用适当的方法解二元一次方程组
选择合适的方法解二元一次方程组
① ② ⎩⎨⎧=+=-164354y x y x ① ② ① ②⎩⎨⎧=+-=65732y x y x 选择合适的方法解二元一次方程组学习目标：1、会根据二元一次方程组的特点,选择解法——代入消元法或加减消元法.2、能灵活的解二元一次方程组.【记忆大比拼】1、 解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是什么？2、 什么是代入消元法？什么是加减消元法？【自主学习】 3、 用代入法解方程组由①得，y= ③把③代入②，得 ，解此方程，得 ，把 代入 ，得y= 。
所以这个方程组的解是： 。
4、 观察方程组⎩⎨⎧=+=-,1225423y x y x方程组中的两个方程，未知数y 的系数的关系是： ，为达到先消去y 的目的，应让① ②，得 。
5、 观察方程组⎩⎨⎧=-=-,1235332b a b a方程组中的两个方程，未知数b 的系数的关系是： ，为达到先消去b 的目的，应让② ①，得 。
【能说会道】不解方程组，判断下列方程组用什么方法解比较简便，理由是什么？你是怎样实现消元的?⑴⎩⎨⎧=+=924y x y x ； ⑵ ⎩⎨⎧=+=+321y x y x ⎩⎨⎧=+=-24513y x y x ⑷归纳总结：解二元一次方程组什么情况下用代入法简便？什么情况下用加减法简便？【动手动脑】选择合适的方法解下列方程组：()⎩⎨⎧-=+=-12441y x y x ()⎩⎨⎧=+=+3.16.08.05.122y x y x⎩⎨⎧-=+-=+765432z y z y ⎩⎨⎧=-=+6341953y x y x ⑶ ⑸ ⑹（1）（2） ()⎩⎨⎧=+=+104320294y x y x()⎩⎨⎧-=-=-5571325y x y x ()⎩⎨⎧=--=-0232436y x y x【超越自我】【七嘴八舌】今天你的收获有哪些？你的困惑有哪些？ ()⎩⎨⎧=-=+523323y x y x。
初中数学知识点二元一次方程的解法
初中数学知识点二元一次方程的解法二元一次方程是初中数学中的重要知识点之一，解二元一次方程的方法有多种。
本文将介绍三种常用的解法，分别是图像法、代入法和消元法。
1. 图像法图像法是一种直观的解方程方法，适用于解二元一次方程组。
我们可以将二元一次方程组的解看作是两个直线的交点坐标。
例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - y = 5我们可以将这两个方程转化为两个直线的方程，绘制出它们的图像。
通过观察两个直线的交点，我们可以得到方程组的解。
2. 代入法代入法是一种常用的解二元一次方程的方法。
该方法适用于含有一个未知数的方程，可以将一个方程的解代入到另一个方程中，得到另一个只含有一个未知数的方程，然后解得该未知数的值，进而求得另一个未知数的值。
例如，考虑下面的方程组：2x + y = 53x - 2y = 8可以解得其中一个未知数，例如令 y = 5 - 2x，将其代入到第二个方程中，则得到3x - 2(5 - 2x) = 8，整理后得到7x = 18，解得 x = 18/7。
然后将 x 的值代入到第一个方程中，得到2(18/7) + y = 5，整理后得到y = 11/7，解得 y = 11/7。
3. 消元法消元法是一种通过加减运算来求解二元一次方程组的方法。
通过合理地调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反，然后相加或相减得到一个只含有一个未知数的方程，进而解得这个未知数的值，再带入另一个方程求得另一个未知数的值。
例如，考虑下面的方程组：2x + 3y = 73x - 2y = 8可以通过调整两个方程的系数，使得其中一个未知数的系数相等或相反。
这里我们可以将第一个方程的系数调整为6，将第二个方程的系数调整为-6，即得到：6(2x + 3y) = 6(7)-6(3x - 2y) = -6(8)整理后得到：12x + 18y = 42-18x + 12y = -48将两个方程相加，得到：-6x + 30y = -6解方程-6x + 30y = -6，可以得到 x 的值为 1。
8.2.4 用适当的方法解二元一次方程组
x2y 3
的解也是
二元一次方程x+y=2解，求k的值。
提示：两方程相减得x+y=k-2,从而得到k-2=2得k=4.
5、已知方程 1011x1010 y1009m 的解满足x+y=1,求m
的值。
1010 x1011 y 1012m
提示：两方程相加得x=y=m，很明显得到m=1.
例1、解二元一次方程组：
以下是小明的解题 过程。请你帮他检
3x 4 y 2 ①
验是否正确。
2x 3y 7 ②
解：由②得 y 7 2x ③
3
把③代入①得：3x 4 7 2x 2
3
两边同乘3得：9x 47 2x 2 你能指出错误原因吗？
解得：
x 31
四、运用活学：
（二）课外补充：
1、已知方程组
3x 5 y m
x
2
y
m
4中未知数的和等
于－1，求m的值。
1、选择适当的方法解二元一次方程组。
2、体会数学思想能使问题从难到易，不会 到会的过程。
即:x+y=2 ③
①－② 得：6x-6y=24
即：x-y=4 ④
③+④得：2x=6
解得 x=3
把x=3代入③解得：y=-1
所以这个方程组的解是 x=3
一
y=-1
类型二 未知数系数和（差）是定值
2.如果二元一次方程组
2x y 7 ① x 2 y 8 ②
那么x＋y＝_5____ ，x－y＝__-1___
把x=2代入③得：
y
7
7
二元一次方程组,掌握下面四种方法,类似题目解答无困难.doc
二元一次方程组，掌握下面四种方法，类似题目解答无困难二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况，下面就为大家说说：1、有一组解。
如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。
如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3、无解。
如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
下面为大家介绍二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 或y 值；④将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7，y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
解二元一次方程组常用的“消元”方法
数学篇解题指南将含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次的两个方程联立起来，就构成了二元一次方程组.二元一次方程组的解就是组成这个方程组的两个方程的公共解.解二元一次方程组的基本思路是消元.下面就常用的“消元”方法进行分析说明.一、代入消元法代入消元法就是在解二元一次方程组时，把其中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，再代入到另一个方程中，进而达到消元的目的.基本步骤是：第一步，变形.即从二元一次方程组中选取一个系数较简单的方程，然后把它变为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式；第二步，代入.即将变形后的方程代入到另一方程中消去某个未知数，使方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，解出此方程，进而得到该未知数的值；第三步，回代.把所求得的未知数的值代回到变形后的方程中，得出另一未知数的值，再用大括号把两个未知数的值联立起来；第四步，检验.把所得的两个未知数的值代入另一方程中进行检验，若成立，则是原方程组的解.例1解下列方程组：（1）ìíîx -2y =4①，2x +3y =1②；（2）ìíîïï3(x +y )-2(2x -y )=3，2(x -y )3-x +y4=-112.分析：观察两个方程组的特点，可以看出在方程组（1）中，方程①中x 的系数为1，故可以直接利用代入消元法求解；方程组（2）并非一般形式，先要把它整理成一般形式，再利用代入消元法求解.解：（1）由方程①移项可得x =2y +4，把x =2y +4代入方程②中，可得2(2y +4)+3y =1，解得y =-1，把y =-1代入①中可得x =2，所以有{x =2,y =-1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =-1.解二元一次方程组常用的“消元”方法19数学篇解题指南（2）通过整理，原方程组可以转化为ìíî5x -11y =-1③,-x +5y =3④,由方程④可知x =5y -3.把x =5y -3代入方程③中，可得5（5y -3）-11y =-1，即14y =14，解得y =1.把y =1代入x =5y -3中，可得x =2，所以有{x =2,y =1.经检验可知，原方程组的解为{x =2,y =1.评注：在解二元一次方程组时，若方程组中某一个未知数的系数是1或-1，或者是可以将某一项作为一个整体，便于代入另一个方程中时，常常借助代入消元法进行求解.二、加减消元法加减消元法即通过将方程组中的两个方程相加或相减消去某个未知数，从而将两个方程转化为关于另一个未知数的一元一次方程，进行求解.在运用加减消元法解二元一次方程组时，要注意仔细观察两个方程中的同一个未知数的系数，若发现系数互为相反数，则利用相加消元法求解；若发现系数相同，则利用相减消元法求解；若两个系数既不相等，也不互为相反数，则需要运用等式性质，把方程两边同乘以适当的数，使未知数的系数相同或互为相反数，再借助加减消元法求解.例2（1）ìíî3x -2y =9①,5x -2y =11②;（2）ìí4x +3y =3①,程中未知数y 的系数相同，这样只需要把两个方程相减，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.（2）观察方程组，很容易看出，两个方程中的未知数x 、y 的系数既不相同，也没有互为相反数，此时需要运用等式性质把同一未知数的系数转化为相同，因此需要将方程①两边同时乘以2，方程②两边同时乘以3，再两式相加，消去未知数y ，得到关于x 的一元一次方程即可解题.解：（1）由方程②-①可得2x =2，解得x =1.把x =1代入①中可得y =-3，所以有{x =1，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =1，y =-3.（2）方程①×2可得8x +6y =6③；方程②×3可得9x -6y =45④，③+④可得17x =51，解得x =3.把x =3代入方程①中，可得y =-3，所以有{x =3，y =-3.经检验可知，原方程组的解为{x =3，y =-3.评注：在解二元一次方程组时，若两个方程的同一个未知数的系数相同，或系数互为相反数，或者成倍数关系，此时可利用加减消元法去破解.总之，代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组最基本、最常见的消元方法，两者既存在相通点，又具有不同点.同学们在解二元一次方程组时，一定要对方程中的各。
解二元一次方程的方法及步骤
解二元一次方程的方法及步骤
步骤1，观察方程，确保它是一个二元一次方程，即包含两个未知数（通常是x和y）的一次项和常数项。
步骤2，将方程按照标准形式排列，即将x和y的项分别放在等号的两边，常数项放在等号右边。
确保方程的形式为ax + by = c。
步骤3，如果方程中的系数有分数或小数形式，可以通过乘以适当的倍数，使系数变为整数。
步骤4，选择一种解方程的方法，可以使用代入法、消元法或矩阵法。
代入法，选择其中一个方程，将该方程中的一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程，解出该未知数，再代入原方程求解另一个未知数。
消元法，通过适当的运算，将方程组中的一个未知数的系数相
等（或倍数关系），使得两个方程相加或相减后，某个未知数的系
数被消去，从而得到一个只含有一个未知数的方程，解出该未知数，再代入原方程求解另一个未知数。
矩阵法，将方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵形式，
然后通过高斯消元法或矩阵求逆的方法求解未知数。
步骤5，根据所选的方法，解出其中一个未知数。
步骤6，将得到的解代入原方程中，求解另一个未知数。
步骤7，检验解是否满足原方程组，如果满足，则得到方程组
的解；如果不满足，则说明方程组无解。
这些是解二元一次方程的一般步骤，根据具体的方程组形式和
条件，可能需要适当调整方法和步骤。
希望这些信息对你有帮助。
二元一次方程组的化简技巧有哪些
二元一次方程组的化简技巧有哪些在数学的学习中，二元一次方程组是一个重要的知识点。
能够熟练掌握二元一次方程组的化简技巧，可以帮助我们更轻松、更高效地解决相关问题。
下面就来给大家详细介绍一些常见且实用的二元一次方程组化简技巧。
一、代入消元法代入消元法是解决二元一次方程组较为常用的方法之一。
它的基本思路是：从方程组中选取一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，然后将这个代数式代入另一个方程，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
例如，对于方程组：＼＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼2x y ＝ 1＼end{cases}＼我们可以由第一个方程得到＼（x ＝ 5 y\），然后将＼（x ＝ 5 y\）代入第二个方程＼（2x y ＝ 1\）中，得到：＼＼begin{align}2(5 y) y ＆＝ 1 ＼＼10 2y y ＆＝ 1 ＼＼10 3y ＆＝ 1 ＼＼－3y ＆＝ 1 10 ＼＼－3y ＆＝－9 ＼＼y ＆＝ 3＼end{align}＼再将＼（y ＝ 3\）代入＼（x ＝ 5 y\），可得＼（x ＝ 5 3 ＝2\）。
在使用代入消元法时，关键是要选择一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来。
一般来说，选择系数较简单的方程，并且选择系数为1 或－1 的未知数进行表示，这样计算会更简便。
二、加减消元法加减消元法也是二元一次方程组化简的重要方法。
它的核心思想是：通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去一个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程。
比如，对于方程组：＼＼begin{cases}3x ＋ 2y ＝ 12 ＼＼5x 2y ＝ 4＼end{cases}＼观察两个方程，发现＼（y\）的系数分别为＼（2\）和＼（－2\），将两个方程相加，可以消去＼（y\），得到：＼＼begin{align}（3x ＋ 2y) ＋（5x 2y) ＆＝ 12 ＋ 4 ＼＼3x ＋ 5x ＆＝ 16 ＼＼8x ＆＝ 16 ＼＼x ＆＝ 2＼end{align}＼把＼（x ＝ 2\）代入第一个方程＼（3x ＋ 2y ＝ 12\），可得＼（3×2 ＋ 2y ＝ 12\），解得＼（y ＝ 3\）。
初中数学：二元一次方程组的几种简便解法
初中数学：二元一次方程组的几种简便解法1、整体代入法整体代入法是用含未知数的表达式代入方程进行消元．有些方程组并不一定能直接应用这种解法，不过，我们可以创造条件进行整体代入．解析：这道题中的系数较繁，按常规方法去解比较麻烦．我们可以先将②式有目的地进行变形，再将①式中的看成一个整体代入求解．由②式可得．化简，得．③将①代入③，得．解得，代入①可得．故方程组的解为2、换元法换元法就是设出一个辅助未知数，分别用含有这个未知数的代数式表示原方程组中未知数的值，把二元一次方程组转化为一元一次方程组进行求解．换元有一定的技巧性．有代数式整体换元，还有设比值换元等多种方法，下面举例说明．解析：我们可以分别尝试整体换元和设比值换元．方法１：设，则．代入②，得．解得．从而可得方程组的解为方法２：设．由①得，所以．③由②得．④③÷④，得．解得．从而可得3、直接加减法直接加减法有别于课本中的加减消元法，它通过将方程组中的方程相加减后把较繁的题目转化得相对简单．解析：若用一般方法去解这个方程组，其复杂程度可想而知，我们采用直接加减法．①＋②，得，即．③①－②，得．④由③④可得4、消常数项法解析：可将两式消去常数项，直接得到与的关系式，而后代入消元．①－②，得，即．将代入②，得，即．从而可得5、相乘保留法解析：去分母时，如果把两数相乘得出结果，不仅数值变大，而且给下面的解题过程带来麻烦，所以有时我们暂时保留相乘的形式．由①，得．③由②，得．④④－③，得．从而可得6、科学记数法当方程组中出现比较大的数字时，可用科学记数法简写．例６、解方程组解析：这个数比较大，可用科学记数法写成．由②，可得．③将①代入③，得．从而可得7、系数化整法若方程组中含有小数系数，一般要将小数系数化为整数，便于运算．解析：利用等式的性质，把①式变形为．③利用分子、分母相除，把②式变形为．④③－④，得．从而可得8、对称法例８、解方程组解析：这个方程组是对称方程组，其特点是把某一个方程中的互换即可得到另一个方程．由对称性可知，则可得解得9、拆数法例９、解方程组解析：我们可以有目的地将常数项进行变形，通过观察得出方程组的解．原方程组可变形为从而可得。
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D.a＝－7，b＝5
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6． (中考·桂林)若 3x－2y－1 ＋ x＋y－2＝0 ，则x，y的值
为( D )
A.
x＝1 y＝4
C. x＝0 y＝2
B.
x＝2 y＝0
D. x＝1 y＝1
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7．若方程组
2x－y＝1 3x＋2y＝12
的解也是二元一次方程5x－
my＝－11的一个解，则m的值等于( D )
(2)由题意，得
2x－y＝2 4y＋x＝－1
解得
x＝ 7 y＝－9 4
9
则x＋y＝ 7 － 4＝1.
993
返回
题型 3 方程组的解与二元一次方程的解之间的关系在求字母值中的应用
12．若关于x，y的二元一次方程组
x＋y＝5k＋2 x－y＝4k－5
的
解满足3x＋y＝6，求k的值.
解： x＋y＝5k＋2 ①
A.5
B.－7
C.－5
D.7
返回
8．如图，在正方形ABCD的每个顶点上写一个数，把这
个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条
边上，已知AB上的数是3，BC上的数是7，
CD上的数是12，则AD上的数是( C )
A.2
B.7
C.8
D.15
返回
9． (中考·黔东南州)小明在某商店购买商品A，B共两次， 这两次购买商品A，B的数量和总费用如下表：
②
3x＋5y＝12 3x－15y＝－6
比较
简便的方法是( C )
A.都用代入法
B.都用加减法
C.①用代入法，②用加减法
D.①用加减法，②用代入法
返回
3．用加减法解方程组
3x＋2y＝6 2x＋3y＝1
时，要使方程中同一
个未知数的系数相等或互为相反数，必须适当变形，
以下四种变形正确的是( C )
①
9x＋6y＝6 4x＋6y＝2
当方程组中某个方程的系数比较简单（尤其是未知数 的系数为±1)时，用__代__入___消元法为宜；当两个方程 的某一个未知数的系数的绝对值相等时，用__加__减___消 元法为宜；若不具备上述条件，可以通过适当变形， 用__加__减____消元法求解.
返回
2．解方程组①
y＝x－3 7x＋5y＝－9
C.消x，由②得x＝ 1 (23－2y)
9
D.消y，由①得y＝ 1 (3x－2)
5
返回
知识点 2 方程组与其他知识的综合运用
5．已知x，y满足
2x－3y＝1 3x－2y＝5
① ②
如果①×a＋②×b可
整体得到x＋11y的值，那么a，b的值可以是( D )
A.a＝2，b＝－1
B.a＝－4，b＝3
C.a＝1，b＝－7
解法三(换元法)：
设x＋y＝m，x－y＝n，m ＋ n＝6 ① 则原方程组可变为： 3 2
3m－2n＝28 ② 由①得2m＋3n＝36.③
③×2＋②×3，得13m＝156，
故m＝12.
把m＝12代入②，解得n＝4.
于是可得方程组
解得
x＝8 y＝4
x＋y＝12 x－y＝4
点拨 返回
x－y＝4k－5 ②
①＋②，得x＝
9k－3 2
；
①－②，得y＝ k＋7 ，
2
则
3×
9k－3 2
＋
k＋7 ＝6，解得k＝
2
1 2
.
返回
换元法
13．用多种方法解方程组：
x＋y＋ x－y＝6
3
2
3 x＋y－2 x－y＝28
解：解法一(代入法)： 5x－y＝36 ① 方程组化简，得 x＋5y＝28 ② 由①，得y＝5x－36.③
返回
题型 2 解方程组在求新定义中字母值中的应用
11．(中考·扬州)对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种 运算如下：a ⊗ b＝2a＋b.例如3 ⊗ 4＝2×3＋4＝10. (1)求2 ⊗(－5)的值； (2)若x ⊗(－y)＝2，且2y ⊗ x＝－1，求x＋y的值.
解：
(1)2 (－5)＝2×2＋(－5)＝4－5＝－1.
把①代入③，得3x＋5＝2.
(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误， 请在错误处打“×”.
(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答.
解： (1)解法一中的计算有误(标记略)． (2)由①－②，得－3x＝3，解得x＝－1.把x＝－1代 入①，得－1－3y＝5，解得y＝－2. 所以原方程组的解是 x＝－1 y＝－2
②
9x＋6y＝18 4x－6y＝2
③ 9x＋6y＝18 4x＋6y＝2
④ 6x＋4y＝12 6x＋9y＝3
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④ 返回
4．用代入法解方程组 39xx－ ＋52yy＝＝22①3 ②的最佳策略是( B )
A.消y，由②得y＝
1 2
(23－9x)
B.消x，由①得x＝
1 3
(5y＋2)
若小丽需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费( C )
A.64元 B.65元 C.66元 D.67元
返回
题型 1 适当的消元方法在解方程组中的应用
10．(中考·舟山)用消元法解方程组
x－3y＝5 ① 4x－3y＝2 ②
Байду номын сангаас
时，
两位同学的解法如下：
解法一：由①－②，得3x＝3.
解法二：由②，得3x＋(x－3y)＝2.③
第八章 二元一次方程组
8.2 消元——解二元一次方程组
第3课时 用适当的方法解二元一次方程组
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知识点 1 用适当的方法解二元一次方程组
1．解二元一次方程组的基本思路是___消__元___，即变 “___二__元___ ”为“__一__元____ ”，其方法有两种： __代__入____消元法和__加__减____消元法 .
把③代入②，得x＋5(5x－36)＝28，解得x＝8.
把x＝8代入③，得y＝4.
所以原方程组的解为
x＝8 y＝4
解法二(加减法)： 5x－y＝36 ①
方程组化简，得 x＋5y＝28 ② ①×5＋②，得26x＝208，x＝8.
把x＝8代入①，得40－y＝36，y＝4.
所以原方程组的解为
x＝8 y＝4