一元二次方程的解法习题课课件
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一元二次不等式的解法-PPT课件
b x x a
一元一次不等式 b b x x x x ax+b>0的解集 a a 一元一次不等式 x x b b x x a a ax+b<0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
解不等式 (写出相应的一元二次方程及一元二次不等式的解集） 方程 的解集为 不等式 的解集为 求不等式 的解集 2 不等式 的解集为 x x 6 0 2 x 2 x 3 观察函数 y x x 6 0 的图象
yx x6
2
-2
的解集
不等式 2
ax bx cx x x x 1 2
＜0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
例1 求不等式 解:注意到
4 x 4 x 1
2
＞0的解集
1 x x 2
2 4 x 4 x 1= 2x 1 2≥0
所以原不等式的解集为
x 例2 求不等式 解：不等式可化为
2 (3) 4 x 4 x 1 <0 2 2、若代数式 6 的值恒取非负数,则实数x的 x x 2 取值范围是 2 1
1 x x 2 0 , 开口向上 ， 图象与 x 轴无交点 ，x R 3
x 3 x 5>0
2
x x 或 x 3 2
0
3
x
3、2 一元二次不等式的解法
讨论一元二次不等式 与 （a>0) 如果相应的一元二次方程 分 别有两个不等实根、两个相等实根、无实根， 其对应的二次函数 的 图象与x轴的位置关系如何？ 二次函数的图象开口向上且分别与x轴交于两 点、一点及无交点．
一元一次不等式 b b x x x x ax+b>0的解集 a a 一元一次不等式 x x b b x x a a ax+b<0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
解不等式 (写出相应的一元二次方程及一元二次不等式的解集） 方程 的解集为 不等式 的解集为 求不等式 的解集 2 不等式 的解集为 x x 6 0 2 x 2 x 3 观察函数 y x x 6 0 的图象
yx x6
2
-2
的解集
不等式 2
ax bx cx x x x 1 2
＜0的解集
3、2 一元二次不等式的解法
例1 求不等式 解:注意到
4 x 4 x 1
2
＞0的解集
1 x x 2
2 4 x 4 x 1= 2x 1 2≥0
所以原不等式的解集为
x 例2 求不等式 解：不等式可化为
2 (3) 4 x 4 x 1 <0 2 2、若代数式 6 的值恒取非负数,则实数x的 x x 2 取值范围是 2 1
1 x x 2 0 , 开口向上 ， 图象与 x 轴无交点 ，x R 3
x 3 x 5>0
2
x x 或 x 3 2
0
3
x
3、2 一元二次不等式的解法
讨论一元二次不等式 与 （a>0) 如果相应的一元二次方程 分 别有两个不等实根、两个相等实根、无实根， 其对应的二次函数 的 图象与x轴的位置关系如何？ 二次函数的图象开口向上且分别与x轴交于两 点、一点及无交点．
一元二次方程解法习题课(公开课)
通过本次课程，我掌握了一元二次方程的三种解法，并 能够灵活运用这些方法解决问题。
配方法原理及步骤
配方法原理：通过配方，将一元二次方程转化 为完全平方的形式，从而求解。
01
配方法步骤
02
04
将二次项系数化为1；
05
加上并减去一次项系数一半的平方，使左 边成为完全平方；
将原方程化为一般形式；
03
06
开方求解。
典型例题分析与解答
例题1
01 解方程 $x^2 + 6x + 9 = 0$
02
4. 对等式左边进行完全平方，得到 $left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
03
5. 开平方，得到 $x + frac{b}{2a} = pm sqrt{frac{b^2 4ac}{4a^2}}$。
04
6. 解得 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
一元二次方程根的性质
根的存在性
当判别式 $Delta = b^2 - 4ac geq 0$ 时，一元二次方程有两个实根。
根的和与积
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$），若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$， 则有 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，$x_1 times x_2 = frac{c}{a}$。
2. 将方程两边同时除以 $a$（$a neq 0$），得到 $x^2 + frac{b}{a}x = frac{c}{a}$。
直接开平方法原理及步骤
一元二次不等式及其解法(习题课)
∴原不等式解集为x|x<－12或x>13. 答案：A
2．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B＝(
)
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0<x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，
∴A∩B＝{x|0<x≤1}．
即
m>－16. 3
－ b ＝－2m>2 2a 2
m<－2
解得－16<m≤－4. 3
总结：
设关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为： f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位 置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问 题(此时Δ＝b2－4ac)．
∴7m－6<0，解得 m<67. ∴0<m<6.
7
∴m<0.
综上所述，m
的取值范围为
－∞，6 7
.
探究二 不等式中的恒成立问题
[典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
法二：f(x)<－m＋5 恒成立， 即 m(x2－x＋1)－6<0 恒成立．
Δ≥0， (1)方程 f(x)＝0 在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是－ fk2ba>>0k. ，
(2)方程 f(x)＝0 有一根大于 k，另一根小于 k 的条件是 f(k)<0.
(3) 方 程 f(x) ＝ 0 在 区 间 (k1 ， k2) 内 有 两 个 实 根 的 条 件 是
人教版九年级数学上册《一元二次方程的解法——因式分解法》PPT
简记歌诀： 右化零 左分解
三化-----方程化为两个一元一次方程; 两因式 各求解
四解-----写出方程两个解;
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x.
(1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
• 3．二次三项式x²＋20x＋96分解因式的结
果为
；如果令x²＋20x＋96＝0，
那么它的两个根是
．
4．选择适当的方法解下列方程：
• (1)(x－5)²＝4； • (2)x²＝8x； • (3)3x²－x－1＝0； • (4)(2x＋1)²＝－6x－3； • (5)(2x－1)²＝(3－x).²
1.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？并请改正过来.
解方程 (x-5)(x+2)=18.
解: 原方程化为： (x-5)(x+2)=18 . ①
由x-5=3, 得x=8; ② 由x+2=6, 得x=4; ③
解: 原方程化为： x2 - 3x -28= 0， (x-7)(x+4)=0， x1=7，x2=-4.
第二十一章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标 1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境引入 我们知道ab=0，那么a=0或b=0， 类似的解方程（x+1）（x－1）=0时， 可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解， 你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？
新教材人教版B版必修一 一元二次不等式及其解法 课件(42张)
1．若集合 A＝xx－x 1≤0，B＝{x|x2<2x}，则 A∩B＝(
(教材习题改编)不等式 2x2－x－3>0 的解集为( )
A．x－1<x<32 B．xx>32或x<－1 C．x－32<x<1 D．xx>1或x<－32
解析：选 B.2x2－x－3>0⇒(x＋1)(2x－3)>0， 解得 x>32或 x<－1. 所以不等式 2x2－x－3>0 的解集为xx>32或x<－1.
解得 x≥3 或 x≤2. 【答案】 {x|x≥3 或 x≤2}
(1)解一元二次不等式的方法和步骤
(2)解含参数的一元二次不等式的步骤 ①二次项若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0， 然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与 0 的关系．
③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论 两根的大小关系，从而确定解集形式．
一元二次不等式及其解法
1．一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集 b
(1)当 a>0 时，解集为__x__x_>_a___； b
(2)当 a<0 时，解集为__x__x_<_a____．
2．一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2
Δ>0 －4ac
二次函数 y＝ ax2＋bx＋
c(>0)的图象
而 y＝x2＋2x－3 的图象开口向上，可得原不等式－x2－2x＋ 3≥0 的解集是{x|－3≤x≤1}． (2)由题意xx≥2＋02，x>3或x－<x02，＋2x>3，解得 x>1. 故原不等式的解集为{x|x>1}．
3.2.2_一元二次不等式及其解法习题课_课件(人教A版必修5)
栏目 导引
第 三章 不等式
乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两 种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝ 0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象？ 解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2 ＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)，
第 三章 不等式
3．某工厂生产商品M，若每件定价80元， 则每年可销售80万件，税务部门对市场销售 的商品要征收附加费,为了既增加国家收入, 又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税 率．据市场调查，若政府对商品M征收的税 率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售 量减少10P万件，据此，问：
栏目 导引
集是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，
b＝0，c＞0；
当
a≠0
时a＞0 Δ＜0
.
(2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数
(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0；
当
a≠0
时，a＜0 Δ＜0
.
类似地有 f(x)≤a 恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.
栏目 导引
第 三章 不等式
∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个 实数根为R1＝2，R2＝8. 9分 然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象， 由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}. 10分 即当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附 加税金不少于112万元. 12分 名师微博 正确列出不等式是关键.
栏目 导引
第 三章 不等式
②若 a2－1≠0，即 a≠±1 时， 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＜0， Δ＝[－a－1]2＋4a2－1＜0， 解得－35＜a＜1. 综上所述，符合条件的实数 a 的取值范围是(－ 35，1]．
第 三章 不等式
乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两 种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间 分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝ 0.05x＋0.005x2. 问：甲、乙两车有无超速现象？ 解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2 ＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x ＜－40(不合实际意义，舍去)，
第 三章 不等式
3．某工厂生产商品M，若每件定价80元， 则每年可销售80万件，税务部门对市场销售 的商品要征收附加费,为了既增加国家收入, 又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税 率．据市场调查，若政府对商品M征收的税 率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售 量减少10P万件，据此，问：
栏目 导引
集是全体实数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，
b＝0，c＞0；
当
a≠0
时a＞0 Δ＜0
.
(2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数
(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0；
当
a≠0
时，a＜0 Δ＜0
.
类似地有 f(x)≤a 恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.
栏目 导引
第 三章 不等式
∵Δ＝36＞0，方程R2－10R＋16＝0的两个 实数根为R1＝2，R2＝8. 9分 然后画出二次函数y＝R2－10R＋16的图象， 由图象得不等式的解集为{R|2≤R≤8}. 10分 即当2≤R≤8时，每年在此项经营中所收附 加税金不少于112万元. 12分 名师微博 正确列出不等式是关键.
栏目 导引
第 三章 不等式
②若 a2－1≠0，即 a≠±1 时， 原不等式解集为 R 的条件是 a2－1＜0， Δ＝[－a－1]2＋4a2－1＜0， 解得－35＜a＜1. 综上所述，符合条件的实数 a 的取值范围是(－ 35，1]．
高中数学《一元二次不等式及其解法习题课》课件
(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则
AB 的长度应在什么范围内？
30
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解
(1)根据题意，得△NDC
与△NAM
相似，所以DC＝ AM
ND，即 x ＝20－AD，解得 NA 30 20
∵x∈[－2,2]，x－212＋34max＝7，
∴x2－6x＋1min＝67，∴m<67.
25
课前自主预习
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课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升
有关不等式恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)
的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
23
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数学 ·必修5
(2)将 f(x)<－m＋5 变换成关于 m 的不等式：m(x2－x＋ 1)－6<0.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1) －6<0 恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增． ∴只要 g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2.∴x 的取值范围为－1<x<2.
①式的解集为 x≤－2 或 0≤x≤3.由②式知 x≠3， ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 0≤x<3}．
18
课前自主预习
课堂互动探究
公式法 解一元二次方程优秀课件
数学
新课标（HS） 九年级上册
22.2 一元二次方程的解法
3.公式法
学习目标： 1.让学生熟练应用一元二次方程求根 公式解一元二次方程； 2.通过公式的引入，培养学生抽象思 维能力．
情景引入
问题 1 用配方法解方程：x2-4x+2＝0． 问题 2 思考如何用配方法解下列方程？ (1)4x2-12x-1＝0，(2)3x2+2x-3=0
[解析] 方程(1)可用因式分解法来解；方程(2)可用求根 公式法来解．
3.公式法
解：(1)3x＋15＝－2x2－10x， 移项，得3x＋15＋2x2＋10x＝0， 提公因式，得3(x＋5)＋2x(x＋5)＝0， 即(x＋5)(3＋2x)＝0，∴x＋5＝0或3＋2x＝0， ∴x1＝－5，x2＝－32. (2)4x2－12x＋9＝0. ∵a＝4，b＝－12，c＝9， ∴b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0， ∴x＝122×±40，即x1＝x2＝32.
3.公式法
(3)∵a＝1，b＝－ 2，c＝0.5，
∴b2－4ac＝(－ 2)2－4×1×0.5＝0，
∴x＝
22×±10，∴x1＝x2＝
2 2.
(4)将方程化为一般形式为3x2－7x＋8＝0，
∵a＝3，b＝－7，c＝8，
∴b2－4ac＝(－7)2－4×3×8＝－47＜0，
∴原方程无实数根．
3.公式法
不解方程，判断下列方程的根的情况
(1)x2＋4x-6＝0； (2)2x2＋6x＝-7； (3)2x2+4x-2＝0； (4)4x2＋4x＋5＝1-8x．
3.公式法
[归纳总结] 配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根 公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式的积，另 一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于 所有的一元二次方程，解方程时应观察方程的特点，灵活选 择方法．
新课标（HS） 九年级上册
22.2 一元二次方程的解法
3.公式法
学习目标： 1.让学生熟练应用一元二次方程求根 公式解一元二次方程； 2.通过公式的引入，培养学生抽象思 维能力．
情景引入
问题 1 用配方法解方程：x2-4x+2＝0． 问题 2 思考如何用配方法解下列方程？ (1)4x2-12x-1＝0，(2)3x2+2x-3=0
[解析] 方程(1)可用因式分解法来解；方程(2)可用求根 公式法来解．
3.公式法
解：(1)3x＋15＝－2x2－10x， 移项，得3x＋15＋2x2＋10x＝0， 提公因式，得3(x＋5)＋2x(x＋5)＝0， 即(x＋5)(3＋2x)＝0，∴x＋5＝0或3＋2x＝0， ∴x1＝－5，x2＝－32. (2)4x2－12x＋9＝0. ∵a＝4，b＝－12，c＝9， ∴b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0， ∴x＝122×±40，即x1＝x2＝32.
3.公式法
(3)∵a＝1，b＝－ 2，c＝0.5，
∴b2－4ac＝(－ 2)2－4×1×0.5＝0，
∴x＝
22×±10，∴x1＝x2＝
2 2.
(4)将方程化为一般形式为3x2－7x＋8＝0，
∵a＝3，b＝－7，c＝8，
∴b2－4ac＝(－7)2－4×3×8＝－47＜0，
∴原方程无实数根．
3.公式法
不解方程，判断下列方程的根的情况
(1)x2＋4x-6＝0； (2)2x2＋6x＝-7； (3)2x2+4x-2＝0； (4)4x2＋4x＋5＝1-8x．
3.公式法
[归纳总结] 配方法要先配方，再降次；公式法直接利用求根 公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式的积，另 一边为0，再分别使各一次因式等于0.配方法、公式法适用于 所有的一元二次方程，解方程时应观察方程的特点，灵活选 择方法．