第1讲 集合的含义及运算2

第一讲 集合的含义及运算典例剖析1．设集合2*2*{|1,},{|45,}A x x a a N B y y b b b N ==+∈==-+∈，则下列关系中正确的是（ ）．A ．AB = B ．B AC ．A BD ．A B =∅【答案】C ． 【解析】试题分析：因为，2**{|1,}{|2,},A x x a a N x x x N ==+∈=≥∈，2*2**{|45,}{|(2)1,}{|1,}B y y b b b N y y b b N y y y N ==-+∈==-+∈=≥∈，所以，AB ，选C 。

考点：集合的包含关系，函数的值域。

点评：简单题，关键是理解集合中元素的性质，注意*N 的意义。

2．若集合}1,1{-=A ，}1|{==mx x B ，且A B A =⋃，则m 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．1或1-或0 【答案】D 【解析】试题分析：因为，集合}1,1{-=A ，{|1}B x mx ==，m=0时，B 为1{}mϕ≠,m 0时，B=，且A B A =⋃，所以，A ⊆B ，m=0或1m=±1，故选D 。

考点：本题主要考查集合的运算。

点评：易错题，应用并集的定义即得。

本题易忽视m=0的情况。

3．设集合{}31,M x x m m Z ==+∈，{}32,N y y n n Z ==+∈，若0x M ∈,0y N ∈，则00x y 与集合,M N 的关系是 ( )A 、00x y M ∈B 、00x y N ∈C 、00x y M N ∉UD 、00x y M N ∈I 【答案】B【解析】试题分析：因为0x M ∈,0y N ∈，所以031,x m =+032y n =+，所以00(31)(32)96623(322)2x y m n mn m n mn m n =++=+++=+++，符合N 中运算的结构特点，所以00x y N ∈.考点：本小题主要考查元素与集合的关系，考查学生的理解能力.点评：解答集合问题，首先要看清集合的代表元素，计算时要细心准确.4．设{}B x A x x B A ∉∈=-且,若{}3,4,5,2,1=A ,{}9,7,5,3=B ，则B A -等于（ ）A ． {},9,7,5,4,3,2,1 B. {}4,2,1 C. {}9,7,4,2,1 D. {}5,3 【答案】B【解析】先理解新定义的含义：A-B 表示集合A 中的、不属于集合B 的元素构成的集合，所以A-B= {}4,2,15．设全集(2),{|21},{|ln(1)}x x U R A x B x y x -==<==-，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．{}|1x x ≥B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x <≤D ．{}21<≤x x 【答案】D 【解析】试题分析：因为图中阴影部分表示的集合为()U A C B ，由题意可知{}{}02,1A x x B x x =<<=<，所以()U A C B {}{}021x x x x =<<≥ {}12x x =≤<，故选.D考点：集合的基本运算.6．设全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{|23}x x <<B ．{|3}x x <C ．{|12}x x <≤D ．{|2}x x ≤【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，全集U 是实数集R ，{|2}M x x =>，{|13}N x x =<<，那么阴影部分的集合表示的为M 的补集与集合N 的交集，由于{|2}U C M x x =≤,故可知{|12}U C M N x x ⋂=<≤，故答案为C考点：集合的表示点评：主要是考查了集合的表示，属于基础题。

7．已知集合(){},2xM x y y ==，(){},N x y y a ==，若M N =∅ ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)1,(-∞B ．]1,(-∞C ．)0,(-∞D ．]0,(-∞ 【答案】D 【解析】试题分析：因为20x y =>，因此直线y a =与函数2x y =的图象无交点，则有0a ≤，选D.考点：函数的值域.8．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且2}y x =，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A ∩B 的元素个数为A ．无数个B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：把2x y =代入1=+y x 得12=+x x ，即012=-+x x ，由于0541>=+=∆，因此直线1=+y x 与抛物线2x y =的交点为2个，故答案为C.考点：元素的个数.9．已知集合{}Z x x y x A ∈-==,1|2，{}A x x y y B ∈-==,12|，则A∩B ＝ ． 【答案】{}1,1- 【解析】试题分析：因为{}{}{}1,0,1,01|,1|22-=∈≥-=∈-==Z x x x Z x x y x A ，{}{}1,1,3,12|--=∈-==A x x y y B ，所以{}1,1-=⋂B A ．考点：集合间的基本的运算．10．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈，若∅=B A ，则实数a 取值范围是 。

【答案】06a ≤≥或 【解析】试题分析：∵{}{}1,11,A x x a x x a x a x =-<∈=-<<+∈R R ，{}15,R B x x x =<<∈且∅=B A ，∴1115a a +≤⎧⎨-≥⎩，∴06a ≤≥或考点：本题考查了不等式的解法及集合的关系点评：利用数轴处理集合的交集是求集合参数问题的常用方法。

11．已知集合{2,3},{1,},{2},A B a A B A B ==== 若则 ▲ . 【答案】{}1,2,3 【解析】12．已知集合},,,,{321n a a a a A =，记和)1(n j i a a j i ≤<≤+中所有不同值的个数为)(A M ．如当}4,3,2,1{=A 时，由321=+，431=+，53241=+=+，642=+，743=+，得5)(=A M ．对于集合},,,,{321n b b b b B =，若实数n b b b b ,,,,321 成等差数列，则)(B M = ． 【答案】32-n【解析】因为根据题中的有关新定义并且结合题中所给的集合即可得到对于集合B 中，构成等差数列的n 个数来说那么能组成的不同值的个数为2n-3.故答案为2n-3 13．设集合}16|),{(22≤+=y x y x A ，}1)2(|),{(22-≤-+=a y x y x B ，若B A =B ，则实数a 的取值范围为 。

【答案】]5,(-∞ 【解析】考查集合的运算14．设A 是整数集的一个非空子集，对于,11k A k A k A ∈-∉+∉若且，则k 是A 的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,9}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有 个。

【答案】7 【解析】试题分析：列举几个特殊的集合体会孤立元的意义是解本题的关键。

解：依题意可知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，｛7，8，9｝，共7个． 故答案为：7考点：新定义的运用点评：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力．属于创新题型．列举时要有一定的规律，可以从一端开始，做到不重不漏15．命题①若b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域是[]a a 2,1-，则)(x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛--31,32是减函数. ②如果一个数列{}n a 的前n 项和)1,1,0(,≠≠≠+=c b a c ab S n n 则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a③曲线13++=x x y 过点1,3（）处的切线方程为：014=--y x . ④已知集合{}{}(,)|,(,)|1,01,xP x y y k Q x y y a a a P Q ====+>≠⋂且若只有一个子集.则1<k .以上四个命题中，正确命题的序号是__________. 【答案】①② 【解析】试题分析：因为b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域是[]a a 2,1-，所以1120,3a a a -+==（），22()(),()()33,0,f x f x a xb x a b ax bx a b b -=-+-++=+++=即21()13f x x =+，其在区间⎪⎭⎫⎝⎛--31,32是减函数，①正确； 设等比数列公比为q ，则111(1)111n n n a q a a S q q q q-==-⋅---，显然11()011a aq q +-=--，因此数列{}n a 的前n 项和)1,1,0(,≠≠≠+=c b a c ab S n n 时，此数列是等比数列的充要条件是0=+c a ，②正确；设过点1,3（）的切线切点为00,x y （），切线斜率为020'|31x x y x ==+，则切线方程为2000(31)(),y y x x x -=+-将1,3（）及30001y x x =++代入上式，得2000(1)(21)0x x x ---=，解得01x =或012x =-，故过点1,3（）处的切线方程为34(1),y x -=-即410x y --=或13(1),2y x -=--即270x y +-=，③不正确； P Q ⋂只有一个子集，即P Q φ⋂=，直线y k =与曲线1(01)x y a a a =+>≠且无公共点.因为11,xy a =+>所以，1k ≤，④不正确.考点：1.函数的奇偶性；2.充要条件；3.等比数列的求和公式；4.导数的几何意义. 16．已知集合{(,)()}M x y y f x ==，若对于任意实数对11(,)x y M ∈,存在22(,)x y M ∈,使得12120x x y y +=成立，则称集合M 为“正交点集”，给出下列集合：①1{(,)}M x y y x==；②2{(,)1}M x y y x ==-+；③{(,)cos }M x y y x ==；④1{(,)}M x y y x x==-；⑤{(,)1}M x y x y =+=．则满足条件的“正交集合”有：_________________________（写出所有满足条件的集合的序号） 【答案】②③⑤ 【解析】试题分析：①中取(1,1)A =，则不存在22(,)x y 使220x y +=且221y x =； ④中取(1,0)A =，则不存在22(,)x y 使20y =且2221y x x =-， 所以②③⑤正确． 考点：新定义题．17．已知集合，，，现给出下列函数：①ay x-=；②l o g a y x = ；③()s i n y x a =+；④cos y ax =．若01a <<时，恒有U P C M P = ，则所有满足条件的函数()f x 的编号是___________． 【答案】①②④.【解析】试题分析：依题表示整个平面直角坐标系区域，直角坐标系上函数()y f x =的曲线，若01a <<时，恒有U P C M P = ，则P 与M 无公共点，依题可知①②④函数的曲线与M 均无公共点，对于③，当0x =时，sin y a =，又因为sin a a <，所以()sin y x a =+曲线上的点()0,sin a 必定在M 表示的平面区域内，即U P C M P ≠ ，故应填入①②④. 考点：1.不等式表示的平面区域；2.集合的基本运算；3.基本函数的图象及其应用. 18．学校运动会上，某班所有的同学都参加了篮球或排球比赛，已知该班共有22人参加了排球赛，共有26人参加了篮球赛，既参加篮球赛又参加排球赛的共有4人，则该班学生数是 ． 【答案】44． 【解析】 试题分析：设该班所有参加篮球比赛的学生为集合A ，所有参加排球比赛的学生为集合B ，因为()()()()2622444card A B card A card B card A B =+-=+-= ，故答案为44．考点：集合并、交运算中元素个数间的关系．19．已知{}045|2=+-=x x x A ,{}0)1(|2=-+-=a ax x x B ,{}04|2=+-=mx x x C ，若C C A A B A =⋂=⋃,，求实数m a ,的值.【答案】2=a ，或5=a .44<<-m ，或5=m . 【解析】,A B A B A A C C C A⋃=∴⊆⋂=∴⊆小范围属于大范围，解得。