x ＋1＝0是一元二次方程，则m ＝__3__．4．将方程(8－x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项． 解：2x 2－21x ＋22＝0，二次项系数：2；一次项系数：－21；常数项：22 5．已知关于x 的方程(a ＋6)x |a|－4＋(a －6)x －3＝0，问：(1)a 为何值时，它是一元二次方程？ (2)a 为何值时，它是一元一次方程？ 解：(1)a ＝6；(2)a ＝±5或a ＝－6课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
【华东师大版九年级数学上册教案】22.2一元二次方程的解法第1课时
22.2一元二次方程的解法第1课时教课目标1．学会依据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转变成两个一元一次方程．23．体验类比、转变、降次的数学思想方法，加强学习数学的兴趣．教课重难点【教课要点】依据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转变成两个一元一次方程.【教课难点】运用开平方法解形如( x＋m) 2＝n的方程 .课前准备无教课过程一、情境导入一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x，依据正方形的面积可列出如何的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？二、合作研究研究点：直接开平方法【种类一】用直接开平方法解一元二次方程例 1：运用开平方法解以下方程：(1)4 x2＝ 9；(2)( x＋ 3) 2－2＝ 0.分析： (1) 先把方程化为x2＝a( a≥ 0) 的形式； (2) 原方程可变形为 ( x＋ 3) 2＝ 2，则x＋3 是 2 的平方根，从而可以运用开平方法求解．229333，两边直接开平方，得 x＝±2，∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2.解：(1) 由 4x＝ 9，得x＝4(2) 移项，得 ( x＋ 3)2＝2.两边直接开平方，得x＋3＝± 2. ∴x＋ 3＝ 2或x＋ 3＝－ 2.∴原方程的解是 x1＝2－ 3，x2＝－ 2－3.方法总结：由上边的解法可以看出，一元二次方程是经过降次，把一元二次方程转变成一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想；一般地，对于形如x2＝ a( a≥0)的方程，依据平方根的定义，可解得x1＝a， x2＝－a.【种类二】直接开平方法的应用例 2：若一元二次方程ax 2＝ ( >0) 的两个根分别是＋1与2 － 4，则 b＝ ________.b abm ma2b分析：∵ ax ＝ b ，∴ x ＝± a ，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋ 1＋ 2m － 4＝ 0，解得 m＝1，∴一元二次方程ax 2＝b ( ab ＞ 0) 的两个根分别是 2 与－ 2，∴b＝ 2，∴ b ＝ 4，故答a a案为 4.【种类三】直接开平方法与方程的解的综合应用例 3：若一元二次方程分析：∵一元二次方程( a ＋ 2) x 2－ax ＋ a 2－ 4＝ 0 的一个根为 ( a ＋2) x 2－ ax ＋ a 2－ 4＝ 0 的一个根为0，则 a ＝ ________．20，∴ a ＋ 2≠ 0 且 a － 4＝ 0，∴ a＝2. 故答案为 2.【种类四】直接开平方法的实质应用例 4：有一个边长为 11cm 的正方形和一个长为 13cm ，宽为 8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，而后再用开平方计算．解：设新正方形的边长为 x cm ，依据题意得 x 2＝ 112＋13× 8，即 x 2＝ 225，解得 x ＝± 15. 由于边长为正， 因此 x ＝－ 15 不合题意，舍去，因此只取 x ＝ 15. 答：新正方形的边长应为 15cm. 方法总结：在解决与平方根有关的实质问题时，除了依据题意解题外，有时还要结合实质，把平方根中不吻合实质状况的负值舍去．三、板书设计四、教课反思教课过程中， 重申利用开平方法解一元二次方程的实质是求一个数的平方根的过程． 同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.。
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《一元二次方程的解法》第1课时导学案
学前温故
1．已知x 2
＝9，则x ＝____.
2．已知(x ＋1)2＝9，则x ＝______.
新课早知
1．利用平方根的定义直接______求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
2．(2010云南楚雄中考)一元二次方程x 2－4＝0的解是( )．
A ．x ＝2
B ．x ＝－2
C ．x 1＝2，x 2＝－2
D ．x ＝4
3．方程(x －1)2＝16的解是________．
答案：学前温故
1．±3 2.4或－2
新课早知
1．开平方 2.C 3.x 1＝－3，x 2＝5
用直接开平方法解一元二次方程
【例1】 用直接开平方法解方程：2(x ＋2)2－6＝0.
分析：先将方程化成(x ＋b )2＝a 的形式，再用直接开平方法解．
解：原方程变形为2(x ＋2)2＝6，即(x ＋2)2＝3，
所以x ＋2＝±3，所以方程的根为x 1＝－2＋3，x 2＝－2－ 3.
点拨：对于解形如a (x ＋b )2＋m ＝0的方程，应先将其化为(x ＋b )2＝n 的形式，若n ≥0时，其解为x ＝±n －b ；当n ＜0时，原方程无实数解．
【例2】 解方程(2x －5)2＝(3x －1)2.
分析：把2x －5看成(3x －1)2的平方根或把3x －1看成(2x －5)2的平方根，运用直接开平方法求方程的解．
解：原方程两边同时直接开平方，得2x －5＝±(3x －1)．所以2x －5＝3x －1或2x －5＝
－(3x －1)，故原方程的解为x 1＝－4，x 2＝65
.
1．(2010河南中考)方程x 2－3＝0的根是( )．
A ．x ＝3
B ．x 1＝3，x 2＝－3
C ．x ＝ 3
D ．x 1＝3，x 2＝－ 3
2．下列解方程中，结果正确的是( )．
A ．x 2＝－11，解得x ＝±－11
B ．(x －1)2＝4，解得x －1＝2，可得x ＝3
C ．x 2＝7，解得x ＝±7
D ．25x 2＝1，解得25x ＝±1，所以x ＝±125
3．一元二次方程16(x ＋1)2＝25的解是( )．
A ．2或－4
B ．14或－94
C ．－14或94
D ．±52
－1 4．(2010贵州贵阳中考)方程x 2＋1＝2的解是__________．
5．一元二次方程(3x ＋1)2－4＝0的根是__________．
6．用直接开平方法解下列方程．
(1)3x 2－16＝0； (2)2(2x －3)2＝12.
答案：1．D 2.C 3.B 4.x ＝±1
5．x 1＝13，x 2＝－1 先由方程得到3x ＋1＝±2，即3x ＝－1±2，则x 1＝13
，x 2＝－1. 6．解：(1)3x 2－16＝0，移项得3x 2＝16.
两边同时除以3，得x 2＝163
. 直接开平方，得x ＝±433
. ∴原方程的解是x 1＝433
， x 2＝－433
. (2)2(2x －3)2＝12，两边同时除以2，得(2x －3)2＝6， 直接开平方，得2x －3＝±6.
∴2x ＝3±6.
∴x ＝3±62＝32±232. ∴原方程的解是x 1＝32＋232，x 2＝32－232
.。