椭圆中运算方法和解题思路的优化
椭圆标准方程化简过程中的三个妙招
椭圆标准方程化简过程中的三个妙招椭圆是一个非常重要且有趣的数学概念，它在几何学和代数学中都有着广泛的应用。
而在椭圆的研究中，标准方程的化简是一个非常重要的步骤，它可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的相关知识。
在进行椭圆标准方程的化简时，有一些妙招可以帮助我们更快地完成这一过程，让我们来一起看看。
1. 完全平方公式在化简椭圆的标准方程时，我们经常会遇到形如$x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$的形式。
这时，我们可以利用完全平方公式来将方程化简为标准形式，即$(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1$。
具体步骤是，首先将方程中的常数项移到右边，得到$x^2 + y^2 + Ax + By = -C$。
我们需要补全平方，即加上一些项使得左边成为一个完全平方。
我们可以通过求得一个适当的常数来实现这一步骤。
我们需要将左边的方程除以一个常数，使得等号右边为1。
这样，我们就可以得到标准形式的椭圆方程。
2. 利用配方法化简在化简椭圆的标准方程时，我们经常会遇到形如$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$的形式。
这时，我们可以利用配方法将方程化简为标准形式。
具体步骤是，我们首先将$x^2 + Dx$和$y^2 + Ey$这两项分别配方，得到$(x + \frac{D}{2})^2 - (\frac{D}{2})^2$和$(y + \frac{E}{2})^2 - (\frac{E}{2})^2$。
我们将这两项的结果合并，得到$(x +\frac{D}{2})^2 - (\frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 -(\frac{E}{2})^2 + F = 0$。
我们将合并后的方程整理成标准形式，即$(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1$。
3. 利用配方和标准方程的关系当我们遇到形如$x^2 + y^2 + Ax + By = 0$的方程时，我们可以直接通过配方来将方程化简为标准形式。
优化椭圆运算的十种方法与技巧
优化椭圆运算的十种方法与技巧
1.用椭圆方程y^2=4ax或x^2=4ay来表示椭圆，这样可以减少计算量。
2.使用极坐标系来表示椭圆，这样可以使用极角来计算椭圆上的点。
3.使用参数方程来表示椭圆，即x=acos(t)，y=bsin(t)，这样可以使用参数t来计算椭圆上的点。
4.使用椭圆的对称性来减少计算量，比如对称轴、中心对称、旋转对称等。
5.利用椭圆的性质，比如对称轴的长度是相等的、离心率的平方等于1、椭圆的周长可以用椭圆积分公式计算等。
6.利用椭圆的性质，比如椭圆的纵横比、长短轴、极点等。
7.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中一个象限的点。
8.利用椭圆的性质，比如椭圆的长短轴、焦点、极角等。
9.利用椭圆的对称性，比如将椭圆分成四个象限，然后只计算其中两个象限的点。
10.使用计算机软件来进行椭圆运算，这样可以大大减少人工计算的错误率。
此外，还有一些常用的椭圆运算方法和技巧，如使用椭圆变换、使用椭圆矩阵运算、使用椭圆积分公式、使用椭圆曲线密码等。
这些方法和技巧可以帮助我们更快捷、更精确地进行椭圆运算。
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椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳椭圆是平面内与两个定点距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个定点被称为椭圆的焦点，椭圆的焦距是两个焦点之间的距离。
另外，椭圆也可以被定义为平面内一个点到一个定直线距离与到一个定点距离之比等于常数的轨迹。
这个定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，这个常数是椭圆的离心率。
需要注意的是，当两个定点之间的距离等于常数时，椭圆的轨迹是线段，而当两个定点之间的距离小于常数时，椭圆的轨迹不存在。
椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在x轴上的形式，另一种是焦点在y轴上的形式。
这些方程可以用来确定椭圆的形状和位置。
需要注意的是，椭圆的焦点位置可以通过方程中分母的大小来判断。
如果分母中x的系数大于y的系数，那么焦点在y轴上，反之则在x轴上。
如果椭圆过两个定点，但焦点位置不确定，可以设椭圆方程为mx+ny=1，其中m和n都是正数。
在解题时，需要牢记椭圆的几何性质。
例如，如果一个点到椭圆的左焦点的距离是到右焦点距离的两倍，那么这个点的横坐标可以通过解方程得到。
又例如，如果一个点在椭圆上，那么它到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
1.椭圆的基本性质椭圆方程为x2/a2 + y2/b2 = 1 (a>b>0)，其中a和b分别为长轴和短轴长。
椭圆的中心在原点(0,0)处，长轴与x轴平行。
椭圆的顶点分别为(a,0)。
(-a,0)。
(0,b)。
(0,-b)，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离，焦距为2c。
椭圆的准线方程为y=±(b/a)x，通径方程为y=kx或x=h，其中k和h为常数。
椭圆关于x轴和y轴对称，且具有中心对称性。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长，即PF1 + PF2 = 2a。
椭圆上任意一点到两焦点的距离之差等于该点到准线的距离，即PF1 - PF2 = 2b。
椭圆上点的横坐标的范围为-x ≤ x ≤ x，纵坐标的范围为-y ≤ y ≤ y。
2.典型练1) 题目描述：给定椭圆方程x2/a2 + y2/b2 = 1，已知长轴位于x轴上，长轴长为8，短轴位于y轴上，短轴长为6，焦点在x轴上，焦点坐标为(5,0)和(-5,0)，求离心率e、左顶点坐标、下顶点坐标和椭圆上点的横坐标的范围、纵坐标的范围以及x+y的取值范围。
高中数学椭圆解题技巧
高中数学椭圆解题技巧椭圆是高中数学中一个重要的几何概念，也是解析几何中的一个重要内容。
在考试中，椭圆相关的题目经常出现，因此掌握椭圆的解题技巧对于高中学生来说非常重要。
本文将从椭圆的基本性质、方程的推导和解题技巧等方面进行论述，帮助读者更好地理解和应用椭圆。
一、椭圆的基本性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
其中，F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴，a称为椭圆的半长轴。
椭圆的性质有很多，但在解题过程中，最常用的性质是椭圆的离心率和焦半径之间的关系。
根据定义，椭圆的离心率e满足0<e<1，离心率e与焦半径c之间的关系为e=c/a。
这个关系式在解题过程中经常用到，特别是在求解椭圆的方程时。
二、椭圆方程的推导在解析几何中，椭圆的方程可以通过几何定义和代数定义两种方式推导得到。
这里我们主要介绍代数定义的推导方法。
1. 椭圆的代数定义设椭圆的焦点为F1(-c,0)和F2(c,0)，离心率为e，点P(x,y)为椭圆上的任意一点。
根据椭圆的定义，有PF1+PF2=2a。
利用距离公式可以得到：√[(x+c)²+y²] + √[(x-c)²+y²] = 2a2. 椭圆的方程根据代数定义的推导结果，可以得到椭圆的方程为：[(x+c)²+y²] + [(x-c)²+y²] - 4a² = 0三、椭圆解题技巧在解椭圆相关的题目时，有几个常见的考点和解题技巧需要注意。
1. 椭圆的标准方程标准方程是指椭圆方程中的常数项为0的形式。
将椭圆方程整理为标准方程的形式，可以更方便地求解椭圆的性质和参数。
例如，将椭圆方程[(x+c)²+y²] + [(x-c)²+y²] - 4a² = 0整理为标准方程的形式，可以得到x²/a² + y²/b² = 1，其中b²=a²-c²。
椭圆综合题中定值定点、范围问题总结
椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；〔提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别〕2.设交点坐标；〔提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求〞〕3.联立方程组；4.消元韦达定理；〔提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单〕5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0〞〔提醒：需讨论K 是否存在〕⇔OA OB ⊥⇔121K K •=-⇔0OA OB •=⇔12120x x y y +=②“点在圆、圆上、圆外问题〞⇔“直角、锐角、钝角问题〞⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题〞⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题〞⇔斜率关系〔120K K +=或12K K =〕； ④“共线问题〞〔如：AQ QB λ=⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法〕； 〔如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等〕； ⑤“点、线对称问题〞⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题〞⇔转化为坐标与弦长公式问题〔提醒：注意两个面积公式 的 合理选择〕； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0. 二、根本解题思想：1、“常规求值〞问题：需要找等式，“求围〞问题需要找不等式；2、“是否存在〞问题：当作存在去求，假设不存在那么计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。
4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法〔转化为二次函数的最值〕、 三角代换法〔转化为三角函数的最值〕、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。
高中数学椭圆标准方程解题技巧
高中数学椭圆标准方程解题技巧椭圆是高中数学中的一个重要概念，涉及到椭圆的标准方程的解题技巧对于学生来说是必备的。
本文将介绍椭圆标准方程的解题方法，并通过具体的例子来说明考点和解题思路，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、椭圆标准方程的基本形式椭圆的标准方程一般形式为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。
二、确定椭圆的中心和半长轴、半短轴对于给定的椭圆标准方程，首先需要确定椭圆的中心和半长轴、半短轴的长度。
通过观察方程可以得到以下信息：1. 中心：椭圆的中心为坐标原点$(0,0)$。
2. 半长轴和半短轴：椭圆的半长轴的长度为$a$，半短轴的长度为$b$。
三、确定椭圆的焦点和离心率椭圆的焦点和离心率是椭圆的重要属性，通过椭圆的标准方程可以计算得到。
1. 焦点：椭圆的焦点的坐标为$(\pm c, 0)$，其中$c=\sqrt{a^2-b^2}$。
2. 离心率：椭圆的离心率为$e=\frac{c}{a}$。
四、解题技巧举例下面通过具体的例子来说明椭圆标准方程的解题技巧。
例题1：已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$，求椭圆的焦点和离心率。
解析：根据椭圆的标准方程，可以得到$a=4$，$b=3$。
通过计算可以得到$c=\sqrt{a^2-b^2}=2$，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$。
因此，椭圆的焦点为$(\pm 2, 0)$，离心率为$\frac{1}{2}$。
例题2：已知椭圆的焦点为$F_1(-3, 0)$，$F_2(3, 0)$，离心率为$\frac{1}{2}$，求椭圆的标准方程。
解析：根据椭圆的焦点和离心率的定义，可以得到$c=\frac{1}{2}a$，$c=3$。
解方程组可以得到$a=6$。
由于椭圆的中心为坐标原点$(0,0)$，因此椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1$。
椭圆的解题方法和技巧
椭圆的解题方法和技巧安徽省宿州市褚兰中学海平一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。
例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。
求顶点的轨迹。
分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。
解析：∵、、成等差数列，∴，即，又，∴。
根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。
又∵，∴，即，∴，∴。
故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。
又当时，点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴。
∴点的轨迹方程为。
评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。
解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。
例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。
分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。
解析：由，解得。
又，故满足。
∴为直角三角形。
评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。
利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。
二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。
例3、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1(6,1)P ,2(3,2)P ,求椭圆的方程.【解析】设椭圆方程为22mx ny 1+=（m ＞0,n ＞0且m≠n ）. ∵椭圆经过1P ，2P 点，∴1P ，2P 点坐标适合椭圆方程， 则①6m+n=1，② 3m+2n=1，①②两式联立，解得m=19, n= 13. ∴所求椭圆方程为22x y 193+=评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a ，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m ＞0,n ＞0,m≠n ），由题目所给条件求出m ，n 即可.三、 利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．()()()22410,14111()()22212||y x M l A B O P OP OA OB N l M P NP +==+例、最值问题设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于、两点，是坐标原点，点满足，点的坐标为，．当绕点旋转时，求：动点的轨迹方程；的最大值与最小值．()()112222221221221212220,1 1.()()1(4)2301424.8414()()()212244l M k l y kx A x y B x y y kx k x kx y x k x x k y y k x x y y k OP OA OB k k=+=+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩⎧+=-⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩++-=+==++直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记，，，，由，得，所以解，：，析则．()()222222222()40.0,0111.16441117||()()3(40.1||611||.4).2261242P x P x y k x y y AB P x x NP x y y y x NP x x NP +-=≤-≤≤=-+-=-+-=++=-=点的轨迹方程为当时，取得设点的坐标为，，则，消去得当斜率不存在时，的中点为原点，也满足上述方程．所以由点的轨迹方程知，即所以故当时，取得最小值为评注：由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，二要熟悉向量的坐标运算．而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数的值域相联系． 例5、参数范围问题()()()(01)0,1||()12||G ABC A B x M MA MC GM AB R C k l C P Q AP AQ k λλ∆-==∈=已知点是的重心，，，，在轴上有一点，满足，．求点的轨迹方程；若斜率为的直线与点的轨迹交于不同的两点、，且满足，试求的取值()222()()33()(0)3||1(0)3131(0)x yC x y G ABC G GM AB R GM AB xM x M MA MC y x x C y x λλ∆=∈==+=≠+=≠设，，为的重心，则，．因为，所以，而点在轴上，则，．，得整理得．所点的轨迹方析：程为以解()()()222222222211220||.013(13)63(1)0*(6)4(13)3(1)0130**()()2k l C P Q AP AQ k l y kx m x y k x kmx m l km k m k m P x y Q x y ==≠=++=+++-=∆=-+⋅->+->①当时，与椭圆有两个不同的交点、，由椭圆的对称性知②当时，可设的方程为，代入，整理得，，因为直线与椭圆交于不同的两点，所以，即，设，，，，1122212122212000002222()()63(1)1313()231313||11313-13AN P x y Q x y km m x x x x k kx xPQ N x y x km m y kx m k k AP AQ AN PQ mk k k k km k -+=-=+++==-=+=++=⊥++⋅=⋅=-+设，，，，则，，则中点，的坐标为，，又，所以，所以，()()()()2213**121,00,1,11k m k k k -+=<∈-得，代入得，所以．的取值范围得，是综合①②．． 评注：解决参数的取值范围问题常用的方法有两种：①不等式(组)求解法：根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围；②函数值域求解法：把所讨论的参数表示为有关某个变量的函数，通过讨论函数的值域求参数的变化范围．。
高中数学椭圆解题技巧
高中数学椭圆解题技巧
椭圆历史悠久,内容经典,文化沉淀丰厚.通过平面截圆锥、拉线作图、建立坐标系、讨论方程研究椭圆,把握椭圆数量关系以及形成的条件.下面店铺给你分享高中数学椭圆解题技巧，欢迎阅读。
高中数学椭圆解题技巧一、设点或直线
高中数学椭圆解题技巧二、转化条件
有的时候题目给的条件是不能直接用或直接用起来不方便的，这时候就需要将这些条件转化一下。
对于一道题来说这是至关重要的一步，如果转化得巧，可以极大地降低运算量。
比如点在圆上可以转化为向量点乘得零，三点共线可以转化成两个向量平行，某个角的角平分线是一条水平或竖直直线则这个角的两条边斜率和是零。
有的题目可能不需要转化直接带入条件解题即可，有的题目给的条件可能有多种转化方式，这时候最好先别急着做题，多想几种转化方法，估计一下哪种方法更简单。
高中数学椭圆解题技巧三、代数运算
转化完条件就剩算数了。
很多题目都要将直线与椭圆联立以便使用一元二次方程的韦达定理，但要注意并不是所有题目都是这样。
有的题目可能需要算弦长，可以用弦长公式
高中数学椭圆解题技巧四、能力要求
做解析几何题，首先对人的耐心与信心是一种考验。
在做题过程中可能遇到会一大长串的式子要化简，这时候，只要你方向没错，坚持算下去肯定能看到最终的结果。
另外运算速度和准确率也是很重要的，在真正考试的时候肯定不像平时做题的时候能容你慢慢做题，因此需要有一定的做题速度，在做题的时候运算准确也是必须要保证的，因为一旦算错数，就很可能功亏一篑。
高中数学椭圆解题技巧五、理论拓展
这一部分主要说一些对做题有帮助的公式、定理、推论等内容。
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２０１８年第６期 中学数学月刊 ·６１·
点 犉１ 作直线犘犉１ 的垂线犾１，过点犉２ 作直线犘犉２
的 垂 线犾２．
（１）求椭圆 犈 的 标 准 方 程；（２）若 直 线犾１，犾２
的交点 犙 在椭圆犈 上，求点 犘 的坐标．
原 解 （１）椭 圆 犈
立体几何中用割补 法 可 以 简 单、巧 妙 地 解 决 很 多 功夫，积极探索各种可以实现“小题小做”的解题策
问 题 ，如 构 造 平 行 线 、三 棱 锥 的 外 接 球 等 ． 例７ （２０１７年全国 Ⅱ 卷理１０）已知直三棱
略 和 方 法 ，掌 握 要 领 ，把 握 要 点 ．这 样 才 能 提 高 解 答 选择题的成功率，在高考中节省时间并获得高分．
·６０· 中学数学月刊 ２０１８年第６期
椭圆中运算方法和解题思路的优化
孙 彬 （江 苏 省 江 阴 市 山 观 高 级 中 学 ２１４４３７）
圆锥曲线是解析几何的 重 要 组 成 部 分，而 椭 圆问题又是圆锥曲 线 中 的 高 频 考 点．椭 圆 问 题 涉 及 的 知 识 深 且 广 ，所 用 方 法 又 灵 活 多 变 ，因 此 是 高 中数学学习过程中 的 重 难 点．由 于 圆 锥 曲 线 问 题 运算量大，很多问 题 可 能 会 因 冗 长 复 杂 的 运 算 而 无法进行到底，在 解 题 中 应 选 择 合 适 的 运 算 方 法 或者采用巧妙的解 题 思 路 化 解 难 点．可 以 利 用 一 些有效的运算方法，如 利 用 向 量 的 坐 标 或 者 利 用 图形的几何性质来 简 化 运 算．而 在 定 性 地 探 索 定 点或定值时一般方法（设而 不求）运 算 量 较 大，这 时采用主元分析（转 化 为 关 于 某 个 参 数 的 不 定 方
３ 巧用割补法，速解立几选择题
（Ａ）槡２３ （Ｂ）槡５１５ （Ｃ）槡５１０ （Ｄ）槡３３
求异 面 直 线 所 成 的角，难 点 在Fra bibliotek于 构 造 平 行
线，当然利 用余弦 定理 求
角也是很麻烦的．虽 然 在
直三棱柱中，解决 这一 问 题并不是很 困难，但 如 果
图５
有更节省时 间 的 办 法，我 们 为 什 么 不 用 呢？ 更 简
线 犘犉２
的
斜
率
为 狔０ ．因 狓０ －１
为
犾１
⊥
犘犉１，犾２
⊥
犘犉２，所 以 直 线犾１
的斜率为
狓０ －
＋１，直
狔０
线犾２
的
斜
率
为
狓０ －
－１ ．
狔０
从
而
直
线犾１
的
方
程
：狔＝
狓０ －
＋１（狓
＋１），①
狔０
直 线犾２
的
方
程
：狔
＝
狓０ －
－１（狓
取槡２，在Ｃ和Ｄ选项中犿 可以取槡２，故令犿 ＝槡２， 此 时函数狔＝（槡２狓 －１）２ 的图象与狔＝槡狓 ＋槡２
图象在［０，１］上没有交点（图 略），不 符 合 题 意．因 此，排除 Ｃ 和 Ｄ．再观察 Ａ，Ｂ 选项的后半部分，令
犿 ＝３，此时函数狔＝（３狓－１）２ 的图象与狔＝槡狓 ＋
３ 图 象 在 ［０，１］上 恰 好 只 有 一 个 交 点 （图 略 ），符 合 题意，故本题应选 Ｂ．这种根据选 项区别 取特殊值 验证题干条件的办法，绝对是避免“小 题 大 做”的 好办法．
角形．因 此，犅１犇１ ＝ 槡３．故 可 得 犃犅２ １ ＝犃犇２１ ＋
犅１犇２ １，ｃｏｓ∠犇１犃犅１
犃犇１ ＝ 犃犅１
＝
槡１０，故 本 题 应
５
选 Ｃ．
若想在高考解题过程 中，面对 具体 题目，能 灵
割补法 是 求 面 积 和 体 积 的 一 种 常 用 方 法．在 活、快捷地选出最佳方法，就要 在平 时的练习 中下
围 是 （ ）．
犆犆１＝１，则异面直线犃犅１ 与犅犆１ 所成角的余弦值
（Ａ）（０，１］∪ ［２槡３，＋ ∞）
为 （ ）．
（Ｂ）（０，１］∪ ［３，＋ ∞）
（Ｃ）（０，槡２］∪ ［２槡３，＋ ∞） （Ｄ）（０，槡２］∪ ［３，＋ ∞）
这 是 二 次 函 数 的 问 题 ，应 该 不 难 ，可 一 旦 做 起 来 总 感 觉 无 从 入 手 ．虽 然 这 是 选 择 题 的 压 轴 题 ，但 我们也不 能 像 做 解 答 题 一 样 分 若 干 类 去 讨 论 计 算 ，那 就 太 费 时 费 力 了 ．怎 么 办 呢 ？ 通 过 观 察 选 项 的前半部分，我们发现：在 Ａ 和 Ｂ 选 项 中 犿 不 能
程）或者由 特 殊 到 一 般 的 手 段 （利 用 特 殊 位 置 先
找出定 点 或 者 定 值，然 后 再 证 明 其 一 般 性 ）就 能
轻 易 地 解 决 困 难 ．本 文 以 两 个 典 型 例 题 展 开 论 述 ，
谈谈如何优化椭圆问题的运算．
１ 运算方法的优化
例 １ （２０１７·江 苏 ）如 图１，在 平 面 直 角 坐 标
的标准
方
程
是狓２ ４
狔２ ＋３
＝
１．（过 程 略 ）
（２）由（１）知，犉１（－１，
０），犉２（１，０）． 设 犘（狓０， 狔０），因 为 点 犘 为 第 一 象
图１
限的点，故狓０ ＞０，狔０ ＞０．
当狓０＝１时，犾２ 与犾１ 相交于犉１，与题设不符．
当 狓０
≠１时，直线 犘犉１
的斜率为 狔０ ，直 狓０ ＋１
单的 方 法 是：补 成 四 棱 柱．如 图 ５，在 直 四 棱 柱 犃犅犆犇犃１犅１犆１犇１ 中， 犃犇１ ∥ 犅犆１， 故 ∠犇１犃犅１ 就是 所 求 的 角．由 勾 股 定 理 得 犃犅１ ＝
槡５，犃犇１ ＝槡２．在 △犃１犅１犇１ 中，犃１犅１ ＝２，犃１犇１
＝１，∠犇１犃１犅１ ＝６０°，所 以 △犃１犅１犇１ 是 直 角 三
系
狓犗狔
中
，椭
圆犈
：狓２ 犪２
狔２ ＋犫２
＝１（犪
＞犫
＞０）的
左
、
右
焦
点
分
别
为犉１，犉２，离
心
率
为
１ ２
，两
准
线
之
间
的
距离为８．点 犘 在椭圆犈 上，且位于第一象限，过
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
的图象有且只有一个交点，则 正 实 数 犿 的 取 值 范 柱 犃犅犆犃１犅１犆１ 中，∠犃犅犆＝１２０°，犃犅＝２，犅犆＝