高三数学课件 轨迹方程(一)
高三数学一轮复习第十章 平面解析几何10.12第十二节 抛物线与轨迹方程课件
x y
f（k）， g（k）.
(3)消去参数k,得M的轨迹方程.
(4)由k的范围确定x,y的范围.
【对点练·找规律】 1.长为3的线段AB的端点A,B分别在x轴、y轴上移动,
AC＝2CB ,则点C的轨迹方程是________.
【解析】设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9①,又
3
轨迹是两条平行于x轴的线段.
②当λ≠ 3 时,方程变形为
4
x2 112
y2 =1,其中x∈
112
[-4,4].
162 9 162
当0<λ< 3 时,点M的轨迹为中心在原点,实轴在y轴上
4
的双曲线满足-4≤x≤4的部分;
当 3 <λ<1时,点M的轨迹为中心在原点,长轴在x轴上
4
的椭圆满足-4≤x≤4的部分;
命题角度2 无明确等量关系求轨迹方程 【典例】已知直线l过抛物线C:y2=4x的焦点,l与C交于 A,B两点,过点A,B分别作C的切线,且交于点P,则点P的 轨迹方程为________.
【解析】不妨将抛物线翻转为x2=4y,设翻转后的直线l
的方程为y=kx+1,翻转后的A,B两点的坐标分别为
(x1,y1),(x2,y2),联立
提醒:利用定义法求轨迹方程时,还要看所求轨迹是否 是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线,如果不是完整的 曲线,则应对其中的变量x或y进行限制.
考点二 相关点法求轨迹方程 【典例】(1)已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P 在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,则点M的 轨迹方程是__________.
直线A2Q的方程为y=
高中数学轨迹与方程教案
高中数学轨迹与方程教案
教学目标：通过本节课的学习，学生将能够理解轨迹与方程的概念，掌握二维平面上各种图形的轨迹和相应的方程，并能够应用这些知识解决实际问题。
教学重点：轨迹与方程的概念、各种图形的轨迹及相应的方程。
教学难点：如何确定各种图形的轨迹方程。
教学准备：教科研教材《数学》必修一，多媒体设备，教学PPT。
教学过程：
一、导入
通过展示一些常见的平面图形及其方程，引导学生思考图形与方程之间的关系，并提出本节课的学习目标。
二、讲解
1. 轨迹和方程的概念：通过具体例子引导学生理解轨迹和方程的含义，区分轨迹与方程的关系。
2. 直线的轨迹与方程：讲解直线的一般方程及斜率截距式，并通过实例展示直线在平面上的轨迹及对应的方程。
3. 圆的轨迹与方程：讲解圆的标准方程及参数方程，并通过实例展示圆在平面上的轨迹及对应的方程。
4. 抛物线、椭圆、双曲线等图形的轨迹与方程：介绍其他二次曲线的标准方程，并通过实例展示不同曲线的轨迹及对应的方程。
三、练习
布置一些相关的数学问题，让学生在课堂上或课后完成，巩固所学知识。
四、实践
通过实际案例，引导学生运用所学知识，解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
五、总结
对本节课的内容进行总结，并回顾学生掌握的重点知识，强化学生记忆。
六、作业
布置相关的作业，巩固学生所学知识。
教学反思：
本节课主要围绕轨迹与方程展开，通过讲解、练习和实践等环节，帮助学生深入理解各种图形的轨迹和相应的方程。
在教学中，要注意引导学生探究问题、独立思考，激发学生学习兴趣，提高学生的学习效果。
高三数学第一轮复习 轨迹方程的常用求法素材
【本讲主要内容】轨迹方程求轨迹方程的基本方法【知识掌握】 【知识点精析】1. 求曲线轨迹方程的基本步骤：⑴建立适当的平面直角坐标系，设轨迹上任一点的坐标为(),M x y ；⑵寻找动点与已知点满足的关系式； ⑶将动点与已知点坐标代入； ⑷化简整理方程；⑸证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。
通常求轨迹方程时，可以将步骤⑵和⑸省略。
2. 几种常用的求轨迹的方法：⑴直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x y 、的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。
用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。
⑵定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
⑶代入法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点(),P x y 却随另一动点()','Q x y 的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定或容易求得，则可先将','x y 表示为,x y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程，代入法也称相关点法。
⑷参数法：求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使,x y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。
说明：利用参数法求动点轨迹也是解决问题的常用方法，应注意如下几点：①参数的选择要合理，应与动点坐标,x y 有直接关系，且易以参数表达。
可供选择作参数的元素很多，有点参数、角参数、线段参数、斜率参数等。
②消参数的方法有讲究，基本方法有代入法、构造公式法等，解题时宜注意多加积累。
③对于所选的参数，要注意其取值范围，并注意参数范围对,x y 的取值范围的制约。
⑸几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然后得出动点的轨迹方程。
高三数学必修二知识点：轨迹方程的求解
高三数学必修二知识点：轨迹方程的求解【导语】你手心里有交错的曲线和无来由的茧，那是岁月留下的痕迹。
你站在行驶在岁月河流的船头上，表情坚毅，你无悔的付出终会让一段旅程熠熠闪光。
xx 高中频道为你准备了《高三数学必修二知识点：轨迹方程的求解》助你成功！符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹.轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数描述。
一、求动点的轨迹方程的根本步骤⒈建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;⒉写出点M的集合;⒊列出方程=0;⒋化简方程为最简形式;⒌检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
⒈直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
⒉定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种曲线的定义，那么可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
⒊相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
⒋参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y 与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
⒌交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
*直译法：求动点轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系;②设点——设轨迹上的任一点P(x，y);③列式——列出动点p所满足的关系式;④代换——依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于X，Y 的方程式，并化简;⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程。
[精]高三第一轮复习全套课件8圆锥曲线方程：第6课时 轨迹方程(一)
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3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方 y2=8x(x＞0)或y=0(x＜0) 程是______________________.
4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c成等 差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为_____________
x
2
_____________________. 12 16 5.动点M(x,y)满足 x - 1 )D (A)圆
y - 3
2
y
2
1 y 0， x 0
2
3x 4 y -1 5
则点M轨迹是(
(B)双曲线
(C)椭圆
(D)抛物线
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能力·思维·方法
1.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2+2y2=4交于A、B两点， → → P是l 上满足PA· PB=1的点，求点P的轨迹方程
第6课时 轨迹方程(一) 要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法
延伸·拓展
误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.掌握曲线方程的概念，了解曲线的纯粹性和完备性
2.能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方 程
3.熟练掌握求轨迹方程的常用方法——直接法、定义法
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课前热身
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2，则 y=0(x≥1) P点的轨迹方程是______________. → → → → 2.已知OP与OQ是关于y轴对称，且2OP· OQ=1，则点P(x 、 -2x2+y2=1 y)的轨迹方程是______________________
4.求过点M(1，2)，以y轴为准线，离心率为1/2的椭圆的左 顶
高中数学「求轨迹方程」知识点梳理+例题精练,建议收藏~
专题51曲线与方程-求轨迹方程【热点聚焦与扩展】纵观近几年的高考试题，高考对曲线与方程的考查，主要有以下两个方面：一是确定的轨迹的形式或特点；二是求动点的轨迹方程，同时考查到求轨迹方程的基本步骤和常用方法.一般地，命题作为解答题一问，小题则常常利用待定系数法求方程或利用方程判断曲线类别.本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求点的轨迹方程问题的常见解法.1、求点轨迹方程的步骤：（1）建立直角坐标系（2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示）（3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程（4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围2、求点轨迹方程的方法（1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可（2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程（3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程.常见的曲线特征及要素有：①圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r②椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c③双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c④抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹确定方程的要素：焦准距：p .若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程（4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与k 的联系，从而得到,x y 和k 的方程：()()x f k y g k =⎧⎪⎨=⎪⎩，即曲线的参数方程，消去参数k 后即可得到轨迹方程.【经典例题】例1．（2020·四川内江·高三三模）已知点()2,0A -、()3,0B ，动点(),P x y 满足2PA PB x ⋅=，则点P 的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例2．（2020·广东深圳三模·）当点P 在圆221x y +=上变动时，它与定点()3,0Q -的连线PQ 的中点的轨迹方程是（）A．()2234x y ++=B．()2231x y -+=C．()222341x y -+=D．()222341x y ++=例3．（2020·江西新余四中高三三模）如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（）A．B．C．D．例4．（2020·上海市嘉定区第一中学高三三模）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ADD A 上一点，且满足ADP △为正三角形．点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =．则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为（）A．B．C．D．例5．（2020·辽宁高三三模）已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点，圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =，并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =，则圆心M 的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线例6．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三三模）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，1AB =，以M 为圆心的圆过A ，B 两点，且与直线210y -=相切，若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为（）A．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C．14⎛⎫- ⎪⎝⎭0，D．102，⎛⎫- ⎪⎝⎭例7．（2020·东湖·江西师大附中高三三模）设过点(),P x y 的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于,A B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若2BP PA = ，且1OQ AB ⋅= ，则点P的轨迹方程是（）A．()223310,02x y x y +=>>B．()223310,02x y x y -=>>C．()223310,02x y x y -=>>D．()223310,02x y x y +=>>例8．（2016·山西运城·高三三模）已知为平面内两定点,过该平面内动点作直线的垂线,垂足为.若,其中为常数,则动点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线【精选精练】1．（2020·广东普宁·高三三模）与圆及圆都外切的圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线D．一个圆上2．（2020·上海高三三模）在平面直角坐标系内，到点()1,2A 和直线l ：30x y +-=距离相等的点的轨迹是（）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线3．（2020·全国高考真题）在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若=1AC BC ⋅，则点C 的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线4．（2020·辽宁沈阳·高三三模）已知椭圆22184x y +=，点A ，B 分别是它的左，右顶点.一条垂直于x 轴的动直线l 与椭圆相交于P ，Q 两点，又当直线l 与椭圆相切于点A 或点B 时，看作P ，Q 两点重合于点A 或点B ，则直线AP 与直线BQ 的交点M 的轨迹方程是（）A．22184y x -=B．22184x y -=C．22148y x -=D．22148x y -=5．如图，在平面直角坐标系中，()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，映射将平面上的点(),P x y 对应到另一个平面直角坐标系上的点()222,P xy x y '-，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点P '的轨迹是（）A．B．C．D．6．（2020·四川成都七中高三三模）正方形1111ABCD A B C D -中，若12CM MC =，P 在底面ABCD 内运动，且满足1DP CPD P MP=，则点P 的轨迹为（）A．圆弧B．线段C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分7．（2020·天水市第一中学高三三模）动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是（）A．22320x y x +++=B．22320x y x +-+=C．22320x y y +++=D．22320x y y +-+=8．（2020·北京市陈经纶中学高三三模）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A 、B 距离之比是常数λ(0,1)λλ>≠的点M 的轨迹是圆.若两定点A 、B 的距离为3，动点M 满足||2||MA MB =，则M 点的轨迹围成区域的面积为（）.A．πB．2πC．3πD．4π9．（2020·内蒙古包头·高三三模）已知定点,A B 都在平面α内，定点,,P PB C αα∉⊥是α内异于,A B 的动点，且PC AC ⊥，那么动点C 在平面α内的轨迹是（）A．圆，但要去掉两个点B．椭圆，但要去掉两个点C．双曲线，但要去掉两个点D．抛物线，但要去掉两个点10．如图所示，已知12,F F 是椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>的左，右焦点，P 是椭圆Γ上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角的角平分线的垂线，垂足为Q ，则点Q 的轨迹为（）A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线11．（2020·北京房山·高三三模）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱AB 的中点，动点P 在平面11BCC B 及其边界上运动，总有1AP D M ⊥，则动点P 的轨迹为（）A．两个点B．线段C．圆的一部分D．抛物线的一部分12．（2020·四川内江·高三三模）已知平面内的一个动点P 到直线l ：x ＝433的距离与到定点F0）的距离之比为3，点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设动点P 的轨迹为曲线C ，过原点O 且斜率为k （k ＜0）的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，则△MAN 面积的最大值为（）C．22D．1。
高三数学轨迹方程50题及答案
高(Gao)三数学轨迹方程50题及答案求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数(Shu)法、交轨法，待定(Ding)系数法。
(1)直(Zhi)接法(Fa)直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.（5）交轨法若动点是受某一参量影响的两动曲线的交点，我们可以以消去这个参量得到动点轨迹方程.(6)待定系数法求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.一、选择题：1、方程y=表示的曲线是： （ ） A 、双曲线 B 、半圆 C 、两条射线 D 、抛物线2、方程[(x －1)2+(y+2)2](x 2－y 2)=0表示的图形是： （ ） A 、两条相交直线 B 、两条直线与点（1，－2） C 、两条平行线 D 、四条直线3、动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是： （ ） A 、x 2+y 2=1 B 、x 2+y 2=1(x ≠±1） C 、x 2+y 2=1(x ≠1） D 、y=4、一动点到两坐标轴的距离之和的2倍，等于该点到原点距离的平方，则动点的轨迹方程是： （ ）A 、x 2+y 2=2(x+y)B 、x 2+y 2=2|x+y|C 、x 2+y 2=2(|x|+|y|)D 、x 2+y 2=2(x －y)5、动点P 到直线x=1的距离与它到点A （4，0）的距离之比为2，则P 点的轨迹是：（ ）A 、中心在原点的椭圆 B 、中心在（5，0）的椭圆 C 、中点在原点的双曲线 D 、中心在（5，0）的双曲线6、已知圆x 2+y 2=4，过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是 （ ） A 、(x －2)2+y 2=4 B 、(x －2)2+y 2=4(0≤x ＜1) C 、(x －1)2+y 2=4 D 、(x －1)2+y 2=4(0≤x ＜1)7、已知M （－2，0），N （2，0），|PM|－|PN|=4，则动点P 的轨迹是： （ ） A 、双曲线 B 、双曲线左支 C 、一条射线 D 、双曲线右支8、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆9、点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是：（ ） A 、y 2=12x B 、y 2=12x(x>0) C 、y 2=6x D 、y 2=6x(x>0)10、已知圆x 2+y 2=1，点A （1，0），△ABC 内接于圆，且∠BAC=60°，当B 、C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是 （ ）A 、x 2+y 2=B 、x 2+y 2=C 、x 2+y 2=21(x<21)D 、x 2+y 2=41（x<41)11、抛物线过点M （2，－4），且以x 轴为准线，此抛物线顶点的轨迹方程是 （ ）A、(x－2)2+(y+4)2=16B、(x－2)2+4(y+2)2=16 (0)yC、(x－2)2－(y+4)2=16D、(x－2)2+4(y+4)2=1612、椭(Tuo)圆(Yuan)C与椭(Tuo)圆关于(Yu)直线x+y=0对(Dui)称，椭圆C的方程是（）A、 B、C、 D、13、设A1、A2是椭圆=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为 ( )A. B.C. D.14、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为 ( )15、已知⊙O：x2+y2=a2, A(－a, 0), B(a, 0), P1, P2为⊙O上关于x轴对称的两点，则直线AP1与直线BP2的交点P的轨迹方程为（）A、x2+y2=2a2B、x2+y2=4a2C、x2－y2=4a2D、x2－y2=a2二、填空题：16、动圆与x轴相切，且被直线y=x所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为。
高三数学知识点：运用向量方法解决轨迹-学习文档
高三数学知识点：运用向量方法解决轨迹天津市第四十二中学李艳杰二、运用两非零向量共线的充要条件求轨迹方程。
例1：已知定点A(2,0)，点P在曲线x2+y2=1(x≠1)上运动，∠AOP的平分线交PA于Q，其中O为原点，求点Q的轨迹方程。
解: 设Q(x,y),P(x1,y1)-=(x-2,y)-=( x1-x,y1-y)又∵-=-=-∴ -=2-即：(x-2,y)=2(x1-x,y1-y)解得：-代入x12+y12=1(x≠1)有：-(3x-2)2+-y2=1(x≠-)即所求轨迹方程为：(x--)2+y2=-(x≠-)【点拨】用该方法解此类问题简单明了，若将Q视为线段AP 的定比分点，运用定比分点公式解本题，则计算过程既繁琐又容易出错。
例2：设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若-=2-,且-■=1,求P点的轨迹方程。
解：-=2-∴P分有向线段-所成的比为2由P(x,y)可得B(0,3y),A(-x,0)∴- =(--x,3y)∵Q与P关于y轴对称, ∴Q(-x,y),-且 =(-x,y)∴由-■=1可得-x2+3y2=1(x0,y0)即所求点P的轨迹方程为-x2+3y2=1(x0,y0)【点拨】求动点轨迹方程时应注意它的完备性与纯粹性。
化简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点。
三、运用两非零向量垂直的充要条件是求轨迹方程。
例1：如图，过定点A(a,b)任意作相互垂直的直线l1与l2，且l1与x轴相交于M点，l2与y轴相交于N点，求线段MN 中点P的轨迹方程。
解：设P(x,y)，则M(2x,0)，N(0,2y)-=(2x-a ,-b)-=(-a,2y-b)由-⊥-知-■=0∴(2x-a)(-a)+(-b)(2y-b)=0即所求点P的轨迹方程为2ax+2by=a2+b2【点拨】用勾股定理解本题，运算繁琐，若用斜率解本题，又必须分类讨论，用向量的方法避免了上述两种方法的缺陷，使解题优化。
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误解分析
(1)第一小题的关键问题是建立关系求得定值，而其中的变 形求最值是出错主要原因.
(2)本小题设出点的坐标后，引入的变量较多，能否从中找 出相关变量之关系，用一个变量来表示λ是解决问题的要 点.
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、离心率)
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延伸·拓展
5.已知动点P与双曲线x2/2-y2/3=1的两个焦点F1、F2的距 离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-1/9. (1)求动点P的轨迹方程； (2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上且DM=λDN , 求实数λ的取值范围.
【解题回顾】(1)本小题是由条件求出定值，由定值的取值 情况，由定义法求得轨迹方程. (2)本小题先设点的坐标，根据向量的关系，寻找各变量之 间的联系，从中分解主变量代入并利用辅助变量的范围求得 λ的范围
1.动点P到定点(-1，0)的距离与到点(1，0)距离之差为2， 则P点的轨迹方程是__y_=_0_(x_≥_1_)______.
2.已知→OP与O→Q是关于y轴对称，且→2OP→·OQ=1，则点P(x、
y)的轨迹方程是______-_2_x_2+_y_2_=_1_________
3.与圆x2+y2-4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方 程是_y_2_=_8_x_(_x_＞_0_)_或__y_=_0_(x_＜__0_)__.
3.一圆被两直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长分别为8和4，
【解题分析】本例中动点M的几何特征并不是直接给定的， 而是通过条件的运用从隐蔽的状态中被挖掘出来的
4.求过点M(1，2)，以y轴为准线，离心率为1/2的椭圆的左 顶
【解题回顾】
“两点一数”(焦
点与长轴长)确定椭圆；“一点、一线一数”(焦点、准线
→ → →→
2. 已 知 两 点 ， M(-1 ， 0) ， N(1 ， 0) ， 且 点 P 使 MP·MN ， P→M·P→N , NM·NP成公差小于零的等→差数列→ ，(1)求点P的转迹方程.(2) 若点P坐标为(x0,y0)，若θ为PM与PN的夹角，求tanθ.
【解题回顾】本题的轨迹方程是利用直接法求得，注意x的 取值范围的求法.利用数量积的定义式的变形可求得相关的 角或三角函数值.
轨迹方程(一)
授课者：黄东梅
▪ 要点·疑点·考点 ▪课 前 热 身 ▪ 能力·思维·方法 ▪ 延伸·拓展 ▪误 解 分 析
要点ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ疑点·考点
1.掌握曲线方程的概念，了解曲线的纯粹性和完备性 2.能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方 程 3.熟练掌握求轨迹方程的常用方法——
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课前热身
4.△ABC的顶点为A(0，-2)，C(0，2)，三边长a、b、c成
等差数列，公差d＜0；则动点B的轨迹方程为
__x_2 __y_2__1__y__0_，x 0
12 16
_____________________.
x - 12 y - 32 3x 4 y - 1
5.D动点M(x,y)满足
5
是( )
则点M轨迹
(A)圆 物线
(B)双曲线
(C)椭圆
(D)抛 返回
能力·思维·方法
1点.设，动P是直l线上l满垂足直P→于Ax·P轴→B，=1且的与点椭，圆求x点2+P2的y2=轨4迹交方于程A、B两
【解题回顾】求动点轨迹时应注意它的完备性与纯粹性化 简过程破坏了方程的同解性，要注意补上遗漏的点或者要 挖去多余的点.“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念， 前者要指出曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程 (包括范围)