高三第一轮复习 简单的三角恒等变换.ppt
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高考数学一轮复习 简单的三角恒等变换课件
第六节 简单的三角恒等变换
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0
2
,0
2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.
1.
的值等于
(
)
解析： tan150 tan(75 75 )
2 tan 75 , 1 tan 75
答案：D
2.如果α∈( (α＋ ) ＝
， )且
，那么sin(α＋
)＋cos ( )
解析：∵sinα＝ <α<π，∴cosα＝ sin( ) cos( ) 2 sin( )
所以 tan( )
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
又0
2
,0
2
, 故0 2
3 , 2
从而由tan(α＋2β)＝－1得
3 2 . 4
1 13 , 且0 , 2.已知cos ,cos( ) 7 14 2
求证: tan 2 x
观察左、右两边式子间的差异，若选择“从左
证到右”，则“切化弦”的方法势在必行；若选择
“从右证到左”，则倍角公式应是必用公式.
【证明】法一：左边
法二：右边
=左边.
3.求证：
证明：左边
=右边. 故原等式成立
从近几年高考试题来看，本节内容主要灵活运用公 式，利用恒等变换进行三角函数的化简与求值，其考查
或具有某种关系.
3.“给值求角”：实质上是转化为“给值求值”，关键也是变 角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值 结合该函数的单调区间求得角.
(2008· 江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中， 以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆 交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为 (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值.
《5.5.2简单的三角恒等变换(第一课时)》课件(人教版)
可以从两个不同的角度回答这个问题： 第一，从所含角的角度考虑，等式左侧包含角α及β， 而等式右侧包含了α与β的和角以及差角，因此如果从等式右边出发， 借助和角公式与差角公式化简，最后可以化成等号左边的情势； 第二，从运算结构的角度考虑，等号左侧是sin α与cos β的乘积， 而右侧是加的情势，如果设计从左向右的变换过程，
22
新知探究
例2 求证：
（1）sin α cos β 1 sin(α β) sin(α β)；
2 证明：（1）因为sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝ 1［sin（α＋β）＋sin（α－β）］．
α
αα
证法一：因为
tan α
sin 2
sin cos 22
sin α ，
2 cos α cos2 α 1 cos α
2
2
tan α
sin α 2
sin2 α 2
1 cos α，
2 cos α sin α cos α sin α
2
22
所以得证．
新知探究
练习：求证：tan α sin α 1 cos α ． 2 1 cos α sin α
2
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得 tan2 α 1 cos α ． 2 1 cos α
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等 变换与代数恒等变换二者之间有何区分吗？
与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅会有结 构情势方面的差异，而且还会存在所含的角差异，以及这些角的三角 函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子 所包含的各个角之间的联系，并以此为根据选择适当的公式．
22
新知探究
例2 求证：
（1）sin α cos β 1 sin(α β) sin(α β)；
2 证明：（1）因为sin（α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β，
sin（α－β）＝sin αcos β－cos αsin β，
将以上两式的左右两边分别相加，得
sin（α＋β）＋sin（α－β）＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝ 1［sin（α＋β）＋sin（α－β）］．
α
αα
证法一：因为
tan α
sin 2
sin cos 22
sin α ，
2 cos α cos2 α 1 cos α
2
2
tan α
sin α 2
sin2 α 2
1 cos α，
2 cos α sin α cos α sin α
2
22
所以得证．
新知探究
练习：求证：tan α sin α 1 cos α ． 2 1 cos α sin α
2
2
2
将①②两个等式的左右两边分别相除，得 tan2 α 1 cos α ． 2 1 cos α
新知探究
问题2 经历了例1的解决过程之后，你能谈一谈三角恒等 变换与代数恒等变换二者之间有何区分吗？
与代数恒等变换相比，进行三角恒等变换时，三角函数式不仅会有结 构情势方面的差异，而且还会存在所含的角差异，以及这些角的三角 函数种类方面的差异，所以进行三角恒等变换时，常常要先寻找式子 所包含的各个角之间的联系，并以此为根据选择适当的公式．
高考数学一轮复习：第三章第4课时简单的三角恒等变换(新人教A版)PPT课件
β β
α
tan 2 .(半角化单角)
tanα2 ＝1＋sincosαα＝1－sincosαα.
课前热身
1．(教材习题改编)下列各式的值为14的是(
)
A．2cos21π2－1
B．1－2sin275°
2tan 22.5° C.1－tan222.5°
D．sin 15°cos 15°
答案：D
2．已知 cos α＝13，α∈(π，2π)，则 cosα2等于( )
2sin235°－1
212cos 10°－ 23sin
＝－2scinos2700°°＝－12. 10°
4．若 sinπ2＋θ＝35，则 cos 2θ＝________.
解析：∵sinπ2＋θ＝cos θ＝35， ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×352－1＝－275.
答案：－275
5．已知点 P(sin34π，cos34π)落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π)， 则 tan(θ＋π3)的值为________．
跟踪训练 1．计算：4cotsa2n121°2－°－2si3n 12°＝________.
解析：原式＝
sin 2sin
12°－ 12°cos
3cos 12° 12°cos 24°
＝2sin21s1in2°4－8°60°＝－4.
答案：－4
考点 2 给值求值问题
例2 已知 α∈0，π2，β∈π2，π，cos 2β＝－79，sin(α
跟踪训练 2．已知 tan(π4＋α)＝2，tan β＝12. (1)求 tan α 的值； (2)求s2isninαα＋siβn－ β＋2scionsααc＋osββ的值．
解：(1)法一：由 tan(π4＋α)＝2 得， 1t－antπ4a＋nπ4ttaannαα＝2，即11＋ －ttaann αα＝2， 解得 tan α＝13.
高考数学一轮复习第三章第四讲简单的三角恒等变换课件
又 α∈(0，π)，所以－π4＜α－π4＜34π.
所以 α－π4＝π2.故 α＝34π.
因此，tan
α＋π3＝tan
34π＋π3＝1t－anta3n4π＋34πttaann
π 3π＝－11＋＋
3
3＝ 3
2－ 3.
【反思感悟】三角恒等变换综合应用的解题思路
(1)将 f(x)化为 a sin x＋b cos x 的形式.
(2)构造 f(x)＝
a2＋b2
a a2＋b2·sin
x＋
b a2＋b2·cos
x.
(3)和角公式逆用，得 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)(其中 φ 为辅助
角).
(4)利用 f(x)＝ a2＋b2sin (x＋φ)研究三角函数的性质.
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
【高分训练】
(2)用辅助角公式变形三角函数式时： ①遇两角和或差的三角函数，要先展开再重组； ②遇高次时，要先降幂； ③熟记以下常用结论：
sin α±cos α＝ 2sin α±π4； 3sin α±cos α＝2sin α±π6； sin α± 3cos α＝2sin α±π3.
2.半角公式
(1)sin α2＝±
【题后反思】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求 角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一 般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一 个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β， β＝α＋2 β－α－2 β，α＝α＋2 β＋α－2 β，α－2 β＝α＋β2－α2＋β等.
答案：B
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第3节 第2课时 简单的三角恒等变换 课件(24张)
α22－csoins
2α)·(1＋csoins 2
αα·csoins
2 α) 2
＝cos2α2α－sinα2α2·cos αcos
α2＋sin αsin α
α 2＝2scionsαα·
cos
α 2
α＝sin2 α.
sin 2cos 2
cos αcos 2
cos αcos 2
答案：sin2 α
【思维升华】 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式 子结构与特征．
【考点集训】
1．(2022·全国新高考Ⅱ)若 sin (α＋β)＋cos (α＋β)＝2 2cos (α＋π4)sin β，则( )
A．tan (α－β)＝1
B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1
D．tan (α＋β)＝－1
解析：由已知等式，得 sin αcos β＋sin βcos α＋cos αcos β－sin αsin β＝2
)
A．74π
B．94π
C．54π或74π
D．54π或94π
解析：∵α∈π4，π∴2α∈π2，2π.
∵sin
2α＝
55，∴2α∈π2，π，∴α∈π4，π2，cos
2α＝－2
5
5 .
∵β∈π，32π，∴β－α∈π2，54π，∴cos (β－α)＝－31010，
∴cos (α＋β)＝cos [2α＋(β－α)]＝cos 2αcos (β－α)－sin 2αsin (β－α)
第四章 三角函数
考点 1 三角函数式的化简 【考点集训】
1．(多选)当 3π<α<4π，化简
1＋sin 2
α－
1－sin 2
5．5.2简单的三角恒等变换(共44张PPT)
【(2解)求】f(x)f在(x)π6＝，(－23πc上os的x)·单(－调s递in 增x)－区间3．·1＋c2os
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，所以 f(x)在π6，51π2上单调递增，即 f(x)在 π6，23π上的单调递增区间是π6，51π2.
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
()
A．－
10 10
B．
10 10
C．3103
D．－35
答案：B
4．已知 cos θ＝－35，且 180°＜θ＜270°，则 tan θ2＝________．
答案：－2
探究点 1 应用半角公式求值
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
1．若 sin(π－α)＝－ 35且 α∈π，32π，则 sinπ2＋α2等于
A．－
6 3
B．－
6 6
C．
6 6
D．
6 3
4．化简：
1＋cos（23π－θ）32π<θ<2π＝________．
解析：原式＝
1－cos 2
θ＝sinθ2，
因为32π<θ<2π，所以34π<θ2<π，
简单的三角恒等变换课件-2025届高三数学一轮复习
10° 10°
＝2
cos
2 2
10°+60° sin 20°
＝2
s2inco2s07° 0°＝2
2
cos 90°−20° sin 20°
＝2
s2insi2n02°0°＝2
2，故选D.
(2)计算sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝________．
答案： 1
16
解析：令m＝sin 10°sin 50°sin 70°，n＝cos 10°cos 50°·cos 70°， 则mn＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70° ＝12sin 20°·12sin 100°·12sin 140° ＝18sin 20°·sin 80°·sin 40° ＝18cos 70°·cos 10°·cos 50°＝18n， 而n≠0， ∴m＝18，从而有sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝116.
巩固训练3 已知f(x)＝4cos x·sin (x＋π6)－1. (1)求f(x)的周期； (2)若f(α)＝65，其中α∈(0，π4)，求cos 2α.
1．[2024·山西吕梁模拟]tan 67.5°－1＝( )
A． 2 C．1+2 2
B． 5
2
D．1+2 5
答案：A
解析：因为tan 135°＝－1，所以tan 135°＝tan (67.5°×2)＝12−ttaann26677.5.5° °＝－1， 整理得tan267.5°－2tan67.5°－1＝0， 解得tan 67.5°＝1＋ 2或tan 67.5°＝1－ 2(舍去)， 所以tan 67.5°－1＝ 2.故选A.
人教版高中数学必修1《简单的三角恒等变换》PPT课件
α2，cos
α2，tan
α 2
的值；
1－sin (2)化简：
α－2c－os2αcossiαnα2＋cosα2(－π<α<0)．
[解] (1)∵sin α＝－187，π＜α＜32π，∴cos α＝－1157.
∵cos2α＝1－2sin2α2＝2cos2α2－1，又π2＜α2＜34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
6 A. 3
B．－
6 3
C．±
6 3
解析：∵cos θ＝13，且 θ∈(0，π)，
D．±
3 3
∴θ2∈0，π2，∴cosθ2＞0，
∴cos θ2＝
cos2θ2＝
1＋cos 2
θ＝
1＋2 13＝ 36.
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
A．－
10 10
10 B. 10
【学透用活】
[典例 2] (1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2；
(2)求证：
sin
x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x .
[证明] (1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ＝1＋2×1＋c2os 2θ－cos 2θ＝2＝右边，
所以原等式成立．
• (一)教材梳理填空 • 1．半角公式：
半角公式
正弦 sinα2＝ ±
1－cos α 2
余弦 cosα2＝ ±
1＋cos α 2
续表
正切 tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα，tanα2＝1＋sincoαs
＝ α