专题1.1 集合的概念与运算(解析版)

第一篇集合与常用逻辑用语专题1.1 集合的概念与运算【考纲要求】1. 了解集合的含义、元素与集合的属于关系．2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.【命题趋势】1. 利用集合的含义与表示求集合的元素或元素的个数．2．根据集合间的关系求集合子集的个数、参数的取值或范围．3．考查数集的交集、并集、补集的基本运算．4．常运用数轴或韦恩图及数形结合思想来求解含未知参数的集合问题．5．以集合为载体结合其他数学知识考查新概念、新性质、新法则的创新问题的应用.1.元素与集合【核心素养】本讲内容主要考查数学抽象和数学运算的核心素养.【素养清单•基础知识】1．集合的有关概念(1) 集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2) 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3) 元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4) 五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1) 子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2) 真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A ØB 或B ÙA .A ØB ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3) 集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4) 空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅. ∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}． 3．集合间的基本运算(1) 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }．(2) 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．(3) 补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A . 【素养清单•常用结论】(1) 子集的性质：A ⊆A ，∅⊆A ，A ∩B ⊆A ，A ∩B ⊆B . (2) 交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(3) 并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ⊇A ，A ∪B ⊇B ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝∅∪A ＝A . (4) 补集的性质：A ∪∁U A ＝U ，A ∩∁U A ＝∅，∁U (∁U A )＝A ，∁A A ＝∅，∁A ∅＝A .(5) 含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6) 等价关系：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B . 【真题体验】1.（2019·全国Ⅰ卷理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =( )A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】}2{}{42{6023},M x x N x A B x x x x =-<<=--∴<=-<<=，}{22x x -<<.2.（2019·全国Ⅰ卷文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则( )A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】 C 【解析】{}{}{}2,3,6,71,6,76,7=3.（2019·全国Ⅱ卷理1）设集合A={}2560x x x -+>，B={}10x x -<，则A∩B=( ) A ．(-∞，1) B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)【答案】 A 【解析】{}{}256010((,2)(3,))(,1)(,1)AB x x x x x =-+>-<=-∞+∞-∞=-∞4.（2019·全国卷Ⅱ文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A∩B=( ) A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅【答案】C 【解析】({|1}{|2}1,))(,2)(1,2)Ax x x x B ==-+∞>∞--=-<5.（2019·全国卷Ⅲ文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{1}A B x x =-=≤，，则A B =( )A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】 A 【解析】2{1,0,1,2}{1}{1,0,1,2}[1,1]{1,0,1}AB x x =-≤=--=-6. （2019·天津卷文、理1） 设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A C B =( )A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,4 【答案】 A 【解析】2{1,0,1,2}{1}{1,0,1,2}[1,1]{1,0,1}AB x x =-≤=--=-7.（2019·浙江卷1）已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U A B ð=( )A ．{}1-B ．{}0,1?C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-【答案】 A 【解析】{}{}{}1,31,0,11U AB =---=ð【考法拓展•题型解码】 考法一 集合的含义与表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 【例1】 (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9【答案】 C【解析】因为A ＝{0,1,2}，所以B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}＝{0，－1，－2，1,2}．故集合B 中有5个元素． (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92B ．98C ．0D ．0或98【答案】D【解析】当a ＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.故a 的值为0或98.考法二 集合的基本关系(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． 【例2】 (1)已知集合A ＝{x |y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x |x ≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A ∩B ＝∅ C ．A ⊆B D ．B ⊆A【答案】D【解析】由x ＋3>0得x>－3，所以A ＝{x|x>－3}，所以B ⊆A(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0]【答案】A【解析】A ＝{x|0≤x≤2}，由A ⊆B 知a≥2即可 考法三 集合的基本运算 归纳总结：集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况． (3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．【例3】 (1)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋4x －1≤0，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝( ) A ．(0,4] B ．(0,1) C ．(0,1] D ．[－4,1]【答案】B【解析】因为A ＝{x|－4≤x<1}，B ＝{y|y>0}，所以A∩B ＝(0,1)．故选B ． (2)(2019·黄冈调研)已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )＝( ) A ．{x |x >－1} B ．{x |x ≥1} C ．∅D ．{x |－1＜x ＜1}【解析】由1－x >0得N ＝{x |x <1}，∁R N ＝{x |x ≥1}，而由1－x 2>0得M ＝{x |－1<x <1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |x >－1}．(3)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3【答案】B【解析】因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，所以m ∈A ，所以m ＝3或m ＝m ，解得m ＝0或3.故选B 考法四 集合中的新定义问题 解题技巧：集合中的新定义问题(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：用好集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． (3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可． 【例4】 (1)(2019·武汉调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若A ＝{x ∈N |0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10＜0}，则A －B ＝( ) A ．{0,1} B ．{1,2} C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,5}【答案】D【解析】A ＝{0,1,2,3,4,5}，B ＝{x |2<x <5}，所以A －B ＝{0,1,2,5}(2)若对任意的x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“伙伴关系集合”，则集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为__________． 【答案】7【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，{－1,1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，2，共7个．【易错警示】易错点 在集合的关系中忽略空集【典例】 已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x ||x |<1}，满足A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________． 【错解】：{a|a≥2或a≤－2}【错因分析】：空集是任何集合的子集，在本题中忽略了当a ＝0时，A ＝∅也满足A ⊆B 的情况，从而造成漏解．【正解】：【答案】{a |a ≥2或a ≤－2或a ＝0} 【解析】B ＝{x ||x |<1}＝{x |－1<x <1}．①当a >0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <2a . 因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧1a≥－1，2a ≤1，a >0，解得a ≥2.②当a <0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2a <x <1a . 因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a≥－1，1a ≤1，a <0，解得a ≤－2.③当a ＝0时，A ＝∅⊆B ．综上所述，a 的取值范围是{a |a ≥2或a ≤－2或a ＝0}． 【误区防范】：由集合的关系求参数范围要注意的问题(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)空集是个特殊集合．在以下四种条件中不要忽略B 是空集的情形：①B ⊆A ；②B A (A 非空)；③B ∩A ＝B ；④B ∪A ＝A ．【跟踪训练】 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A ．求实数m 的取值范围． 【答案】[－1，＋∞)【解析】 因为B ⊆A ，当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2；当B ≠∅时，则有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＜m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，解得－1≤m＜2.综上得m ≥－1.所以实数m 的取值范围是[－1，＋∞)． 【递进题组】1．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ＜2，B ＝{x |x 2＜1}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |－1＜x ＜2}C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12＜x ＜1 D ．{x |－1＜x ＜1}【答案】B【解析】由x 2<1得B ＝{x |－1<x <1}，所以A ∪B ＝{x |－1<x <2}． 2．(2019·巴蜀中学月考)已知集合A ＝{x |x ∈Z ，且32－x∈Z }，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】由32－x ∈Z 知2－x 的值可为±1，±3，又x ∈Z ，所以由2－x ＝±1得x ＝1或3，由2－x ＝±3得x ＝－1或5.故选C ．3．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】 A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，因为A ⊆C ⊆B ，所以满足条件的集合C 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共4个．故选D ．4．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是__________． 【答案】1或2【解析】A ＝{－1，－2}，由x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0得x ＝－1或x ＝－m .因为(∁U A )∩B ＝∅，所以B ⊆A ，所以－m ＝－1或－m ＝－2，所以m ＝1或2.5．设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝__________.【答案】{0}∪[2，＋∞)【解析】 A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |0<x <2}，则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞)． 6．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝__________.【答案】2【解析】由{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有①⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b a ＝a ，b ＝1或②⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1，由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，②无解，则b －a ＝2.【考卷送检】 一、选择题1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4} D ．{1,3,4}【答案】A【解析】 依题意得A ∪B ＝{1,2,3,4}．故选A ．2．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＜2}，B ＝{x |3－2x ＞0}，则( )A ．A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜32 B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＜32D ．A ∪B ＝R【答案】A【解析】由A ＝{x |x <2}，B ＝{x ⎪⎪⎭⎬⎫x <32得A ∩B ＝{x ⎪⎪⎭⎬⎫x <32，A ∪B ＝{x |x <2}．故选A ． 3．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2＞0，则∁R A ＝( )A ．{x |－1＜x ＜2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ＜－1}∪{x |x ＞2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}【答案】B【解析】由x 2－x －2＞0得A ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}．故选B ．4．(2018·天津卷)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2} D ．{x |0＜x ＜2}【答案】B【解析】由B ＝{x |x ≥1}得∁R B ＝{x |x ＜1}，又A ＝{x |0＜x ＜2}，故A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}． 5．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6＜0}，B ＝{x |2x ＜1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |－1＜x ≤0}C ．{x |0≤x ＜6}D ．{x |x ＜－1}【答案】C【解析】 A ＝{x |－1＜x ＜6}，B ＝{x |x ＜0}，阴影表示数字集合A ∩(∁U B )，而∁U B ＝{x |x ≥0}，所以A ∩(∁U B )＝{x |0≤x ＜6}．故选C ．6．(2019·烟台调研)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π8－π4，k ∈Z ，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M【答案】B【解析】由题意可知，M ＝{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝(2k ＋4)8π－π4，k ∈Z ＝{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝{x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π8－π4或x ＝(2k －1)8π－π4，k ∈Z ，所以M ⊆N ，故选B ．二、填空题7．设集合M ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <12，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝________. 【答案】⎣⎡⎭⎫0，12 【解析】因为N ＝[0,1]，所以M ∩N ＝⎣⎡⎭⎫0，12. 8．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝________. 【答案】1【解析】由集合中元素的互异性可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4，所以m ＝1.9．已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为________．【答案】21【解析】由x 2－2x －3≤0得－1≤x ≤3，x ∈N ，所以A ＝{0,1,2,3}，而A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }＝{1,2,3,4,5,6}，所以数字之和为21.三、解答题10．已知全集为R ，集合A ＝{x |x ≥2或x ＜0}，B ＝{x |1＜x ≤3}，求A ∩B ，A ∪B ，∁R A ．【答案】见解析【解析】根据交集的定义可得A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}，根据并集的定义可求得A ∪B ＝{x |x <0或x >1}，因为全集为R ，所以根据补集的定义可求得∁R A ＝{x |0≤x <2}．11．已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，集合Q ＝{x |－2≤x ≤5}．(1)若a ＝3，求集合(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．【答案】见解析【解析】(1)当a ＝3时，P ＝{x |4≤x ≤7}，所以∁R P ＝{x |x <4或x >7}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |x <4或x >7}∩{x |－2≤x ≤5}＝{x |－2≤x <4}．(2)①当P ＝∅时，满足P ⊆Q ，有2a ＋1<a ＋1，即a <0；②当P ≠∅时，满足P ⊆Q ，则应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≥a ＋1，2a ＋1≤5，a ＋1≥－2，所以0≤a ≤2.综上，实数a 的取值范围为(－∞，2]．12．(2019·衡水中学测试)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值；(2)设集合P ＝{x ∈R |ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z .【答案】见解析【解析】(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ，所以32＋c ×3＋15＝0，解得c ＝－8，所以B ＝{x ∈R |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}．而A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}，方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3，所以a ＝6，b ＝9.所以a ＝b ，b ＝9，c ＝－8.(2)由(1)得6x 2＋9x －8≤7，所以2x 2＋3x －5≤0，P ＝{x ⎪⎪⎭⎬⎫－52≤x ≤1，所以P ∩Z ＝{－2，－1,0,1}． 13．已知k 为合数，且1＜k ＜100，当k 的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k 的“衍生质数”．(1)若k 的“衍生质数”为2，则k ＝________；(2)设集合A ＝{P (k )|P (k )为k 的“衍生质数”}，B ＝{k |P (k )为k 的“衍生质数”}，则集合A ∪B 中元素的个数是________．【答案】(1)20 (2)30【解析】(1)依题意设k ＝10a ＋b (a ∈N *，b ∈N )，则a ＋b ＝2，又a ∈N *，b ∈N ，则a ＝2，b ＝0或a ＝1，b ＝1，故k ＝20或k ＝11(舍去)；(2)由(1)知“衍生质数”为2的合数有20，同理可推“衍生质数”为3的合数有12,21,30，“衍生质数”为5的合数有14,32,50，“衍生质数”为7的合数有16,25,34,52,70，“衍生质数”为11的合数有38,56,65,74,92，“衍生质数”为13的合数有49,58,76,85,94，“衍生质数”为17的合数有98，所以集合A 有7个元素，集合B 有23个元素，故集合A ∪B 中有30个元素．。