高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题(含答案)
高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题
高中数学选修2-2第二章单元测试题《推理与证明》(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 2．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数； ②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数． A ．①②③ B ．②①③ C ．②③①D ．③②①3．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：“正四面体的内切球切于四个面________．”( )A ．各正三角形内一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点4．(山东高考)用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根5．将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：( ) ①a·b ＝b·a ；②(a·b )·c ＝a·(b·c )；③a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c ；④由a·b ＝a·c (a ≠0)可得b ＝c . 则正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个6．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需增乘的代数式是( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1) C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋17．已知a ∈(0，＋∞)，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋ax n ≥n＋1，则a 的值为( )A ．2nB ．n 2C ．22(n－1)D ．n n8．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋29．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．19910．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 2 015等于( )A.12B.－1 C ．2D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设函数f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得S ＝f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．12．已知 2＋23＝2 23， 3＋38＝3 38， 4＋415＝4415，…，若 6＋a b＝6ab(a ，b 均为实数)，请推测a ＝________，b ＝________. 13．若定义在区间D 上的函数f (x )对于D 上的n 个值x 1，x 2，…，x n ，总满足1n[f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f(x n )]≤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋…＋x n n ，称函数f (x )为D 上的凸函数；现已知f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数，则△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是________．14.观察下列数字： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第________行的各数之和等于2 0152.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)观察下列式子： ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两个式子的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．16．(本小题满分12分)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且其中任意两边长均不相等，假设1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a与 cb的大小，并证明你的结论； (2)求证：角B 不可能是钝角．17．(本小题满分12分)先解答(1)，再通过结构类比解答(2)． (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x .(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．18．(本小题满分14分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n . (1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想到数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．高中数学选修2-2第一章单元测试题《推理与证明》参考答案1．选A 观察分子中2＋6＝5＋3＝7＋1＝10＋(－2)＝8. 2．选B 按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.3．选C 正三角形的边对应正四面体的面，边的中点对应正四面体的面正三角形的中心．4．选A 因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要做的假设是方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根．5．选B 平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由a·b ＝a·c (a ≠0)得a·(b －c )＝0，从而b －c ＝0或a ⊥(b －c )，故④错误．6．选B 增乘的代数式为(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1)．7．选D 将四个答案分别用n ＝1,2,3检验即可，故选D.8．选C 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为a n ＝6n ＋2.9．选C 记a n ＋b n ＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.10．选B ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，∴a 2＝1－1a 1＝－1，a 3＝1－1a 2＝2，a 4＝1－1a 3＝12，a 5＝1－1a 4＝－1，a 6＝1－1a 5＝2，∴a n ＋3k ＝a n (n ∈N *，k ∈N *)∴a 2 015＝a 2＋3×671＝a 2＝－1.11．解析：∵f (x )＝12x ＋2，f (1－x )＝121－x ＋2＝2x2＋2·2x ＝12·2x 2＋2x .∴f (x )＋f (1－x )＝1＋12·2x2＋2x ＝22， 发现f (x )＋f (1－x )正好是一个定值， ∴2S ＝22×12，∴S ＝3 2. 答案：3 212．解析：由前面三个等式，推测归纳被平方数的整数与分数的关系，发现规律．由三个等式知，整数和这个分数的分子相同，而分母是这个分子的平方减1，由此推测 6＋a b中，a ＝6，b ＝62－1＝35，即a ＝6，b ＝35.答案：6 3513．解析：因为f (x )＝sin x 在(0，π)上是凸函数(小前提)， 所以13(sin A ＋sin B ＋sin C )≤sin A ＋B ＋C 3(结论)，即sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin π3＝332.因此，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332.答案：33214．解析：观察知，图中的第n 行各数构成一个首项为n ，公差为1，共2n －1项的等差数列，其各项和为S n ＝(2n －1)n ＋(2n －1)(2n －2)2＝(2n －1)n ＋(2n －1)·(n －1)＝(2n －1)2，令(2n －1)2＝2 0152，得2n －1＝2 015，解得n ＝1 008. 答案：1 00815．解：猜想sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin αcos(30°＋α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°＋2α)2＋12[sin(30°＋2α)＋sin(－30°)] ＝1＋cos (60°＋2α)－cos 2α2＋12sin(2α＋30°)－14＝34＋12[cos 60°·cos 2α－sin 60°sin 2α－cos 2α]＋12sin(2α＋30°) ＝34－12·⎝⎛⎭⎫12cos 2α＋32sin 2α＋12sin(2α＋30°) ＝34－12sin(2α＋30°)＋12sin(2α＋30°)＝34， 即sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34.16．解：(1) b a＜ cb.证明如下： 要证b a＜ c b ，只需证b a ＜c b. ∵a ，b ，c ＞0，∴只需证b 2＜ac . ∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c≥2 1ac，∴b 2≤ac . 又a ，b ，c 均不相等，∴b 2＜ac . 故所得大小关系正确．(2)证明：法一 假设角B 是钝角，则cos B ＜0. 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞ac －b 22ac ＞0，这与co s B ＜0矛盾，故假设不成立． 所以角B 不可能是钝角．法二 假设角B 是钝角，则角B 的对边b 为最大边，即b ＞a ，b ＞c ，所以1a ＞1b ＞0，1c ＞1b ＞0，则1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b ，这与1a ＋1c ＝2b矛盾，故假设不成立．所以角B 不可能是钝角．17．解：(1)根据两角和的正切公式得tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x， 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数． 18．解：(1)S 1＝a 1＝12⎝⎛⎭⎫a 1＋1a 1，得a 21＝1， 因为a n ＞0，所以a 1＝1.S 2＝a 1＋a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2＋1a 2，得a 22＋2a 2－1＝0， 所以a 2＝2－1.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝⎛⎭⎫a 3＋1a 3， 得a 23＋22a 3－1＝0，所以a 3＝3－ 2. (2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明：①n ＝1时，a 1＝1－0＝1，命题成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎫a k＋1a k，即a k＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫k－k－1＋1k－k－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k＋1＋1a k＋1－k，所以a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，所以a k＋1＝k＋1－k，则n＝k＋1时，命题成立．由①②知，n∈N*，a n＝n－n－1.。
高中数学 选修2-2：第2章 推理与证明 章末综合测评 含答案
章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是() A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案【解析】根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.【答案】 C3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致【解析】 大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．【答案】 A5．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4×5k －2kB ．5(5k －2k )＋3×2kC ．(5－2)(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k【解析】 5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k . 【答案】 B6．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)【解析】 根据数学归纳法的步骤可知，n ＝k (k ≥2且k 为偶数)的下一个偶数为n ＝k ＋2，故选B.7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123 D．199【解析】利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．【答案】 C8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c ＝0，求证：b2－ac<3a”最终的索因应是() 【导学号：05410056】A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3c<a＋b＋c<3a，即a>0，c<0.要证明b2－ac<3a，只需证明b2－ac<3a2，只需证明(－a－c)2－ac<3a2，只需证明2a2－ac－c2>0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a ＋c＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.【答案】 A9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有() A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】 令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1A ．2 018×2 014B ．2 018×2 013C ．1 010×2 012D ．1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009【解析】 依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C 12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104 C.510＋5102＋7103＋3104 D.710＋9102＋9103＋1104【解析】 因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．【解析】 圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.【答案】 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________ .【导学号：05410057】【解析】 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．【答案】 (5,7)15．当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】 根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】 所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.【答案】 n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】 猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.19．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．20．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .22．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n(n ≥2)． (1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1， 求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋. 下面利用数学归纳法加以证明：①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝(k －1)a k k －a k ＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1) ＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立． (2)b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1 ＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1 ＝13n ＋1＋3n －2 ＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)] ＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<n 3.。
高中数学 第二章 推理与证明检测A(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
第二章 推理与证明检测(A )(时间:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列2,5,11,20,x ,47,…中的x 等于( ) A.28 B.32 C.33 D.27解析:由5-2=3,11-5=6,20-11=9,x-20=12,得x=32.答案:B2.用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是( ) A.将结论与条件同时否定,推出矛盾 B.肯定条件,否定结论,推出矛盾C.将被否定的结论当条件,经过推理得出的结论只与原题条件矛盾,才是反证法的正确运用D.将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件 答案:B3.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个面 ”.( ) A.各正三角形内一点 B.各正三角形的某高线上的点 C.各正三角形的中心 D.各正三角形外的某点解析:正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C. 答案:C4.已知c>1,a =√c +1−√c ,b =√c −√c -1,则下列结论正确的是( ) A.a>b B.a<bC.a=bD.a ,b 大小不定解析:∵a =√c +1−√c =√c +1+√c,=√c −√c -1=√c +√c -1而√c +1+√c >√c +√c -1,∴a<b. 答案:B5.下列结论正确的是( ) A.当x>0,且x ≠1时,lg x +1lg c ≥2B.当x>0时,√c+√c≥2C.当x≥2时,x+1c的最小值为2D.当0<x≤2时,x−1c无最大值解析:选项A错在lg x的正负不确定;选项C错在等号成立的条件不存在;根据函数f(x)=x−1c的单调性,当x=2时,f(x)取最大值32,故选项D错误.答案:B6.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199解析:利用归纳推理:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+ 18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.答案:C7.设x i,a i(i=1,2,3)均为正实数,甲、乙两名同学由命题“若x1+x2=1,则c1c1+c2c2≤(√c1+√c2)2”分别推理得出了新命题:甲:若x1+x2+x3=1,则c1c1+c2c2+c3c3≤(√c1+√c2+√c3)2;乙:若x1+x2+x3+x4=1,则c1c1+c2c2+c3c3+c4c4≤(√c1+√c2+√c3+√c4)2.他们所用的推理方法是()A.甲、乙都用演绎推理B.甲、乙都用类比推理C.甲用演绎推理,乙用类比推理D.甲用归纳推理,乙用类比推理答案:B8.已知数列{a n}的前几项为23,415,635,863,1099,…,则猜想数列{a n}的通项公式为()A.a n=2c2c(2c-1)B.a n=2(c-1)2c(2c-1)C.a n=2c(2c-1)(2c+1)D.a n=2(c-1)(2c-1)(2c+1)解析:23=2×11×3,415=2×23×5,635=2×35×7,863=2×47×9,1099=2×59×11,…,于是猜想数列{a n}的通项公式为a n=2c(2c-1)(2c+1).答案:C9.已知数列{a n}的前n项和S n=n2·a n(n≥2,n∈N),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想a n等于()A.2(c+1)2B.2c(c+1)C.22c-1D.22c-1解析:∵S n=n2·a n(n≥2),a1=1,∴S2=4a2=a1+a2⇒a2=13=23×2,S3=9a3=a1+a2+a3⇒a3=c1+c28=16=24×3,S4=16a4=a1+a2+a3+a4⇒a4=c1+c2+c315=110=25×4.故猜想a n=2c(c+1).答案:B10.用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+12c-1<c(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1解析:增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.“已知x,y∈R,且x+y<2,则x,y中至多有一个大于1”,在用反证法证明该命题时,假设应为.解析:“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面为“x,y都大于1”.答案:x,y都大于112.观察数列√3,3,√15,√21,3√3,…,写出该数列的一个通项公式为.解析:将各项统一写成根式形式为√3,√9,√15,√21,√27,…,即√3×1,√3×3,√3×5,√3×7,√3×9,…,被开方数是正奇数的3倍,故a n=√3(2c-1)(n∈N*).答案:a n=√3(2c-1)(n∈N*)13.以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足c12+c22=1,则a1+a2≤√2”的证明过程:证明:构造函数f (x )=(x-a 1)2+(x-a 2)2=2x 2-2(a 1+a 2)x+1,因为对一切实数x ,恒有f (x )≥0,所以Δ≤0,从而得4(a 1+a 2)2-8≤0,所以a 1+a 2≤√2.根据上述证明方法,若n 个正实数满足c 12+c 22+⋯+c c 2=1,你能得到的结论为(不必证明).解析:依题意,构造函数f (x )=(x-a 1)2+(x-a 2)2+…+(x-a n )2,则有f (x )=nx 2-2(a 1+a 2+…+a n )x+1,Δ=[-2(c 1+c 2+…+c c )]2−4n=4(a 1+a 2+…+a n )2-4n ≤0,即有a 1+a 2+…+a n ≤√c . 答案:a 1+a 2+…+a n ≤√c14.若等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.类比以上结论有:若等比数列{b n }的前n 项之积为T n ,则T 4, , ,c16c 12成等比数列.解析:本题是数列与类比推理相结合的问题,既考查了等差数列与等比数列的知识,又考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力. 答案:c 8c 4 c 12c 815.设C 1,C 2,C 3,…为一组圆,其作法如下:C 1是半径为a 的圆,在C 1的圆内作四个相等的圆C 2(如图),每个圆C 2和圆C 1都内切,且相邻的两个圆C 2均外切;在C 2的每一个圆中,用同样的方法作四个相等的圆C 3,依此类推作出C 4,C 5,C 6,….(1)其中C 2中每个圆的半径等于 (用a 表示); (2)猜想C n 中每个圆的半径为 (用a 表示). 解析:设圆C 2的半径为r.由题图可知四个圆C 2的圆心构成正方形,边长为2r ,对角线长为2√2c , 于是2r+2√2c =2a ,解得r=(√2−1)a. 以此类推,C n 中每个圆的半径长为(√2−1)n-1a. 答案:(√2−1)a (√2−1)n-1a三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)若x ,y>0,且x+y>2,求证:1+cc<2和1+cc<2中至少有一个成立.证明假设1+cc≥2,且1+cc≥2,则1+x ≥2y ,1+y ≥2x ,所以(1+x )+(1+y )≥2y+2x ,即x+y ≤2,与题设矛盾.故假设错误,故原命题成立.17.(8分)已知命题“若数列{a n }是等比数列,且a n >0,则数列{b n },b n =√c 1c 2…c c c (n ∈N *)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论. 解:类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{a n }是等差数列, 则数列{b n },b n =c 1+c 2+…+c cc也是等差数列. 证明如下:设等差数列{a n }的公差为d ,则b n =c 1+c 2+…+c cc=cc 1+c (c -1)c2c=c 1+c 2(n-1),所以数列{b n }是以a 1为首项,c 2为公差的等差数列.18.(9分)设n ∈N *,x n 是曲线y=x 2n+2+1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1)求数列{x n }的通项公式;(2)记T n =c 12c 32…c 2c -12,证明:T n ≥14c .(1)解y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x 2n+1,曲线y=x 2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x 轴交点的横坐标x n =1−1c +1=cc +1. (2)证明由题设和(1)中的计算结果知T n =c 12c 32…c 2c -12=(12)2(34)2…(2c -12c)2.当n=1时,T 1=14.当n ≥2时,因为c 2c -12=(2c -12c)2=(2c -1)2(2c )2>(2c -1)2-1(2c )2=2c -22c=c -1c, 所以T n >(12)2×12×23×…×c -1c=14c. 综上可得对任意的n ∈N *,均有T n ≥14c.19.(10分)如图,设抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴.求证:直线AC 经过原点O.证明因为抛物线y 2=2px (p>0)的焦点为c (c2,0),所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+c2,代入抛物线方程,可得y2-2pmy-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以y1y2=-p2.因为BC∥x轴,且点C在准线x=−c2上,所以点C的坐标是(-c2,c2),故直线CO的斜率为k=c2-c2=2cc1=c1c1,即k也是直线OA的斜率.故直线AC经过原点O.20.(10分)设f(n)=1+12+13+⋯+1c,问是否存在关于自然数n的函数g(n)使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)·[f(n)-1]对于n≥2的一切自然数都成立?若存在,证明你的结论.解:假设存在关于自然数n的函数g(n)使等式成立.则当n=2时,由f(1)=g(2)·[f(2)-1],得g(2)=c(1)c(2)-1=11+12-1=2,当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)·[f(3)-1],得g(3)=c(1)+c(2)c(3)-1=1+1+121+12+13-1=3,猜想g(n)=n(n≥2).下面用数学归纳法证明:当n≥2时,等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立.①当n=2时,由上面计算知,等式成立.②假设当n=k时,等式成立,即f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1].则当n=k+1时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)·[c(c+1)-1c+1]−c=(k+1)[f(k+1)-1],所以当n=k+1时,等式也成立.由①②知,对一切n≥2的自然数n,等式都成立,故存在函数g(n)=n,使等式成立.。
高中数学人教A版选修2-2《 推理与证明》单元测试题 含解析
阶段质量检测（二）推理与证明(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0 B．1C．2 D．34．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋16．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×98．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}()A．一定是等比数列B．一定是等差数列C．可能是等比数列也可能是等差数列D．一定不是等比数列9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于010．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为()A．a＝12，b＝c＝14B．a＝b＝c＝14C．a＝0，b＝c＝14D．不存在这样的a，b，c11．已知数列{a n}的前n项和S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n∈N*)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2n n ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2n n ＋212．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n ＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．14．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．15．已知 2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，6＋a b ＝6ab ，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.18．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，a n＋1＝2a n1＋a n(n＝1,2，…)．(1)求证：a n＋1≠a n；(2)令a1＝12，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n(不要求证明)．19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C ＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－12，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－2<m<－12，∴14＜m2＜4，∴Δ<0，即关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根．20．(本小题满分12分)等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1＋2，S3＝9＋3 2.(1)求数列{a n}的通项a n与前n项和S n；(2)设b n＝S nn(n∈N*)，求证：数列{b n}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．21．(本小题满分12分)设f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．22．(本小题满分12分)已知f(x)＝bx＋1(ax＋1)2⎝⎛⎭⎪⎫x≠－1a，a＞0，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.(1)求函数f(x)的表达式；(2)已知数列{x n}的项满足x n＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，试求x1，x2，x3，x4；(3)猜想{x n}的通项公式，并用数学归纳法证明．阶段质量检测（二）推理与证明参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案解析：选C根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理()A．正确B．推理形式不正确C．两个“自然数”概念不一致D．“两个整数”概念不一致解析：选A三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法：①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)解析：选D(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．5．已知f(x＋1)＝2f(x)f(x)＋2，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()A．f(x)＝42x＋2B．f(x)＝2x＋1C．f(x)＝1x＋1D．f(x)＝22x＋1解析：选B f(2)＝22＋1，f(3)＝23＋1，f(4)＝24＋1，猜想f(x)＝2x＋1.6．求证：2＋3> 5.证明：因为2＋3和5都是正数，所以为了证明2＋3>5，只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5，即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：选B证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．7．已知{b n}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{a n}为等差数列，a5＝2，则{a n}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：选D由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．8．若数列{a n}是等比数列，则数列{a n＋a n＋1}()A．一定是等比数列B．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则a n ＋a n ＋1＝a n (1＋q )．∴当q ≠－1时，{a n ＋a n ＋1}一定是等比数列；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0解析：选D 法一：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0，∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( )A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14 D ．不存在这样的a ，b ，c解析：选A 令n ＝1,2,3， 得⎩⎪⎨⎪⎧3(a －b )＋c ＝1，9(2a －b )＋c ＝7，27(3a －b )＋c ＝34.所以a ＝12，b ＝c ＝14.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)，可归纳猜想出S n 的表达式为( )A ．S n ＝2n n ＋1B ．S n ＝3n －1n ＋1 C ．S n ＝2n ＋1n ＋2D ．S n ＝2n n ＋2解析：选A 由a 1＝1，得a 1＋a 2＝22a 2，∴a 2＝13，S 2＝43；又1＋13＋a 3＝32a 3，∴a 3＝16，S 3＝32＝64；又1＋13＋16＋a 4＝16a 4，得a 4＝110，S 4＝85. 由S 1＝22，S 2＝43，S 3＝64，S 4＝85可以猜想S n ＝2nn ＋1.12．设函数f (x )定义如下表，数列{x n }满足x 0＝5，且对任意的自然数均有x n＋1＝f (x n )，则x 2 016＝( )A.1 C ．4D ．5解析：选D x 1＝f (x 0)＝f (5)＝2，x 2＝f (2)＝1，x 3＝f (1)＝4，x 4＝f (4)＝5，x 5＝f (5)＝2，…，数列{x n }是周期为4的数列，所以x 2 016＝x 4＝5，故应选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”．答案：x ，y 都大于1 14．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b 2，n ＝lg a ＋b2，则m ，n 的大小关系是________．解析：ab >0⇒ab >0⇒a ＋b ＋2ab >a ＋b ⇒ (a ＋b )2>(a ＋b )2⇒a ＋b >a ＋b ⇒ a ＋b 2>a ＋b 2⇒lg a ＋b 2>lga ＋b 2.答案：m >n 15．已知 2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…， 6＋a b ＝6ab ，a ，b 均为正实数，由以上规律可推测出a ，b 的值，则a ＋b ＝________.解析：由题意归纳推理得6＋a b ＝6a b，b ＝62－1 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41. 答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a 38. 答案：a 38三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.证明：(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，∴lg a＋b2≥lg ab，∴lg a＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，a n＋1＝2a n1＋a n(n＝1,2，…)．(1)求证：a n＋1≠a n；(2)令a1＝12，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式a n(不要求证明)．解：(1)证明：若a n＋1＝a n，即2a n1＋a n＝a n，解得a n＝0或1.从而a n＝a n－1＝…＝a2＝a1＝0或1，这与题设a1>0，a1≠1相矛盾，所以a n＋1＝a n不成立．故a n＋1≠a n成立．(2)由题意得a1＝12，a2＝23，a3＝45，a4＝89，a5＝1617，由此猜想：a n＝2n－12n－1＋1.19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°.(2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数．证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数．(3)已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)<0，用反证法证明：关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．证明：假设方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0有实根．由已知实数m 满足不等式(2m ＋1)(m ＋2)＜0，解得－2＜m ＜－12，而关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0的判别式Δ＝4(m 2－4)，∵－2<m <－12，∴14＜m 2＜4，∴Δ<0，即关于x 的方程x 2＋2x ＋5－m 2＝0无实根．解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．20．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ； (2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列． 21．(本小题满分12分)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)． 求证：f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 证明：当n ＝2时，左边＝f (1)＝1，右边＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1，左边＝右边，等式成立．假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，结论成立，即 f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＝k [f (k )－1]， 那么，当n ＝k ＋1时， f (1)＋f (2)＋…＋f (k －1)＋f (k ) ＝k [f (k )－1]＋f (k ) ＝(k ＋1)f (k )－k＝(k ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (k ＋1)－1k ＋1－k＝(k ＋1)f (k ＋1)－(k ＋1) ＝(k ＋1)[f (k ＋1)－1]，∴当n ＝k ＋1时结论仍然成立．∴f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)＝n [f (n )－1](n ≥2，n ∈N *)． 22．(本小题满分12分)已知f (x )＝bx ＋1(ax ＋1)2⎝⎛⎭⎪⎫x ≠－1a ，a ＞0，且f (1)＝log 162，f (－2)＝1.(1)求函数f (x )的表达式；(2)已知数列{x n }的项满足x n ＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (n ))，试求x 1，x 2，x 3，x 4；(3)猜想{x n }的通项公式，并用数学归纳法证明．解：(1)把f (1)＝log 162＝14，f (－2)＝1，代入函数表达式得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1(a ＋1)2＝14，－2b ＋1(1－2a )2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧4b ＋4＝a 2＋2a ＋1，－2b ＋1＝4a 2－4a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，(舍去a ＝－13)，∴f (x )＝1(x ＋1)2(x ≠－1)．(2)x 1＝1－f (1)＝1－14＝34， x 2＝34(1－f (2))＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19＝23， x 3＝23(1－f (3))＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116＝58，x 4＝58×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝35.(3)由(2)知，x 1＝34，x 2＝23＝46，x 3＝58，x 4＝35＝610，…，由此可以猜想x n ＝n ＋22(n ＋1).证明：①当n ＝1时，∵x 1＝34，而1＋22(1＋1)＝34，∴猜想成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，x n ＝n ＋22(n ＋1)成立，即x k ＝k ＋22(k ＋1)，则n ＝k ＋1时，x k ＋1＝(1－f (1))(1－f (2))…(1－f (k ))·(1－f (k ＋1)) ＝x k ·(1－f (k ＋1))＝k ＋22(k ＋1)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(k ＋1＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)·(k ＋1)(k ＋3)(k ＋2)2＝12·k ＋3k ＋2＝(k ＋1)＋22[(k ＋1)＋1].∴当n ＝k ＋1时，猜想也成立，根据①②可知，对一切n ∈N *，猜想x n ＝n ＋22(n ＋1)都成立．。
(完整word版)高中数学选修2-2推理与证明单元测试卷
章末检测一、选择题 1.由 1= 12,1 + 3 = 22,1 + 3+ 5= 32,1 + 3 + 5+ 7= 42,…，得到 1 + 3+ — + (2n — 1) = n 2 用的是（ ） A. 归纳推理 B.演绎推理 C.类比推理 D.特殊推理答案 A 2.在厶ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则有EF // BC ,这个问题的大前提为（ ）A •三角形的中位线平行于第三边 B. 三角形的中位线等于第三边的一半 C. EF 为中位线 D.EF // BC答案 A解析 这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提： EF 为△ ABC 的中位线；结论： EF // BC. 3.用反证法证明命题“2 + . 3是无理数”时，假设正确的是 （）A. 假设,2是有理数 C.假设,2或，3是有理数 答案 DB. 假设.3是有理数D.假设.2+ 3是有理数解析应对结论进行否定，则 ,2+ 3不是无理数，即.2+ 3是有理数. 4•若A 是厶ABC 的一个内角,1cos A >2，则A 的取值范围是（n A. 0, 6n B. 0, 3n nc. 6, 2答案B1解析■/ A是厶ABC的一个内角，••• A € （0, n）又cos A> ?,且y= cos A在（0, n上是减函2f x5.已知f(x+ 1) = f x+ 2, f(1) = 1(x€ N*)，猜想f(x)的表达式为()4A.2x+ 2B. 2x+ 1a 》一2, • 解得—2 w a w 1. 1 + a w 2,8.对“ a , b , c 是不全相等的正数”，给出下列判断: ① (a — b)2 + (b — c)2+ (c — a)2* 0;② a = b 与b = c 及a = c 中至少有一个成立； ③ a 丰c , b * c , a * b 不能同时成立 . 其中判断正确的个数为() A.0B.1C.2D.31C.x+7答案 B2f 12 解析 当 x = 1 时，f(2) == -2+22当 x =3 时，f(4)=髡=1=占, 2故可猜想f(x) = -^，故选B.x + 16.设有两个命题:①关于x 的不等式x 2+ 2ax + 4>0对一切x € R 恒成立; ②函数f(x)=— (5 — 2a)x 是减函数. 若命题中有且只有一个是真命题，则实数 a 的取值范围是(A.( —a, — 2]B.( —a, 2)C.[2 ,+a )D.( — 2,2)答案 A解析 若①为真，则A= 4a 2— 16v 0•即—2v a v 2 ;若②为真，则5— 2a > 1,即a v 2•当①真 ②假时，无解；当①假②真时，a w — 2.X7.在R 上定义运算O ： x Oy =口若关于x 的不等式(x — a) O (x + 1 — a) > 0的解集是集合｛x|—2w x < 2, x € R ｝的子集，则实数 a 的取值范围是( A.[ — 2,2] B.[ — 1,2] C.[1,2) D.[ — 2,1]答案 Dx — ax — a x — a解析由定义知(x - a) O(x +1 - a)= 2 — x + 1 — a — 1 + a — x — 1 + a'•••不等式为—x ——>0，x ——v0 的解集为｛x|a v x v a + 1｝，也就是｛x|— 2w x w 2｝的子集,答案 B解析 若(a — b)2+ (b — c)2+ (c — a)2 = 0，则a = b = c ,与“a , b, c 是不全相等的正数”矛盾， 故①正确.a = b 与b = c 及a = c 中最多只能有一个成立，故 ②不正确.由于“a , b , c 是不全相 等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确.1a n +1 = 1 —一，贝U a 2 015等于(a n1A ・2 B. — 1 C.2 D.3答案 B1 彳 a5=1 —04=— 1, a6=1 —a n + 3k = a n (n € N , k € N ) • a 2 015= a 2 + 3X 671= a 2=— 1.10. 定义在 R 上的函数f(x)满足f(— x)=— f(x + 4)，且f(x)在(2,+s )上为增函数.已知X 1 + X 2<4 且(x 1— 2) •(— 2)<0，贝U f(x 1)+ f(x 2)的值( )A.恒小于0B.恒大于0C. 可能等于0D.可正也可负答案 A解析 不妨设 X 1 — 2<0 , X 2— 2>0 , 则 X 1<2 , x 2>2, • 2<X 2<4 — X 1 ,• f(X 2)<f(4 — X 1)，即一f(X 2)> — f(4 — X 1), 从而一f(X 2)> — f(4 — X 1)= f(X 1), f(X 1 ) + f(X 2)<0. 二、填空题 11. 观察下列等式： (1 + 1) = 2 X 1(2 + 1)(2 + 2)= 22X 1 X 3(3 + 1)(3 + 2)(3 + 3) = 23X 1 X 3 X 5 按此规律，第n 个等式可为 ___________ .答案 (n + 1)(n + 2)(n + 3) •- •(+ n) = 2n - 1 - 3•- -5•- 1)11 1 3 5 7 12. f(n)= 1 + + 3+-+ 卞n € N *)，经计算得 f(2)=?, f(4)>2 , f(8)>?, f(16)>3 , f(32)>-，推测9.数列｛a n ｝满足a i =1,解析1-a1 = 2’an + 1=1 1 —a n••• a2=a3=1-02=2,1 1a4=1—ar 2,a 5=2,当n》2时，有 __________________ .2 + n答案f(2n)>—^( n A 2)解析观测f(n)中n的规律为2k(k= 1,2,…),2 + k不等式右侧分别为2，k= 1,2 ,…，••• f(2n)>^( n A 2).13.用数学归纳法证明：1 1 1 2n1+ 1 + 2 + 1 + 2+ 3+…+ 1 + 2+ 3+・・・+ n—n +1 时，由 * k到* k+1左边需要添加的项是___________ 答案2k+ 1 k+ 2解析1 2由n—k到n—k+ 1时，左边需要添加的项是一.1 + 2+ 3+ …+ k+ 1 k+ 1 k+ 214.设S, V分别表示表面积和体积，如△ ABC的面积用S A ABC表示，二棱锥O —ABC的体积用V O —ABC表示，对于命题：如果0是线段AB上一点，则Q B|OA+ |<OA| OB= 0.将它类比到平面的情形时，应该有：若0是厶ABC内一点，有OBC 0A+ S SCA 0B + OBA OC = 0.将它类比到空间的情形时，应该有：若O是三棱锥A—BCD内一点，则有____________________ .答案V O-BCD 0A + V O—ACD OB+ V O—ABD OC + V O—ABC OD= 0三、解答题15. 设a, b, c三数依次成等比数列，而x, y分别为a, b和b, c的等差中项，试证：号+y = 2.证明依题意，a, b, c依次成等比数列，即a= b.b c由比例性质有—=—匚，又由题设x=旦乎,y=中,a+ b b + c 2 2a c 2a 2c 2b 2c 2 b+ c因而 + = = + = = 2.x y a+ b b + c b+ c b+ c b+ c116. 证明：对于任意实数x, y,都有x4+ y4A~xy(x + y)2.1 证明要证x4+ y4A?xy(x+ y)2,只需证2(x4+ y4) A xy(x+ y)2,即证2(x4+ y4) A x3y+ xy3+ 2x2y2.只需x4+ y4A x3y+ xy3与x4+ y4A 2x2y2同时成立即可.又知x4+ y4—2x2y2= (x2—y2)2A 0 显然成立，即x4+ y4A 2x2y2成立，只需再证x 4+ y 4>x 3y + xy 3即可. 而 x 4 + y 4- x 3y - xy 3= (x — y)(x 3- y 3),T x - y 与 x 3- y 3 同号，•- (x - y)(x 3- y 3) > 0,即卩 x 4 + y 4>x 3y + xy 3成立，1•对于任意实数x , y ,都有x 4 + y 4>2xy(x + y)2.17. 如图，在直三棱柱 ABC - A i B i C i 中，E,F 分别为 A i B,A i C 的中点，点D 在B i C i 上，A i D 丄B i C.求证：(1)EF //平面ABC ; (2)平面 A i FD 丄平面BB i C i C.证明 ⑴因为E , F 分别为A i B , A i C 的中点，所以 EF // BC,又EF?平面ABC , BC?平面 ABC ,所以EF //平面ABC.(2)因为三棱柱 ABC - A i B i C i 为直三棱柱， 所以BB i 丄平面A i B i C i , BB i 丄A i D , 又 A i D 丄 B i C ,所以 A i D 丄平面BB i C i C , 又A i D?平面A i FD ,所以平面A i FD 丄平面BB i C i C.I8.已知△ ABC 中，A : B : C = I : 2 : 6. a a + b求证：厂= -------b a + b + C只需证 a 2 + ab + ac = ab + b 2, 即证 a(a + c) = b 2.由正弦定理，只需证 sin A(sin A + sin C) = si n 2B. •/ A : B : C = i : 2 : 6,即卩 sin n sin f+sin§n)sin 29n证明 要证 a _ a + b b a +b +c ‘•-A =9，6 一9=c2 一9n n ・ 3 o2 即singling + sing n# sin2§n,n 2 n n ?2 即sin 9 • 2singcos g = sin2g n,n n 2即2si n geos g= sin g n,显然成立a+ b成立.a+ b+ e。
2017-2018学年高中数学人教版选修2-2第二章推理与证明 测试卷含解析
阶段质量评估(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”．以上推理的大前提是()A．实数分为有理数和无理数B．π不是有理数C．无理数都是无限不循环小数D．有理数都是有限循环小数解析：演绎推理的结论是蕴含于前提之中的特殊事实，本题中由小前提及结论知选C.答案：C2．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中至少有一个偶数．”正确的反设为()A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c都是奇数C．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D．a，b，c都是偶数解析：“至少有一个”的反面是“一个也没有”，∴“a，b，c中至少有一个是偶数”应反设为：a，b，c都是奇数．答案：B3．求证：3＋7＜2 5.证明：因为3＋7和25都是正数，所以为了证明3＋7＜25，只需证明(3＋7)2＜(25)2，展开得10＋221＜20，即21＜5，只需证明21＜25.因为21＜25成立，所以不等式3＋7＜25成立．上述证明过程应用了()A．综合法B．分析法C．综合法、分析法配合使用D．间接证法解析：结合证明特征可知，上述证明过程用了分析法，其属于直接证明法．答案：B4．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四个侧面( )A ．各正三角形内任一点B ．各正三角形的某高线上的点C ．各正三角形的中心D ．各正三角形外的某点解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心．答案：C5．在古腊毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形，则第n 个三角形数为( )……A ．nB ．12n (n ＋1)C ．n 2－1D ．12n (n －1)解析：因为1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3，…猜想第n 个三角数为：1＋2＋3＋4＋…＋n ＝12n (n ＋1)． 答案：B6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C ．某校高三共有10个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式解析：演绎推理三段论由大前提——小前提——结论组成，而A 满足这一结构，B 为类比推理，C ，D 为归纳推理．答案：A7．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③解析：根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．答案：A8．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．sin(α＋β)>cos α＋cos β C ．cos(α＋β)>sin α＋sin β D ．cos(α＋β)<cos α＋cos β 解析：因为0<α<π2，0<β<π2，所以 1＞sin α＞0,1＞sin β＞0,1＞cos α＞0,1＞cos β＞0.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，A 错误．同理，sin(α＋β)＜cos α＋cos β，B 错误；cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＜cos αcos β＜cos α＜cos α＋cos β，D 正确．令α＝β＝30°，则cos(30°＋30°)＝cos 60°＝12＜12＋12＝sin 30°＋sin 30°，故C 错误．答案：D9．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则成立的等式是( )A ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 17－n (n ＜17，n ∈N *)B ．b 1·b 2·…·b n ＝b 1·b 2·…·b 18－n (n ＜18，n ∈N *)C ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 17－n (n ＜17，n ∈N *)D ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 18－n (n ＜18，n ∈N *)解析：在等差数列{a n }中，由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n＝2a 10＝0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0，即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1， 又∵a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n . 若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n . 相应地，等比数列{b n }中有：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n ＜17，n ∈N *)． 答案：A10．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列式子：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，…类比有x ＋ax n≥n ＋1(n ∈N *)，则a 的值为( )A ．n nB ．nC ．n ＋1D ．n －1解析：由观察可得：x ＋a x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋ax n ≥(n ＋1)·n ＋1x n ·x n ·…x n ·a x n ＝(n ＋1)·n ＋1a n n＝n ＋1，则a ＝n n .答案：A11．四个小动物换座位，开始是猴、兔、猫、鼠分别坐在1,2,3,4号位置上，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的位置对应的是( )A ．编号1(开始)B ．编号2(第1次)C ．编号3(第2次)D ．编号4(第3次)解析：交换4次是一个周期，第2014次小兔的位置和第2次小兔的位置一样． 答案：C12．若在曲线f (x ，y )＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f (x ，y )＝0的“自公切线”．下列方程：①x 2－y 2＝1；②y ＝x 2－|x |；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x |＋1＝4－y 2，它们对应的曲线中存在“自公切线”的有( ) A ．①② B ．②③ C ．①④D ．③④解析：①x 2－y 2＝1是一个等轴双曲线，没有“自公切线”．②y ＝x 2－|x |＝⎩⎨⎧x －122－14，x ≥0，x ＋122－14，x ＜0在x ＝12和x ＝－12处的切线都是y ＝－14，故②有“自公切线”．③y ＝3sin x ＋4cos x ＝5sin(x ＋φ)，cos φ＝35，sin φ＝45，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有“自公切线”．④由于|x |＋1＝4－y 2，即x 2＋2|x |＋y 2－3＝0，结合图象可得，此曲线没有“自公切线”．故答案为B.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中横线上) 13．对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直，那么这两个角相等或互补”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题“________________”，这个类比命题的真假性是________．解析：边类比半平面，角类比二面角可得．答案：如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直，那么这两个二面角相等或互补 假命题14．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：显然本题的证明过程是从已知条件出发一步一步推导结论，是由因导果的顺推法，故为综合法．答案：综合法15．补充下列证明过程：要证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac (a ，b ，c ∈R )，即证____________________，即证____________________，因为a ，b ，c 为实数，上式显然成立．故命题结论成立．解析：a ，b ，c 在不等式中的位置是一样的，两端同乘以2后移项，可转化为完全平方式．答案：2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2bc ＋2ac (a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≥016．已知：f (x )＝x 1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1[f n －1(x )](n >1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为______，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为______．解析：∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1[f n －1(x )]，∴f 2(x )＝f 1[f 1(x )]＝x1－x 1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2[f 2(x )]＝x 1－2x1－2×x 1－2x ＝x 1－4x， f 4(x )＝f 3[f 3(x )]＝x 1－4x 1－4×x 1－4x ＝x 1－8x，f 5(x )＝f 4[f 4(x )]＝x 1－8x1－8×x 1－8x＝x 1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x. 答案：x 1－4x x 1－2n －1x三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，试分别用分析法和综合法证明∠B 为锐角．证明：方法一(分析法) 要证明∠B 为锐角，只需证cos B ＞0，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以只需证明a 2＋c 2－b 2＞0，即a 2＋c 2＞b 2.因为a 2＋c 2≥2ac ，所以只需证明2ac ＞b 2. 由已知2b ＝1a ＋1c ，即2ac ＝b (a ＋c )，所以只需证明b (a ＋c )＞b 2，即只需证明a ＋c ＞b .而a ＋c ＞b 显然成立，所以∠B 为锐角． 方法二(综合法) 由题意：2b ＝1a ＋1c ＝a ＋cac ，则b ＝2aca ＋c ，∴b (a ＋c )＝2ac .∵a ＋c ＞b ， ∴b (a ＋c )＝2ac ＞b 2.∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －b 22ac ＞0.又∵0＜∠B ＜π，∴0＜∠B ＜π2，即∠B 为锐角．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0. 证明：假设a ，b ，c 中没有一个大于0 即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0.因为a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6所以a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2－3＋π＞0 又因为a ＋b ＋c ≤0，所以假设不成立，所以原命题成立，即a ，b ，c 中至少有一个大于0.19．(本小题满分12分) 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12. (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解：由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝12n －2n 2， 对n ＝1不成立，所以a n＝⎩⎨⎧12(n ＝1)，12n －2n 2(n ≥2).20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)．(1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)， 不妨设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0. ∵a ＞1， ∴a x 2－x 1＞1且a x 1＞0， ∴a x 2－x 1＝a x 1·(a x 2－x 1－1)＞0.又∵x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，于是f (x 2)－f (x 1)＝a x 2－a x 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＞0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1.∵a ＞1，∴0＜ax 0＜1，∴0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2，与假设x 0＜0相矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根．21．(本小题满分12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 2 13°＋cos 2 17°－sin 13°cos 17°； ②sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15°； ③sin 2 18°＋cos 2 12°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 2 48°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 2 55°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：方法一：(1)选择②式，计算如下： sin 2 15°＋cos 2 15°－sin 15°cos 15° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2 α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2 α＋34cos 2 α＋32sin αcos α＋14sin 2 α－32sin αcos α－12sin 2 α＝34sin 2 α＋34cos 2 α＝34. 方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2 α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2 α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.22．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a n >0，a 1＝23，且－3a 2，1a 3，1a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式．(2)设数列{b n }满足b n ·log 3(1－S n ＋1)＝1，求适合方程b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝2551的正整数n 的值．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由－3a 2，1a 3，1a 4成等差数列，得－3＋1q 2＝2q，解得q ＝13或q ＝－1(舍)，所以a n ＝2×13n .(2)因S n ＋1＝231－13n ＋11－13＝1－13n ＋1，得log 3(1－S n ＋1) ＝log 313n ＋1＝－n －1，所以b n ＝－1n ＋1，b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2，b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，由题意得12－1n ＋2＝2551，解得n ＝100.。
高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案
推理与证实一、核心知识1.合情推理〔1〕归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.归纳推理是由局部到整体,由个别到一般的推理.〔2〕类比推理的定义：根据两个〔或两类〕对象之间在某些方面的相似或相同, 推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理.类比推理是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理〔1〕定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论〔包括定义、公理、定理等〕根据严格的逻辑法那么得到新结论的推理过程.演绎推理是由一般到特殊的推理. 〔2〕演绎推理的主要形式：三段论“三段论〞可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是Po 其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理；②是小前提,它指出了一个特殊对象；③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断.3.直接证实直接证实是从命题的条件或结论出发,根据的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性.直接证实包括综合法和分析法.〔1〕综合法就是“由因导果〞,从条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论.〔2〕分析法就是从所要证实的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因〞.要注意表达的形式：要证A,只要证B, B应是A 成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开.4反证法〔1〕定义：是指从否认的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否认是错误的,从而肯定原结论是正确的证实方法.（2）一般步骤：〔1〕假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立；②从假设出发,经过推理论证,得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确.(3)反证法的思维方法：正难那么反....5.数学归纳法(只能证实与正整数有关的数学命题)的步骤 (1)证实：当n 取第一个值nO (nOGN*)时命题成立；⑵假设当n=k (k€N*,且kNnO)时命题成立,证实当n=k+l 时命题也成立 由(1), (2)可知,命题对于从nO 开始的所有正整数n 都正确. 二、典型例题 例1.+ =⑴=1 (RE N*),猜测/(x)的表达式为(B )J(x) + 2A- /W = Tr-;; B- /W = T ；c. /(x) =； D. /(x)= —2―,2+2 x + \x + \2x + \例 2./(〃)= 1 + L + 1 +…+ ! (〃eN ), 2 3 n57/(8) > - , /(16)>3 , /(32) > -,由此推测：当〃 2 2 时,有 22(〃 e Nr _______________33例 3.：sin 1 2 3 4 5 300 +sin 290° +sin 21500 = - ； sin 250+sin 265°+sin 21250 =-2 2通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题：=-(* )并给出(* )式的证实.例 4.假设“,8c 均为实数,且 n = X 2 -2y + —= y 2 -2z + —,c = z 2 -2x + — 0 2 3 6求证：中至少有一个大于0.答案：(用反证法)假设“也c 都不大于0,即4«0.〃40.c«0 ,那么有a+b+cKO,23解：一般形式：sin 2sin2(a+ 60') +sin 二.+ 120°)=—22 - cos 2a 1 - cos(2a +120°) 1 - cos(2a + 240 °)3 + 2 + 23 1=---[cos2a + cos(2a +120°) + cos (2a + 240°)] 2 2 4 I . =---[cos2a + cos2acosl 20s - sin 2asin 120e +cos2cos240fl- sin 2asiii240 ] 3 1 r 1 八 6 .、 1 c二 一——[cos la — — cos 2a — ——sin 2a --cos 2a + ——sin 2a] = — = 3a计算得/(2) = $, /(4) > 2 ,证实：左边而r/ + Z? + c = (x2 -2y + —) + (y2 -2z + ^-) + (z2 -2x + —) = (x-l)2+(y-l)2 +(z-l)2 +(— + —+ —)-3 2 3 6 2 3 6=(.r-l)2+(y-I)2 +(-1)2 +"3,.-1)2,(),一1产,(〞1)2 均大于或等于o, *3>o,,4+〃+c>0,这与假设“+b+cKO矛盾,故“力,c中至少有一个大于0.例5.求证：1+3+5+…+ (2n+l) =n2 (nGN*)三、课后练习1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式可能是(B )a = 1, a】=1,A. B. ,a+i = 3+〃(〃£N') 〔&=品一1+ 〃(〃£'*, 〃力2)Zi = l, fa】=l,C・ J D. ,〔&+］ = 3+(〃—1) (〃£N,) =品-1+(〃- 1) 〃N2)［解析］记数列为{a},由观察规律：及比a多2, 必比国多3, &比&多= 1,4,…,可知当〃三2时比a-多〃,可得递推关系' _ (〃22,〃£“).a-&-1=〃2.用数学归纳法证实等式1+2 + 3 +…+(〃+3)=上±"U(〃WN・)时,验证〃=1,左边应取的项是(D )A. 1B. 1+2C. 1+2 + 3D. 1+2 + 3+4［解析］当〃=1时,左=1+2 +…+ (1+3) = 1+2+…+ 4,故应选D.3.F(〃) —nA,那么(D )n n-v 1 〃十2 nA.f(〃)中共有〃项,当〃=2 时,f(2)=:+( 乙JB.F(〃)中共有〃+1 项,当〃=2 时,f(2)=S+；+； 4 0 c lC.f(〃)中共有〃2—〃项,当〃 =2 时,f(2)=；+14 UD.f(〃)中共有〃2—〃+1 项,当〃=2 时,/•(2)=；+}+；乙 W X［解析］项数为5— 1)=6—〃+1,故应选D.4.a+,+c=0,那么aZ?+bc+ca 的值(D )A.大于0B.小于0C.不小于0D.不大于0［解析］解法1： ,.,a+6+.=0,# +万+ / + 2aS+2ac+26c=0,WO.5.c>l, <3=e+1-b=y［c—ylc—l,那么正确的结论是(B )A. a>bB. a<bC. a=bD. a、0大小不定［解析］=尸一&=*+&,〞—产=&+m,由于正+1>正>0, y［c>y［c—i>0,所以c+1 c— 1〉0,所以水上.sin/ cosB cosC …, 、6.假设丁丁=丁那么△月勿是〔C 〕A.等边三角形B.有一个角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个角是30.的等腰三角形-—sin力cosB cosC t［解析］.丁=丁=丁,由正弦定理得,sin力sin/ sinC . sin4 cos4 cosc sinC解析：用n=2代入选项判断.8.设人⑶二^^尤力⑶二力⑴,f2(x) = //(x),..., f n+[M = f n M, nGN,那么/2OO8(X)= _______解：cosx,由归纳推理可知其周期是49.函数/(x)由下表定义：X 2 5 3 1 41 2 3 4 5假设 4 = 5, 〞 = 0,1,2,…,那么4O()7=4.10.在数列1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,……中,第25 项为—7_.11.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的假设干图案,那么按此规律第〃个图案中需用黑色得砖4〃 + 8 块.(用含〃的代数式表示),由f…⑵(3) . ⑸12. 2XABC的三个角A、B、C成等差数列,求证：—^ + ―---- ;-oa +b b + c答案：证实：要证_L+_L = <_,即需证半上+『£=3.即证」_ +」L = i0 a+b b^c又需证.(8+c) + "(" + Z?) = (a + 〃X〃 + c), 需证 +(厂=uc + h"「△ABC三个角A、B、C成等差数列.AB=60°.由余弦定理,有序+『-加,8s 60.,b2 -c2 + a2 -ac o成立,命题得证.13.用分析法证实：假设a>0,那么,『+十-a2“ +!-2.答案：证实：要证•+只需证+4+22“ + •!■ +无. v cr .V a>0, ...两边均大于零,因此只需证(L2 + -4 + 2)2 >(« + -!- +V2)2只需证“2+4 + 4 + 4、“2 + 晨“2 +」+ 2+2 + 2及(“ + 3, a~ \ u- u~ “只需证「+拚斗,+?,只需证/+*2?/+ * + 2),即证M+,22,它显然成立.,原不等式成立. 0-14. AA3C中,3Z? = 2、行asinB ,且cosA = cosC,求证：AABC为等边三角形.解：分析：由3〃 = 2yf3a sin B = 3sin B = 2-73 sin Asin B = sin A = — = A =—2 3 3由cos A = cosC ^>A = C.\A = C = — = B3所以A48C为等边三角形15.：a、b、c£R,且a+b+c=L 求证：a +1)+c2^" J［证实］由3+Z/22a8,及力2 + c?22历,c' + a,e2ca 三式相加得a~+b~ + c~^ab+ bc+ ca.1.3 (a' + 6 + /) 2 (力 + 厅 + d) + 2 (aZ?+ Z?c+ ca) = (a+ /?+ c)~. 由a+ b+ c= 1,得 3 (a' + 斤 + /) 21,即,J2 2 2 2 2 2 23(将一般形式写成sin2(a-60 ) + sin2a + sin2(a + 60 )=」,2sin2(or-240") + sin2(a-120°) +sin2a =-等均正确o )2a b c ' . • 6 b c c.\sinB=cosB, sinC=cosC, /. ZB= ZC=^° , ,△力比是等腰直角三角形.7.观察式子…系拉"不沁99/9…,那么可归纳出式子为〔c〕D. 1 1 1 12* 2 32〃- 2〃 + 1n f 1 1 1 InD、1 ― ------------------- + —7 + …<22 32/2〃 + 1。
高中数学选修22第二章 推理与证明 单元练习
高中数学选修22第二章 推理与证明 单元练习一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，恰有一．．．项．是符合题目要求的. 1. 由“在半面内，三角形的内心到三边的距离相等”联想到“在空间中，内切于三棱锥的 球的球心到三棱锥四个面的距离相等”，这一推理过程是 ( B )A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．非上述答案 2. ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =(B) A ．14 B ．34C ．24D ．233. 用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为( B ) A ．285cm B ．2610cm C ．2355cm D ．220cm4. 平面上有k(k ≥3)条直线，其中有k －l 条自线互相平行，剩下一条与它们不平行，则 这k 条直线将平面分成区域的个数为 ( C ) A ．k B ．(k+1) C ．2k D ．(2k+2)5.若关于x 的不等式x k )1(2+≤4k ＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有（ A ） （A ）2∈M ，0∈M ； （B ）2∉M ，0∉M ； （C ）2∈M ，0∉M ； （D ）2∉M ，0∈M ．6. 设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是 ( ) A.)11)((ba b a ++≥4 B.33b a +≥22abC.222++b a ≥b a 22+D.b a -≥b a - 7. 函数191()n f x x n ==-∑的最小值为( C )（A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45【答案】C8. 若A 、B 、C 为三个集合，A B B C =，则一定有【A 】A.A C ⊆B.C A ⊆C.A C ≠D.A =∅ 【分析】本题考查元素与集合间关系的基础知识以及逻辑推理能力．【解】由A B B C =得A B C ⊂,A C ⊂且B C ⊂,故选A.9.设,,a b c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是【C 】ABCD A.||||||a b a c b c -≤-+-B.2211a a a a+≥+ C.1||2a b a b-+≥-D.312a a a a +-+≤+- 【分析】本题主要考查不等式等基础知识．【解】1||2a b a b-+≥-中只有在a －b ＞0且a －b=1时成立,故用直接法选C.10. 两个相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可 放入棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 与正方体的某一面平行，且各顶点均在正方体的面上， 则这样的几何体体积的可能值有【D 】 A.1个 B.2个C.3个D.无穷多个二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分. 11.12.三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．13. 对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p14. 在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f 10 ；=)(n f()()621++n n n （答案用n 表示） .三、解答题：本大题共6小题，共76分.15. 如图，抛物线px y 22=的弦21P P 交x 轴于点Q ，过1P 、2P 分别作x 轴的垂线，垂足为M 、N ，求证OQ 是OM 和ON 的比例中项． 16.已知：∠ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．求证：a ＞b ⇔sinA ＞sinB ．17. 设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1. 求证：(1)f (x )是奇函数.(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .4 7 （）（）（）……aj1……7 12 （）（）（）……aj2……（）（）（）（）（）……aj3……（）（）（）（）（）……aj4………………………………………………a i1ai2ai3ai4ai5……aij………………………………………………其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数．（I）写出a45的值；（II）写出aij的计算公式以及2008这个数在等差数阵中所在的一个位置．（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N＋1可以分解成两个不是1的正整数之积．19.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f(x+T)=T f(x)成立.（1）函数f(x)= x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f(x)=a x（a>0,且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f(x)=a x∈M；（3）若函数f(x)=sin kx∈M ,求实数k的取值范围.20. （Ⅰ）设函数)10( )1(log )1(log )(22<<--+=x x x x x x f ，求)(x f 的最小值； （Ⅱ）设正数n p p p p 2321,,,, 满足12321=++++n p p p p ，证明： n p p p p p p p p n n -≥++++222323222121log log log log参考答案一、选择题： 1.B 2.B 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D二、填空题： 11. ① 12. a ≤1013. )0,2(14. =)3(f 10；=)(n f ()()621++n n n .三、解答题：15. 证明：设点1P 、2P 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则直线21P P 的方程为121121x x x x y y y y --=-- ①由于点Ｑ是直线21P P 和x 轴的交点，令y ＝０得点Ｑ的横坐标为 212112y y y x y x x --=．点1P 和2P 分别在x 轴的上方和下方，不妨设点1P 在x 轴的上方，点2P 在x 轴的下方，则112px y =，222px y -=． 代入①，得2121122222px px px x px x x ++=＝21x x ，所以ON OM OQ =2即证得OQ 是OM 和ON 的比例中项． 16.sinA ＞sinB ．17. (1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x ).∴f (x )是奇函数.(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ).∵f (x +a )=f ［x －(－a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.18. （I ）a 4549=（II ）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列： a j j 1431=+-() 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a j j 2751=+-() ……第i 行是首项为431+-()i ，公差为21i +的等差数列，因此a i i j ij i j i j jij =+-++-=++=++431211221()()()()要找2008在该等差数阵中的位置，也就是要找正整数i ，j ，使得 22008ij i j ++=所以j ii =-+200821当i =1时，得j =669所以2008在等差数阵中的一个位置是第1行第669列．（III ）必要性：若N 在该等差数阵中，则存在正整数i ，j 使得N i j j =++()21 从而2122121N i j j +=+++()=++()()2121i j即正整数2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积．充分性：若2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N ＋1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k ，l ，使得 212121N k l +=++()() 从而N k l l a kl =++=()21可见N 在该等差数阵中综上所述，正整数N 在该等差数阵中的充要条件是2N ＋1可以分解成两个不是1的正整数之积．19. [解]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以f (x )=.M x ∉（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，所以方程组：⎩⎨⎧==xy a y x有解，消去y 得a x =x ,显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T.于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =⋅=⋅==++ 故f (x )=a x ∈M. （3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M.当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x +T)=T f (x )成立，即sin(kx +k T)=Tsin kx . 因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx +k T ∈R ， 于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx +k T) ∈[－1，1]， 故要使sin(kx +k T)=Tsin kx .成立，只有T=1±，当T=1时，sin(kx +k )=sin kx 成立，则k =2m π, m ∈Z . 当T=－1时，sin(kx －k )=－sin kx 成立， 即sin(kx －k +π)= sin kx 成立，则－k +π=2m π, m ∈Z ，即k =－2(m －1) π, m ∈Z . 综合得，实数k 的取值范围是{k |k = m π, m ∈Z} 20.。
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高中数学选修2-2第二章《推理与证明1》单元测试题单元练习题一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（ ）A ．都不大于2-B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-3．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③+；④-2中，与等价的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值 C ．只有最大值或只有最小值 D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6． 若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（ ）A ．123B ．105C ．89D ．58 7．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81B ．81-C ．161D ．161-二、填空题1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。
2．已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2a x x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
3．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。
4．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m5．若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。
三、解答题1．观察（1）000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101;++=（2）000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++= 由以上两式成立，推广到一般结论，写出你的推论。
2．设函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 中，c b a ,,均为整数，且)1(),0(f f 均为奇数。
求证：0)(=x f 无整数根。
3．ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，求证：cb ac b b a ++=+++3114．设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是8π=x .（1）求ϕ的值；（2）求)(x f y =的增区间；（3）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切。
高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元练习题巩固训练题一、选择题1．函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f则a 的所有可能值为（ ）A ．1B ．22-C ．1,2-或D ．1,2或 2．函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数（ ）A ．)23,2(ππB ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ3．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ） A ．22- B ．335-C ．－3D ．27- 4．下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ）A ．x y 2sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln( 5．设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定6．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字09:和字母A F :共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如下表：例如，用十六进制表示1E D B +=,则=⨯B A （ ） A ．6E B ．72 C ．5F D ．0B 二、填空题1．若等差数列{}n a 的前n 项和公式为2(1)3n S pn p n p =++++，则p =_______，首项1a =_______；公差d =_______。
2．若lg lg 2lg(2)x y x y +=-，则_____=。
3．设221)(+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得)6()5()0()4()5(f f f f f ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-的值是________________。
4．设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则.______________)5()4()3()2()1(=++++f f f f f 5．设()()()()f x x a x b x c =---(,,a b c 是两两不等的常数),则///()()()a b cf a f b f c ++的值是 ______________. 三、解答题1．已知：23150sin 90sin 30sin 222=++οοο 23125sin 65sin 5sin 222=++οοο通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出的证明。
2)n 是正整数3．直角三角形的三边满足c b a << ，分别以c b a ,,三边为轴将三角形旋转一周所得旋转体的体积记为c b a V V V ,,，请比较c b a V V V ,,的大小。
4．已知c b a ,,均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a ，求证：c b a ,,中至少有一个大于0。
高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题过关练习题一、选择题1．若,,x y R ∈则"1"xy ≤是22"1"x y +≤的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ）A ．32B ．34C ．38D ．3123．设115114113112log 1log 1log 1log 1+++=P ，则（ ） A ．10<<P B ．21<<P C ．32<<P D ．43<<P4．将函数2cos (02)y x x π=≤≤的图象和直线2y =围成一个封闭的平面图形，则这个封闭的平面图形的面积是（ ） A ．4 B ．8 C ．2π D ．4π5．若O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,AB AC OP OA AB ACλλ=++∈+∞u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．设函数1, 0()1, 0x f x x ->⎧=⎨<⎩，则()()()()2a b a b f a b a b +---≠的值为（ ）A.aB.bC.,a b 中较小的数D. ,a b 中较大的数 7．关于x 的方程229430x x a -----⋅-=有实根的充要条件是（ ）A ．4a ≥-B ．40a -≤<C ．0a <D ．30a -≤<二、填空题1．在数列{}n a 中，)()1(1,2,1*221N n a a a a n n n ∈-+=-==+，则.__________10=Sx2．过原点作曲线x e y =的切线，则切点坐标是______________,切线斜率是_________。
3．若关于x 的不等式22133(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集为1(,)2+∞，则k 的范围是____ 4．)(131211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n nn f ， 经计算的27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2≥n 时，有__________________________. 5．若数列{}n a 的通项公式)()1(12+∈+=N n n a n ，记)1()1)(1()(21n a a a n f -⋅⋅⋅--=，试通过计算)3(),2(),1(f f f 的值，推测出.________________)(=n f 三、解答题1．已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥---2．求证：质数序列2,3,5,7,11,13,17,19,……是无限的3．在ABC ∆中，猜想sin sin sin T A B C =++的最大值，并证明之。
4．用数学归纳法证明6)12)(1(3212222++=++++n n n n Λ，)(•∈N n第二章 推理与证明1 参考答案一、选择题1．B 523,1156,20119,-=-=-=推出2012,32x x -==2．D 1116a b c b c a +++++≤-，三者不能都小于2-3．D ①BC CD EC BD EC AE EC AC ++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ；②2BC DC AD DC AC +=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r③FE ED FD AC +==u u u r u u u r u u u r u u u r ；④2ED FA FC FA AC -=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，都是对的4．D 242T ππ==，[0,]2π已经历一个完整的周期，所以有最大、小值 5．B 由1845a a a a +=+知道C 不对，举例1845,1,8,4,5n a n a a a a ===== 6．C 3234344log [log (log )]0,log (log )1,log 3,464x x x x =====4342422log [log (log )]0,log (log )1,log 4,216x x x x =====423233log [log (log )]0,log (log )1,log 2,9x x x x ====89x y z ++=7．D 13''22(4)11,216y x y x y --===-===- 二、填空题1．2*1...212...32(21),n n n n n n n N ++++-+++-=-∈ 注意左边共有21n -项2．1 21()2f x ax x a a =-+-有最小值，则0a >，对称轴1x a =，min 1()()1f x f a==- 即2211112()()20,1,20,(0)1f a a a a a a a a a a a a =⋅-⨯+-=-=-+-=>⇒=3．x y < 2222()2a b y a b x +==+=>= 4．155 *512lg 2512lg 21,154.112155.112,,155m m m N m <<+<<∈=5．1000 前10项共使用了1234...1055+++++=个奇数，10a 由第46个到第55个奇数的和组成，即1010(91109)(2461)(2471)...(2551)10002a +=⨯-+⨯-++⨯-== 三、解答题1. 若,,αβγ都不是090，且090αβγ++=，则tan tan tan tan tan tan 1αββγαγ++= 2．证明：假设0)(=x f 有整数根n ，则20,()an bn c n Z ++=∈而)1(),0(f f 均为奇数，即c 为奇数，a b +为偶数，则,,a b c 同时为奇数 或,a b 同时为偶数，c 为奇数，当n 为奇数时，2an bn +为偶数；当n 为偶数时，2an bn +也为偶数，即2an bn c ++为奇数，与20an bn c ++=矛盾。