15-一元二次方程习题课
《一元二次方程的解法》习题课教案
《一元二次方程的解法》习题课学习目标:1.了解一元二次方程的各种解法,会选择适当的方法解一元二次方程。
2.能根据判别式准确判断一元二次方程根的情况。
学习重点：能正确地选择适当的方法解一元二次方程。
学习难点：熟练解出一元二次方程的解学习过程：一、自主思考题：思考下列问题：1、一元二次方程的解法有哪几种其基本思想是什么它们之间有什么区别和联系2、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么配方的关键是什么3、用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么求根公式是怎样推导出来的4、用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么5、如何利用b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况都是有哪几种情况6、求取的方程的解都符合题意吗有什么判断依据思路点拨：师生共同思考以上几个问题，在解一元二次方程时，往往首先把方程转化成一般形式，然后再去观察到底使用那种方法。
注意配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方（二次项系数为1时）。
求根公式不要死记，要掌握推导过程。
b 2-4ac 来判断一元二次方程根的情况是考点，要灵活掌握。
二、自学检测：1、一元二次方程x 2-ax+6=0, 配方后为(x-3)2=3, 则a=______________.2、已知关于x 的方程（a 2-1）x 2+（1-a ）x+a-2=0，下列结论正确的是（ ）A 、当a≠±1时，原方程是一元二次方程B 、当a≠1时，原方程是一元二次方程。
C 、当a≠-1时，原方程是一元二次方程D 、原方程是一元二次方程。
3、请你写出一个有一根为1的一元二次方程：4、下列方程是一元二次方程的是（ ）A 、0512=+-x xB 、x （x+1）=x 2-3C 、3x 2+y-1=0D 、2213x +=315x -5、方程x 2-8x+5=0的左边配成完全平方式后所得的方程是（ ）A 、（x-6）2=11B 、（x-4）2=11C 、（x-4）2=21D 、以上答案都不对6、关于x 的一元二次方程（m-2）x 2+（2m —1）x+m 2—4=0的一个根是0，则 m 的值是（ ）A 、 2B 、—2C 、2或者—2D 、127、要使代数式22231x x x ---的值等于0，则x 等于（ ） A 、1 B 、-1 C 、3 D 、3或-18、三角形两边长分别是6和8，第三边长是x 2-16x+60=0的一个实数根，求该三角形的第三条边长。
一元二次方程的根与系数的关系习题课
一元二次方程的根与系数的关系习题课一.知识要点100212.()如果关于的一元二次方程：≠的两个根是，，x ax bx c a x x ++= 那么，·。
x x b a x x c a1212+=-= 如果关于的一元二次方程：的两个根是，，那么x x px q x x x x 212120++=+= -=p x x q ，·。
反之也成立。
122. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a ≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：∆=-≥b ac 240二、例题讲解.例1. 如果是方程的一个根，求的值，并求出方程另一x x kx k k =---=2502 个根。
解法一：由于是方程的一个根，所以把代入方程，x x kx k x =---==25022得 22502---=k k ∴；k =-13也就是31402x x +-=；设另一个根为β，由根与系数的关系，有 2143213ββ=-+=-()或 ∴。
β=-73 解法二：设另一个根为β，据方程的根的意义与根与系数的关系，可列出方程组22502522---==--+=⎧⎨⎩k k k k ββ，或()即有-=+=-⎧⎨⎩3125k k ，；β解这个方程组，得k =-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1373β例2. 设方程的两根为，，不解方程，求下列各式的值：4730212x x x x --= ()()()()1332121323x x x x --+ ()()3114211212x x x x x x +++-()()()5132312121222x x x x x x x x +=+-+=++-()[()]x x x x x x 12122123=+-+()()x x x x x x 12312123解：由根与系数的关系可得： x x x x 12127434+==-， ()()()()133********x x x x x x --=-++ =--+343749× =3 ()()()2313231231212x x x x x x x x +=+-+ =--()()74334743×× =59564()()()()()31111112112221112x x x x x x x x x x +++=+++++ =+-+++++()()()x x x x x x x x x x 1221212121221=--+-++()()7423474347412× =10132()()412122x x x x -=-± =+-±()x x x x 122124 =--±()()744342 =±1497 例3. 已知关于x 的一元二次方程：x m x m 22224084+-++=()的两个实数根的平方和比这两根的积大， 求：实数m 的值。
一元二次方程解法习题课(公开课)
通过本次课程，我掌握了一元二次方程的三种解法，并 能够灵活运用这些方法解决问题。
配方法原理及步骤
配方法原理：通过配方，将一元二次方程转化 为完全平方的形式，从而求解。
01
配方法步骤
02
04
将二次项系数化为1；
05
加上并减去一次项系数一半的平方，使左 边成为完全平方；
将原方程化为一般形式；
03
06
开方求解。
典型例题分析与解答
例题1
01 解方程 $x^2 + 6x + 9 = 0$
02
4. 对等式左边进行完全平方，得到 $left(x + frac{b}{2a}right)^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$。
03
5. 开平方，得到 $x + frac{b}{2a} = pm sqrt{frac{b^2 4ac}{4a^2}}$。
04
6. 解得 $x_1, x_2 = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
一元二次方程根的性质
根的存在性
当判别式 $Delta = b^2 - 4ac geq 0$ 时，一元二次方程有两个实根。
根的和与积
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$），若其两个根为 $x_1$ 和 $x_2$， 则有 $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$，$x_1 times x_2 = frac{c}{a}$。
2. 将方程两边同时除以 $a$（$a neq 0$），得到 $x^2 + frac{b}{a}x = frac{c}{a}$。
直接开平方法原理及步骤
一元二次不等式及其解法(习题课)
∴原不等式解集为x|x<－12或x>13. 答案：A
2．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－x 2≤0，则 A∩B＝(
)
A．{x|－1≤x<0}
B．{x|0<x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}，
∴A∩B＝{x|0<x≤1}．
即
m>－16. 3
－ b ＝－2m>2 2a 2
m<－2
解得－16<m≤－4. 3
总结：
设关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)对应的二次函数为： f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，结合二次函数的图象的开口方向、对称轴位 置，以及区间端点函数值的正负，可以得到以下几类方程根的分布问 题(此时Δ＝b2－4ac)．
∴7m－6<0，解得 m<67. ∴0<m<6.
7
∴m<0.
综上所述，m
的取值范围为
－∞，6 7
.
探究二 不等式中的恒成立问题
[典例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
(2)对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
法二：f(x)<－m＋5 恒成立， 即 m(x2－x＋1)－6<0 恒成立．
Δ≥0， (1)方程 f(x)＝0 在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是－ fk2ba>>0k. ，
(2)方程 f(x)＝0 有一根大于 k，另一根小于 k 的条件是 f(k)<0.
(3) 方 程 f(x) ＝ 0 在 区 间 (k1 ， k2) 内 有 两 个 实 根 的 条 件 是
一元二次方程教学案(经典例题、习题巩固)
一元二次方程1、基本概念【双基巩固】(1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
【典型例题】例1下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
例3 将方程()213(2)(2)1x x x +-+-=化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．【基础过关】一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）①3x 2+7=0 ②ax 2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x 2-1 ④3x 2-5x=0 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．px 2-3x+p 2-q=0是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ．p=1B ．p>0C ．p ≠0D ．p 为任意实数二、填空题1． 方程3x 2-3=2x+1的二次项系数为__ ____，一次项系数为_______，常数项为_______．2．关于x 的方程（a-1）x 2+3x=0是一元二次方程，则a 的取值范围是________．三、解答题1．关于x 的方程（2m 2+m ）x m+1+3x=6：（1）当m 为何值时，它是一元二次方程？ （2）当m 为何值时，它是一元一次方程？【拓展提高】求证：关于x 的方程22221781m x x mx mx mx ++=--，不论m 取何值，该方程都是一元二次方程．2、方程的解【双基巩固】⑴概念：满足一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的 ，又叫做一元二次方程的 。
一元二次不等式的解法(习题课)
解析：若a＝0，原不等式为一次不等式，可化为－x －1＜0，显然它对于任意的x不都成立，所以a＝0不符 合题目要求．
若a≠0，原不等式为二次不等式，由于所给不等式对 所有实数x都成立，所以对应二次函数的图象抛物线必 须开口向下，且判别式Δ＜0，
3．设不等式ax2＋bx＋c＞0的解集 为 {x|1＜x＜2}，则方程ax2＋bx＋c＝0 的解集是：______，且a______0.
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一元二次不等式恒成立问题
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即aa＜－012－4aa－1＜①0
②
整理②，得 3a2－2a－1＞0，
解得 a＜－13或 a＞1.
a＜0， ∴a＜－13或a＞1.
∴a＜－13.
∴a 的取值范围是－∞，－13.
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综金上品：质－•高2追≤求a＜65我. 们让你更放心！
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一、选择填空题
1．不等式4x2≥4x－1的解是( )
A．全体实数
C．x≠
1 2
B．∅
D．x＝
1 2
解析：4x2≥4x－1⇒4x2－4x＋ 1≥0⇒(2x－1)2 ≥0⇒x∈R.故选A.
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不等式
3.2.3 一元二次不等式的解法(习题课)
一元二次方程习题课
一、填空题
1、关于x的方程 +mx-2=0的一个根为x=1,则m的值为
2、已知关于x的方程（m+2） +3x+m=0是一元二次方程，则m=
3、已知关于x的方程（k+1） +2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
4、如果二次三项式 -16x+ 是一个完全平方式，则m=如果二次三项式 +mx+ 是一个完全平方式，则m=
5、关于x的一元二次方程（1-2k） - 2 x-1=0有两个实数根，求k的取值范围。
五、实际问题
1、商场礼品柜台教师节购进大量贺卡，某贺卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张。商场要想平均每天盈利120元，每张贺卡应降价多少元？
9、已知（ ）（ ）=12,则 =
10、若 -3x+1=0,则 + =
二、解方程
1、x(x+2)=3=3x
4、4(x-3)2=9 5、（x-2）(1-3x)=66、 -2(x- )-3=0
三、先化简再求值
（ ）÷ 其中a是方程 +3x+1=0的根
四、解答题
5、已知△ABC的边长都是方程 -6x+8=0的根，则△ABC的周长是
6、某人收到一条很好的短信，把它发给x个朋友，每个朋友又把短信发给同样数量的朋友，已知，这个人和他的朋友共发短信132条，则x=
7、若 -5ab+4 =0则 =
8、在等腰三角形ABC中，BC=8，AB,AC的长是关于x的方程 -10x+m=0的两个根，则m的值是
一元二次不等式习题课
又对称轴方程为 x＝1，
f(x)的大致图象如图所示， [答案] f(2)<f(－1)<f(5)
由图可得 f(2)<f(－1)<f(5)．
作业
1．解不等式． ①xx－ ＋21≤0 ②23x－－41x>1.
2．关于 x 的不等式(1＋m)x2＋mx＋m<x2＋1 对 x∈R 恒成立， 求实数 m 的取值范围．
(2)xx＋ －12≤2. 此不等式等价于(x＋2)(x－1)＞0. ∴原不等式的解集为{x|x＜－2 或 x＞1}．
(2)移项，得xx＋－12－2≤0，
它的同解不等式为
x－2x－5≥0， x－2≠0，
左边通分并化简，得－xx－＋25≤0，即xx－－52≥0，
∴x＜2 或 x≥5. 原不等式的解集为{x|x＜2
的取值范围．
m
x －1 2
2＋3m－6<0， 4
令 g(x)＝m x－12 2＋3m－6，x∈[1,3]． 4
当 m>0 时，g(x)在[1,3]上是增函数，当 m＝0 时，－6<0 恒成立．
∴g(x)max＝g(3)＝7m－6 ∴7m－6<0，解得 m<6.
7
当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数． ∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，解得 m<6， ∴m<0.
∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又 m(x2－x＋1)－6<0，
∴只需 m<67即可．
∴m<x2－6x＋1.
∴m 的取值范围为－∞，67
1．不等式的解集为 R 的条件
不等式的解集为 R(或恒成立)
不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0
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A.-1或-2
B.-1或2
C.1或-2
D.1或2
11.已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，则y
x 的值是 （ ）
A.-8
B. 8
C. -9
D.9
12.：如果方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则m 的取值范围是 （ ） A 、 m ＜1 B 、 0＜m ≤1 C 、 0≤m ＜1 D 、 m ＞0
二．填空题
13．一个两位数等于它的两个数字积的3倍，十位数比个位数小2，十位数为x ，则这个两位数为
14．（九，四）已知x 2+3x +5的值为11，则代数式3x 2+9x +12的值为
（九，三）已知实数x 满足4x 2-4x +l=0，则代数式2x +x
21的值为_______． 15、（九，三班）已知x 1、x 2为方程x 2＋3x ＋1＝0的两实根，则x 12＋8x 2＋20＝__________．
（九，四班）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为
16.代数式2x 2-x-12的最小值是 .
17.如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等
的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路为
二、典型习题解析
例1、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程
31
1=-+x x 的解相同。
⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。
例4、已知关于x 的方程()0222
=++-k x k x (1)求证：无论k 取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰∆ABC 的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求∆ABC 的周长。
（九，四）已知关于x 的方程()01122
2=+-+x k x k 有两个不相等的实数根21,x x ， （1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
例5、为实施“农村留守儿童关爱计划”，某校对全校各班留守儿童的人数情况进行了统计，发现各班留守儿童人数只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六种情况，并制成了如下两幅不完整的统计图：
(1)求该校平均每班有多少名留守儿童？并将该条形统计图补充完整；
(2)某爱心人士决定从只有2名留守儿童的这些班级中，任选两名进行生活资助，请用列表法或画树状图的。