计数应用题解题策略

计数应用题解题策略 Last revision date: 13 December 2020.

计数应用题解题策略

————《数学》选修2-3§1.4《计数应用题》教学反思

沛县体育中学李锋

计数应用题是排列组合中最常见的题型，由于其解法往往是构造性的,因此方法灵活多样,不同解法导致问题难易变化也较大，而且解题过程出现“重复”和“遗漏”的错误较难自检发现。因而对这类问题归纳总结，并把握一些常见解题模型是必要的。以下结合一些例题讲述了在解决计数应用题时的一般步骤和需要注意的细节。

一、把握分类计数原理、分步计数原理是基础

例1．在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法

解：采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。以两个全能的工人为分类的对象，考虑以他们当中有几个去当钳工为分类标准。第一类：这两个人都去当钳工，有种；第二类：这两人有一个去当钳工，有种；第三类：这两人都不去当钳工，有种。因而共有185种。

小结：把握了“分类的要求”和“分步的合理性”，解决排列组合问题就快速多了。并能提高解题的准确度。

二、注意区别“恰好”与“至少”

例2．从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有_____。 解：通过合理的分步可以完成任务。第一步从6双中选出一双同色的手套，有6种方法；第二步从剩下的十只手套中任选一只，有10种方法；第三步从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有8种方法。由于选取与顺序无关，因而第二步和第三步中的选法重复一次，因而共240A C C C 221

811016 种。 小结：“恰好有一个”是“只有一个”的意思。“至少有一个”则是“有一个或一个

以上”，可用分类讨论法求解，它也是“没有一个”的反面，故可用“排除法”。

三、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑

例3．六人站成一排，求：

(1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数

(2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数

解：（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

第一类：乙在排头，有种站法。第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法，共504种站法

（2）第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法；第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法；第三类：甲不在排尾,乙在排头，有种方法；第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法。共有312种方法。

小结：1、“在”与“不在”可以相互转化。解决某些元素在某些位置上用“定位法”，解决某些元素不在某些位置上一般用“间接法”或转化为“在”的问题求解。

2、排列组合应用题极易出现“重”、“漏”现象，而重”、“漏”错误常发生在该不该分类、有无次序的问题上。为了更好地防“重”堵“漏”，在做题时需认真分析自己做题思路，也可改变解题角度，利用一题多解核对答案

四、“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”

例4、7名学生排成一排，下列情况各有多少种不同的排法？

（1）甲、乙必须站在一起；

（2）甲、乙互不相邻。

解：（1）将甲、乙二人看作一个元素，先排甲、乙有2

2A 种，然后再与其他5人构成6个

元素进行全排列，有1440A A 662

2=种方法。

（2）先排除甲、乙二人外的5人有5

5A 种，产生6个空，把甲、乙二人插空有

3600A A 265

5=种方法。

小结：以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定.

五、混合问题，先“组”后“排”

例5对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？

解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：

576A C C 44163

4=种可能

小结：本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先元素（即组合）后排列。

六、分清排列、组合、等分的算法区别

例6、有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方式？

（1）分成1本、23本；

（2）分给甲、乙、丙三人,其中1人一本，1人二本、1人三本；

（3）分成三份,每份2本

解:(1)分三步：先选一本有1

6C 种选法；再从余下的5本中选2本有25C 种选法；最后余下

的3本全选有3

3C 种。由分步计数原理知，分配方法共有：60C C C 332516=种。

（2）由于甲、乙、丙三人是不同的三个人，在（1）的基础上，还应考虑再分配问题，

因此，分配方法共有：360A C C C 3333251

6=种。

（3）先分三步：则应是222426

C C C 种方法，但是这里出现重复，不防记六本书为A 、B 、C 、

D 、

E 、

F ，若第一步取了AB ，第二步取了CD ，第三步取了EF 。记该种分法为（AB 、CD 、

EF ）则222426

C C C 种分法中还有（AB 、EF 、C

D ）、(CD 、AB 、EF)、(CD 、EF 、AB)、（EF 、CD 、AB ）、(EF 、AB 、CD)、共3

3A 种情况，而且这33A 种情况是AB 、CD 、EF 的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有：15A C C C 3

3

222426=种。 小结：平均分组问题：一般来说，km 个不同的元素分成k 组，每组m 个，则不同 的分法有：k

k m

m m 1)m -(k m k m A C C C 种。

七、分类组合,隔板处理

例7某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代队，参加中学生数学竞赛活动，使代表队中每班至少1人参加的选法有多少种？

解:问题相当于把个12相同球放入7个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法这类问可用

“隔板法”处理，把6块隔板插在11个间隔中，共有462C 611

=种。 小结：把n 个相同元素分成m 份每份,至少1个元素,问有多少种不同分法的问题可以采

用“隔板法”得出共有1-m

1-n C 种.