2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案 新人教版必修1.doc
2019-2020学年高中数学 1.1 集合的概念与运算教案新人教版必
修1
【考点透视】
1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
2．了解空集和全集的意义.
3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．
4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.
5．注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如
A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论.
【例题解析】
题型1．正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R}，则M∩N=（）
A．（0，1），（1，2） B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2} D．{y|y≥1}
思路启迪：集合M、N是用描述法表示的，元素是实数y而不是实数对(x,y)，因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．
解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}， N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．
点评：①本题求M∩N，经常发生解方程组
21,
1.
y x
y x
?=+
?
=+
?
0,
1,
x
y
=
?
?
=
?
得
1,
2.
x
y
=
?
?
=
?
或
从而选B的错误，这是由于在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点，因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x ∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R}，这三个集合是不同的．
例2.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）
A．P B．Q C． D．不知道
思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合，同样Q集合是y= x2＋1（x∈R）的值域集合，这样P∩Q意义就明确了．
解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y= x2＋1的值域，由P={y|y ≥0},Q={y|y≥1}，知Q P，即P∩Q=Q．∴应选B．
例3. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）
A．P∩Q=? B．P Q C．P=Q D．P Q
例4若}032|{}1|{22=--===x x x B x x A ，，则B A ?= （ ）
A ．{3}
B ．{1}
C ．?
D ．{－1} 思路启迪：{}{|1,1}{|1,3},1.A x x x B x x x A B ==-===-=∴?=-， 解：应选D ．
点评：解此类题应先确定已知集合．
题型2．集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．
例5. 若A={2，4, a 3－2a 2－a ＋7},B={1, a ＋1, a 2－2a ＋2,－1
2 (a 2－3a －8), a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________．
解答启迪：∵A ∩B={2，5}，∴a 3－2a 2－a ＋7=5,由此求得a =2或a =±1． A={2,4,5}，集合B 中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
当a =1时，a 2－2a ＋2=1，与元素的互异性相违背，故应舍去a =1．
当a =－1时，B={1,0,5,2,4}，与A ∩B={2，5}相矛盾，故又舍去a =－1．
当a =2时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A ∩B={2，5}，满足题设．
故a =2为所求．
例6. 已知集合A={a ,a ＋b, a ＋2b}，B={a ,a c, a c2}．若A=B ，则c 的值是______． 思路启迪：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．
解：分两种情况进行讨论．
（1）若a ＋b=a c 且a ＋2b=a c2，消去b 得：a ＋a c2－2a c=0，
a =0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a ≠0．
∴c2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．
（2）若a ＋b=a c2且a ＋2b=a c ，消去b 得：2a c2－a c －a =0，
∵a ≠0，∴2c2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－1
2．
点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正． 例7.已知集合A={x|x2－3x ＋2=0},B={x|x2－a x ＋a －1=0}，且A ∪B=A ，则a 的值为______． 思路启迪：由A ∪B=A B A ??而推出B 有四种可能，进而求出a 的值．
解： ∵ A ∪B=A ， ,B A ∴?
∵ A={1，2}，∴ B=?或B={1}或B={2}或B={1，2}．
若B=?，则令△<0得a ∈?；
若B={1}，则令△=0得a =2，此时1是方程的根；
若B={2}，则令△=0得a =2，此时2不是方程的根，∴a ∈?；
若B={1，2}则令△>0得a ∈R 且a ≠2，把x=1代入方程得a ∈R ，把x=2代入方程得a =3． 综上a 的值为2或3．
点评：本题不能直接写出B={1，a －1}，因为a －1可能等于1，与集合元素的互异性矛盾，另外还要考虑到集合B 有可能是空集，还有可能是单元素集的情况．
题型3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
例8.设集合A={a |a =3n ＋2,n ∈Z}，集合B={b|b=3k －1,k ∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．
解：任设a ∈A ，则a =3n ＋2=3(n ＋1)－1(n ∈Z)，
∴ n ∈Z,∴n ＋1∈Z.∴ a ∈B,故A B ?． ①
又任设 b ∈B ，则 b=3k －1=3(k －1)＋2(k ∈Z),
∵ k ∈Z,∴k －1∈Z.∴ b ∈A ，故B A ? ②
由①、②知A=B ．
点评：这里说明a ∈B 或b ∈A 的过程中，关键是先要变（或凑）出形式，然后再推理． 例9若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ?=?，则一定有（ ）
A . C A ?
B .A
C ? C .C A ≠
D . A =?
[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
解：由A B B C =知，,A B B A B C A B C ??∴??，故选A.
例10．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ）
A . 1
B .3
C .4
D . 8
[考查目的] 本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想. 解：{1,2}A =，{1,2,3}A B ?=，则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{1,2}A =的
子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个.故选C.
例11． 记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．
（错误！未找到引用源。）若3a =，求P ；
（错误！未找到引用源。）若Q P ?，求正数a 的取值范围．
思路启迪：先解不等式求得集合P 和Q ．
解：（错误！未找到引用源。）由301x x -<+，得{}13P x x =-<<．
（错误！未找到引用源。）
{}{}1102Q x x x x =-=≤≤≤． 由0a >，得{}1P x x a =-<<，又Q P ?，所以0a >，
即a 的取值范围是(2)+∞，
． 题型4. 要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题失误．
例12. 已知A={x|x2－3x ＋2=0},B={x|a x －2=0}且A ∪B=A ，则实数a 组成的集合C 是________．
解：由x2－3x ＋2=0得x=1或2．当x=1时，a =2，当x=2时，a =1．
这个结果是不完整的，上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=?时，仍满足A ∪B=A ，当a =0时，B=?，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．
例13．已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =?，则实数a 的取值范围是 ．
思路启迪：先确定已知集合A 和B ． 解：{}{}|111,A x x a x a x a =-=-≤≤≤+{}{}25404,1.B x x x x x x =-+=≤≥≥
14,1 1.2 3.a a x ∴+<->∴<<故实数a 的取值范围是(23)，
． 例14. 已知集合A={x|x2＋(m ＋2)x ＋1=0,x ∈R}，若A ∩R *=?，则实数m 的取值范围是_________．
思路启迪：从方程观点看，集合A 是关于x 的实系数一元二次方程x2＋(m ＋2)x ＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A ∩R *
=?可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m 的不等式，并解出m 的范围． 解：由A ∩R *
=?又方程x2＋(m ＋2)x ＋1=0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根， ()()2240,20,m m ??=+-≥??-+－4．
点评：此题容易发生的错误是由A ∩R *
=?只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1，因为方程无零根），而把A=?漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言．
例15.已知集合A={x|x2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若B A ，则实数p 的取值范围是________．
解：由x2－3x －10≤0得－2≤x≤5． 欲使B A ，只须213 3.215p p p -≤+??-≤≤?-≤?∴ p 的取值范围是－3≤p≤3．
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=?时，符合题设．
应有：①当B≠?时，即p ＋1≤2p－1p≥2．
由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.
②当B=?时，即p ＋1>2p －1p ＜2．
由①、②得：p≤3．
点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B=?、A ∪B=?，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．
题型5．要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
例16.设全集U={x|0 思路启迪：本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出． 解：A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}． 例17.集合A={x|x2＋5x－6≤0},B={x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B． 解：∵ A={x|x2－5x－6≤0}={x|－6≤x≤1}， B={x|x2＋3x>0}={x|x<－3，或x>0}．如图所示， ∴ A∪B={x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3，或x>0}=R． A∩B={x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3，或x>0}={x|－6≤x＜－3，或0 点评：本题采用数轴表示法，根据数轴表示的范围，可直观、准确的写出问题的结果． 例18.设A={x|－2 思路启迪：可在数轴上画出图形，利用图形分析解答． 解：如图所示，设想集合B所表示的范围在数轴上移动， 显然当且仅当B覆盖住集合{x|－1 ∴a=－(－1＋3)=－2， b=(－1)×3=－3． 点评：类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合的方法，会得到直观、明了的解题效果．