2019人教版 高中数学【选修 2-1】习题：221椭圆及其标准方程

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课时作业10 椭圆及其标准方程
时间：45分钟 分值：100分
一、选择题(每小题6分，共36分) 1．椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5，0) B ．(0，±5) C ．(±56，0) D ．(±5
36
，0)
解析：椭圆4x 2＋9y 2＝1的标准形式为x 214＋y
2
19
＝1，
∴a 2
＝14，b 2＝19.故c 2
＝14－19＝536
.
答案：C
2．已知椭圆x 2a 2＋y 2
2＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )
A .x 24＋y 22＝1
B .x 23＋y 2
2＝1 C ．x 2
＋y 22＝1 D .x 26＋y 2
2
＝1
解析：由题知a 2－2＝4，∴a 2＝6. ∴所求椭圆的方程为x 26＋y 2
2＝1.
答案：D
3．在椭圆x 2
3
＋y 2＝1中，有一沿直线运动的粒子从一个焦点F 2
出发经椭圆反射后经过另一个焦点F 1，再次被椭圆反射后又回到F 2，则该粒子在整个运动过程中经过的距离为( )
A ．4
B ．4 3
C ．3
D ．5.5
解析：把粒子运动轨迹表示出来，可知整个距离为4a ，即 4 3. 答案：B
4．已知椭圆x 210－m ＋y 2
m －2＝1，长轴在y 轴上，若焦距为4，则
m 等于( )
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
解析：由题意知，焦距为4，则有m －2－(10－m)＝(4
2)2.解得：
m ＝8.
答案：D
5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m<n<0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m) D ．(±n －m ，0) 解析：化为标准方程是x 2－n ＋y 2
－m ＝1，
∵m<n<0，∴0<－n<－m.
∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －(－n )＝n －m. 答案：C
6．设P 是椭圆x 216＋y 2
12＝1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之
差为2，则△PF 1F 2是( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等腰直角三角形
解析：由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝8.
又|PF1|－|PF2|＝2，∴|PF1|＝5，|PF2|＝3.
又|F1F2|＝2c＝216－12＝4，∴△PF1F2为直角三角形．
答案：B
二、填空题(每小题8分，共24分)
7．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是________．
解析：将原方程整理，得x2
2＋
y2
2
k
＝1.根据题意得
⎩
⎨
⎧2
k>2，
k>0，
解得
0<k<1.
答案：0<k<1
8．已知F1，F2为椭圆x2
25＋
y2
9＝1的两个焦点，过F1的直线交椭
圆于A、B两点，若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析：由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，
|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，
∴|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝20.
又∵|F2A|＋|F2B|＝12，
∴|AB|＝|AF1|＋|BF1|＝8.
答案：8
9．(2011·江西高考)若椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1的焦点在x轴上，过点(1，
1
2)作圆x
2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析：∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线．∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1.设P(1，12)，则k OP ＝1
2，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则
直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2)．∴b ＝2，
a 2＝
b 2＋
c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y
2
4
＝1.
答案：x 25＋y 2
4＝1
三、解答题(共40分)
10．(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点坐标分别是(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26；
(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过A(3，－2)和B(－23，1)两点的椭圆的标准方程．
解：(1)∵焦点在y 轴上，∴设其标准方程为y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a>b>0)．
∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5.∴b 2＝a 2－c 2＝144. ∴所求椭圆方程为y 2169＋x 2
144
＝1.
(2)方法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝
1(a>b>0)，
依题意，有⎩⎨⎧
(3)2a 2＋(－2)
2
b
2＝1，(－2
3)2
a
2
＋12
b
2＝1，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝15，
b 2＝5.
∴所求椭圆的方程为x 215＋y 2
5
＝1.
②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2
b
2＝1(a>b>0)．
依题意，有⎩⎨⎧
(－2)2a 2＋(3)2
b
2＝1，12a 2
＋(－2
3)2
b
2
＝1，
，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＝5，
b 2＝15.
∵a<b ，不合题意，舍去． ∴所求椭圆的方程为x 215＋y 2
5
＝1.
方法二：设所求椭圆方程为Ax 2＋By 2＝1(A>0，B>0且A ≠B)，
依题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧
3A ＋4B ＝1，12A ＋B ＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
A ＝115，
B ＝15.
∴所求椭圆方程为115x 2＋15y 2＝1.∴其标准方程为
x 215＋y 2
5
＝1.
图1
11．(15分)如图1，已知圆A ：(x ＋3)2＋y 2＝100，圆A 内一定点B(3,0)，动圆P 过B 点且与圆A 内切，设动圆P 的半径为r ，求圆心P 的轨迹方程．
解：由题可知|PB|＝r ，
∵圆P 与圆A 内切，圆A 的半径为10， ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r ， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
∴点P 的轨迹是以A 、B 两点为焦点的椭圆． ∴2a ＝10,2c ＝|AB|＝6.∴a ＝5，c ＝3.
∴b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16， 即点P 的轨迹方程为x 225＋y 2
16
＝1.
12．(15分)设P(x ，y)是椭圆x 225＋y 2
16＝1上的点且P 的纵坐标y ≠0，
点A(－5,0)、B(5,0)，试判断k PA ·k PB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解：∵点P 在椭圆x 225＋y 2
16＝1上，
∴y 2
＝16×(1－x 225)＝16×25－x 2
25.①
∵点P 的纵坐标y ≠0， ∴x ≠±5. ∴k PA ＝
y x ＋5，k PB ＝y x －5
. ∴k PA ·k PB ＝y x ＋5·y x －5＝y 2
x 2－25
.②
把①代入②，得k PA ·k PB ＝16×
25－x 2
25x 2－25＝－16
25.
∴k PA ·k PB 为定值，这个定值是－
1625
.。