大学物理(l-1)2-7力矩转动定律转动惯量分解
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大学物理.第三章.刚体的转动
动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
和角速度 .
解 细杆受重力和
铰链对细杆的约束力
FN
作用 3g sin
2l
3g (1 cos )
l
§3-4 力矩的功 定轴转动的动能定理
一、力矩的功
z
O
d r
速度ω 绕端点转动，摩擦系数为μ 求M摩擦力。
ω
解: 质量线密度:
m L
dm
r dr
质量元:
r dm dr
所受摩擦力为:
dF gdm gdr
例3-5 现有一圆盘在平面内以角速度ω 转动，求 摩擦力产生的力矩（μ 、m、R）。
dr
ωr
解:
dm ds rdrd dF gdm grdrd dM1 rdF r2gdrd
I mi ri2 －质量不连续分布
i
r 2dm －质量连续分布
d －线分布λ＝m/ι 质量元: dm ds －面分布σ＝m/S
dV －体分布ρ＝m/V
二、决定转动惯量的三因素
1）刚体的质量； 2）刚体的质量分布； （如圆 环与圆盘的不同）；
3）刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
运动。 一、何谓刚体
在任何情况下形状和大小都不发生变化的
物体。即每个质元之间的距离无论运动或
受外力时都保持不变。
理想模型
ri j c mj
二、刚体运动的两种基本形式 mi
平动----刚体运动时，刚体内任一直线恒保 持平行的运动(即该直线方向保持不变)
刚体的平动过程
c a b
刚体的平动过程
能运用以上规律分析和解决包括 质点和刚体的简单系统的力学问题.
一,刚体的定轴转动(运动)二,力矩,刚体定轴转动的转动定律,转动惯量
二、刚体定轴转动的转动定律
～利用力矩定义＋牛顿第二定律，研究刚体作定 轴转动的动力学规律。 设：oz为定轴， 为 P 刚体中任一质点 i ，其 质量为 ∆ m i。质点 iv ur 受外力 F i ，内力 F i ′ 的作用，均在与 O z 轴 相垂直的同一平面内。 ①牛顿第二定律： ur r v F i + Fi ′ = ∆ m i a i 建立自然坐标：切向、法向；
三、转动惯量 J 1.转动惯量的物理意义： 当以相同的力矩分别作用于两个绕定轴转动的不同 刚体时，它们所获得的角加速度一般是不一样的，转 动惯量大的刚体所获得的角加速度小，即角速度改变 得慢，也就是保持原有转动状态的惯性大；反之，转 动惯量小的刚体所获得的角加速度大，即角速度改变 得快，也就是保持原有转动状态的惯性小。因此，转 动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量。 2.与转动惯量有关的因素：①刚体的质量；②转轴的 位置；③刚体的形状。 实质与转动惯量有关的只有前两个因素。形状即质量 分布，与转轴的位置结合决定转轴到每个质元的矢径。
R 3
例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。 B 解：取如图坐标，dm=λdx A
J
A
=
∫
∫
L
0
x 2 λ dx = mL 2 / 3
A
x λ dx = mL
2 2
JC =
L 2 L − 2
L C L/2 L/2
X B X
/ 12
例4. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的 集合为积分元
F i t ri + F i t′ ri = ∆ m i ri 2 α
外力矩 内力矩
③对所有质元的同样的式子求和：
力矩转动定律转动惯量
J mjrj2 m1r12 m2r22 mjrj2
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm dm：质量元 j
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质
量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其
轴的转动惯量也是mR2/2。
4-2 力矩 转动定律
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物第理五版学例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。 (1)转轴通过棒一端并与棒垂直。 （2）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；
解：取如图坐标，dm=dx , =m/L
A L
B
J A r2dm
x
L x2dx mL2 / 3 0
AC L/2
B L/2 x
JC r2dm
L
Jc
2 L
x2dx
mL2
/12
2
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版
四、
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如
果对其质心轴的转动惯量
为 JC ，则对任一与该轴平
行，相距为 d 的转轴的转
动惯量
JO JC md 2
dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
讨论：
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2） 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个
方向）。
4-2 力矩 转动定律
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物理学
❖ 质量连续分布
J mjrj2 r2dm dm：质量元 j
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版 刚体对某一转轴的转动惯量等于每个质元的质
量与这一质元到转轴的距离平方的乘积之总和。
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其
轴的转动惯量也是mR2/2。
4-2 力矩 转动定律
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物第理五版学例2: 求长为L、质量为m的均匀细棒的转动惯量。 (1)转轴通过棒一端并与棒垂直。 （2）转轴通过棒 的中心并与棒垂直；
解：取如图坐标，dm=dx , =m/L
A L
B
J A r2dm
x
L x2dx mL2 / 3 0
AC L/2
B L/2 x
JC r2dm
L
Jc
2 L
x2dx
mL2
/12
2
4-2 力矩 转动定律
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物理学
第五版
四、
平行轴定理
质量为 m 的刚体，如
果对其质心轴的转动惯量
为 JC ，则对任一与该轴平
行，相距为 d 的转轴的转
动惯量
JO JC md 2
dt
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力
矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
讨论：
（1） M 一定，J
α 转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2） 是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个
方向）。
4-2 力矩 转动定律
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物理学
力矩和转动定律
这便是中学所熟知 的结果
Mf = 0
m λ= l dm = λ dr
2
细棒转轴通过棒的一端 与棒垂直
dI = r λ dr 1 2 I = ∫ dI = ∫ r λ dr = ml 0 3
l 2
细棒转轴通过中心
m λ= l dm = λ dr dI = r λ dr
2
I = ∫ dI = ∫
2 l 2
m σ= 2 πR dm=2πrσdr dI =r 2πrσdr =2πr σdr
2 3
1 4 m 2 I = ∫dI = ∫ 2πr σdr = πσR = R 0 2 2
R 3
如下图所示,有一质量均匀分布的细圆环,半径为 ,质量为m, 如下图所示,有一质量均匀分布的细圆环,半径为r,质量为 , 求圆环对过圆心并与环面垂直的转轴的转动惯量
A uu r F1
uu r F2 Br uu P2
uu r F2
F1 =
m1 m 2 (1 + sin θ + cos θ ) + ( sin θ + cos θ ) m1 g j r2 m1 m 2 (1 + sin θ + cos θ ) + m 2 g j m1 + m 2 + j r2
r M
M = rF sin θ = Fd
o
r r
r M
θ
r F
r 应理解为在垂直于转轴的平面内. F 应理解为在垂直于转轴的平面内. r o 若不在,则将 若不在 则将 F 分解为平行
于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量 只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩. 的分量才对转轴有力矩
Mf = 0
m λ= l dm = λ dr
2
细棒转轴通过棒的一端 与棒垂直
dI = r λ dr 1 2 I = ∫ dI = ∫ r λ dr = ml 0 3
l 2
细棒转轴通过中心
m λ= l dm = λ dr dI = r λ dr
2
I = ∫ dI = ∫
2 l 2
m σ= 2 πR dm=2πrσdr dI =r 2πrσdr =2πr σdr
2 3
1 4 m 2 I = ∫dI = ∫ 2πr σdr = πσR = R 0 2 2
R 3
如下图所示,有一质量均匀分布的细圆环,半径为 ,质量为m, 如下图所示,有一质量均匀分布的细圆环,半径为r,质量为 , 求圆环对过圆心并与环面垂直的转轴的转动惯量
A uu r F1
uu r F2 Br uu P2
uu r F2
F1 =
m1 m 2 (1 + sin θ + cos θ ) + ( sin θ + cos θ ) m1 g j r2 m1 m 2 (1 + sin θ + cos θ ) + m 2 g j m1 + m 2 + j r2
r M
M = rF sin θ = Fd
o
r r
r M
θ
r F
r 应理解为在垂直于转轴的平面内. F 应理解为在垂直于转轴的平面内. r o 若不在,则将 若不在 则将 F 分解为平行
于转轴的分量和垂直于转轴 的分量.只有垂直于转轴的力 的分量 只有垂直于转轴的力 的分量才对转轴有力矩. 的分量才对转轴有力矩
大学物理—刚体的动轴转动
25
麦克斯韦分布
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
设圆盘经过时间t停止转动，则有
t 0 2 1 g dt R d 0 0 3 2
1
麦克斯韦分布
所以刚体内任何一个质点的运动，都可代表整个 刚体的运动。 刚体运动时，如果刚体的各个质点在运动中 都绕同一直线圆周运动，这种运动就叫做转动， 这一直线就叫做转轴。 3. 刚体的定轴转动 定轴转动： 刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。 特点： (1) 角位移，角速度和角加速度均相同；
F
（3） F1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
r
F2
（4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
2. 刚体定轴转动定律 对刚体中任一质量元mi
O’
f i -内力
-外力
ω
Fi
ri
mi
fi
i i
Fi
应用牛顿第二定律，可得： O
Lz Li cos mi Ri v i cos mi ri v i
m r
2 i i
10
式中 mi ri2 叫做刚体对 Oz 轴的转动惯量， 用J表示。
麦克斯韦分布
刚体转动惯量：
J mi ri2
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
麦克斯韦分布
a m2 m1 g M / r 1 r m2 m1 m r 2 当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令 m=0 、 M=0 时，有
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
转动惯量计算公式
1. 圆柱体转动惯量(齿轮、联轴节、丝杠、轴的转动惯量)82MD J =对于钢材：341032-⨯⨯=gLrD J π)(1078.0264s cm kgf L D ⋅⋅⨯-M-圆柱体质量(kg)； D-圆柱体直径(cm)； L-圆柱体长度或厚度(cm)； r-材料比重(gf /cm 3)。
2. 丝杠折算到马达轴上的转动惯量：2i Js J = (kgf·cm·s 2)J s –丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； i-降速比，12z z i =3. 工作台折算到丝杠上的转动惯量g w22⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=n v J π g w2s 2⎪⎭⎫⎝⎛=π (kgf·cm·s 2) v -工作台移动速度(cm/min)； n-丝杠转速(r/min)； w-工作台重量(kgf)；g-重力加速度，g = 980cm/s 2； s-丝杠螺距(cm)2. 丝杠传动时传动系统折算到驱轴上的总转动惯量：())s cm (kgf 2g w 122221⋅⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=πs J J iJ J S tJ 1-齿轮z 1及其轴的转动惯量； J 2-齿轮z 2的转动惯量(kgf·cm·s 2)； J s -丝杠转动惯量(kgf·cm·s 2)； s-丝杠螺距，(cm)； w-工件及工作台重量(kfg).5. 齿轮齿条传动时折算到小齿轮轴上的转动惯量2gw R J =(kgf·cm·s 2)R-齿轮分度圆半径(cm); w-工件及工作台重量(kgf)6. 齿轮齿条传动时传动系统折算到马达轴上的总转动惯量⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=2221g w 1R J i J J tJ 1，J 2-分别为Ⅰ轴，Ⅱ轴上齿轮的转动惯量(kgf·cm·s 2)；R-齿轮z 分度圆半径(cm)； w-工件及工作台重量(kgf)。
大学物理第一册力学各章节总结
单质点
p I
d ( mv ) d p Fd t d I mv 2 mv 1 Fd t
t1 t2
(微分)
动量定理
x轴方向分量mv2 x mv1 x
质点系
d( mi v i ) Ft dt
(积分) t2 Fx d t
t1
m v m v
i i i
大小
P mi v i
i
L rp sin mrv sin
质点系
L rc mv c (ri mi vi )
L O L 轨道 L自旋
刚体定轴转动 Lz （所有质点角动量之和） 单位(SI):
2
J z
kg m / s或 J s
注意：说明质点的动量矩时必须说 明是对哪个轴的
i
i
i0
单质点
Mdt d L
i
i
Fi dt
t i t0
角动 量定 理
质点系
M 外 dt d L
t2
t2
t1
M d t L 2 L1
刚体
t1
M 外 d t d L L 2 L1 L
L1
L2
M z dt d L Jd d ( J )
2
v2 法向加速度 an wv w r r
西安建筑科技大学电子信息科学与技术08级 孙 伟
ⅴ刚体的运动
刚体：特殊的质点系，形状和体积不变化（理 想化模型）
即在力的作用下组成物体的所有质点间的距离始终保持不变。
刚 刚体的平动：可归结为质点的运动 体 刚体内的任何点都绕同一轴作圆周运 的 动各点的速度和加速度都相等 运 刚体的 动 定轴转 角坐标 f (t ) 0 t d 动 角 2 f (t ) 0 0 t 1 t 角速度 2 dt 量 2 2 角加速度
大学物理力学部分归纳总结
运动学部分解题指导
1、已知运动方程，求速度，加速度，用微分法。
两 大 类
? v
?
? dr
,
? a
?
? dv
dt
dt
型 2、已知加速度和初始条件，求速度、位移、路
程和运动方程（或已知速度和初始条件，求位移、
路程和运动方程），用积分法。
? ? t?
? v ? v0 ?
a ?dt
t0
? ? t?
? r ? r0 ?
3、功率
P
?
dW
?
? F
?dr?
?
? F
?v?
?
Fv cos?
dt dt
6
4、保守力作功与势能概念： dW ? ? dEp
? WA?
B
?
B
? f
?dr?
?
Ep ( A) ?
EP (B)
?
?[Ep (B) ?
Ep ( A)]
A
万有引力势能
重力势能
? E p
?
? r
?
G
mM r2
dr
?
?G
mM r
0
? Ep ? (? mg)dz ? mgz
? (3)判断过程中对某点（或某轴）合外力矩是否为零，或者 角动量守恒条件是否成立。
? (4)若守恒条件成立，确定正方向，列方程，求解
? 分解综合法：对于较为复杂问题，不是只用一个定理、定律
就能解决，要将整个过程分解成几个子过程，对每一子过程
应用上述方法。
18
典型习题分析
? 例题(1) 如图所示，木块 A的质量为 1.0kg ，木块B的
9、功率
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1 1 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 2
第4章 刚体的定轴转动
13
大学物 理学
第二版
J J c md
2
圆盘对P 轴的转动惯量
P
R
O
m
1 2 2 J P mR mR 2
第4章 刚体的定轴转动
14
大学物 理学
第二版
说明 刚体的转动惯量与以下三个因素有关： （1）与刚体的质量有关； （2）与刚体的质量分布有关；
质量线分布 质量面分布 质量体分布
9
第4章 刚体的定轴转动
大学物 理学
第二版
例1 求长为L质量为m 的均匀细棒对图 中不同轴的转动惯量。 解: 取如图坐标，dm = dx
A dm L
B
x
J A x dx mL / 3
2 2 0
第4章 刚体的定轴转动
10
L
大学物 理学
第二版
JC
3g sin L
3g L
细棒转动到竖直位置时 0
细棒处于水平位置时
3g 2L
0
第4章 刚体的定轴转动
32
大学物 理学
第二版
动力学中第二类问题：在变力矩作用下， 建转动定律方程，得到一微分方程。
第4章 刚体的定轴转动
33
大学物 理学
第二版
例2 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘 面的轴以角速率 ω 作匀速转动．放上唱片 后，唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转 动．设唱片的半径为R，质量为m，它与转 盘间的摩擦系数为 ，求：(1)唱片与转盘 间的摩擦力矩； (2)唱片达到角速度 ω时需 要多长时间；(3)在这段时间内，转盘转了 多少圈？
第4章 刚体的定轴转动
34
大学物 理学
第二版
解 (1) 如图取面 积元ds = drdl，该面元 所受的摩擦力为
df
df
mg
πR
2
drdl
R
o
r
dl dr
此力对点o的力矩为
rdf
mg
πR
2
rdrdl
35
第4章 刚体的定轴转动
大学物 理学
第二版
于是，在宽为dr的 圆环上，唱片所受的摩 擦力矩为
d （ 2） M J J dt (3) 转动中M J 与平动中F ma
地位相同．
（4）M 0， ω=常量 (5) 为瞬时关系．
第4章 刚体的定轴转动
7
大学物 理学
第二版
三
转动惯量
1、物理意义：转动惯量是量度刚体转动 惯性大小的物理量 转动惯量的单位：kg· m2 2、 转动惯量的计算方法
(mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
第4章 刚体的定轴转动
26
大学物 理学
第二版
如令 mC 0 ，可得
mA mB g FT1 FT2 mA mB
mA mB g FT1 mA mB mC 2 (mA mC 2)mB g FT2 mA mB mC 2
RFT2 RFT1 J a R
FN mA FT1 O x PA
FT1
PC
FC
FT2
FT2
mB PB y
25
O
第4章 刚体的定轴转动
大学物 理学
第二版
解得：
mB g a mA mB mC 2 mA mB g FT1 mA mB mC 2
Fji
ij
O
M ji
d
iF ri
Mij M ji
第4章 刚体的定轴转动
3
大学物 理学
第二版
二
转动定律
把刚体看成由无数 质点构成的质点系
z
O
fi M i
Fi
i
Fi fi mi ai
沿自然坐标系切向分解
ri
mi
Fi sin i fi sin i mi a mi ri 2 (Fr i i sin i ) ( fi r i sin i ) (mi r i )
mg
T1
r
T2
a r 2
(5)
T1
R
第4章 刚体的定轴转动
21
大学物 理学
第二版
联立求解得：
1 ( M1 M 2 ) m 2 1 T1 M 1a 48 N 2 T2 m( g a) 58 N
a
mg
4 m s 2
v 2ah 2 m s
1
第4章 刚体的定轴转动
（3）与转轴的位置有关．
第4章 刚体的定轴转动
15
大学物 理学
第二版
四、转动定律的应用
例1 试求阿特武德机两 侧悬挂的质量为m1、m2 的重物的加速度、滑轮 角加速度及绳中的张力, 如图。 已知均质滑轮半 径为R，质量为M, 假设 绳为不可伸缩的轻绳,绳 与滑轮间无滑动,且滑轮 轴处的摩擦不计。
第4章 刚体的定轴转动
第4章 刚体的定轴转动
23
大学物 理学
第二版
解 (1) 用隔离法分 别对各物体作受力分析， 取如图所示坐标系．
A
FT1
PC
FC
mA
FN F T1 mA O x PA
C
FT2
mC
FT2
mB PB y
24
O
mB B
第4章 刚体的定轴转动
大学物 理学
第二版
FT1 mA a mB g FT2 mBa
d
C
m
O
J O J C md
2
第4章 刚体的定轴转动
12
大学物 理学
第二版
求如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴 的转动惯量？(棒长为L、圆盘半径为R）
J L1
1 2 J o mo R 2
1 2 mL L (棒对边缘轴) 3
(圆盘对中心轴)
2
J L 2 J 0 m0 d
(圆盘对棒边缘轴)
第4章 刚体的定轴转动
30
大学物 理学
第二版
d d d d 由 dt d dt d d 3 g cos d 2L
得
0
d
0
3 g cos d 2L
3g sin L
第4章 刚体的定轴转动
31
大学物 理学
第二版
讨论
3g cos 2L
（2） B由静止出发作匀加速直线运动， 下落的速率
2mB gy v 2ay mA mB mC / 2
第4章 刚体的定轴转动
27
大学物 理学
第二版
动力学中第一类问题：在恒力、恒力矩 作用下，建牛顿第二定律、转动定律方 程。 具体步骤： （1）隔离物体受力分析 （2）选择正方向 （3）平动建牛顿方程，定轴转动建转动 定律方程 （4）建关联方程 （5）联立求解
大学物 理学
第二版
2-7
刚体的定轴转动定律
F
一、力矩
用来描述力对刚体 的转动作用．
M Fr sin Fd d : 力臂 F 对转轴 z 的力矩 M r F 单位：N.m
z
M
r
O
d
*
P
F F Fi 0, M i 0 i i
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M [ (mi ri )]
2 i
J
i
刚体对给定转 (mi ri ) 轴的转动惯量
2
M J
转动定律
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
第4章 刚体的定轴转动
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转动定律 M J 讨论 (1)
M J , 与 M 方向相同．
第4章 刚体的定轴转动
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例2 质量为M1 = 24kg的鼓形轮，可绕水平 光滑固定轴转动，一轻绳缠绕于轮上，另一 端通过质量为M2 =5kg 的圆盘形定滑轮悬有 m=10kg的物体。求当重物由静止开始下降 了h=0.5m时,（1）物体的速度；（2）绳中 的张力。 假设绳为不可伸缩的轻绳,绳与滑 轮间无滑动,且滑轮轴处的摩擦不计。
i i i
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M ( Fi ri sin i )
i
合外力矩
任取 m j
mk
f jk 和 fkj 是一对作用力和反作用力 f jk fkj
M jk M kj 0
i
( fi ri sin i ) 0
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例4 一根长L、质量为m的均匀细直棒，其 一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖 直平面内转动，最初棒静止在水平位置。求 它由此下摆 角时的角加速度和角速度。 解 在棒上距转轴o为
l 处取线元 dl
该线元的质量为 m dl
L
对转轴所产生的重力矩为
J mi ri
i
2
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质量离散分布
J mi ri m r m r
2 2 11 2 2 2
2 2
质量连续分布
J mi ri r dm
i
dm：质量元