演示文稿简单的三角恒等变换
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课件9：§4.3简单的三角恒等变换
1−cos 2α 1−cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β
原式＝
·
+
·
－ cos 2α·cos 2β
考点探
究
＝ （1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β）＋ （1＋cos
2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β）－ ·cos 2α·cos 2β＝
2
2
2
2
2
sin α·sin β＋cos α·sin β＋cos β－
考点探
究
2
2
＝sin β＋cos β－ ＝1－ = .
方法二（从“名”入手，异名化同名）
原式
2
2
2
2
＝sin α·sin β＋（1－sin α）·cos β－ cos 2α·cos 2β
2
2
2
2
＝cos β－sin α（cos β－sin β）－ cos
.
方法四（从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）
原式＝（sin α·sin β－cos α·cos β）2＋2sin α·sin β·cos
α·cos β－f(1,2)cos 2α·cos 2β
考点探
究
2
＝cos （α＋β）＋
sin 2α·sin 2β－ cos 2α·cos 2β
2
＝cos （α＋β）－
2
2，
a ＋b
a ＋b
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
简单的三角恒等变换 课件
简单的三角恒等变换
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin
1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3，最小值为
4
1 。4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin
1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3，最小值为
4
1 。4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
简单的三角恒等变换课件
【例 3】
求证：sins2inα＋α β－2cos
(α＋β)＝ssiinn
β α.
[思路探索] 式中涉及角 α、β、α＋β，2α＋β，因此可以把 2α＋
β 化为(α＋β)＋α，再进行证明．
证明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin α
题型四 三角函数的实际应用 【例 4】 点 P 在直径 AB＝1 的半圆上移动，过 P 作圆的切线 PT 且 PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形 ABTP 面积最 大？ 审题指导 先画图 ――用―α―→ 表示出四边形 ABTP 的面积 ―三―利角―用公――式→ 求最值 ――得―出――→ α值
α2＝ sin
2α＝ sin
2·2sin α
2α＝1－sincoαs α，
cos 2 cos 2ห้องสมุดไป่ตู้2sin 2
αα
α
sin α＝2sin
α 2cos
α2＝s2isni2nα2＋2ccooss22α2＝12＋tatnan22α2.
cos α＝cos2α2－sin2α2，
＝ccooss22αα22－ ＋ssiinn22αα22＝11－ ＋ttaann22αα22.
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sin[(α＋β)－α]＝sin β，
两边同除以
sin
α，得sins2inα＋α β－2cos(α＋β)＝ssiinn
β α
规律方法 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征， 通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方 法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为 整式来证．
简单的三角恒等变换课件
解：如图所示，连接 AP，设∠PAB＝ θ0≤θ≤π2， 延长 RP 交 AB 于 M， 则 AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以 PQ＝MB＝100－90cos θ，
PR＝MR－MP＝100－90sin θ. 所以 S 矩形 PQCR＝PQ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ)＝ 10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ.
类型 4 三角恒等变换的实际应用
[典例 4] 如图所示，ABCD 是一块边长为 100 m 的 正方形地皮，其中 AST 是半径为 90 m 的扇形小山，其余部分都是平地．一开 发商想在平地上建一个矩形停车场，使 矩形的一个顶点 P 在 ST 上，相邻两边 CQ，CR 正好落在正方形的边 BC，CD 上，求矩形停车 场 PQCR 面积的最大值和最小值．
4．分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等 式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以 判定原等式成立．
类型 3 关于三角函数性质的综合问题(规范解答)
[典例 3] (本小题满分 12 分)已知函数 f(x) ＝4cos
ωx·sinωx＋π4(ω＞0)的最小正周期为 π.
(1)求 ω 的值； (2)讨论 f(x)在区间0，π2上的单调性．
从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4. 答案：(1)C (2)－2sin 4
归纳升华 对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于 三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于 二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切割 化弦、变量代替、角度归一等方法．
t2－1 令 t＝sin θ＋cos θ(1≤t≤ 2)，则 sin θcos θ＝ 2 ，
简单的三角恒等变换 课件
(2)1－cos 2α＝2sin2α，1＋cos 2α＝2cos2α 在化简含有 1±cos 2α 的三角函数式时经常用到，望注意．tan θ＝1＋sinco2sθ2θ＝ 1－sinco2sθ2θ公式在化简三角函数式时也经常使用．
(3)tan2α＝11－ ＋ccooss
2α 2α.
3．半角公式(不要求记忆，但要会推导、会用)
(1)sin α2＝±
1－cos 2
α；
(2)cos α2＝±
1＋cos 2
α；
(3)tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα＝1－sicnoαs
α＝1＋sicnoαs
α.
求取值范围
已知 sin αcos β＝12，求 cos αsin β 的取值范围．
给值求值问题
已知
tan
θ＝a，求11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ的值． 2θ
【思路分析】解答本题有以下三种思路：①使用 tan θ＝ 1＋sinco2sθ2θ＝1－sicno2sθ2θ可求解；②使用二倍角公式将 2θ 化为 θ 即可求解；③将待求式子化为 tan θ 的式子即可求解．
方法 2：设 x＝cos αsin β，则 sin αcos β·cos αsin β＝12x，即 sin 2αsin 2β＝2x.∵|sin 2αsin 2β|≤1，∴|2x|≤1，即－12≤x≤12. ∴cos αsin β 的取值范围是[－12，12].
本题的两种解法充分体现了整体意识及化归转化、方程的思想等．
简单的三角恒等变换
知识点归纳
1．二倍角正弦公式的变形 (1)sin α＝2sicnos2αα； (2)cos α＝s2isnin2αα.
(3)tan2α＝11－ ＋ccooss
2α 2α.
3．半角公式(不要求记忆，但要会推导、会用)
(1)sin α2＝±
1－cos 2
α；
(2)cos α2＝±
1＋cos 2
α；
(3)tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα＝1－sicnoαs
α＝1＋sicnoαs
α.
求取值范围
已知 sin αcos β＝12，求 cos αsin β 的取值范围．
给值求值问题
已知
tan
θ＝a，求11＋ ＋ssiinn
2θ－cos 2θ＋cos
2θ的值． 2θ
【思路分析】解答本题有以下三种思路：①使用 tan θ＝ 1＋sinco2sθ2θ＝1－sicno2sθ2θ可求解；②使用二倍角公式将 2θ 化为 θ 即可求解；③将待求式子化为 tan θ 的式子即可求解．
方法 2：设 x＝cos αsin β，则 sin αcos β·cos αsin β＝12x，即 sin 2αsin 2β＝2x.∵|sin 2αsin 2β|≤1，∴|2x|≤1，即－12≤x≤12. ∴cos αsin β 的取值范围是[－12，12].
本题的两种解法充分体现了整体意识及化归转化、方程的思想等．
简单的三角恒等变换
知识点归纳
1．二倍角正弦公式的变形 (1)sin α＝2sicnos2αα； (2)cos α＝s2isnin2αα.
5．5.2简单的三角恒等变换(共44张PPT)
【(2解)求】f(x)f在(x)π6＝，(－23πc上os的x)·单(－调s递in 增x)－区间3．·1＋c2os
2x＋
3 2
＝12sin
2x－
3 2 cos
2x＝sin2x－π3.
(1)f(x)的最小正周期为 π，最大值为 1.
(2)令 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)， 即 kπ－1π2≤x≤kπ＋152π(k∈Z)，所以 f(x)在π6，51π2上单调递增，即 f(x)在 π6，23π上的单调递增区间是π6，51π2.
A．
6 3
B．－
6 3
C．±
6 3
D．±
3 3
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
()
A．－
10 10
B．
10 10
C．3103
D．－35
答案：B
4．已知 cos θ＝－35，且 180°＜θ＜270°，则 tan θ2＝________．
答案：－2
探究点 1 应用半角公式求值
(2)因为 0≤x≤23π， 所以π3≤x＋π3≤π. 当 x＋π3＝π， 即 x＝23π时，f(x)取得最小值． 所以 f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
1．若 sin(π－α)＝－ 35且 α∈π，32π，则 sinπ2＋α2等于
A．－
6 3
B．－
6 6
C．
6 6
D．
6 3
4．化简：
1＋cos（23π－θ）32π<θ<2π＝________．
解析：原式＝
1－cos 2
θ＝sinθ2，
因为32π<θ<2π，所以34π<θ2<π，
三角函数解三角形简单的三角恒等变换课件文ppt
三角恒等变换的法则
03
介绍了如何使用三角恒等变换的法则，如和差角公式、二倍角公式和辅助角公式等，来简化三角函数的计算。
强调了本课程的学习重点，包括掌握三角函数的定义、理解求解三角形解的步骤、熟练应用三角恒等变换的法则等。
学习重点
介绍了学习技巧，如多做练习题、善于总结和积极思考等，以帮助学生更好地掌握本课程的内容。
分析解三角形的基本思路和方法
课程简介
02
三角函数基础知识
角度制与弧度制
角度制是日常生活中常用的表示角的方式，而弧度制是以弧长与半径的比值来表示角的大小，其单位是rad。
角度与弧度的换算
对于一个角度a（度），其弧度表示为ra，且1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
角与弧度
正弦函数（sine function）
正弦函数的图像与性质
余弦函数的图像与性质
正切函数的图像与性质
三角函数图像与性质
03
解三角形基础知识
正弦定理是指三角形中任意两边之比等于其对应两角的正弦之比，即sinA/sinB = a/b。这个定理可以用来解决一些有关三角形的问题。
证明方法：使用三角形面积公式S = 1/2ab sinC，将等式两边同时除以ab，得到sinA/sinB = a/b。
练习题
练习1
安排有一定难度的题目，挑战学生对知识的综合运用能力。
练习2
将练习题与实际生活相结合，培养学生解决实际问题的能力。
练习3
06
课程总结
三角函数的定义
01
三角函数是数学中描述三角形中角度和边长之间关系的工具，包括正弦、余弦和正切等。
主要内容回顾
求解三角形解的步骤
02
通过已知条件，利用三角函数定义和三角恒等式逐步推断出三角形中各角度和边长之间的关系，从而求出三角形的解。
03
介绍了如何使用三角恒等变换的法则，如和差角公式、二倍角公式和辅助角公式等，来简化三角函数的计算。
强调了本课程的学习重点，包括掌握三角函数的定义、理解求解三角形解的步骤、熟练应用三角恒等变换的法则等。
学习重点
介绍了学习技巧，如多做练习题、善于总结和积极思考等，以帮助学生更好地掌握本课程的内容。
分析解三角形的基本思路和方法
课程简介
02
三角函数基础知识
角度制与弧度制
角度制是日常生活中常用的表示角的方式，而弧度制是以弧长与半径的比值来表示角的大小，其单位是rad。
角度与弧度的换算
对于一个角度a（度），其弧度表示为ra，且1度=π/180弧度，1弧度=180/π度。
角与弧度
正弦函数（sine function）
正弦函数的图像与性质
余弦函数的图像与性质
正切函数的图像与性质
三角函数图像与性质
03
解三角形基础知识
正弦定理是指三角形中任意两边之比等于其对应两角的正弦之比，即sinA/sinB = a/b。这个定理可以用来解决一些有关三角形的问题。
证明方法：使用三角形面积公式S = 1/2ab sinC，将等式两边同时除以ab，得到sinA/sinB = a/b。
练习题
练习1
安排有一定难度的题目，挑战学生对知识的综合运用能力。
练习2
将练习题与实际生活相结合，培养学生解决实际问题的能力。
练习3
06
课程总结
三角函数的定义
01
三角函数是数学中描述三角形中角度和边长之间关系的工具，包括正弦、余弦和正切等。
主要内容回顾
求解三角形解的步骤
02
通过已知条件，利用三角函数定义和三角恒等式逐步推断出三角形中各角度和边长之间的关系，从而求出三角形的解。
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考向一 化简与求值问题[自主练透型]
[例 1]
(1)化简：22tacnosπ44x－－x2scions22π4x＋＋12x＝_12_c_o_s _2_x__；
(2)(2017·河南商丘一模)已知 α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos
α－3cos2α＝0，则sin 2sαi＋nαc＋os4π2α＋1＝___82_6____.
[解析]
(1)原式＝212×4cscoionssπ4π44x－－－xx4·ccooss22x＋π4－1x
＝4sin2π4c－osx2xc－os1π42－x＝2sicnoπ2s2－2x2x
＝2ccooss222xx＝12 cos 2x.
(2)∵α∈0，π2，且 2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则(2sin α －3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∴2sin α＝3cos α，
cosα cosα
表示) 表示)
2．半角公式
sinα2＝±
1－cosα 2
cosα2＝±
1＋cosα 2
tanα2＝± 11－＋ccoossαα＝1＋sicnoαsα＝1－sicnoαsα
其符号由α2所在的象限决定．
3．辅助角公式
asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)，
其中 sinφ＝
解析：∵f(x)＝2tan x＋1－1 2sin22x 2sin x
＝2tan
x＋2scionsxx＝sin
2 xcos
x＝sin42x，
∴f1π2＝si4nπ6＝8.
答案：8
[知识重温]
一、必记 3●个知识点
1．降幂公式
sin2α2＝①__1_－__2c_o_s_α__(用 cosα 表示)
ctaons22α2α2＝＝③②____111__－ ＋＋____cc2c__ooo__sss_αα_α____((用用
a2b＋b2，cosφ＝
a a2＋b2.
二、必明 2●个易误点 1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公 式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的． 2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而 符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类 讨论，防止丢解．
解析：原式＝2si2n2αscinosαα－－c2ocsoαs2α＝2 2cos α. 答案：2 2cos α
1＋sin 2．化简
θ＋2c＋os2θco·ssiθn2θ－cos2θ(0<θ<π)＝________.
解析：原式＝2sin2θcosθ2＋2cos22θ·sin2θ－cosθ2 4cos2θ2
(2)三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂． (3)三角函数式化简的要求 ①能求出值的应求出值． ②尽量使函数种数最少． ③尽量使项数最少． ④尽量使分母不含三角函数． ⑤尽量使被开方数不含三角函数．
—[通·一类]— 1．化简：sin s2inα－α－2cπ4os2α＝________.
3 C. 3
D．－
3 3
解析：1＋sinco2sθ2θ＝1＋2si2ncoθsc2oθs－θ1＝tan θ＝ 3. 答案：A
4．化简： cos
cos 40° 25° 1－sin
＝( 40°
)
A．1 B. 3
C. 2 D．2
解
析：原式＝
cos
2c5o°s2c2o0s°－20s°i－n22si0n°20°＝cos
（优选）简单的三角恒等变换 ppt讲解
[小题热身]
1．已知 cosπ4－x＝35，则 sin 2x＝(
)
18 A.25
7 B.25
C．－275 D．－1265
解析：因为 cosπ4－x＝35，所以 cos
π 4cos
x＋sinπ4sin
x＝35，
则 sin x＋cos x＝35 2，所以 1＋2sin x·cos x＝1285，即 sin 2x＝－275.
＝cos
2θ·sin22θ－cθo s22θ＝－cos
θ 2·cos θ θ .
cos2
cos2
∵0<θ<π，∴0<2θ<π2，∴cos 2θ>0，∴原式＝－cos θ.
答案：－cos θ
考向二 三角函数求值[互动讲练型] [例 2] 已知函数 f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且 f51π2＝32. (1)求 A 的值； (2)若 f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求 f34π－θ.
故选 C.
答案：C
2．已知 cos α＝13，α∈(π，2π)，则 cos α2等于( )
6 A. 3
B．－
6 3
3 C. 3
D．－
3 3
解析：∵α2∈(π2，π)，
∴ α2＝－
1＋cos 2
α＝－
23＝－ 36.
答案：B
3．若 tan θ＝ 3，则1＋sinco2sθ2θ＝(
)
A. 3 B．－ 3
又 sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝
213，sin α＝
3， 13
∴ sin
2sαi＋nαc＋os 4π2α＋1＝sin
α＋c22ossαin2α＋＋ccooss2αα－ sin2α＝
826.
—[悟·技法]— 三角式化简与求值的原则方法与要求
(1)三角函数式的化简遵循的三个原则 ①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与 联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式． ②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使 用的公式，常见的有“切化弦”． ③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变 形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
20°＋sin cos 25°
20°＝
c2ocsos252°5°＝ 2，故选 C. 答案：C
5．(教材改编)sin 15°－ 3cos 15°＝________.
解析：sin 15°－ 3cos 15°＝2sin(15°－60°) ＝－2sin 45°＝－ 2. 答案：－ 2
6．若 f(x)＝2tan x－2sin2x2x－1x，则 f(1π2)的值为________． sin 2cos2
[解析] (1)∵f(x)＝Asinx＋π4，且 f51π2＝32，
∴Asin51π2＋π4＝32，∴A＝ 3.
(2)∵f(x)＝ 3sinx＋π4，且 f(θ)＋f(－θ)＝32，
∴f(θ)＋f(－θ)＝ 3sinθ＋π4＋ 3sin－θ＋π4 ＝ 3×2cos θsin π4＝ 6cos θ＝32.