高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质课时作业新人教A版必修41118653
高中数学第一章1.4.1正弦函数余弦函数的图象1.4.2正弦函数余弦函数的性质学案含解析新人教A版必修4
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质考试标准知识导图学法指导1.本节内容以三角函数的图象及其性质为主，因此在学习过程中应先学会作图，然后利用图象研究函数的性质．2．深刻理解五点的取法，特别是非正常周期的五点．3．注意所有的变换是图象上的点在移动，是x 或y 在变化而非ωx .4．运用整体代换的思想，令ωx ＋φ＝t ，借助y ＝sin t ，y ＝cos t 的图象和性质研究函数y ＝sin(ωx ＋φ)，y ＝cos(ωx ＋φ)的图象和性质．第1课时 正弦函数、余弦函数的图象正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x∈[2k π，2(k ＋1)π]，k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“五点法”作正、余弦函数的图象时的“五点”是指图象上的任意五点．( )(2)正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2上的图象相同．( )(3)正弦函数、余弦函数的图象分别向左、右无限延伸．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确． 答案：C3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π类型一 用“五点法”作三角函数的图象例1 用“五点法”作出下列函数的简图： (1)y ＝sin x ＋12，x ∈[0,2π]；(2)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]． 【解析】 (1)按五个关键点列表：(2)列表：作函数图象需要先列表再描点，最后用平滑曲线连线． 方法归纳作形如y ＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b )，x ∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y ＝3＋2cos x 的简图． 解析：(1)列表，如下表所示(2)利用五点作图法画简图．类型二 正、余弦函数曲线的简单应用 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围． 【解析】 在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值． (3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为[π3＋2k π，5π3＋2k π]，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.1.4.1-2.1[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B 4．点M ⎝⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1.答案：C5．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B二、填空题(每小题5分，共15分) 6．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)7．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)8．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，又∵x ∈[0,2π]，故x ＝π6或56π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题(每小题10分，共20分)9．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：(2)10．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3. [能力提升](20分钟，40分)11．已知函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积为( )A ．4B ．8C ．2πD ．4π解析：依题意，由余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0成中心对称，可得y ＝2cosx (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成的封闭图形的面积为2π×2＝4π.答案：D12．函数y ＝2cos x －2的定义域是________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0，即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 13．利用“五点法”作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，52π的图象．解析：列表如下：14．利用图象变换作出下列函数的简图：(1)y＝1－cos x，x∈[0,2π]；(2)y＝|sin x|，x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的简图，再作出y＝cos x，x∈[0,2π]的简图关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈[0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图所示．。
高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质一学案含解析新人教A版必修4
由图象可知， y＝ |cos x| 的周期为π.
[类题通法 ]
求函数最小正周期的常用方法 求三角函数的周期，一般有两种方法：①公式法，即将函数化为
y＝ Asin(ωx＋ φ)＋ b 或 y
2π ＝ Acos(ωx＋ φ)＋ b 的形式，再利用 T＝ | ω| 求得；②图象法，利用变换的方法或作出函数的图
问题 2：正弦曲线具有什么特点？
提示：“周而复始” ，每隔 2π就重复一次． 问题 3：余弦曲线是否也具有上述特点？
提示：是． [导入新知 ]
1．函数的周期性 (1)对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x
＋ T)＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
2π [解析 ] ∵ | a| ＝π，∴| a| ＝ 2，∴ a＝± 2.
[答案 ] ± 2
[易错防范 ]
2π 1．函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)的最小正周期为 | ω| ，若忽视这一点，则易得出
a＝ 2 的错误答案．
2π 2．对于函数 y＝ Asin(ωx＋ φ)或 y＝ Acos(ωx＋ φ)(A， ω， φ是常数， A≠ 0， ω≠ 0)， T＝ | ω| .
[成功破障 ]
π 函数 y＝ 2cos 3－ωx 的最小正周期为 4π，则ω＝ ______.
1 答案：±
2
[ 随堂即时演练 ]
3
1．函数 y＝－ cos 2π－x 的奇偶性为 (
)
A．奇函数 C．既是奇函数又是偶函数
B．偶函数 D ．非奇非偶函数
答案： A
马鸣风萧萧整理
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高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)导学案 新人教A版必修4-新人
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一) 学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)及y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期.3.掌握函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一 函数的周期性思考1 如果函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，那么3是f (x )的周期吗？答案 不一定.必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期.思考2 所有的函数都具有周期性吗？答案 不是.只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性.思考3 周期函数都有最小正周期吗？答案 周期函数不一定存在最小正周期.例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期. 梳理 函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期.知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性思考1 证明函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数.答案 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，cos(x ＋2π)＝cos x ，∴y ＝sin x 和y ＝cos x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))(Aω≠0)是周期函数. 答案 由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin[ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ]＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期. 同理，函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω≠0)也是周期函数.梳理 由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cos x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π (k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π. 知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性思考 对于x ∈R ，sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x ，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？答案 奇偶性.梳理 (1)对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称.(2)对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称.类型一 三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R ).解 (1)方法一 令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R . 函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得.而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. 方法二 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为2π2＝π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z ).其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解. 跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|cos 2x |. 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 类型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x. 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1.解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }. ∴f (x )的定义域关于原点对称.又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg[1－sin(－x )]－lg[1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x ).∴f (x )为奇函数.(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数.反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2cos x ≥0，2cos x －1≥0，得cos x ＝12. ∴f (x )＝0，x ＝2k π±π3，k ∈Z . ∴f (x )既是奇函数又是偶函数.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 反思与感悟 解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6的值. 解 因为f (x )是以π2为周期的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1.类型四 函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值. 解 ∵f (1)＝cos π3＝12，f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1，f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12，f (6)＝cos 2π＝1， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12)＝－32. 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值.跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝ .解析 ∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝335[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝335⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π ＋f (335×6＋1)＋f (335×6＋2)＋f (335×6＋3)＋f (335×6＋4)＋f (335×6＋5)＝335×0＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＝0.1.函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( ) A.π2B.πC.2πD.4π 答案 D2.下列函数中最小正周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin x 2B.y ＝cos x2 C.y ＝cos xD.y ＝cos 2x 答案 D3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ， ∴f (x )＝－cos 2x .又f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，∴f (x )是最小正周期为π的偶函数.4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为 . 答案 ±π解析 ∵T ＝2π|ω|＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4＝ . 答案 22 解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＋3π2×3 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝sin 3π4＝22.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω. 2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系，从而判断奇偶性.课时作业一、选择题1.下列函数中，周期为π2的是( ) A.y ＝sin x 2B.y ＝sin 2xC.y ＝cos x 4D.y ＝cos(－4x ) 答案 D解析 T ＝2π|－4|＝π2. 2.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω>0，则ω等于( ) A.5 B.10 C.15 D.20答案 B3.已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |(x ∈R )为奇函数，则a 等于( )A.0B.1C.－1D.±1答案 A解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝sin(－x )－|a |＝－f (x )＝－sin x ＋|a |，所以|a |＝0，从而a ＝0，故选A.4.下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( )A.y ＝cos|2x |B.y ＝|sin x |C.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x D.y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x 答案 D 解析 y ＝cos|2x |是偶函数，y ＝|sin x |是偶函数，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数，y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，根据公式求得其最小正周期T ＝π. 5.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4x ＋π3(k ＞0)的最小正周期不大于2，则正整数k 的最小值应是( ) A.10 B.11 C.12 D.13答案 D解析 ∵T ＝2πk 4≤2，即k ≥4π， ∴正整数k 的最小值是13.6.函数y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x的奇偶性为( ) A.奇函数B.既是奇函数也是偶函数C.偶函数D.非奇非偶函数答案 D解析 由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，y ＝|sin x |(1－sin x )1－sin x＝|sin x |， 所以函数的定义域为{x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z }， 由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数.7.函数f (x )＝3sin(23x ＋15π2)是( ) A.周期为3π的偶函数B.周期为2π的偶函数C.周期为3π的奇函数D.周期为4π3的偶函数 答案 A二、填空题8.若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为 . 答案 π4解析 要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数， 则需π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z ，∴α＝k π＋π4，k ∈Z . ∵0<α<π2，∴α＝π4. 9.函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1的图象关于 对称.(填“原点”或“y 轴”) 答案 y 轴解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋2x ＋1＝2cos 2x ＋1， ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数.∵偶函数的图象关于y 轴对称，∴f (x )的图象关于y 轴对称.10.关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数.其中错误的是 .(填序号)答案 ①④解析 当φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数.当φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数. 三、解答题11.判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x )； (2)f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x ；(3)f (x )＝e sin x ＋e －sin x e sin x －e－sin x . 解 (1)∵x ∈R ，f (x )＝cos(π2＋2x )cos(π＋x ) ＝－sin 2x ·(－cos x )＝sin 2x cos x .∴f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数.(2)∵对任意x ∈R ，－1≤sin x ≤1，∴1＋sin x ≥0，1－sin x ≥0，∴f (x )＝1＋sin x ＋1－sin x 的定义域是R .又∵f (－x )＝1＋sin (－x )＋1－sin (－x )， ＝1－sin x ＋1＋sin x ＝f (x )，∴y ＝f (x )是偶函数.(3)∵e sin x －e －sin x ≠0，∴sin x ≠0，∴x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z .∴定义域关于原点对称.又∵f (－x )＝e sin (－x )＋e －sin (－x)e sin (－x )－e－sin (－x ) ＝e －sin x ＋e sin x e －sin x －esin x ＝－f (x )，∴y ＝f (x )是奇函数. 12.已知f (x )是以π为周期的偶函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，f (x )的解析式. 解 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∵当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ， ∴f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x .又∵f (x )是以π为周期的偶函数，∴f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )， ∴f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52π，3π. 13.已知函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期. 证明 ∵f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且4是它的一个周期.四、探究与拓展14.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为 .答案 6解析 ∵T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π. ∴ω的最大值是6.15.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，求ω的最小值.解 函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内，函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0，1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0，1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)课时训练(含解析)新人教A版
高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（1）课时训练（含解析）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章三角函数1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（1）课时训练（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一)课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f（x）＝A sin(ωx＋φ）及y ＝A cos（ωx＋φ）的周期.3。
掌握y＝sin x,y＝cos x的周期性及奇偶性．1．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个______________,使得当x取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．（2）如果在周期函数f（x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x)的__________________．2．正弦函数、余弦函数的周期性由sin(x＋2kπ)＝________，cos（x＋2kπ）＝________知y＝sin x与y＝cos x都是______函数，____________________都是它们的周期,且它们的最小正周期都是________．3．正弦函数、余弦函数的奇偶性（1）正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是______，定义域关于________对称．（2)由sin（－x）＝________知正弦函数y＝sin x是R上的______函数，它的图象关于______对称．(3）由cos(－x)＝________知余弦函数y＝cos x是R上的______函数，它的图象关于______对称．一、选择题1．函数f(x）＝错误!sin（错误!－错误!)，x∈R的最小正周期为（)A。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)导学案 新人教A版必修4(2
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2 正、余弦函数的性质(2） 【学习目标】通过观察正弦函数、余弦函数的图像,得出函数的性质。
【学习重点】正余弦函数的奇偶性、对称性、单调性.【基础知识】1. 奇偶性请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？(1)正弦函数的图像观察函数y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对称.也就是说，如果点（x ，y ）是函数y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点（—x ，—y ）也在函数y=sinx 的图象上,这时，我们说函数y=sinx 是 函数。
（2）余弦函数的图形 观察函数f （x ）=cosx 的图象,当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
例如：f(-3π）=21,f （3π）=21 ,即f(-3π）=f(3π）；…… 由于cos(－x)=cosx,∴f(—x)= f （x ）。
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么，与它关于y 轴的对称点（-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是 函数.2。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课时训练(含解析)新人教A版必修4
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)课时目标 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx ＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．函数y＝sin x y＝cos x图象定义域____________值域____________奇偶性____________周期性最小正周期：______最小正周期：______单调性在__________________________________上单调递增；在__________________________________________________上单调递减在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减最值在________________________时，y max＝1；在________________________________________时，y min＝－1在______________时，y max＝1；在__________________________时，y min＝－1一、选择题1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )A．sin α>sin β B．sin β>sin αC．sin α≥sin β D．sin α与sin β的大小不定3．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )A.[]－1，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，544．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π5．下列关系式中正确的是( )A．sin 11°<cos 10°<sin 168°B．sin 168°<sin 11°<cos 10°C．sin 11°<sin 168°<cos 10°D．sin 168°<cos 10°<sin 11°6．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的单调增区间是____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π6)的值域是________．9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．10．设|x |≤π4，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______．三、解答题11．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x2；(2)y ＝log 12(cos 2x )．12．已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．能力提升13．已知sin α>sin β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，则( ) A ．α＋β>π B．α＋β<πC ．α－β≥－32πD ．α－β≤－32π14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．31．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)单调区间的方法是：把ωx ＋φ看成一个整体，由2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π2(k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为增区间，由2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋32π (k ∈Z )解出x 的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围．1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)答案知识梳理R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )[π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π2＋2k π (k ∈Z )x ＝－π2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z )作业设计 1．C 2.D3．C [y ＝sin 2x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1.]4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．]5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80°由三角函数线得sin 11°<sin 12°<sin 80°， 即sin 11°<sin 168°<cos 10°.]6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π2)＝－sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.] 7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π 8．[0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3.∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴y ∈[0,2]9．b <c <a解析 ∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2，∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. ∵b <c <a . 10.1－22解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x＝－(sin x －12)2＋54∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22.∴当sin x ＝－22时，f (x )min ＝1－22. 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋32π，k ∈Z ，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z . ∴y ＝1－sin x2的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )．(2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z .∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z .∴y ＝log 12(cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤23π，∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝12－63b ＝－23＋123.当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧－3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.13．A [∵β∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π， ∴π－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β⇔sin α>sin(π－β) ⇔α>π－β⇔α＋β>π.]14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则应有T 4≤π3或34T ≤π4，即2π4ω≤π3或6πω≤π，解得ω≥32或ω≥6. ∴ω的最小值为32，故选B.]。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(1)导学案 新人教A版必修4(2
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4。
2 正余弦函数的性质(1）【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念。
2.会求一些简单三角函数的周期.【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期【基础知识】函数 x x k y sin )2sin(=+=π，说明当自变量x 的值增加π2的整数倍时，函数的值重复出现，数学上用周期来刻画这一变化规律.1．周期函数定义：对于函数f (x ），如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有:f (x+T)=f (x)，那么函数f （x ）就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期? （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是,周期是多少？(2k π，k Z ∈且0k ≠）(3)若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为:()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2．一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠）的周期2||T πω= 说明:①周期函数x定义域M ，则必有x+T M ， 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界； ②“每一个值”只要有一个反例，则f (x)就不为周期函数（如f (x 0+t)f (x 0）） ③T 往往是多值的(如y=sinx 2，4，…,—2，—4，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f(x)的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2 （一般称为周期）从图象上可以看出sin y x =,x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期）3.求周期的方法:（1）公式法：一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈（其中,,A ωϕ 为常数,且0A ≠）的周期2||T πω= （2）定义法:f (x+T ）=f (x ）（3）图像法：如果函数的图像有一定的变化规律，在某一范围内函数图像重复出现,并且图像一方(左或者右)无限延伸。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(2)课时提升作业2 新人教A版必修4
正弦函数、余弦函数的性质(二)一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·沈阳高一检测)函数y=-cosx，x∈(0，2π)，其单调性是( )A.在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数B.在，上是增函数，在上是减函数C.在[π，2π)上是增函数，在(0，π)上是减函数D.在上是增函数，在，上是减函数【解析】选A. y=-cosx在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数.【变式训练】若f(x)=cosx在[-b，-a]上是增函数，则f(x)在[a，b]上是( )A.奇函数B.偶函数C.减函数D.增函数【解析】选C.因为f(x)=cosx在R上为偶函数，所以根据偶函数的性质可知f(x)在[a，b]上是减函数.2.(2014·青岛高一检测)若函数y=sin(π+x)，y=cos(2π-x)都是减函数，则x的集合是( )A.B.C.D.【解析】选A.因为y=sin(π+x)=-sinx，其单调减区间为(k∈Z)，y=cos(2π-x)=cosx，其单调减区间是[2kπ，2kπ+π](k∈Z)，所以函数y=sin(π+x)与函数y=cos(2π-x)都是减函数时的x的集合为x2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z.3.(2014·邯郸高一检测)若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω的值可为( )A. B. C.2 D.3【解析】选A.由题意，函数在x=处取得最大值1，所以ω=2kπ+，即ω=6k+，k∈Z，故选B.4.(2013·天津高考)函数f(x)=sin在区间上的最小值是( )A.-1B.-C.D.0【解题指南】先确定2x-的范围，再根据正弦函数的单调性求最小值.【解析】选B.因为x∈，所以2x-∈，根据正弦曲线可知，当2x-=-时，f(x)取得最小值-.5.下列各式正确的是( )A.sin508°>sin144°B.cos760°<cos(-770°)C.cos>cosD.cos>cos【解析】选C.因为sin508°=sin148°，而y=sinx，在90°<x<180°上为减函数，所以sin148°<sin144°，故A不正确；cos760°=cos40°，cos(-770°)=cos50°，而y=cosx，在0°<x<90°上为减函数，所以cos40°>cos50°，故B不正确；cos=cos，cos=cos，y=cosx，在x∈(0，π)上为减函数，所以cos>cos，故C正确；因为cos<0，cos>0，所以选项D不正确.6.函数f(x)=sin的图象的一条对称轴是( )A.x=B.x=C.x=-D.x=-【解题指南】正弦型函数在对称轴上取得最值.因此把选项代入，哪个能确定最值即是.【解析】选C.三角函数在对称轴处取得最值，把x=-代入f(x)=sin，得f=-1，取得函数的最小值，因此，直线x=-是函数的一条对称轴.二、填空题(每小题4分，共12分)7.(2014·无锡高一检测)sin sin(填“>”或“<”).【解析】sin=sin=sin，因为0<<<，y=sinx在上单调递增，所以sin<sin，即sin<sin.答案：>8.函数y=的最大值为.【解析】y===-1，当cosx=1时，y最大=3.答案：3【变式训练】y=的最小值是.【解析】y==2-，sinx=-1时，y=取得最小值-2.答案：-29.(2014·宿州高一检测)设ω>0，若函数f(x)=2sinωx在上单调递增，则ω的取值范围是.【解析】由-≤ωx≤，得f(x)的一个递增区间为，由题设得⊆，所以-≤-且≥，解得0<ω≤.答案：0<ω≤三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014·鄂州高一检测)求y=2sin的单调增区间和单调减区间.【解题指南】利用函数y=sinx的奇偶性先将函数y=2sin中x的系数转化为正数，再结合函数y=sinx的单调区间利用整体代换的方法求解单调区间.【解析】y=2sin=-2sin增区间：原函数的增区间就是函数y=sin的减区间，所以由+2kπ≤3x-≤+2kπ，k∈Z，得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以原函数的单调增区间为，k∈Z.减区间：原函数的减区间就是函数y=sin的增区间，所以由-+2kπ≤3x-≤+2kπ，k∈Z，得-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，所以原函数的单调减区间为，k∈Z.【拓展延伸】揭秘三角函数的单调性求形如y=Asin(ωx+φ)，y=Acos(ωx+φ)其中A≠0，ω>0的单调区间，可以通过解不等式(组)的方法去解答，列不等式(组)的原则是：(1)把ωx+φ视为一个“整体”.(2)A>0(A<0)时，所列不等式与y=sinx，y=cosx对应的单调区间不等式相同(相反).11.(2014·潍坊高一检测)已知函数f(x)=lo.(1)求定义域和值域.(2)判断奇偶性.(3)判断周期性.(4)写出单调区间.【解析】(1)由sinx≠0得定义域x≠kπ，k∈，又0<≤1，所以值域y≥.(2)由(1)知，定义域关于原点对称，又f(-x)=lo=lo=f(x)，所以f(x)是偶函数. (3)当T=π时，f(x+π)=lo =f(x)，所以f(x)是周期函数.(4)y=的单调增区间是(k ∈Z)，单调减区间是(k ∈Z)，所以f(x)=lo 的增区间是(k ∈Z)，减区间是(k ∈Z).一、选择题(每小题4分，共16分) 1.符合以下三个条件：①在上单调递减；②以2π为周期；③是奇函数.这样的函数是 ( ) A.y=sinxB.y=-sinxC.y=cos2xD.y=cos【解析】选B.在上单调递减，可以排除A ，是奇函数可以排除C ，D.2.(2014·绍兴高一检测)函数y=sin π的单调增区间是 ( )A.[4k π，(4k+1)π](k ∈Z)B.[4k ，4k+2](k ∈Z)C.[2k π，(2k+2)π](k ∈Z)D.[2k ，2k+2](k ∈Z)【解析】选B. y=sin π=sin ，函数的单调增区间是-+2k π≤-≤+2k π(k ∈Z)，2k π≤≤π+2k π(k ∈Z)，所以4k ≤x ≤2+4k(k ∈Z).3.(2014·宁德高一检测)函数y=sinx 的定义域为[a ，b]，值域为，则b-a 的最大值和最小值之和等于 ( )A.B.C.2πD.4π【解析】选C.当y=sinx在[a，b]上单调时，b-a取最小值，当y=sinx在[a，b]上不单调时，b-a取最大值，所以它们的和是2π.【变式训练】函数y=cosx-1的最小值是( )A.0B.1C.-2D.-1【解析】选C.因为cosx∈[-1，1]，所以y=cosx-1的最小值为-2.4.(2013·南充高一检测)已知函数f(x)=πsin x，如果存在实数x1，x2使x∈R时，f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1-x2|的最小值为( )A.4πB.πC.8πD.2π【解析】选A.因为正弦型函数f(x)满足对任意x∈R，f(x1)≤f(x)≤f(x2)，故f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值，从而|x1-x2|的最小值为半周期，因为T==8π，所以选A.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014·南京高一检测)函数f(x)=在[-π，π]上的单调减区间为.【解题指南】利用复合函数的单调性求解.【解析】令y=|cosx|在[-π，π]上，y=|cosx|的单调递增区间是及.而f(x)依取值的递增而递减，故及为f(x)的递减区间.答案：，6.f(x)=2sinωx(0<ω<1)，在区间上的最大值是，则ω= .【解析】因为0≤x≤，所以0≤ωx≤ω<.所以f(x)在上是增函数，所以f=，即2sin=，所以ω=，所以ω=.答案：三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2014·福州高一检测)不求值，比较大小：(1)sin250°与sin260°.(2)sin50°，cos50°与tan50°.【解析】(1)因为90°<250°<260°<270°，而且y=sinx在90°<x<270°时是减函数，所以sin250°>sin260°.(2)因为cos50°=sin40°，所以cos50°<sin50°<1，而tan50°>tan45°=1，故tan50°>sin50°>cos50°.【变式训练】将cos150°，sin470°，cos760°按从小到大排列为.【解析】cos150°<0，sin470°=sin110°=cos20°>0，cos760°=cos40°>0且cos20°>cos40°，所以cos150°<cos760°<sin470°.答案：cos150°<cos760°<sin470°8.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，其中φ为实数且|φ|<π，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f>f(π)，求f(x)的单调递增区间.【解题指南】由f(x)≤对x∈R恒成立知，f(x)在x=处取得最大值或最小值，从而得到φ的两组取值，再利用f>f(π)排除一组，从而得到φ的取值，利用整体代换思想求出f(x)的单调递增区间.【解析】由f(x)≤对x∈R恒成立知，2×+φ=2kπ±(k∈Z)，得到φ=2kπ+或φ=2kπ-，代入f(x)并由f>f(π)检验得，φ的取值为-，所以由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z)，得f(x)的单调递增区间是(k∈Z). 【拓展延伸】求三角函数最值的常见类型(1)y=asin2x+bsinx+c(a≠0)，利用换元思想设t=sinx，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值，t的范围需要根据定义域来确定.(2)y=Asin(ωx+φ)+b，可先由定义域求得ωx+φ的范围，然后求得sin(ωx+φ)的范围，最后得最值.(3)y=log a(Asin(ωx+φ))，设t=Asin(ωx+φ)，由定义域求t的范围，然后求值域.。
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高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数余弦函数的性质课时作业新人教A版必修41118653
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
选题明细表
知识点、方法题号
求三角函数的周期1,6,9
三角函数的奇偶性的判断8
正、余弦函数的单调性2,3,7,13
正、余弦函数的值域与最值问题5,11,12
正、余弦函数的综合问题4,10
基础巩固
1.(2019·拉萨市高一月考)函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值为( A )
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
解析:函数y=sin(x+)(k>0)的最小正周期不大于2,可得T==≤2,k≥2π,则正整数k 的最小值为7.故选A.
2.满足sin(x-)=的x的集合是( D )
(A)
(B)
(C)
(D)
解析:sin(x-)=,
x-=2kπ+或x-=2kπ+π,k∈Z,
x=2kπ+π或x=2kπ+π,k∈Z.故选D.
3.(2018·贵阳市高一期末)在下列给出的函数中,以π为周期且在区间(0,)内是减函数的是( B )
(A)y=sin (B)y=cos 2x
(C)y=sin(x-) (D)y=sin(2x+)
解析:对于A,y=sin 的周期为T==4π,不合题意;
对于B,x∈(0,)时,2x∈(0,π),
所以y=cos 2x在(0,)上是减函数,
又函数的周期为T=π,满足题意;
对于C,x∈(0,)时,x-∈(-,),
所以y=sin(x-)在(0,)内是增函数,不合题意;
对于D,x∈(0,)时,2x+∈(,),
所以y=sin(2x+)在(0,)内不是单调递减函数,不合题意.故选B.
4.(2019·南昌市高一月考)已知函数f(x)=sin(x-)(x∈R),下列结论错误的是( A )
(A)函数f(x)是奇函数
(B)函数f(x)的最小正周期为2π
(C)函数f(x)在区间[0,]上是增函数
(D)函数f(x)的图象关于直线x=0对称
解析:函数f(x)=sin(x-)
=-sin（-x）=-cos x(x∈R),
所以f(x)=-cos x是偶函数,A错误;
f(x)=-cos x的最小正周期为2π,B正确;
y=cos x在[0,]上是减函数,
所以f(x)=-cos x在区间[0,]上是增函数,C正确;
由y=cos x的图象知,f(x)=-cos x的图象关于直线x=0对称,D正确.故选A.
5.如果函数y=3cos(2x+ϕ)的图象关于点(,0)中心对称,那么|ϕ|的最小值为( A )
(A)(B)(C)(D)
解析:函数关于点(,0)对称,
则有3cos(2×+ϕ)=0,
即cos(+ϕ)=0,
所以cos(+ϕ)=0,
即+ϕ=+kπ,k∈Z,
即ϕ=-+kπ,k∈Z,
所以当k=0时,|ϕ|=,此时|ϕ|最小.
故选A.
6.(2018·巢湖市高一期末)函数f(x)=3cos(x-)的最小正周期为. 解析:根据题意,函数f(x)=3cos(x-),
其中ω=,
其最小正周期T==4.
答案:4
7.函数f(x)=2sin(-2x)在[π,2π]上的单调递增区间是.
解析:2kπ+≤-2x≤2kπ+π,k∈Z,
2kπ+≤-2x≤2kπ+π,k∈Z,
-kπ-π≤x≤-kπ-,k∈Z.又x∈[π,2π],
故当k=-2时,≤x≤满足题意.
答案:
8.已知函数f(x)=sin(2x+ϕ),试求ϕ为何值时:
(1)f(x)是奇函数?(2)f(x)是偶函数?
解:(1)因为f(x)的定义域为R,
所以当f(x)为奇函数时必有f(0)=0.
即sin ϕ=0,所以ϕ=kπ(k∈Z).
即当ϕ=kπ(k∈Z)时,f(x)=sin(2x+ϕ)是奇函数.
(2)因为偶函数的图象关于y轴对称,且正、余弦函数在对称轴处取
最值,
所以要使f(x)为偶函数,需有f(0)=±1,
即sin ϕ=±1.所以ϕ=kπ+(k∈Z).
即当ϕ=kπ+(k∈Z)时,f(x)=sin(2x+ϕ)是偶函数.
能力提升
9.设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=则f(-)的值等于( B )
(A)1 (B)(C)0 (D)-
解析:由题意知,f(-)=f(-3×+)
=f()=sin =.
10.(2019·沈阳市高一期中)函数f(x)=sin(2x+ϕ+)(|ϕ|<)是偶函数,则下列说法错误的是( C )
(A)函数f(x)在区间(0,)上单调递减
(B)函数f(x)的图象关于直线x=-对称
(C)函数f(x)在区间(,)上单调递增
(D)函数f(x)的图象关于点(,0)对称
解析:因为函数f(x)=sin(2x+ϕ+)(|ϕ|<)是偶函数,
所以ϕ+=+kπ,k∈Z,
则ϕ=+kπ,k∈Z,ϕ=.
所以f(x)=sin(2x+)=cos 2x.
当x∈(0,)时,2x∈(0,π),函数f(x)在区间(0,)上单调递减,故A正确;
f(-)=cos(-π)=-,函数f(x)的图象关于直线x=-对称,故B
正确;
当x∈(,)时,2x∈(,),函数f(x)在区间(,)上先减后增,故C
错误;
f（）=cos=0,函数f(x)的图象关于点（,0）对称,故D正确.
所以说法错误的是C.故选C.
11.(2018·张家港市高一期中)已知函数f(x)=sin（x+）,其中x∈[-,],则f(x)的值域是.
解析:函数f(x)=sin(x+),当x∈[-,]时,x+∈[-,],
所以sin(x+)∈[-,1];
且x=-时,f(x)取得最小值-,
x=时,f(x)取得最大值1;
所以f(x)的值域是[-,1].
答案:[-,1]
12.已知函数f(x)=2asin(2x-)+b的定义域为[0,],最大值为1,最小值为-5,求a和b的值. 解:因为0≤x≤,所以-≤2x-≤π,
所以-≤sin(2x-)≤1,易知a≠0.
当a>0时,f(x)max=2a+b=1,
f(x)min=-a+b=-5.
由解得
当a<0时,f(x)max=-a+b=1,
f(x)min=2a+b=-5.
由解得
探究创新
13.已知ω是正数,函数f(x)=2sin ωx在区间[-,]上是增函数,求ω的取值范围.
解:由-+2kπ≤ωx≤+2kπ(k∈Z)得
-+≤x≤+(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是
[-+,+](k∈Z).
据题意,[-,]⊆[-+,+](k∈Z).
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是(0,].。