广东省深圳高级中学等三校12-13学年高一上学期期末联考数学试题

2012－2013学年第一学期期末三校联考高一数学本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，第Ⅰ卷为1-8题，共40分，第Ⅱ卷为9-20题，共110分. 全卷共计150分. 考试时间为120分钟.注意事项：1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上.3、考试结束，监考人员将答题卡收回.参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高.第I 卷 （本卷共计40 分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 直线x +y +1=0的倾斜角和在y 轴上的截距分别为（ ）A . 135︒，-1B . 135︒，1C . 45︒，-1D . 45︒，12. 已知A , B 均为集合U ={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ={3}，A ∩(C U B ) ={9}，则A =（ ） A . {1,3} B . {3,7,9} C . {3,5,9} D . {3,9}3. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数是（ ） A . y =x 3 B . y =|x |+1 C . y = -x 2+1 D . y =2-|x |4. 给定下列四个命题：① 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ② 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③ 垂直于同一直线的两条直线相互平行；④ 若两平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是（ ）A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④5. 如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论中不正确．．．的是（ ） A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1角为60°6. 某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积中， 最大的是（ ）A ．8B ．26C ．10D ．28 7. 已知点A (-5, 4)、B (3, 2), 过点C (-1, 2), 且与点A 、B 的 距离相等的直线方程是（ ） A . x +4y -7=0 B . 4x -y +7=0C . x +4y -7=0或x +1=0D . x +4y -7=0或4x -y +7=08. 设a >1，若对任意的x ∈[a , 2a ]，都有y ∈[a , a 2] 满足方程log a x+log a y =3, 这时a 的取值的集合为（ ）A ．{a |1<a ≤2}B ．{a |a ≥2}C ．{a |2≤a ≤3}D ．{2,3}第II 卷 （本卷共计110 分）注意事项：请用黑色墨水签字笔在答题卡．．．上作答，在试题卷上答题无效. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9. 函数y =lg (1-x )的定义域为___________. 10. 函数f (x )=e x +x -2的零点个数为___________.11. 正方体的八个顶点中，有四个顶点恰好是正四面体的顶点，则正四面体的体积与正方体 的体积之比是_________.12. 已知直线l ：x -y +4=0与圆C : (x -1)2+(y -1)2=2，则C 上各点到l 的距离的最小值为______.13. 若函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1)在区间]241[，上的最大值为1，最小值为m ，且函数g (x )=(m +1)x 2在区间[0, +∞)上是增函数，则a =_________.14. 据气象台预报：在我市正南方400km 的海面A 处有一台风中心，正以每小时40km 的 速度向西北方向移动，在距台风中心300km 以内的地区将受其影响. 从现在起经过约 __________小时，台风将影响我市.（结果精确到0.1小时）AO∙BCV三、解答题：（本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本小题满分12分)已知∆ABC 的顶点为A (1, 3)，B (3, 1)，C (-1, 0). （I ）求AB 边所在直线的方程； （II ）求∆ABC 的面积．16．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，A 1A =AC =BC =1，AB =2， 点D 是AB 的中点. （I ）求证：AC 1//平面CDB 1; （II ）求三棱锥A 1-ABC 1的体积.17．(本小题满分14分)如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上不同于A 、B 的一点，VA ⊥平面ABC ，VA =AB . （I ）证明：平面VAC ⊥平面VBC ；（II ）当三棱锥A-VBC 的体积最大值时，求VB 与平面VAC 所成角的大小.18．(本小题满分14分)已知圆C 的半径为2，圆心C 在x 轴的正半轴上，直线3x -4y +4=0与圆C 相切. （I ）求圆C 的方程；（II ）是否存在过点P (0, -3)的直线l 与圆C 交于不同两点A 、B ，且弦AB 的垂直平分线m过点Q (3, -3)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分14分)如图，长方形物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向作匀速移动，速度为v (v >0)， 物体E 移动时单位时间．．．．内的淋雨量包括两部分： ① P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，设其值与|v -4|⨯S 成正比，比例系数为101； ② 其它面的淋雨量之和，其值为21，记y 为物体E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d =100，面积S =23时.（Ⅰ）写出y 的表达式;（Ⅱ）设0<v ≤10，试确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少.20．(本小题满分14分)已知函数f (x )=ax 2+bx +1(a ≠0)对于任意x ∈R 都有f (1+x )=f (1-x )，且函数y =f (x )+2x 为偶函数；函数g (x )=1-2x. (I) 求函数f (x )的表达式；(II) 求证：方程f (x )+g (x )=0在区间[0, 1]上有唯一实数根； (III) 若有f (m )=g (n )，求实数n 的取值范围.2012－2013学年第一学期期末三校联考高一数学答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9. (-∞, 1) 10. 1 11. 1:3 12.2 13. 4114. 4.6三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．(本小题满分12分)解：（I ）AB 边所在直线的方程为131x 313y --=--， …………2分 即x+y-4=0. …………4分（II ）22)31()13(|AB |22=-+-=， …………6分点C 到直线AB 的距离252|401|d =-+-=，就是AB 边上的高h ， …………10分 所以，5252221h |AB |21S ABC =⨯⨯=⋅=∆. …………12分 16．(本小题满分12分) 证：（I ） 设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，∵ D 是AB 的中点，E 是BC 1的中点，∴ DE//AC 1， …………3分 ∵ DE ⊂平面CDB 1， AC 1⊄平面CDB 1，∴ AC 1//平面CDB 1. …………5分 （II ）底面三边长AC=BC=1，AB=2， ∴ AC ⊥BC ， …………7分∵A 1A ⊥底面ABC ，∴ A 1A ⊥BC ；而A 1A ⋂AC=C ， ∴ BC ⊥面AA 1C 1C ， 则BC 为三棱锥B -A 1AC 1的高； ……9分 ∴ 6112113*********=⨯⨯⨯=⨯==--BC S V V AC A AC A B ABC A ∆. …………12分 （注：若用其他求得，相同标准给分）17．(本小题满分14分)（I ）证明：∵AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，∴BC ⊥AC ， …………2分由VA ⊥平面ABC ， ∴BC ⊥VA ，而AC ⋂VA=A ， ∴ BC ⊥面VAC ， …………4分 由BC ⊂平面VBC ， ∴平面VAC ⊥平面VBC. …………6分（II ）方法1：∵VA ⊥平面ABC ，∴VA 为三棱锥V-ABC 的高， 则ABC ABC ABC V VBC A S 3a 2VA S 31V V ∆∆--=⋅==，当∆ABC 的面积最大时，VBC A V -最大. …………8分 设AB=2a ，设BC=x (0<x<2a)，则22x a 4AC -=，则)x a 4(x 21x a 4x 21S 22222ABC -=-⋅=∆422a 4)a 2x (21+--=∴当x 2=2a 2时，即)a 2,0(a 2x ∈=时，∆ABC 的面积最大，VBC A V -最大. …10分 由(1)知：BC ⊥面VAC ，则∠BVC 为VB 与平面VAC 所成角， …………12分 在Rt ∆VBC 中，a 2BC =，a 22VB =，21VB BC BVC sin ==∠，∴∠BVC=30︒，故直线VB 与平面VAC 所成角为30︒. …………14分 方法2：∵VA ⊥平面ABC ，∴VA 为三棱锥V-ABC 的高， 则ABC ABC ABC V VBC A S 3a 2VA S 31V V ∆∆--=⋅==，当∆ABC 的面积最大时，VBC A V -最大. …………8分 设AB=2a ，过点C 做CM ⊥AB ，垂足为M ， 则CM a CM AB 21S ABC ⋅=⋅=∆∴当M 与O 重合时，CM 最大，此时a 2BC =，∴当a 2BC =，∆ABC 的面积最大，VBC A V -最大. …10分（下同方法1） 18．(本小题满分14分) 解：（I ）设圆心为C(a, 0)(a>0)，则圆C 的方程为(x-a)2+y 2=4， …………1分因为圆C 与3x-4y+4=0相切，所以10|43|,243|43|22=+=++a a 即， …………4分解得a=2或314-=a （舍去）， …………5分所以圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4. …………6分 （II ）假设符合条件的直线l 存在，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y=kx-3，∵直线l 与圆相交于不同两点，则圆心C 到直线l 的距离21|32|d 2=<+-=r k k ，解得125>k ， …………9分直线m 的方程为)3(13y --=+x k， 即x+ky+3k-3=0．由于直线m 垂直平分弦AB ，故圆心C(2,0)必在直线m 上, 解得31=k . ……12分 而),125(31+∞∉，故不存在直线l ，使得过点Q(3, -3)的直线m 垂直平分弦AB ． …………14分 19．(本小题满分14分)解：（I ）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为21|4|203+-v ， …………3分故)21|4|203(100+-=v v y )10|4|3(5+-=v v. …………6分 （II ）由(I)知，当0<v ≤4时，)322(5v v y -=15110-=v当4<v ≤10时，)23(5-=v v y 1510+-=v故⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<-=104,151040,15110v vv v y . …………10分 在(0,4]上，y 是关于v 的减函数；在(4,10]上，y 是关于v 的增函数； …………12分则当v=4时，225min =y .故移动速度v =4时，使总淋雨量y 最少. …………14分 20．(本小题满分14分)解:（I ）∵对于任意x ∈R 都有f(1+x)=f(1-x),∴函数f(x)的对称轴为x=1，得b=-2a.……2分又函数y=f(x)+2x= ax 2+(b+2)x+1为偶函数， ∴b= -2．a=1.∴f(x)= x 2-2x+1= (x-1)2. …………4分（II ）设h(x)= f(x)+g(x)= (x-1)2+1-2x,∵ h(0)=2-20= 1>0，h(1)= -1<0，∴ h(0)h(1)<0. …………6分又∵(x-1)2, -2x在区间[0,1]上均单调递减，所以h(x)在区间[0,1]上单调递减， ……………8分 ∴ h(x)在区间[0,1]上存在唯一零点.故方程f (x )+g (x )=0在区间[0, 1]上有唯一实数根. …………9分 （注：若用图象说明，视说理情况酌情给部分分数）（III ）由题可知∴f(x)=(x-1)2≥0．g(x)= 1-2x<1, …………11分若有f(m)=g(n)，则g(n)∈[0, 1)， …………13分则1-2n≥0，解得 n ≤0.故n 的取值范围是n ≤0. …………14分。