8.2 方法专题 解含参数的二元一次方程组
(完整版)含有参数的二元一次方程组
的解相同，求 m 、n 的值。
2、已知二元一次方程组
4x y 5 mx ny 3 的解和
3x 2y 1 mx ny 1
的解相同，求 m 、n 的值。
二、解的性质
例2：已知关于 x 、 y 二元一次方程组
4x 3y 7 kx (k 1) y
3
的解
x
、
y
的值相互等为。相反数
求 k 的值。
鄢岗镇初级中学 袁广勇
一、同解问题：
例1：已知关于 x 、y 二元一次方程组
解也是二元一次方程
x+y=3 的解 ，求 a 的值。
技巧提炼1：用两个不含参数的二元一 次方程重组，求解得参数。
1、已知二元一次方程组
4x y 5 3x 2 y 1 的解和
mx ny 3 mx ny 1
6．由于粗心，在解方程组■ 7x－x－42y＝y＝△5，时，小明把系数■
抄错了，得到的解是yx＝＝－－11330，；小亮把常数△抄错了，得 到的解是xy＝＝－－196，. 请找出错误，并写出■和△的原来数 字，求出正确的解．
7．甲乙两人同时解关于 x，y 的方程组caxx－＋3byy＝＝－8，2，甲正 确解得xy＝＝－1，1；乙因为抄错 c 的值，解得xy＝＝－2，6，求 a， b，c 的值．
① ②甲
看错了 b，求得的解为yx＝＝－1，1；乙看错了 a，求得的解为
yx＝＝3－. 1，你能求出原题中 a，b 的值吗？
技巧提炼4：将解代入没看错的方程即可。
5．甲、乙两人共同解关于 x，y 的方程组a4xx＋ －5byy＝ ＝－15，2，① ②由 于甲看错了方程①中的 a，得到方程组的解为xy＝＝－－130，； 乙看错了方程②中的 b，得到方程组的解为xy＝＝45.，试计算 a2016＋(－b)2015 的值．
数学人教版七年级下册含参数的二元一次方程组的解法
其中 x－y=13，求 k 的值.
（2）解方程组
｛
ax+by=2 cx-7y=8 时，
培养学生 运用知识，进 行发散思维。
作业 本应解出
｛
x=3 y=-2，由于看错系数 c，从而解得
｛
x=-2 y=2
，
试求 a+b+c 的值。
含参数的二元一次方程组的解法
板书 设计 例题分析 学生练习
突破方法小组合作讨论法教具课件教学过程教学内容学生活动设计意图学生自主学习新课导入学习了二元一次方程组的解法后同学们会遇到一些题目其中有些是含有参数的方程组这是本章的一个难点
含参数的二元一次方程组的解法
课 教 题 师 知识 与 技能 教 学 目 标 过程 和 方法 情感 态度 价值 观 柯明 含参数的二元一次方程组的解法 学校 库车三中 课型 课时 新授课 1 课时
学会解含参数的二元一次方程组的。
采取“自主学习——小组合作探索——教师精讲——当堂练习”的教学模式，培 养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，使学生体会从生活中发现数学和应 用数学解决生活中问题的过程。 让学生感受到数学学习的乐趣和数学知识的应用价值； 品尝成功的喜悦， 激发 学生应用数学的热情。
。
通过本题与联系给学生讲清楚共解问题如何去分 析。当多个方程有共解时，只需找出不含参数的方程重 新组合成新的能解出的方程组，求出未知数的值，再带 入其他的方程，求出参数的值。
小结 体会
通过本节课的学习你有什么收获?
学生归纳 小结，培养学 生总结表达的 能力。
（1）关于 x、y 的方程组
｛
x+2y=4k 2x+y=2k+1
学生 先思考， 在 独立思考 的基础上 互相交流 方法。 学生主动 探索，合作交 流，达到互相 帮助互相学习 的目的。
如何求解含参数的二元一次方程组
如何求解含参数的二元一次方程组二元一次方程组是指一个含有两个变量并且每个变量的最高次数都是一的方程组，比如下面的例子：$$ \begin{cases} 2x + 3y = 10\\ x - y = 2\end{cases} $$这个方程组可以表示成矩阵的形式：$$ \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix} $$这个方程组的解可以通过求解上述矩阵方程来得到。
但是，有时候这个方程组中的系数不是固定的数值，而是含有一些参数，比如：$$ \begin{cases} (a + 1)x + (2a - 3)y = 2a +8\\ (2a + 3)x + (3a - 4)y = 2a - 4 \end{cases} $$这个方程组中有一个参数 $a$，我们称其为含参数的方程组。
在这种情况下，我们不能直接把方程组转换为矩阵方程然后求解，因为这个矩阵的元素都已经包含了一个未知的参数 $a$，我们无法对其进行逆矩阵运算。
那么，如何求解这种含参数的方程组呢？一、消元法消元法是解方程组的一种基本方法，也适用于含参数的方程组。
消元的过程和普通的方程组一样，只不过在每一步中需要注意含参数的情况。
首先，我们考虑将第一个方程的系数全部变成常数，也就是消去 $x$ 的系数。
为了消去这个系数，我们需要用第二个方程的系数来乘以一个常数加到第一个方程上面。
具体来说，我们需要让第二个方程的 $x$ 系数乘以$a+1$，然后加到第一个方程上面：$$ \begin{cases} (a + 1)x + (2a - 3)y = 2a +8\\ ((2a + 3)(a + 1) + (2a - 3)(-1)) y = (2a - 4)(a + 1) \end{cases} $$化简后得到：$$ \begin{cases} (a + 1)x + (2a - 3)y = 2a +8\\ (4a^2 - a - 5)y = 2a^2 - 2 \end{cases} $$现在，我们再来消去 $y$ 的系数。
含参数的二元一次方程组的解法攻略
含参数的二元一次方程组的解法攻略教学目标：①会解含参数的二元一次方程组②能利用换元法解决一些复杂的二元一次方程。
教学重点：含参数的二元一次方程组的解法教学难点：换元法教学过程：一．基础练习引入课本中的联系，复习二元一次方程组的两种解法。
二．例题讲解例1：已知方程组 32342-=-+=-x y m y x 解x 、y 互为相反数，求m 的值。
思路分析：方程组是含参数m 的方程组。
如果把m 理解成未知数，那么相当于方程组中含有三个未知数，那基本思路是消元，有两种种方法：消x ，消y 。
如果观察方程组中两条式子，可以发现两条式子一加，就可会出现y x +。
如果把方程组中的m 理解成是常数，可以先求出含参数的解x 、y ，最后再寻找x 与y 之间的关系。
解法一：消x解法二：消y解法三：观察法（此题中可直接用两式子相加）解法四：组合法（x 与y 互为相反数⇒y x +=0，再将y x +=0与32-=-x y 组成方程组求解） 解法五：直接求解法。
（用含m 的代数式表示x 与y ，再利用“x 与y 互为相反数⇒y x +=0”，求出m ） 练习配备：①已知方程组 32342-=-+=-x y m y mx 解x 、y 互为相反数，求m 的值。
思路分析：选用哪种解法最简便？解法四：组合法。
②若关于x 、y 的二元一次方程组 k y x ky x 95=-=+的解也是二元一次方程632=+y x 的解，求k 的值。
思路分析：此题中方程具有的特点，选用解法五：直接求解法，会比较简单。
小结：对于不同类型的含参数方程，根据方程特点，选择最优解法。
三．例题拓展例2：解关于x 、y 的方程 872=-=+y cx by ax 时，学生把c 看错而解得⎩⎨⎧=-=22y x ，而正确的解是⎩⎨⎧==23y x ，求a 、b 、c 的值。
思路分析：看错c 解得⎩⎨⎧=-=22y x ，则⎩⎨⎧=-=22y x 是第一条方程的解；正确解是⎩⎨⎧==23y x ，说明⎩⎨⎧==23y x 也满足第一条方程。
人教版含参数的二元一次方程组的解法
例2：
｛ 关于x、y的方程组
4x+y=5 3x-2y=1
的解和
｛ mx+ny=3 mx-ny=1
的解相同，求m、n.
变式：
｛ 3x-5y=16 nx+my=-8
｛ 2x+5y=-6 mx-ny=-4
例3：
｛ 甲、乙两人同时解方程组
mx+ny=1 mx-ny=5
x+2y=3
其中x+by=2 cx-7y=8 时，
｛ 本应解出 x=3 y=-2
，由于看错了系数c，从而
｛ 得到解
x=-2 y=2
，试求a+b+c.
专题训练
含参数的二元一次方程组的解 法
参数：在方程中除了未知数以外的其他字母
新课导入
｛ 关于x、y的方程组
x=m y=3m+2
其中x+y=10，求m的值.
例1：
｛ 关于x、y的方程组
2x+3y=3m x+2y=3
其中x+y=2，求m的值.
练习：
｛ x+2y=k
关于x、y的方程组 3x+5y=k-1
由于
｛x=3
甲看错了方程①中的m，得到的解是， y=2
｛x=2
乙看错了方程②的n，得到的解是 y=1 ，
试求正确m、n的值。
小结：通过本节课你有什么收获？
作业：
｛ 1 关于x、y的方程组
x+2y=4k 2x+y=2k+1
其中x－y=13，求k的值.
｛ 2 关于x、y的方组
2mx－y=4m +3
解二元一次方程组及二元一次方程组应用题的方法
解二元一次方程组及二元一次方程组应用题的方法一、代入消元法解二元一次方程组：1、基本思路：未知数由多变少。
2、消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。
3、代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
这个方法叫做代入消元法，简称代入法。
4、代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”。
②将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。
③解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。
④把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”。
⑤把x、y的值用，联立起来即“联”。
代入消元法例：解方程组x+y=5①6x+13y=79②解：由①得x=5-y③把③带入②，得6(5-y)+13y=79y=7把y=7带入③，x=5-7即x=-2∴x=-2y=7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
二、加减消元法解二元一次方程组1、两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
2、用加减消元法解二元一次方程组的步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。
②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，即“加减”。
③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，即“解”。
④将这个求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程中，求出另一个未知数的值即“回代”。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是指由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决二元一次方程组的问题是解决两个未知数之间关系的常见数学问题之一。
本文将介绍几种常用的解法。
方法一：代入法代入法是解决二元一次方程组的常用方法之一。
假设我们有以下二元一次方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f我们可以通过以下步骤使用代入法解决该方程组：1. 将方程一解出其中一个未知数，例如将方程一解出 x：x = (c - by) / a2. 将 x 的值代入方程二，得到：d * ((c - by) / a) + ey = f3. 将方程二化简，整理未知数 y 的项：(bc - b^2y) / a + ey = f4. 合并同类项，整理为关于 y 的一元一次方程：(be + a) * y = af - bc5. 解一元一次方程得到 y 的值。
6. 将 y 的值代入方程一中，解出 x 的值。
这样，我们就得到了方程组的解。
方法二：消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
假设我们有以下二元一次方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f我们可以通过以下步骤使用消元法解决该方程组：1. 将方程一的两边乘以 e，方程二的两边乘以 b，得到：aex + bey = cebdx + bey = bf2. 将以上两个方程相减，消去未知数 y：(aex - bdx) + bey - bey = ce - bf3. 合并同类项，化简为关于 x 的一元一次方程：(ae - bd) * x = ce - bf4. 解一元一次方程得到 x 的值。
5. 将 x 的值代入方程一或方程二中，解出 y 的值。
这样，我们也得到了方程组的解。
方法三：克拉默法则克拉默法则是解决二元一次方程组的另一种解法。
假设我们有以下二元一次方程组：方程一：ax + by = c方程二：dx + ey = f我们可以通过以下步骤使用克拉默法则解决该方程组：1. 计算方程组的系数行列式 D：D = |a b||d e|2. 计算 x 的系数行列式 Dx：Dx = |c b||f e|3. 计算 y 的系数行列式 Dy：Dy = |a c||d f|4. 计算 x 和 y 的值：x = Dx / Dy = Dy / D这样，我们也得到了方程组的解。
含参数的二元一次方程组
含参数的二元一次方程组一个含有参数的二元一次方程组是指方程组的未知数不止一个，且方程组中的系数中包含一个或多个参数。
下面我将讨论一个含有参数的二元一次方程组的特点和解法。
考虑一个含有参数的二元一次方程组如下：{ ax + by = c{ dx + ey = f其中a、b、c、d、e、f都是已知数，而x和y是未知数。
我们可以把这个方程组写成矩阵的形式：[A][X]=[B]其中[A]是由系数a、b、d和e构成的矩阵，[X]是由未知数x和y构成的矩阵，[B]是由常数c和f构成的矩阵。
我们已知a、b、c、d、e、f等已知数的值，但由于方程组中有参数存在，所以我们无法直接求解未知数。
为了求解未知数x和y，我们需要考虑参数的取值范围。
让我们先考虑一个简单的例子：{x+y=1{2x+3y=k在这个例子中，我们可以使用消元法来计算未知数。
首先，由第一个方程可得x=1-y，然后将x的值代入第二个方程可以得到：2(1-y)+3y=k2-2y+3y=k2+y=k由此可见，当参数k的取值为2+y时，方程组有解。
因此，解的形式为(x,y)=(1-y,y)，其中y的取值没有限制，但k的取值应为2+y。
接下来，让我们考虑另一个含有参数的二元一次方程组：{ ax + by = c{ dx + ey = f我们可以使用 Cramer 法则来求解这个方程组，它利用矩阵的行列式来计算未知数。
首先，计算矩阵 [A] 的行列式 D：D=，abd当D≠0时，方程组有唯一解。
我们可以继续计算在将矩阵[A]中的第一列替换为[B]后的行列式D1：D1=，cbf以及将矩阵[A]中的第二列替换为[B]后的行列式D2：D2=，acd然后，我们可以通过以下公式来计算未知数x和y：x=D1/Dy=D2/D当D=0时，可能有以下三种情况：1.如果D1=0且D2=0，方程组有无穷多解。
这是因为方程组的两个方程是线性相关的，它们代表同一条直线。
2.如果D1≠0或D2≠0，方程组无解。