新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略 专题三 三角函数、解三角形与平面向量 第

第1讲 三角函数的图象与性质1．(2016·四川)为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向左平行移动π6个单位长度D ．向右平行移动π6个单位长度答案 D解析 由题意可知，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，则只需把y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位，故选D. 2．(2016·课标全国甲)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 答案 B解析 由题意将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后得到函数的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，得函数的对称轴为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，故选B. 3．(2016·课标全国乙)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5 答案 B解析 因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT ，即π2＝4k ＋14T ＝4k ＋14·2πω，所以ω＝4k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，由此得ω的最大值为9，故选B. 4．(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y ＝sin 2x 的图象与y ＝cos x 的图象的交点个数是________． 答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y ＝sin 2x 和y ＝cos x 的简图如下：由图象可得两图象有7个交点．1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.3．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A ．(－12，32)B ．(－32，－12)C ．(－12，－32)D ．(－32，12) (2)(2015·四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． 答案 (1)A (2)－1解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )， 则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32.∴Q 点的坐标为(－12，32)．(2)∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2，又∵2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1，∴原式＝－－1－2＋1＝－1. 思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．跟踪演练1 (1)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4(2)如图，以Ox 为始边作角α (0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α＝________.答案 (1)D (2)1825解析 (1)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π4.(2)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αα＋cosαsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝1825.热点二 三角函数的图象及应用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换：y ＝sin x―――――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)10sin()y x ωωωϕ>−−−−−−−−→横坐标变为原来的()倍纵坐标不变＝＋ ―――――――――――→纵坐标变为原来的A A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 例2 (1)(2015·山东)要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位(2)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则f (π3)的值为________．答案 (1)B (2)1解析 (1)∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位． (2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点(π6，2)，所以有sin(2×π6＋φ)＝1，而0<φ<π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin(2x ＋π6)，因此f (π3)＝2sin(2π3＋π6)＝1.思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度(2)(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知，函数f (x )的周期T ＝π， 所以ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，g (x )＝cos 2x .把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin[2(x ＋π12)＋π3]，所以只要将f (x )的图象向左平移π12个单位长度，即可得到g (x )＝cos 2x 的图象．故选A.(2)由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.热点三 三角函数的性质1．三角函数的单调区间：y ＝sin x 的单调递增区间是[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )； y ＝cos x 的单调递增区间是[2k π－π，2k π](k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的递增区间是(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )．2．y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．例3 (2015·重庆)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性．解 (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减． 思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．跟踪演练3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈[0，π6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π4)＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )时，f (x )单调递增．所以[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．(2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin(2x ＋π4)＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )， 故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .1．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(x ∈R ，ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2.为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( ) A ．向左平移3π20个单位长度B ．向右平移3π20个单位长度C ．向左平移π5个单位长度D ．向右平移π5个单位长度押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错． 答案 A解析 先求出周期确定ω，求出两个函数解析式，然后结合平移法则求解． 由于函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则其最小正周期T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π5，g (x )＝cos 2x . 把g (x )＝cos 2x 变形得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝sin[2(x ＋3π20)＋π5]，所以要得到函数g (x )的图象，只要将f (x )的图象向左平移3π20个单位长度．故选A.2．如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足P (2,0)，∠PQR ＝π4，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )A.833 B.1633 C ．8 D ．16押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A ，考查了数形结合思想． 答案 B解析 由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)． 则M (a 2，－a2)，由两点间距离公式得，PM ＝－a22＋a22＝25，解得a 1＝8，a 2＝－4(舍去)，由此得，T2＝8－2＝6，即T＝12，故ω＝π6，由P (2,0)得φ＝－π3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，f (x )＝A sin(π6x －π3)，从而f (0)＝A sin(－π3)＝－8，得A ＝1633.3．已知函数f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx － 3 (a >0，ω>0)的最大值为2，x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R |f (x )＝0}中的任意两个元素，且|x 1－x 2|的最小值为6.(1)求函数f (x )的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2]时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域．押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式．第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式．解 (1)f (x )＝2a sin ωx ·cos ωx ＋23cos 2ωx －3＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx . 由题意知f (x )的最小正周期为12， 则2π2ω＝12，得ω＝π12. 由f (x )的最大值为2，得a 2＋3＝2， 又a >0，所以a ＝1. 于是所求函数的解析式为f (x )＝sin π6x ＋3cos π6x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3，令π6x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )， 解得x ＝1＋6k (k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1＋6k (k ∈Z )． (2)由题意可得g (x )＝2sin[π6(x －2)＋π3]＝2sin π6x ，所以h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.当x ∈(－1,2]时，π3x －π6∈(－π2，π2]，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1]，即1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3]，于是函数h (x )的值域为(－1,3]．A 组 专题通关1．若0≤sin α≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π＋2k π，－7π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4＋2k π，－π＋2k π(k ∈Z )C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )答案 A解析根据题意并结合正弦线可知，α满足⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π，2k π＋π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋π(k ∈Z )，∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π，－7π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π4，－π.故选A.2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象对应的函数为( ) A ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2π3 答案 C解析 函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π3的图象向左平移π3个单位长度后所得图象的解析式为y ＝cos[3(x ＋π3)－π3]＝cos(3x ＋2π3)，故选C.3．已知tan α＝3，则π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值为( ) A ．－13B ．－3C.13 D ．3答案 A 解析π－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－13. 4．已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α等于( ) A ．－32B.32C ．－12D.12答案 D解析 由条件，得抛物线的准线方程为y ＝1，因为点A (－3，a )在抛物线y ＝－14x 2的准线上，所以a ＝1，所以点A (－3，1)，所以sin α＝13＋1＝12. 5.函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值为( )A ．0B ．3 2C ．6 2D ．－ 2答案 A解析 由图可得，A ＝2，T ＝8，2πω＝8，ω＝π4，∴f (x )＝2sin π4x ，∴f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝2，f (4)＝0，f (5)＝－2，f (6)＝－2，f (7)＝－2，f (8)＝0，而2 015＝8×251＋7，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝0.6．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为________．答案 2＋ 3 解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π6，因此当πx 6－π3＝π2时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最大值，即y max ＝2×1＝2.当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin(πx 6－π3)取得最小值， 即y min ＝2sin(－π3)＝－3，因此y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3.7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．答案 [－32，3]解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－32，3]．8．已知α是三角形的内角，若sin α＋cos α＝15，则tan α＝________.答案 －43解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin α＋cos α＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43.方法二 由已知得(sin α＋cos α)2＝125，化简得2sin αcos α＝－2425，则可知角α是第二象限角，且(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝4925，由于sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝75，将该式与sin α＋cos α＝15联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.所以tan α＝sin αcos α＝－43.9．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.(1)若f (α)＝35，其中π4<α<3π4，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值；(2)设g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值和最小值．解 (1)因为f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，且0<α－π4<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. (2)g (x )＝f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝12cos 2x .x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.则当x ＝0时，g (x )的最大值为12；当x ＝π3时，g (x )的最小值为－14.10．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z . B 组 能力提高11．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]答案 D解析 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin[2(x ＋π6)＋π6]＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x .画出g (x )的部分图象，如图所示．由图可知，函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，A 错误；其图象的一个对称中心为(－π4，0)，B 错误；函数g (x )为偶函数，C 错误；又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＝1，g ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＝－1，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π2＝－2， 所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是[－2,1]，D 正确．故选D.12．(2015·课标全国Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 答案 D解析 由图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π. 由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .故选D.13．函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的部分图象如图所示，点A ，B 是最高点，点C 是最低点，若△ABC 是直角三角形，则f (12)＝________.答案22解析 由已知得△ABC 是等腰直角三角形，且∠ACB ＝90°，所以12|AB |＝f (x )max －f (x )min ＝1－(－1)＝2，即|AB |＝4，而T ＝|AB |＝2πω＝4，解得ω＝π2.所以f (x )＝sin πx 2，所以f (12)＝sin π4＝22.14．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋π4)(A >0，ω>0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g (17π4)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈[a ，π3)时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2，所以ω＝1.又A ＝2g (17π4)＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin(x ＋π4)．令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为[2k π－3π4，2k π＋π4](k ∈Z )．(2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4×sin 2(x ＋π4)＋23cos 2x ＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋23sin(2x ＋π6)，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin(2x ＋π6)＝3，即sin(2x ＋π6)＝－12.因为x ∈[a ，π3)，所以2x ＋π6∈[2a ＋π6，5π6)，π6＝－π6，即a＝－π6.所以2a＋。