计数应用题解题策略
数学应用题答题技巧
数学应用题答题技巧
1. 嘿，仔细读题可是关键啊！就像你走路得看清路一样。
比如题目说小明有 5 个苹果，给了小红 2 个，问还剩几个。
你要是没看清数字，那不就答错啦！所以读题要认真仔细，可别马虎哟！
2. 画图解题超有用的呀！这就好比给你一团乱麻，你画个图不就理清啦。
像有道题是算几个图形的面积，你画个图出来，一目了然，答案不就轻松找到啦！
3. 找关键信息很重要呢！好比在一堆东西里找宝贝。
比如题目里说周末去公园，那这就是个重要提示呢，做题可得抓住这些关键啊，不然咋答对呢！
4. 大胆假设也不错呀！就像摸着石头过河。
比如算一个数除以另一个数是多少，你先假设一个数试试看，说不定就能找到规律呢！
5. 检查答案可不能忘啊！这就像出门前得照照镜子看看有没有问题。
做完题检查下步骤对不对，算的数对不对，这样才放心呀！
6. 多思考几种方法呀，别在一棵树上吊死！好比去一个地方可以走好几条路呢。
一道题可能有多种解法，都试试，说不定有更简单快捷的呢！
7. 不要死磕难题呀，该放就放！就像爬山遇到陡壁，先绕过去嘛。
要是一道题难住了，别一直纠结，先去做后面的，最后再回来看看，说不定就有灵感啦！
总之，掌握这些数学应用题答题技巧，做题就会又快又准，不信你试试呀！。
“计数问题”的解决策略
“计数问题”的解决策略摘要：计数问题是高中数学的重要内容之一，是学习概率的基础，在高考中几乎每年必考，由于它的重要性和解题特殊性，本文对此块问题的解题策略进行了总结。
关键词：计数排列组合策略计数问题是高中数学的重要内容之一，是学习概率的基础，纵观这几年高考数学试题，计数题在理科试题中基本上每年必考，特别是与概率或随机变量的分布结合在高考中占有相当大的比例，而解决计数问题的思考方法和解题方法都有它的特殊性：概念性强，抽象灵活，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”和“遗漏”的错误，并且结果数字往往较大，无法一一检验。
这些特征导致学生学习计数方法比较困难，笔者认为解决此困难的关键是加深概念的理解，特别是两个计数原理和排列组合公式，掌握知识的内在联系和区别，科学周全地思考分析问题。
一、计数题常见问题及解决策略由于排列组合问题的重要性，教师在平时的教学中，都会对于排列组合题中涉及的一些典型类型如：相邻和不相邻、先排和后排、分配和分组等问题进行策略性教学。
以下是笔者在平时教学中整理的排列组合问题常见的解题策略：学了这些策略后，学生可通过抓住关键字如相邻不相邻，分组分配等选择对应的策略来解题，至少学生觉得排列组合题没那么难入手，它其实也是有规律可循的，在一定程度上降低了学习排列组合的难度。
二、教学方法俗话说“师傅引进门，修行靠个人”，虽然学习的主要方在学生，但教师的“引”若引得好引得妙，可让学生的“修行”事半功倍，所以教师一定要“演”好自己的主导。
笔者在“引”上又有自己的两点建议：1、以上那么多的策略，学生如何掌握呢？而这些策略是一些技巧性较强或机械化的解题方法，如果单靠死记硬背，很难灵活运用。
笔者认为要引导学生从最本质的地方入手，理解好两个计数原理的本质，再用两个计数原理去理解它们。
只有理解透了，当遇到类似的题型时，就会“下笔如有神”了。
另一方面要让学生领悟到排列组合公式是简化复杂的排列组合问题的一个公式，它们适用于元素不同，且不能重复取的类型，若遇到不是这种题型的，就不能“A”或“C”了，而要能想到用最原始的方法穷举法或画树状图帮助理解突破少见题。
浅谈常见计数问题的解析策略
㊀㊀㊀解题技巧与方法１２３㊀数学学习与研究㊀２０２０ １３浅谈常见计数问题的解析策略浅谈常见计数问题的解析策略Һ郑有礼㊀（甘肃省天祝县第二中学，甘肃㊀武威㊀７３３２９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ计数问题是每年高考命题的热点，列式的思路是分类加法㊁分步乘法㊁有序排列㊁无序组合．解决此类问题，首先，要认真审题，抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个计数原理（分类加法计数原理与分步乘法计数原理）进行分类与分步，分类与分步是解析计数问题的最基本的步骤；其次，分类与分步之后，要考虑每一类㊁每一步的列式方案，分析是否存在类中有类㊁类中有步㊁步中有类㊁步中有步的情况；再次，求种数时，如果与顺序有关，那么用排列数列式；如果与顺序无关，那么用组合数列式．ʌ关键词ɔ计数问题；解析策略计数问题是每年高考命题的热点，列式的思路是分类加法㊁分步乘法㊁有序排列㊁无序组合．分类加法计数原理的特征是分类解决问题，分类必须满足类与类互斥，总类必须完备；分步乘法计数原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性．求种数时，与顺序有关，用排列数列式；与顺序无关，用组合数列式．相邻㊁相离㊁定序㊁选排㊁特殊位置㊁特殊元素㊁平均分组㊁相同元素分栏㊁至多至少等问题是一些常见的计数问题，现将它们的解析策略列举如下．一㊁相邻问题捆绑处理求解某几个元素必须相邻的排列问题时可按下面两个步骤进行：第一步，把相邻元素进行排列后捆绑成一个捆绑团；第二步，将捆绑团视为一个元素与其他元素进行全排列．例１㊀某校校庆期间，学校将８面不同颜色的彩旗并排插在教学楼的楼顶上，红色旗与黄色旗必须插在一起，一共有多少种不同的插法？解析㊀该问题中，红色旗与黄色旗必须插在一起是相邻问题，应分两步解决：第一步，将相邻的２个元素进行排列，有Ａ２２种排法，并将２个相邻元素捆绑成一个捆绑团；第二步，将捆绑团视为１个元素，连同其他６个元素一共７个元素进行全排列，有Ａ７７种排法．根据分步乘法计数原理，一共有Ａ２２㊃Ａ７７＝１００８０种不同的插法．二㊁相离问题插空处理相离问题是指排列时某些元素不能相邻，由其他元素将它们分开．解析此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻元素插入已排好元素的空隙及两端位置．例２㊀已知天祝县第二中学高三年级组的９名班主任站成一排照相，其中要求永强与志杰两个人必须站在一起，而海军和福学两个人不能站在一起，则有多少种站队方法？解析㊀该问题中永强与志杰相邻，海军和福学相离，是相邻与相离的综合问题，总体分三步解决：第一步，将相邻的永强与志杰两个人进行排列，有Ａ２２种排法，并将这两个人捆绑成一个捆绑团；第二步，将捆绑团视为１个元素，连同海军和福学除外的其他５个元素一共６个元素进行全排列，有Ａ６６种站法；第三步，将海军和福学插入已排好的班主任的空隙及两端位置，有Ａ２７种站法．根据分步乘法计数原理，一共有Ａ２２㊃Ａ６６㊃Ａ２７＝６０４８０种不同的站队方法．三㊁定序问题分次插空处理限定部分元素保持一定的顺序与其他元素进行排列的问题就是定序问题．解析定序问题可以先将定序的元素按要求排好，再将其他元素一次插入一个，分次插入已排好元素的空隙及两端位置，每插入一个元素就会增加一个插入位置．例３㊀ 六一 儿童节期间，武威市天祝师范附属小学的６名小朋友站队，其中有３名男性小朋友，他们分别是强强㊁军军与杰杰，站队时强强必须要站在军军与杰杰的后面，则有多少种不同的站法？解析㊀该问题中男性小朋友强强必须要站在军军与杰杰的后面属于定序问题，总体分两步解决：第一步，将３名男性小朋友按规定顺序排好队，有Ａ２２种排法；第二步，分次插空，先将第一名女性小朋友插入已排好的男性小朋友的空隙及两端位置，有４种插法，再将第二名女性小朋友插入已排好的４名小朋友的空隙及两端位置，有５种插法，最后将第三名女性小朋友插入已排好的５名小朋友的空隙及两端位置，有６种插法，完成第二步根据分步乘法计数原理有４ˑ５ˑ６＝１２０种插法．总体上依据分步乘法计数原理一共有Ａ２２㊃１２０＝２４０种不同的站队方法．四㊁选排问题先选排后分步处理先选出元素，再把选出的元素排列到位置上的排列组合的综合性问题就是选排问题．解析此类问题可以分步进行，先用组合选出元素，再用排列将选出的元素排到位置上．例４㊀在天祝县第二中学第十一届冬季球类运动会期间，学校团委组织了一个有７名志愿者参加的服务小组，其中２名老师担任正副组长，组员由５名学生组成．现有四项不同的任务需４名志愿者完成，有且只有１名组长参加，每名志愿者只完成一项任务，有多少种不同的安排方法？解析㊀该问题中需先选志愿者，再安排选出的志愿者完成四项不同的任务，属于选排问题，总体分两步解决：第一步，选出４名志愿者，先在２名组长中选出１人，有Ｃ１２种选法，再在５名学生志愿者中选出３人，有Ｃ３５种选法，完成第一步根据分步乘法计数原理有Ｃ１２㊃Ｃ３５＝２０种不同的选法；第二步，安排４名选出的志愿者完成四项不同的任务，有Ａ４４＝２４种排法．总体上依据分步乘法计数原理，一共有２０ˑ２４＝４８０种不同的安排方法．五㊁特殊元素（位置）优先处理在排列中，有时限定某元素必须排在某位置或某元素不能排在某位置，有时限定某位置只能排某元素或者某位置不能排某元素，这种问题就是特殊元素（位置）问题，解析此类问题可以先将特殊元素（位置）优先处理，再将其他元素进行排列．例５㊀安排甘肃省武威市天祝县某医院的６名护士上台表演节目，每人一个节目，其中要求丽丽的节目不能安排在最后位置，岚岚的节目不能安排在最前位置，则有多少种㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２４数学学习与研究㊀２０２０ １３不同的节目安排方法？解析㊀该问题中要求丽丽的节目不能安排在最后位置，岚岚的节目不能安排在最前位置．最前与最后是两个特殊位置，丽丽和岚岚是两个特殊的 元素 ，可以先将她们优先安排．总体上可以分为两类：第一类是将岚岚的节目安排在最后，有Ａ５５＝１２０种安排方法；第二类是将岚岚的节目不安排在最后，分三步完成，第一步把岚岚的节目安排好有４种方法，第二步把丽丽的节目安排好有４种方法，第三步将其他的节目安排好有Ａ４４＝２４种方法，根据分步乘法计数原理完成第二类有４ˑ４ˑ２４＝３８４种不同的安排方法．总体上依据分类加法计数原理一共有１２０＋３８４＝５０４种不同的安排方法．六㊁平均分组问题做除法处理各组的元素个数相等的分组就是平均分组，解析平均分组问题时，先分组（用组合），再做除法．平均分组的种数与组序无关，组序不同但组中元素相同的分组仍是同一分组．做除法是为了避免重复计数．若把ｎ个不同元素平均分成ｍ组，则有Ｃｍｎ㊃Ｃｍｎ－ｍ㊃Ｃｍｎ－２ｍ㊃ ㊃ＣｍｍＡｍｍ种分法．在有些分组中，有一部分组的元素个数相等，这种分组就是部分平均分组，解析部分平均分组问题可以分两个步骤进行，第一步依次用组合把元素个数不相等的组中的元素分别取出来，第二步把剩下的元素进行平均分组（此时也要做除法）．例６㊀２０２０年年初，新冠肺炎疫情暴发，人民生命安全受到严重威胁．疫情既是命令又是试金石，为了更好地防控新冠肺炎疫情，打好疫情防控阻击战，充分发挥共产党员的先锋模范带头作用，甘肃省武威市天祝县某单位的共产党员们争先恐后地提交到社区支援疫情防控工作的申请．若该单位决定将６名优秀共产党员平均分成三组安排到三个不同社区支援疫情防控，有多少种不同的安排方法？若该单位决定将７名优秀共产党员按３ʒ２ʒ２的比分成三组分别安排到三个不同社区支援疫情防控，又有多少种不同的安排方法？解析㊀第一问中，完成该工作分两步进行，第一步将６名优秀共产党员平均分成三组，有Ｃ２６㊃Ｃ２４㊃Ｃ２２Ａ３３＝１５种分法；第二步将分成的三组优秀共产党员安排到三个不同社区有Ａ３３＝６种安排方法．总体上按照分步乘法计数原理一共有１５ˑ６＝９０种不同的安排方法．第二问中，完成该工作也分两步进行，第一步将７名优秀共产党员按３ʒ２ʒ２的比分成三组，是部分平均分组，有Ｃ３７㊃Ｃ２４㊃Ｃ２２Ａ２２＝１０５种分法；第二步将分成的三组优秀共产党员安排到三个不同社区有Ａ３３＝６种安排方法．总体上按照分步乘法计数原理一共有１０５ˑ６＝６３０种不同的安排方法．七㊁相同元素分栏问题插板处理把相同的ｎ个元素分入ｍ（ｍɤｎ）个栏中就是相同元素的分栏问题，若满足所要分栏的元素必须完全相同且必须分完，不允许有剩余，参与分元素的每个栏至少分到１个元素且不能有分不到元素的栏，则可用插入挡板的方法处理．先将ｎ个分栏元素排成一行，再在元素间的（ｎ－１）个空隙中插入（ｍ－１）个挡板，一个空隙只能插入一个挡板，插入的挡板数等于栏数减一，有Ｃｍ－１ｎ－１种分法．例７㊀２０２０年春季，新冠肺炎疫情暴发，严重影响着人们的生命㊁生产㊁生活．在党中央的领导下，一场轰轰烈烈的抗击疫情的伟大的人民战争在中华大地全面展开，疫情防控取得阶段性胜利，经过科学研判论证，各地中小学先后有序开学．甘肃省武威市某中学自开学以来，认真贯彻执行疫情防控命令，为确保全校师生的生命安全和身体健康，学校的每个年级部都安排专人按时进行严格的消毒杀菌工作．现有爱心人士华某某给学校捐赠了１１瓶相同的８４消毒液和９条相同的毛巾，要求全部分发给６个年级部，每个年级部至少要分得１瓶８４消毒液，也至少要分得１条毛巾，则有多少种不同的分法？解析㊀给年级部分发８４消毒液和毛巾，分两步进行，第一步按要求将１１瓶８４消毒液分发给６个年级部，这是相同元素分栏问题，把１１瓶８４消毒液排成一行，在８４消毒液间的１０个空隙中插入５个挡板，有Ｃ５１０＝２５２种分法；第二步按要求将９条毛巾分发给６个年级部，这也是相同元素分栏问题，把９条毛巾排成一行，在毛巾间的８个空隙中插入５个挡板，有Ｃ５８＝５６种分法．总体上按照分步乘法计数原理一共有２５２ˑ５６＝１４１１２种不同的分法．八㊁至多至少问题正难则反间接处理从正面解析含 至多 至少 的排列组合问题是需要分类的，正面分类处理较烦琐时可间接处理．解析此类问题可以先求出它的反面，再从整体中排除反面的种数．例８㊀优先发展教育事业是实现中华民族伟大复兴的必由之路，教育兴则国兴，教师强则教育强．教师是立教之本，建设一支业务素质精良的教师队伍是时代发展的需要．到教育发达省份去交流学习是提高教师队伍综合素质的有效途径．２０１９年，甘肃省武威市天祝县第二中学的高三年级部有３０名教师，其中女教师有１６名，高考结束后，学校决定从中选派６名教师到天津市蓟州区某学校交流学习，则至少有２名女教师的选派方法有多少种？解析㊀从３０名教师中选派６名教师有Ｃ６３０＝５９３７７５种方法，至少有２名女教师的选派方法包含恰好选派２名女教师㊁恰好选派３名女教师㊁恰好选派４名女教师㊁恰好选派５名女教师㊁恰好选派６名女教师等５类情况，正面求解运算量较大．而其反面至多有１名女教师包含的情况只有２类，第一类是恰好选派１名女教师，有Ｃ１１６㊃Ｃ５１４＝３２０３２种选派方法；第二类是全部选派男教师，有Ｃ６１４＝３００３种选派方法．依据分类加法计数原理至多有１名女教师的选派方法有３２０３２＋３００３＝３５０３５种，故至少有２名女教师的选派方法有５９３７７５－３５０３５＝５５８７４０种．总之，计数问题的种类比较多，分类与分步是解决计数问题的最基本的策略．除了相邻㊁相离㊁定序㊁选排㊁特殊元素㊁特殊位置㊁平均分组㊁相同元素分栏及至多至少等问题，还有其他计数问题，是每年高考命题的热点．解决计数综合问题，首先，要加强阅读理解，认真审题，抓住问题的本质特征，总体上确定要分类解决还是分步解决．其次，如果总体上要分类解决，那么求出各类的种数之后用分类加法计数原理列式；如果总体上要分步解决，那么求出各步的种数之后用分步乘法计数原理列式．分类与分步之后，要考虑每一类㊁每一步的列式方案，分析是否存在类中有类㊁类中有步㊁步中有类㊁步中有步的情况，如果存在，那么用相应的计数原理给这一类或这一步求种数．求种数时，如果与顺序有关，那么用排列数列式；如果与顺序无关，那么用组合数列式．。
高中数学第一章计数原理1.4计数应用题排列组合难题二十一种方法素材苏教版选修2-3
轻松搞定摆列组合难题二十一种方法摆列合系生风趣，但型多，思路灵巧，所以解决摆列合，第一要真，弄清楚是摆列、合是摆列与合合；其次要抓住的本特色，采纳合理适合的方法来理。
复稳固1.分数原理 ( 加法原理 )达成一件事，有n 法，在第1法中有 m1种不一样的方法，在第 2 法中有m2种不一样的方法，⋯，在第n 法中有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2L m n种不一样的方法．2.分步数原理（乘法原理）达成一件事，需要分红n 个步，做第1步有 m1种不一样的方法，做第 2 步有m2种不一样的方法，⋯，做第n 步有 m n种不一样的方法，那么达成件事共有：N m1m2L m n种不一样的方法．3.分数原理分步数原理区分数原理方法互相独立，任何一种方法都能够独立地达成件事。
分步数原理各步互相依存，每步中的方法达成事件的一个段，不可以达成整个事件．解决摆列合合性的一般程以下:1.真弄清要做什么事2.怎做才能达成所要做的事 , 即采纳分步是分 , 或是分步与分同行 , 确立分多少步及多少。
3.确立每一步或每一是摆列 ( 有序 ) 是合 ( 无序 ) , 元素数是多少及拿出多少个元素 .4.解决摆列合合性，常常与步交错，所以必掌握一些常用的解策略一 . 特别元素和特别地点先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5能够构成多少个没有重复数字五位奇数.解 : 因为末位和首位有特别要求 , 应当优先安排 , 免得不合要求的元素占了这两个地点 . 先排末位共有 C13而后排首位共有 C14C14A34C13最后排其余地点共有A43由分步计数原理得 C41C31 A43288地点剖析法和元素剖析法是解决摆列组合问题最常用也是最基本的方法, 若以元素剖析为主 , 需先安排特别元素 , 再办理其余元素 . 若以地点剖析为主 , 需先知足特别地点的要求, 再办理其余位置。
如有多个拘束条件，常常是考虑一个拘束条件的同时还要兼备其余条件练习题 :7 种不一样的花种在排成一列的花盆里, 若两种葵花不种在中间，也不种在两头的花盆里，问有多少不一样的种法？二 . 相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排,此中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不一样的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并当作一个复合元素，同时丙丁也当作一个复合元素，再与其余元素进行摆列，同时对相邻元素内部进行自排。
初中数学中的计数方法与思路
初中数学中的计数方法与思路数学是一门需要思考和解决问题的学科，而计数方法是数学中最基础、最常用的思维工具之一。
在初中数学中，计数方法涉及到了排列、组合、概率等概念，通过灵活运用计数方法，可以帮助我们解决各种问题。
一、排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序选取若干个元素的方式。
在初中数学中，我们常常遇到的一个问题是“从n个元素中选取m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式？”。
这个问题可以通过排列的计数方法进行解决。
当n个元素中选取m个元素进行排列时，首先我们需要确定第一个元素的选择，有n种可能性；然后是第二个元素的选择，由于第一个元素已经被选取，所以剩下的元素只有n-1个可选，因此有n-1种可能性；以此类推，直到选取了m个元素，总的排列方式就是n(n-1)(n-2)...(n-m+1)。
这个计算公式可以简写为n!/(n-m)!，其中“!”表示阶乘运算。
二、组合组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，与排列不同的是，组合不考虑元素的顺序。
在初中数学中，我们经常会遇到类似的问题：“从n个元素中选取m个元素进行组合，有多少种不同的组合方式？”这个问题可以通过组合的计数方法进行解决。
当n个元素中选取m个元素进行组合时，我们可以先进行排列，然后将相同的排列方式归为一组，因为这些排列方式实际上是属于同一个组合的。
所以，总的组合方式可以通过排列方式除以重复的排列数来计算，即C(n,m)=P(n,m)/m!，其中C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数。
三、概率概率是数学中一个非常重要的概念，它描述了某个事件发生的可能性大小。
在初中数学中，我们学习了一些基本的概率计算方法。
例如，当一个事件有n种可能的结果，而我们关心的结果有m种时，该事件发生的概率就是m/n。
在计算概率时，我们常常会遇到一些复杂的情况，这时候可以利用计数方法来辅助计算。
例如，当一个事件有多个步骤时，我们可以将每个步骤的可能结果数相乘，得到整个事件发生的总的可能结果数。
专题九__计数问题中的技巧方法
专题九 计数问题中的技巧方法例1 红色和白色的椅子各有5张，围成一个圆圈，共有多少种不同的排法？同色的椅子是没有区别的，经旋转后排列的顺序一致的排法只算1种．例2 一个7×7的棋盘的2个方格着黄色，其余的方格着绿色．如果一种着色法可从另一种着色法经过在棋盘的平面中的旋转而得到，那么这两种着色法看做同一种．可能有多少种不同的着色法？例3 一个150×324×375的长方体由1×1×1的单位立方体胶合在一起而做成的．这长方体的一条内对角线穿过多少个单位立方体的内部？例4 设集合A={1，2，…，10}．A 到A 的映射f 满足下列两个条件：（1）对任意X ∈A ，f (30)（x ）=x ；（2）对每个正整数k ，1≤k ≤29，至少存在一个a ∈A ，使得f (k)（a ）≠a ．其中f (1)（x ）=f （x ），f (2)（x ）=f （f （x ）），…，f(k+1)（x ）=f （f (k)（x ）），…．求这样的映射的总数，例5 正方形ABCD 的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。
问：一共可以剪成多少个三角形？共需剪多少刀？例6 圆周上有100个等分点123100,,,,A A A A ，集合{|1100}i j k S A A A i j k =∆≤<<≤.（1）求集合S 中元素的个数；（2）若T S ⊆，集合T 满足：任意两个三角形都不全等且集合T 内元素个数最多，求集合T 中元素的个数.(3)求集合T 中锐角三角形的个数.例7 某人给六个不同的收信人写了六封信，并且准备了六个写有收信人地址的信封，有多少种投放信笺的方法，使每封信笺与信封上的收信人都不相符．例8 在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位.为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？例9 下图中将等边三角形每边3等分，过等分点作每边平行线，这样所形成的平行四边形个数，记为f （3），则f （3）=15．将等边三角形每边n 等分，过各分点作各边平行线，所形成的平行四边形个数记为f （n ），求f （n ）表达式．例10 设n 和k 是正整数，S 是平面上n 个点的集合，满足：（1）S 中任何三点不共线；（2）对S 中的每一个点P ，S 中至少存在k 个点与P 距离相等．求证：12k <+例11 有10个箱子，编号为1，2，…，10，各配一把钥匙，10把各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好，先撬开1，2号箱子，取出钥匙去开别的箱子，如果最终能把所有箱子的锁都打开，则说是一种好的放钥匙的方法.求好的方法的总数.例12 数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。
小学数学练习题应用题的解题方法与思路
小学数学练习题应用题的解题方法与思路小学数学练习题中，应用题是一种常见的题型，需要学生运用数学知识解决实际问题。
正确的解题方法和思路对于学生的数学素养和解决问题的能力都至关重要。
本文将介绍一些针对小学数学应用题的解题方法和思路，以帮助学生提高解题效率和准确性。
一、理解题意在解答应用题之前，首先要仔细阅读题目，并确保对题意充分理解。
有时候，一个关键的细节就能决定解题的方向。
在阅读题目时，可以使用划线、圈出重要信息的方式，帮助自己更好地理解题意。
例如，一道题目：“小明有20个苹果，他吃掉了5个，又买了10个，现在还剩下多少个苹果？”在阅读题目时，划线标出关键信息可以帮助学生更好地进行解题。
二、抽象建模应用题通常涉及到实际生活中的问题，需要将问题抽象化为数学模型。
在解决问题之前，学生可以思考如何用数学工具来描述问题，并建立相应的方程或公式。
例如，一个问题是“小明买了5本数学书，每本书的价格是15元，他花了多少钱？”学生可以用数学符号表示出问题中的关键信息：书的数量为5，价格为15元。
可以建立方程5×15=？三、分步解决针对复杂的应用题，学生可以采用分步解决的方法。
将问题分解为几个较为简单的步骤，逐个解决，最后将结果合并起来得出最终答案。
例如，一个问题是“小明爸爸的年龄是小明年龄的3倍，小明今年8岁，那么他爸爸今年几岁？”学生可以分步解决，首先计算出小明爸爸的年龄，即8×3=24岁。
四、实际操作对于某些应用题，仅仅通过思考可能不够，学生还可以通过实际操作来解决问题。
例如，使用实物模型、绘制图表或制作图形等方式，帮助自己更好地理解问题并找到解决方法。
例如，一个问题是“班级里有30个学生，其中男生占总数的三分之二，女生有多少人？”学生可以使用物理对象（如可乐瓶）来模拟，将30个学生以三分之二和三分之一的比例分别摆放出来，然后数一数剩下多少个女生。
五、反思总结在解决应用题之后，学生应该对自己的解题过程进行反思总结。
计数原理解题技巧
计数原理解题技巧计数原理是数学中的一个重要概念，它在解题过程中有着广泛的应用。
掌握计数原理解题技巧，可以帮助我们更好地理解和解决各种问题。
在这篇文档中，我将介绍一些计数原理解题的技巧，希望能够对大家有所帮助。
首先，我们来了解一下计数原理的基本概念。
计数原理是指在一定条件下，通过计数的方法求出某种可能性的总数。
在解题过程中，我们常常会遇到各种各样的计数问题，比如排列组合、概率统计等。
而计数原理正是帮助我们解决这些问题的重要工具。
在解决计数问题时，我们需要注意以下几点技巧。
首先，要明确问题所涉及的对象和条件。
只有明确了问题的对象和条件，我们才能有针对性地进行计数。
其次，要善于利用分类的方法。
有时候，一个复杂的计数问题可以通过将其分解成几个简单的子问题来解决。
再次，要善于利用排列组合的知识。
排列组合是计数原理中的重要内容，我们可以通过排列组合的方法来解决很多计数问题。
最后，要注意化繁为简，善于简化问题。
有些复杂的计数问题可以通过适当地简化来减少计算的复杂度。
除了以上提到的技巧外，我们在解决计数问题时还需要注意一些常见的误区。
首先，要避免重复计数。
有些问题中存在着重复计数的情况，我们需要特别注意避免这种情况的发生。
其次，要避免漏计。
有时候，我们在计数过程中会漏掉一些情况，导致最终结果不准确。
最后，要注意问题的合理性。
有些问题可能存在着一些隐含的条件，我们需要在计算过程中将这些条件考虑进去，以确保最终结果的准确性。
总的来说，掌握计数原理解题技巧对于我们解决各种计数问题至关重要。
通过灵活运用分类、排列组合等方法，我们可以更好地解决各种计数问题。
同时，我们也需要注意避免一些常见的误区，确保问题的解答准确性。
希望这些技巧能够对大家在解决计数问题时有所帮助。
在实际的学习和工作中，我们经常会遇到各种各样的计数问题。
掌握计数原理解题技巧，可以帮助我们更好地理解和解决这些问题。
希望大家能够通过不断的练习和思考，提高自己的计数解题能力，更好地应对各种挑战。
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计数应用题解题策略 Last revision date: 13 December 2020.
计数应用题解题策略
————《数学》选修2-3§1.4《计数应用题》教学反思
沛县体育中学李锋
计数应用题是排列组合中最常见的题型，由于其解法往往是构造性的,因此方法灵活多样,不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。
因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。
以下结合一些例题讲述了在解决计数应用题时的一般步骤和需要注意的细节。
一、把握分类计数原理、分步计数原理是基础
例1．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。
现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法
解：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。
以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。
第一类：这两个人都去当钳工，有种；第二类：这两人有一个去当钳工，有种；第三类：这两人都不去当钳工，有种。
因而共有185种。
小结：把握了“分类的要求”和“分步的合理性”，解决排列组合问题就快速多了。
并能提高解题的准确度。
二、注意区别“恰好”与“至少”
例2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_____。
解：通过合理的分步可以完成任务。
第一步从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；第二步从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法；第三步从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法。
由于选取与顺序无关，因而第二步和第三步中的选法重复一次，因而共240A C C C 221
811016 种。
小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。
“至少有一个”则是“有一个或一个
以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。
三、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
例3．六人站成一排，求：
(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数
(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数
解：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。
第一类：乙在排头，有种站法。
第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，共504种站法
（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法；第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法；第三类：甲不在排尾,乙在排头，有种方法；第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。
共有312种方法。
小结：1、“在”与“不在”可以相互转化。
解决某些元素在某些位置上用“定位法”，解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解。
2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏”现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。
为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案
四、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
例4、7名学生排成一排，下列情况各有多少种不同的排法？
（1）甲、乙必须站在一起；
（2）甲、乙互不相邻。
解：（1）将甲、乙二人看作一个元素，先排甲、乙有2
2A 种，然后再与其他5人构成6个
元素进行全排列，有1440A A 662
2=种方法。
（2）先排除甲、乙二人外的5人有5
5A 种，产生6个空，把甲、乙二人插空有
3600A A 265
5=种方法。
小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。
“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.
五、混合问题，先“组”后“排”
例5对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？
解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。
故有：
576A C C 44163
4=种可能
小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。
六、分清排列、组合、等分的算法区别
例6、有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？
（1）分成1本、23本；
（2）分给甲、乙、丙三人,其中1人一本，1人二本、1人三本；
（3）分成三份,每份2本
解:(1)分三步：先选一本有1
6C 种选法；再从余下的5本中选2本有25C 种选法；最后余下
的3本全选有3
3C 种。
由分步计数原理知，分配方法共有：60C C C 332516=种。
（2）由于甲、乙、丙三人是不同的三个人，在（1）的基础上，还应考虑再分配问题，
因此，分配方法共有：360A C C C 3333251
6=种。
（3）先分三步：则应是222426
C C C 种方法，但是这里出现重复，不防记六本书为A 、B 、C 、
D 、
E 、
F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF 。
记该种分法为（AB 、CD 、
EF ）则222426
C C C 种分法中还有（AB 、EF 、C
D ）、(CD 、AB 、EF)、(CD 、EF 、AB)、（EF 、CD 、AB ）、(EF 、AB 、CD)、共3
3A 种情况，而且这33A 种情况是AB 、CD 、EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有：15A C C C 3
3
222426=种。
小结：平均分组问题：一般来说，km 个不同的元素分成k 组，每组m 个，则不同 的分法有：k
k m
m m 1)m -(k m k m A C C C 种。
七、分类组合,隔板处理
例7某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代队，参加中学生数学竞赛活动，使代表队中每班至少1人参加的选法有多少种？
解:问题相当于把个12相同球放入7个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法这类问可用
“隔板法”处理，把6块隔板插在11个间隔中，共有462C 611
=种。
小结：把n 个相同元素分成m 份每份,至少1个元素,问有多少种不同分法的问题可以采
用“隔板法”得出共有1-m
1-n C 种.。