大学物理-力矩、转动定律、转动惯量

gh
yLdy
1 2
p0 Lh 2
1 6
gLh2
h
y
o
L
dA
x
dy
y
Q
dy
x
二、转动定律
质点的动力学问题 刚体的动力学问题
F ma
M
设刚体有n个质点组成，
先取任一质点i来研究
mi ri
外力：Fi 内力：Fi
由牛 顿第二定律得： Fi Fi miai
切线方向：Fit Fit miait
X
dV r2dZ (R2 Z 2 )dZ
其质量：dm dV (R2 Z 2 )dZ
其转动惯量：dJ 1 r 2dm 1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
2
dJ 1 r 2dm 2
1 (R2 Z 2 )2 dZ
2
Z r dZ
O
R
Y
J dJ
X
R 1 (R2 Z 2 )2 dZ
比较
牛顿第二定律 F m a
转动定律
M J
三、转动惯量 J miri2 (4 9)
对质量连续分布的刚体 J r 2dm (4 11)
转动惯量的单位：kg m2
影响转动惯量得因素
注意：
（1）、刚体的质量（材料） （2）、刚体质量的分布
质点也有转动惯量
J mr2
（3）、转轴的位置
对质量不连续分布的刚体 J m 2
R 2
8 R5 2 mR2
m 4 R3
3
15
5
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z x
解：方法二 在球上取一体积元
dV
dV dxdydz
O r
在球坐标下
Y dV r2 sin drdd
X
其质量：
dm dV r2 sin drdd
其转动惯量：
J x2dm x2r2 sin drdd V
动惯量Jc有如下关系：
J A JC md
2
m 为刚体A与轴C之间的垂直距离
JA JC
平行轴定理举例：
如，在例2中，已知通过 棒中心并与棒垂直的轴 的转动惯量为：
J ml2 /12
则通过细棒端点并与棒垂直的轴的转动惯量为：
Fi
Fi
ri
mi
所以 Fitri miri2
Fitri miri2 令 M Fitri
则 M miri2 定义转动惯量 J miri2 (4 9)
所以 M J (4 10)
转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加 速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的
转动惯量成反比。 M J
1/ 2 l
12
2、如图4-16b
J r 2dm l x2 m dx 1 ml2
m
0l
3
A
B
O x dx X
图4-16a
A
B
O x dx
图4-16b
例3：一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中
心O并与盘垂直的轴的转动惯量。
dr
解： 在圆盘上取一圆环
R
圆环的面积 ds 2rdr
r
o
设圆盘的面密度为
d: 力臂, r: 径矢
Z
F
d
O
r
力矩的单位：牛·米（N·m）
力矩的矢量形式
M rF
大小 M Fr sin
Z
F
Md
方向：满足右手螺旋关系 O
r
把右手拇指伸直，其余四指弯曲，弯曲的方向是由径
矢r 通过小于180度的角 转向F的方向，拇指所指的
方向就是力矩的方向。
定轴转动的力矩方向也可以通过先规定转动的正方 向，再按力矩的正负确定力矩的方向。
dm
则圆环的质量 dm 2rdr
转动惯量 J r 2dm
z
2 R r3dr R4
0
2
m R2 J mR2 / 2
例3）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
Zr
d Z 心Z高处切一厚为dz的薄圆 盘。其半径为
O
R
Y r R2 Z2
其体积：
J x2dm x2r2 sin drdd V
Z
x r sin
x
dV
J r4 sin 3drdd V
O r
Y R r4dr sin 3 d
0
0
X
J 2m R2 5
2
0 d
1 5
R5
4 3
2
8 R5
15
平行轴定理：刚体对任一轴A的转动惯量JA和
通过质心并与A轴平行的转
I 回旋半径
m
例2 质量为m，长为l的均匀细 棒AB。1、转轴通过中心O并 与棒垂直，求细棒对转轴的转 动惯量；2、转轴通过端点A并 与细棒垂直，求细棒对转轴的 转动惯量。
解：1、如图4-16a dm
细棒对转轴的转动惯量
m
dx l
J r 2dm 1/2 x2 m dx 1 ml2
m
§4-2 力矩 转动定律 转动惯量 (moment , the Law of turn, moment of inertia)
质点的运动状态由外力的大小和方向可以完全确定.
而刚体的运动状态由外力的大小、方向和力的作用 点共同影响。我们用一个物理量：力矩来描述。
一、力矩
力矩的大小=力与力臂 的乘积
M Fd Fr sin
3)F 0, r 0
力的方向沿矢径的方向(sin 0)
有心力的力矩为零
F
例1：有一大型水坝高110m，长1000m，水深100m，
水面与大坝表面垂直，如图4-14，求水作用在大坝上
的力，以及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的
轴的力矩。P116
y
解： 设坝长为 L ，水深为h
x
在坝面上取一面积元 dA
则此面积元上受到的力为：
dF pdA
yo Q
p0 gh yLdy
L
作用在大坝上的合力为：
F
h
0 p0
gh
h
yLdy
y
o
dA
dy
x
F
h
0
p0
gh
yLdy
F
p0 Lh
1 2
gLh2
y
5.911010 N
dF 对基点Q的力矩：
dF
dM ydF
yp0 gh yLdy y o
M
h
0
y p0
例：求刚体受到的合力矩 设逆时针转动为正 合力矩大小：
M F1r1 sin 1 F2r2 sin 2 F3r3 sin 3
z
F2
3
r3
r2
o
r1
2 1
F3
F1
M 0,合力矩的方向沿oz轴正方向
M 0,合力矩的方向沿oz轴负方向
内力矩的合力矩为零
M Fr sin
有三种情况，使得M 0 1)F 0 2)F 0, r 0
Fi
Fi
O ri
mi
切线方向： Fit Fit miait 又 ait r
所以 Fit Fit miri 得 Fitri Fitri miri2
r 两边同乘以 i
对整个刚体，有
Fitri Fitri miri2
对整个刚体，内力对转轴 的合力矩为0，即
O
Fitri 0