初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第6讲 转化—可化为一元二次方程的方程
人教版九年级数学解一元二次方程讲义(含解析)
第2讲解一元二次方程∣⅛∣知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是- 元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法, 为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。
特殊的一元二次方程的解法特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解：（1）解一元二次方程——直接开平方法形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±Jp ；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0的形式，那么nx+m=± Jp .注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数；①降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程；①方法是根据平方根的意义开平方.(2)解一元二次方程——因式分解法通过将一元二次方程因式分解成(X-P) (x-q) =O的形式，进而将一元二次方程的求解过程转化成求解两个一元一次方程的方法叫因式分解法。
因式分解法的一般步骤：①移项，将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解•一般的一元二次方程的解法■ 9HrIB≡WI9≡HB99VWBS SWB9*mBBWaB9⅞-nB≡nB≡9HB9SVWB9*HraB≡PnB≡WI99T,VB9SVWB9S l HB!l'(VaB≡'1一般的一元二次方程的解法主要有两种即配方法和公式法：(1)解一元二次方程一一配方法将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
2021年江西省中考数学复习第6讲 一元二次方程及其应用(精选练习)
第6讲 一元二次方程及其应用一、选择题1．(2020·泰安)将一元二次方程x 2－8x －5＝0化成(x ＋a )2＝b (a ，b 为常数)的形式，则a ，b 的值分别是( A )A ．－4，21B ．－4，11C ．4，21D ．－8，692．(2020·临沂)一元二次方程x 2－4x －8＝0的解是( B )A ．x 1＝－2＋2 3 ，x 2＝－2－2 3B ．x 1＝2＋2 3 ，x 2＝2－2 3C ．x 1＝2＋2 2 ，x 2＝2－2 2D ．x 1＝2 3 ，x 2＝－2 33．(2020·河南)定义运算：m ☆n ＝mn 2－mn －1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x ＝0的根的情况为( A )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根4．(2020·江西上饶模拟)某公司前年缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x ，则列方程( D )A ．20(1＋x )3＝24.2B ．20(1－x )2＝24.2C .20＋20(1＋x )2＝24.2D ．20(1＋x )2＝24.25．(2020·江西南昌二模)已知矩形的长和宽是方程x 2－7x ＋8＝0的两个实数根，则矩形的对角线的长为( D )A ．6B ．7C ．41D ．336．(2020·铜仁)已知m ，n ，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m ，n 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋2＝0的两个根，则k 的值等于( B )A ．7B ．7或6C ．6或－7D ．6二、填空题7．(2020·荆门)已知关于x 的一元二次方程x 2－4m x ＋3m 2＝0(m ＞0)的一个根比另一个根大2，则m 的值为__1__．8．关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋k ＝0有两个不相等的实数根，则k 可取的最大整数为__6__．9．(2020·江西新余模拟)已知一元二次方程3x 2－x －1＝0的两根分别为α和β，则3α2＋2α＋3β＝__2__．10．(2020·邵阳)中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为__x (x ＋12)＝864__．三、解答题11．(2020·无锡)解方程：x 2＋x －1＝0.解：x 1＝－1＋52 ，x 2＝－1－52.12．(2020·上海)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．解：(1)450＋450×12%＝504(万元).答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x ，依题意，得：350(1＋x )2＝504，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去).答：该商店去年8，9月份营业额的月增长率为20%.13．(2020·江西赣州模拟)如图，等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝8，点P 从点A 开始以每秒2个单位长度的速度沿AB 边向点B 运动，过点P 作PR ∥BC ，PQ ∥AC 分别交AC ，BC 于R ，Q.问：(1)平行四边形PQCR 面积能否为7？如果能，请求出P 点运动所需要的时间；如不能，请说明理由；(2)平行四边形PQCR 面积能否为16？能为20吗？如果能，请求分别出P 点运动所需要的时间；如不能，请说明理由．解：(1)设动点P 从A 点出发移动x 个单位时，▱PQCR 的面积等于7，依题意有12×82－12 x 2－12 (8－x )2＝7，解得：x 1＝1，x 2＝7.∴当动点P 从A 点出发移动12 或72秒时，▱PQCR 的面积等于7.(2)由题意得12 ×82－12 x 2－12 (8－x )2＝16，解得：x 1＝x 2＝4，此时运动时间为2秒，12×82－12 x 2－12(8－x )2＝20，此方程无解．所以当动点P 从A 点出发移动2秒时，▱PQCR 的面积等于16.不存在PQCR 的面积等于20.14．(2020·江西仿真卷)若a ≠b ，且a 2－4a ＋1＝0，b 2－4b ＋1＝0，则11＋a 2 ＋11＋b 2的值为( B )A ．14B ．1C ．4D ．3 15．(2020·随州)将关于x 的一元二次方程x 2－p x ＋q ＝0变形为x 2＝p x －q ，就可以将x 2表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x 3＝x ·x 2＝x (p x －q)＝……我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x 2－x －1＝0，且x ＞0，则x 4－2x 3＋3x 的值为( C )A ．1－ 5B ．3－ 5C ．1＋ 5D ．3＋ 516．(2020·黔南州)在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点A 1，A 2，A 3，…，A 48分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x 与通电话次数y 之间的关系用如图模型表示：(1)填写上图中第四个图中y 的值为________，第五个图中y 的值为________.(2)通过探索发现，通电话次数y 与该班级人数x 之间的关系式为________________，当x ＝48时，对应的y ＝________.(3)若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？解：(1)10；15.(2)y ＝x （x －1）2；1128. (3)依题意，得：x （x －1）2＝190，化简，得：x 2－x －380＝0，解得：x 1＝20，x 2＝－19(不合题意，舍去).答：该班共有20名女生．。
2021年中考数学复习第6讲 一元二次方程及其应用(精讲练习)
第6讲一元二次方程及其应用一、选择题1．(2020·临沂)一元二次方程x2－4x－8＝0的解是(B)A．x1＝－2＋2 3 ，x2＝－2－2 3B．x1＝2＋2 3 ，x2＝2－2 3C．x1＝2＋2 2 ，x2＝2－2 2D．x1＝2 3 ，x2＝－2 32．(2020·泰安)将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b为常数)的形式，则a，b的值分别是(A)A．－4，21 B．－4，11C．4，21 D．－8，693．(2020·河南)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1.例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为(A)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根4．(2020·铜仁)已知m，n，4分别是等腰三角形(非等边三角形)三边的长，且m，n是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＋2＝0的两个根，则k的值等于(B)A．7 B．7或6C．6或－7 D．65．(2020·鄂州)目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G 用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到3.92万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为(C)A.20% B．30% C．40% D．50%6．(2020·随州)将关于x的一元二次方程x2－px＋q＝0变形为x2＝px－q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x·x2＝x(px－q)＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2－x－1＝0，且x＞0，则x4－2x3＋3x的值为(C)A．1－ 5 B．3－ 5C．1＋ 5 D．3＋ 5二、填空题7．(2020·江西)若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为__－2__．8．(2020·荆门)已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一个根比另一个根大2，则m的值为__1__．9．(2020·邵阳)中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为__x(x＋12)＝864__．10．(2020·山西)如图是一张长12 cm ，宽10 cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm 2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为__2__ cm .三、解答题11．(2020·无锡)解方程：x 2＋x －1＝0.解：x 1＝－1＋52 ，x 2＝－1－52.12．关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．解：∵关于x 的方程x 2－2x ＋2m －1＝0有实数根，∴b 2－4ac ＝4－4(2m －1)≥0，解得：m ≤1，∵m 为正整数，∴m ＝1，∴x 2－2x ＋1＝0，则(x －1)2＝0，解得：x 1＝x 2＝1.13．(2020·上海)去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8，9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8，9月份营业额的月增长率．解：(1)450＋450×12%＝504(万元).答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．(2)设该商店去年8，9月份营业额的月增长率为x ，依题意，得：350(1＋x)2＝504， 解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去).答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%.14．(丽水一模)新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．(1)已知矩形ABCD 的长12、宽2，矩形EFGH 的长4、宽3，试说明矩形EFGH 是矩形ABCD 的“减半”矩形．(2)矩形的长和宽分别为2，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由．解：(1)矩形EFGH 的周长为14，面积为12，矩形ABCD 的周长为28，面积为24，所以矩形EFGH 是矩形ABCD 的“减半”矩形；(2)不存在．理由如下：假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x ，y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32，xy ＝1，可得x 2－32 x ＋1＝0，Δ＝b 2－4ac ＝94 －4＝－74 ＜0，所以不存在．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段AB 于点D ；以点A 为圆心，AD 长为半径画弧，交线段AC 于点E ，连结CD.(1)若∠A ＝28°，求∠ACD 的度数．(2)设BC ＝a ，AC ＝b.①线段AD 的长是方程x 2＋2ax －b 2＝0的一个根吗？说明理由．②若AD ＝EC ，求a b的值．解：(1)∵∠ACB ＝90°，∠A ＝28°，∴∠B ＝62°，∵BD ＝BC ，∴∠BCD ＝∠BDC ＝59°，∴∠ACD ＝90°－∠BCD ＝31°；(2)①由勾股定理得，AB ＝AC 2＋BC 2 ＝a 2＋b 2 ，∴AD ＝a 2＋b 2 －a ，解方程x 2＋2ax －b 2＝0得，x ＝－2a±4a 2＋4b 22＝±a 2＋b 2 －a ，∴线段AD 的长是方程x 2＋2ax －b 2＝0的一个根；②∵AD ＝AE ，∴AE ＝EC ＝b 2 ，由勾股定理得，a 2＋b 2＝(12 b ＋a)2，整理得，a b ＝34.。
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答大全 (含竞赛答题技巧)
【例5】已知实数 、 、 、 互不相等，且 ，试求 的值.思路点拨：运用连等式，通过迭代把 、 、 用 的代数式表示，由解方程求得 的值.
注：一元二次方程常见的变形形式有：
(1)把方程 （ ）直接作零值多项式代换；
(2)把方程 （ ）变形为 ，代换后降次；
11、已知 、 是有理数，方程 有一个根是 ，则 的值为.
12、已知 是方程 的一个正根.则代数式 的值为.
13、对于方程 ，如果方程实根的个数恰为3个，则m值等于()
A、1B、2 C、 D、2．5
14、自然数 满足 ，这样的 的个数是()
A、2 B、1 C、3 D、4
15、已知 、 都是负实数，且 ，那么 的值是()
20、如图，锐角△ABC中，PQRS是△ABC的内接矩形，且S△ABC= S矩形PQRS，其中 为不小于3的自然数．求证： 需为无理数.
参考答案
第二讲 判别式——二次方程根的检测器
为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等.我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题.
【例题求解】
【例1】 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是.(广西中考题)
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第6讲转化—可化为一元二次方程的方程
初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第6讲转化—可化为一元二次方程的方程一元二次方程是初中数学中常见的一种形式，解决一些实际问题时常常会遇到需要将问题转化为一元二次方程的情况。
本讲将介绍如何将一些方程转化为一元二次方程进行求解。
一、将线性方程转化为一元二次方程1.将方程2x+5=0转化为一元二次方程。
解答：通过观察发现方程左边的2x恰好是x的一次方，所以可以将整个方程看作是一元二次方程的标准形式。
设转化后的方程为 ax^2 + bx + c = 0，那么将 2x + 5 = 0 转化为一元二次方程的形式就是将方程两边同时乘以一个合适的倍数得到的。
我们可以将方程两边同时乘以2，得到4x+10=0，这就是将方程2x+5=0转化为一元二次方程的结果。
2.将方程3(x-1)-2(x+2)=0转化为一元二次方程。
解答：首先将方程进行化简，得到3x-3-2x-4=0。
接下来，我们将该方程转化为一元二次方程。
将方程两边同时合并同类项，得到x-7=0。
再将方程两边同时乘以一个合适的倍数，得到2(x-7)=0。
这就是将方程3(x-1)-2(x+2)=0转化为一元二次方程的结果。
二、将含有多个未知量的方程转化为一元二次方程1.将x+y=6转化为一元二次方程。
解答：在这个例子中，我们需要将两个未知量x和y合并成一个只含有一个未知量的方程。
我们可以通过将x+y的形式进行平方处理来得到一个一元二次方程。
先将原方程两边同时平方，得到 (x + y)^2 = 6^2、这里需要使用平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2将 (x + y)^2 展开，得到 x^2 + 2xy + y^2 = 36、这就是将方程 x + y = 6 转化为一元二次方程的结果。
2. 将 x^2 + xy + y^2 = 4 转化为一元二次方程。
解答：在这个例子中，我们需要将含有多个未知量的方程转化为只含有一个未知量的方程。
事实上，该方程就是一个一元二次方程了，但我们可以通过配方的方式将其转化为另一种形式。
新人教版九年级数学导学案课件：第6课时解一元二次方程习题课
解：x1=2，x2=4.
C组
9. 三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-6x+8=0
的解，则这个三角形的周长是
（ A）
A. 10 B. 8或10
C. 8
D. 8和10
10. 若代数式4x2-2x-5与-3x2-3的值互为相反数，求x
的值. 解:由题意，得4x2-2x-5+（-3x2-3）=0.
试利用十字相乘法解下列方程：
（1）x2+4x+3=0；
（2）x2+5x-6=0.
解:x1=-1，x2=-3.
解:x1=-6，x2=1.
变式训练
2. 用十字相乘法解下列方程：
（1）x2-4x-12=0；
（2）x2+5x+6=0；
解:x1=6 ，x2=-2.
解：x1=-2，x2=-3.
（3）x2-x-90=0；
（1）x2-2=6；
（2）x2-6x=2；
解：x1=2 ，x2=-2 . 解：x1=3+ ，x2=3- .
（3）2x2-4x-3=0；
解：x1=
，x2=
.
（4）3x（x-2）=x-2. 解：x1= 2 ，x2= .
B组 7. 解方程：2x2+1=2 x.
解：x1=
，x2=
.
8. 解方程：（2x-1）2=x（3x+2）-7.
（4）x2+3x-18=0.
解:x1=10 ，x2=-9.
解：x1=-6，x2=3.
分层训练
A组
3. 方程x2-1=0的根为
（
A. x1=1，x2=-1 C. x=1
B. x=0 D. x=-1
人教版九年级上册 一元二次方程的定义、解法和应用培优讲义
一元二次方程的定义，解法和应用培优讲义一、主要知识点回顾1．一元二次方程：只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫一元二次方程，它的一般形式是20ax bx c ++=（a 、b 、c 是已知数且a ≠0），其中ax 2叫做 ，bx 叫做 ，a 叫做 系 数，b 叫做 系数，c 叫做 。
2．解一元二次方程的方法（1）直接开平方法：如果一元二次方程能化成2x p =或()()20≥mx n p p +=的形式，那么可以得到x =± 。
或mx n +=± 的形式，从而通过解一元一次方程得到一元二次方程的两根。
（2）配方法：先将原方程变为 2()x m n +=的形式，再两边直接开平方。
用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1；②移项,使方程左边．．为二次项和一次项,右边．．为常数项； ③方程两边都加上一次项系数一半．．．．．．．的平方．．； ④把原方程变为2()x m n +=的形式； ⑤如果方程右边是非负数，就可以直接用开平方法求出方程的解。
（3）公式法：求根公式为=x （ ≥0）（4）因式分解法：因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
3．一元二次方程的四种解法的灵活运用：对于方程20ax bx c ++=（a ≠0，240b ac -≥）（1）若b ＝0，即20ax c +=，则宜用 法解；（2）若c ＝0，即20ax bx +=，则宜用 法解；（3）若b ≠0，c ≠0，则要准确把握方程的特征，选用适当的解法。
①方程化为标准形式ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）后，左边易于因式分解的，用因式分解法。
②若方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）中，a ＝1、b 是偶数，可以考虑用配方法。
③如果一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的系数是无理数，而且因式分解困难，配方法也很麻烦的，用公式法。
初中数学细说解一元二次方程中的转化思想专题辅导
初中数学细说解一元二次方程中的转化思想在遇到解具体的一元二次方程时，我们必须认真分析方程的特征，灵活选择解法。
公式法是解一元二次方程的通法，配方法是公式法的基础，直接开平方法、分解因式法解决某些特殊的一元二次方程非常简便，掌握各种解法中内在的转化思想才是把握了解方程的根本。
一. 未知向已知的转化——直接开平方法、配方法例1. 解方程：()x +=252分析：方程的左边是关于x 的完全平方式，右边是一个非负实数，能运用直接开平方法求解。
解：方程两边同时开平方得：x +=25或x +=-25，∴=-+=--x x 122525, 说明：直接开平方法是求解一元二次方程的四种解法中最基本的一种方法，它适用于形如：()()x m n m +=≥20的一元二次方程，这种解法充分体现了将方程中的未知数向已知数的成功转化，同时又是后继解法的基础。
例2. 解方程：44302x x +-=分析：在运用配方法时，一般要求是先将方程的二次项系数化为1，然后再在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。
解：方程两边都除以4得：x x 2340+-=，移项得：x x 234+=，两边同时加上14得：x x 2141++=，左边配方得：(),x x +=∴+=1211212或x x x +=-∴==-121123212,,。
说明：在配方法的应用中，一方面将方程的形式向直接开平方所要求的形式转化，即实施了式的转化，另一方面也实施了方法上的由已知向未知的转化。
二. 复杂向简单的转化——公式法例3. 解方程：ax bx c a b ac 220040++=≠-≥(,)分析：运用配方法可推导出方程的求根公式。
解：略。
说明：在寻求公式法的过程中，我们也对方程实施了形式、解法的转化，而公式法的运用最终是解决了一元二次方程求解方法从复杂向简单的转化，只要能确定一元二次方程的各项系数，利用公式就可求解方程，从这一点讲也奠定了公式法在求解一元二次方程中的重要地位。
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第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程
数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑，通常运用符号进行形式化抽象，在一个概念和公理体系内实施推理计算，若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道：“作为数学家的思维来说是很典型的，他们往往不对问题进行正面攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题．”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通过去分母和换元；解高次方程，利用因式分解和换元，转化为一元二次方程或一元一次方程去求解．
【例题求解】
【例1】 若051
5285222=-+-+-x x x x ，则1522--x x 的值为 ．
思路点拨 视x x 522-为整体，令y x x =-522，用换元法求出y 即可．
【例2】 若方程x x p -=-2有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是( )
A ．1->p
B ．0≤p
C ．01≤<-p
D ．01<≤-p
思路点拨 通过平方有理化，将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨论，但需注意注02≥-=-x x p 的隐含制约．
注：转化与化归是一种重要的数学思想，在数学学习与解数学题中，我们常常用到下列不同途径的转化：实际问题转化大为数学问题，数与形的转化，常量与变量的转化，一般与特殊的转化等．
解下列方程：
（1）12
11934
82232222=+-++-++x x x x x x x
x ；
(2)1)1998()1999(33=-+-x x ；
（3）42)1
13(1132=+-++-x x x x x x ．
按照常规思路求解繁难，应恰当转化，对于(1)，利用倒数关系换元；对于(2)，从1)1998()1999(=-+-x x 受到启示；对于(3)，设1
13+-=x x y ，则可导出y x +、xy 的结果．
注：换元是建立在观察基础上的，换元不拘泥于一元代换，可根据问题的特点，进行多元代换．
【例4】 若关于x 的方程x
kx x x x x k 1122+=---只有一个解(相等的解也算作一个)，试求k 的值与方程的解．
思路点拨 先将分式方程转化为整式方程，把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论，“只有一个解”内涵丰富，在全面分析的基础上求出k 的值．
注：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解，也可能是转化后的整式方程有两个解，而其中一个是原方程的增根，故分式方程的解的讨论，要运用判别式、增根等知识全面分析．
【例5】 已知关于x 的方程655)(2-=--+x
a x x a x 有两个根相等，求a 的值． 思路点拨 通过换元可得到两个关于x 的含参数a 的一元二次方程，利用判别式求出a 的值．
注：运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．
学历训练
1．若关于x 的方程0111=--+x ax 有增根，则a 的值为 ；若关于x 的方程122-=-+x a x 曾。