初中数学变式教学01
初中数学教材例题的变式教学策略探究
初中数学教材例题的变式教学策略探究初中数学教育一直以来都是学生学习中的重要组成部分，数学教材中的例题是学生掌握知识和解题方法的重要途径之一。
单纯的例题练习往往难以激发学生的兴趣和提高他们的思维能力。
本文将探讨如何通过变式教学策略来提高学生的学习效果和兴趣。
一、变式教学策略的概念和意义变式教学策略是指在教学过程中，根据学生的学习特点和知识结构，对教材中的例题进行巧妙的变换，使学生在做题过程中不断发现问题的规律，培养他们的逻辑思维和解决问题的能力。
变式教学是针对学生的认知发展和学习规律，通过灵活的教学手段，调动学生学习的积极性，提高他们的学习兴趣和成绩。
变式教学的意义在于，可以帮助学生理解知识，提高学习效果。
通过变式教学，学生可以更加深入地理解数学知识，掌握解题方法。
变式教学也可以提高学生的动手能力和创新思维，激发他们学习数学的兴趣。
二、变式教学策略在初中数学教学中的应用1. 统一的例题变式在教学过程中，教师可以通过对同一类题目的变式进行讲解，帮助学生理解问题的本质和解题的方法。
在教授平面几何中的相似三角形时，可以设计一系列相似三角形的例题，通过对题目的变式讲解，帮助学生理解相似三角形的性质和判定方法。
对于某些特殊的例题，教师可以通过变式教学来扩展学生的思维，让他们从特殊情况中发现问题的规律。
在教授二次函数的顶点形式时，可以设计一些特殊情况的例题，让学生通过分析特殊情况来理解顶点形式的性质和变化规律。
在数学教学中，应用题是学生较为薄弱的环节之一。
教师可以通过对应用题的变式教学，帮助学生理解问题的实质，提高他们的解题能力。
在解决运动问题时，可以设计一些变式的运动题，让学生通过对变式问题的解析，深入理解运动问题的解题思路。
1. 案例分析法通过分析典型的例题和变式例题，帮助学生发现问题的规律和特点。
教师可以通过讲解典型案例，引导学生观察问题，总结规律，提高他们的解题能力。
2. 课堂练习法在教学过程中，教师可以设计一些变式的课堂练习，让学生在课堂上实时练习解题，巩固所学知识。
初中数学教研数学变式教学课题研究
对学生学习成绩的影响
提高考试成绩
通过变式教学，学生能够 更好地理解和掌握数学知 识，从而在考试中取得更 好的成绩。
增强解题能力
变式教学让学生学会从不 同角度思考问题，有助于 提高学生的解题能力和应 试能力。
促进知识迁移
变式教学有助于学生将所 学知识应用于不同情境， 提高学生的知识迁移能力 和应用能力。
初中数学变式教学的实践效果
效果一
通过变式教学，学生能够更加深 入地理解和掌握数学知识，提高
数学成绩和自信心。
效果二
通过与实际生活和其他学科的结合 ，变式教学能够增强学生的学习兴 趣和动力，提高数学素养和应用能 力。
效果三
变式教学能够培养学生的创新思维 和实践能力，提高学生的自主学习 和探究能力，为未来的学习和工作 打下坚实的基础。
数学变式教学对教师的影响
对教师教学能力的要求
深入理解教材
教师需要具备对教材的深入理解，能够挖掘出不同知识点之间的 联系和区别，为变式教学提供基础。
灵活运用教学方法
教师需要掌握多种教学方法，能够根据不同的教学内容和目标选择 合适的方法，提高教学效果。
具备创新思维
教师需要具备创新思维，能够从不同的角度思考问题，设计出富有 创意的变式题目，激发学生的学习兴趣。
数学变式教学不是简单的变化题目，而是要遵循一定的原则和方法，有目的地变 化题目，以达到更好的教学效果。
数学变式教学的原则
目标导向原则
数学变式教学应以教学目标为 导向，通过变化题目来更好地
实现教学目标。
适度性原则
变化题目的难度和数量要适度 ，不能过于复杂或过多，以免 影响学生的学习兴趣和自信心 。
针对性原则
激励学生不断努力和提高。
例谈初中数学教学中变式题的应用技巧
例谈初中数学教学中变式题的应用技巧初中数学教学中，变式题是非常重要的一部分。
变式题能够帮助学生理解数学知识，并且提高他们的解决问题的能力。
本文将介绍一些关于初中数学教学中变式题的应用技巧，希望能够对教师和学生有所帮助。
一、培养学生的逻辑思维能力在教学过程中，教师应该注重培养学生的逻辑思维能力。
变式题往往需要学生进行逻辑推理，找出其中的规律。
教师可以通过分析变式题的解题思路，向学生展示逻辑推理的过程，引导学生学会从已知条件中推断出结果。
在课堂上，教师还可以设计一些有趣的逻辑推理游戏，帮助学生提高逻辑思维能力，从而更好地理解变式题的求解方法。
二、注重培养学生的解决问题能力变式题的求解过程往往需要学生进行灵活的思维和分析，教师在教学中应该注重培养学生的解决问题能力。
可以通过设计一些实际生活中的问题，让学生运用所学的知识去解决，帮助学生理解抽象的数学知识，并且提高他们的解决问题能力。
在课堂上，教师可以组织学生进行小组讨论，让学生通过交流和讨论，学会倾听他人的观点，发现问题的不同解决方法。
三、设计丰富多样的练习题目为了帮助学生更好地掌握变式题的求解方法，教师应该设计丰富多样的练习题目。
变式题的种类很多，包括代数式的变式、几何图形的变式等等，教师可以根据学生的实际情况，设计不同类型的练习题目。
教师还可以根据教材内容，设计一些拓展性的练习题目，帮助学生更加深入地理解变式题的求解方法。
四、注意引导学生发现问题的变化规律在变式题的教学中，教师应该注重引导学生发现问题的变化规律。
变式题的求解过程往往涉及到问题的变化规律，教师在引导学生解题的过程中，应该注重启发学生思维，帮助学生通过观察和分析，找出其中的规律。
在课堂上，教师可以通过举一反三的方式，设计一些相关的问题，让学生通过比较和分析，发现问题的变化规律。
五、关注学生的学习习惯和方法在变式题的教学过程中，教师还应该关注学生的学习习惯和方法。
变式题的学习需要学生有很好的思维习惯和解题方法，教师可以通过课堂讲解、作业布置等方式，引导学生建立正确的学习习惯和解题方法。
初中数学教学有效佳径——变式教学
数学 ・ 教法探究
初 中数 学教 学有 效 佳 径 —— 变 式教 学
广西岑 溪市第 三 中学 （ ５ ４ ３ ２ ０ ０ ） 邓
教育家赞 可夫说 过 ： “ 教学 工作 最重 要 的任务 是 以
萍
最 高的效率推动学生 的一般发 展 ， 以最好 的教 学效果来
达到最理想 的发展 水平． ” 初 中数学 教学 不仅 要教 会 学 生会 学 数学 ， 更 要会 用数 学． 探 索并采 用有 效 的教 学 策 略和教学方法 ， 形成 “ 轻负 高效 ” 的课 堂教 学模 式 ， 已成 为初 中数学研究 和改革 的重要 内容 ． 变式教 学是促 进初 中数学课堂教学有效 的方 法之一． 现针对变 式教学 谈谈
例题 ： 下列 函数属于反 比例 函数 的是
～
．
Ａ
①． ｙ 一寺 ② 一
③ 一３ ｘ ④ 一２
１ ０
⑤． ｙ 一２ ｘ －ｌ ⑥ 一－ －３ ｘ ⑦ 一÷ ⑧ 一一
２ ． 数学公式 、 定 理的变式教学 数 学公 式 、 定 理 是初 中数 学 的重要 教 学 内容． 如果
一
、
变式教 学的概念
变式教学是 指在 教学 过程 中， 教师 通 过不 同角 度 、 不 同侧面 、 不 同情形 、 不 同背景 的变 式 ， 使学 生有效 地加 深认识和理解教学对象 的本 质特征 ， 从而把 学生 的思维
引 向新 的高度 ， 培 养学 生多种 能力 的பைடு நூலகம்种 教学 方法． 在
变式教学在初中数学教学中的实践应用
变式教学在初中数学教学中的实践应用一、变式教学的概念和特点变式教学是指在相同的教学内容的基础上，通过设置不同的教学目标、教学方法和教学手段，使学生能够在不同的教学环境中，灵活地选择适合自己的教学路径和学习方式，达到教学目标的一种教学模式。
变式教学注重满足学生的多样化需求，强调教学过程的个性化和差异化，使学生能够通过各种途径达到相同的学习目标。
（1）因材施教：变式教学能够充分考虑学生的个体差异，因材施教，让每个学生都能够找到适合自己的学习方式和节奏。
（2）多样化教学：变式教学注重教学方法的多样性，教师可以采用不同的教学手段和策略，以及不同的教学资源，满足学生的多样化学习需求。
（3）学习兴趣：变式教学能够激发学生的学习兴趣，提高学习效率和积极性。
（4）自主学习：变式教学强调学生的自主学习，鼓励学生通过自主思考、自主解决问题，提升学习能力和学习品质。
1. 四则运算的变式教学四则运算是初中数学中的重要内容，对于不同水平的学生来说，其难易程度也有所差异。
在教学过程中，可以采用变式教学的方法，根据学生的不同情况，设置不同的教学目标和教学策略。
对于学习能力较强的学生，可以提高四则运算的难度，引导他们进行更深入的思考和探讨；对于学习能力较弱的学生，可以采用更直观、更具体的教学方法，帮助他们理解和掌握四则运算的基本规则。
还可以通过多媒体教学、小组合作学习等方式，激发学生学习兴趣，提高学习效果。
2. 几何图形的变式教学几何图形是初中数学中的另一个重要内容，对学生的空间想象能力和逻辑思维能力要求较高。
在教学过程中，可以通过引入适当的变式教学，使学生在不同的教学环境中，更好地理解和掌握几何图形的相关知识。
可以通过调整教学任务的难易度和复杂度，帮助学生逐步提升对几何图形的认知水平；可以通过引入实际生活中的例子，加深学生对几何图形的理解和记忆；可以通过引导学生自主发现、自主探索，培养学生的空间思维和解决问题的能力。
三、变式教学在初中数学教学中的效果评价变式教学在初中数学教学中得到了广泛的应用，并取得了一定的教学效果。
初中数学课堂变式教学案例的实践与思考
初中数学课堂变式教学案例的实践与思考作者：谢禹来源：《中学生数理化·教与学》2019年第01期所谓变式教学是指在教学过程中，通过对数学对象或数学问题的变换，从而促使学生透过现象抓住本质的一种教学方法.初中数学课堂变式教学是教学中的一个十分重要的环节.对此，笔者结合平时的课堂教学实践，有意识地充分利用变式，尽可能引发和展示学生的思维过程，变教学过程为学生数学思维活动的过程，让学生积极主动地参与教学的全过程，培养学生独立分析和解决问题的能力以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正使学生成为学习的主人，把数学素养的培养落实到实处.一、数学概念变式，基本技能提升数学概念变式是指在数学概念教学过程中，通过对数学概念的变换，引导学生积极观察、分析、比较、归纳，从而抓住变式规律，把握概念本质属性，深化概念理解.数学概念具有很强的抽象性，学生在学习过程中往往感到枯燥乏味，这在很大程度上会降低学生的学习热情.因此，在平时的课堂教学中，对于概念教学，我经常借助变式开展课堂活动.在形成概念的过程中，利用变式引导学生积极参与形成概念的全过程，在复习概念时，通过变式，使学生牢固掌握概念.只有牢固掌握概念，运用概念的技能才能提升.在多样化的变式中，逐步培养学生观察、分析以及概括的能力.案例一学习一次函数概念时，笔者通过变式教学法来实现对“一般地，形如y=kx+b（k≠0，k、b为常数），那么y叫做x的一次函数”这一定义的深刻理解.变式1：若k=0，其他条件保持不变，则该函数是否是一次函数？若不是，你认为它是什么函数？变式2：若b=0，其他条件保持不变，则该函数是否是一次函数？若不是，你认为它是什么函数？变式3：若k=0，b=0，其他条件仍保持不变，则该函数是否是一次函数？若不是，则说明理由？通过这样巧妙地对数学概念进行变式，可以调动学生学习的积极性，保持学习的热情，促使学生对数学概念有更深层次的理解. 由此可见，数学概念、定理等基本概念的变式教学，有利于培养学生思维的深刻性和创造性.二、常见结论变式，增强解题能力常见的数学结论较多，它们的应用又很广.若能注重其变式应用，有利于加深学生对数学结论的掌握，有利于学生深入领悟数学结论中隐含的数学方法.因此，在数学教学过程中，教师要注意适时适当进行结论变式训练，拓展学生的思维空间，引导学生多角度、多方位、多层次地思考问题，探究出不同的解题方法，增强学生的解题能力.案例二已知直线a和a同侧两点A、B，求作点C，使C在直线a上，且AC+BC最短.变式1：在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，动点P在对角线BD上，求PE+PC的最小值.变式2：已知M（3，2），N（1，-1），点P在y轴上，且PM+PN最短，则点P的坐标是.变式3：半径为a的半圆的圆心为O，直径为AB，C、D是半圆上的两点，若弧AC的度数为93度，弧BD的度数为33度，动点P在直径AB上，则PC+PD的最小值为.通过以上结论的变式训练，引发学生大胆猜测联想，积极动手作图，严密推理计算，增强学生解决实际问题的能力，同时培养了学生举一反三，化归复杂问题的思维品质.三、解题思维变式，多项变通思维在解题教学中，变式仍不失为一种有利的工具，这时变式常表现为两类：一类是解题的变式，即“一题多解”；一类是解型的变式，即“一题多变”或“多题一解”.观察角度的灵活多变，各种不同思路、不同方法的分析比较，是形成创新能力、创新意识的源泉.精选习题时应有意识地偏重于那些可用多种思路来完成的典型题目，并鼓励学生不拘泥于常规方法，寻求变异，勇于创新.案例三解关于x的方程：x2+mx+2=mx2+3x（m≠1）.变式1：分解因式：（1-m）x2+（m-3）x+2.变式2：m为什么整数时，方程x2+mx+2=mx2+3x（m≠1）的两根均为整数.变式3：m为何值时，方程x2+mx+2=mx2+3x（m≠1）有一个正根，一个负根.这样，通过变换习题的条件和结论，巩固了学生的知识基础，训练了学生的思维，提高了学生解题的应变能力.数学教学实践证明，变式教学是一种有效的教学模式，可以切实提高教学效果.因此，在平时的课堂教学中，有的放矢地进行变式教学与训练，学生能在千变万化中得到不断提高.。
变式教学在初中数学教学中的作用
专题研究ZHUANTI YANJIU120数学学习与研究2019.8变式教学在初中数学教学中的作用◎汪斌（江都区邵伯镇中学，江苏扬州225261）变式教学是数学教学的优良传统，而一题多变是应用教学中常用的一种教学手段，它正是在掌握例题典型性的基础上，充分发挥例题的可变性，通过条件的变化或者是问题、图形的变化，使知识延伸．如果在教学中我们能灵活运用，将能起到以下作用．一、有利于学生掌握基础的定理法则教师充分利用特例、实验等手段，设计一系列问题变式，利用问题变式来明确定理、公式和法则的条件、结论、适用范围等关键之处，进而培养学生逻辑推理论证能力和正确的演算能力．引发学生联想，培养学生数学思维的灵活性和思考问题的深刻性．当然教师将问题转化成一名学生比较熟悉的变式从而得到另一个相关的问题，再从相关的问题的解答过程或结论中，通过归纳或者类比等方法迁移得到原问题的结论或者某种解题的启示．这样的变式，有利于学生掌握知识的本质．例如，“求证顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形．”学生解决这个问题很容易的，教师还可以顺题深入提出以下问题．变式1：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是什么图形？变式2：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是什么图形？变式3：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是什么图形？变式4：顺次连接正方形各边中点所得的四边形是什么图形？变式5：顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边形？变式6：顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形？变式7：顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形？变式8：顺次连接什么四边形各边中点可以得到正方形学生通过画出图像，证明可知：中点四边形的边与原四边形的对角线有密切关系，这是一个动态图形的系列问题：无论原来的四边形的形状怎样改变，顺次连接它各边的中点所得的四边形最起码是平行四边形．而且平行四边形又包含了矩形、菱形、正方形，这时，原四边形又怎样的变化呢？使学生对中点四边形与原四边形的形状的变化规律有一个系统的认识．由特殊的四边形对角线的特征和特殊的四边形的判定方法，变式的问题就能迎刃而解．通过这样一系列变式，使学生充分掌握了四边形、平行四边形与特殊的平行四边形的性质，以及四边形、平行四边形与特殊的平行四边形对角线的区别，为进行数学问题演变奠定了坚实的知识基础．变式教学应该能够体现数学的层递性．对题目进行了大胆的拓广，由易到难．不仅锻炼了学生用类比的方法去思考和学习，而且促进学生对解决问题的思路理解得更为透彻．二、举一反三、由浅入深有利于问题的解决数学教学离不开解题，解题的目的是通过解题深化学生对知识的理解，提升学生的思维水平，从而积累解题经验、发展能力．通过对解题方法分析与比较，揭示其中的思想方法以及各自的特点、适用范围等，拓展学生的解题思路．例如，求一元二次方程：x 2－2x －8=0的根．学生在解一元二次方程方法很多，有配方法、公式法、因式分解法．学习了二次函数，教师将一元二次方程与二次函数联系起来，可以进行以下变式：变式1：你能结合二次函数图像求出x 2－2x －8＞0的x 取值范围吗？变式2：你能结合二次函数图像求出x 2－2x －8＜0的x 取值范围吗？学生不解不等式而是通过二次函数图像就能将不等式的解求出来．这样通过变式让学生更好地理解二次函数与不等式的联系，学会用二次函数的图像来解题，培养了学生数形结合的思想，开阔了学生的思维，加深了对二次函数图像的理解．数学中的一题多变应能够体现知识的一定规律和一定的关联，便于学生思考问题时思路的发展．利用一系列的变式培养学生的观察能力，了解数学从简单到复杂，从一般到特殊的探索规律．用不同的思路去分析，不仅使得学生对思考的问题由浅入深，而且锻炼了学生类比推理能力和归纳能力．三、有利于形成良好的认知结构通过变式设计的例题，前面的例题的部分题目信息可以直接转移到后面的例题中．因而，可以解决审题时间，提高课堂效率，通过变式设计的例题，可以知道相互之间在联系．正因为这种内在的联系，巧妙地运用变式设计例题，不仅可以提高课堂效率，还有利于学生形成良好的认知结构．例如，如图所示，已知CD ∥EF ，G 是平面的一点．请探索∠G ，∠C ，∠E 的大小关系？并说明理由．变式：如果点G 的位置改变，我们可做如下的探究：∠G ，∠C ，∠E 的关系如何？通过题目的变式，帮助学生加深理解平行线的性质、三角形外角的性质，随着点G 的不同变化，结论也会不同，但解法却如出一辙，都是过折点G 作平行线构造“三线八角”，也可用三角形的外角性质来解决问题．以上几种变式题虽然条件发生变化，但解题的思路是不变的．教师可以在讲解其中的某一题时，举一反三，同时讲解其他几种情形，甚至还可以“一题多变”．一题多变，以点串线，联想开拓，对培养学生的发散思维十分有利．教师可以借用某道典型例题，适当变换、拓展，充分拓展原题的解题思路和方法，从而探索问题的本质，达到真正的教学目的．这样在变式练习中培养了学生思维的变通性．通过恰当的变式教学能起到调动学生主动性、激发学习兴趣．利用学生渴求新知的心理，这样会吸引学生，激发学生强烈的兴趣和求知欲，学生自觉地去解决、去创新．变式教学可以有效地提高学生的思维．运用变式的教学方法，能提高学生的学习兴趣，有效地避免题海战术，巩固数学知识，可培养学生独立思考，举一反三的学习态度．。
初中数学变式教案
初中数学变式教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握基本概念，理解定理和公式，并能够运用它们解决实际问题。
2. 过程与方法：通过变式教学，培养学生观察、分析、归纳和推理的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的创新意识和合作精神，使学生感受到数学的优美和应用价值。
二、教学内容1. 教学知识点：本节课主要涉及的概念、定理和公式。
2. 教学重难点：学生对概念、定理和公式的理解及运用。
三、教学过程1. 导入新课：通过一个实际问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣。
2. 知识讲解：讲解基本概念、定理和公式，让学生理解并掌握。
3. 变式训练：设计一系列变式题目，让学生在解答过程中运用所学知识，培养学生观察、分析、归纳和推理的能力。
4. 总结提升：对所学知识进行总结，引导学生发现规律，提高学生的数学思维水平。
5. 课堂练习：布置一些相关的练习题，巩固所学知识。
6. 课后作业：布置一些有一定难度的题目，培养学生的创新能力。
四、教学策略1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究，提高学生的独立思考能力。
2. 运用多媒体教学手段，直观展示数学概念和问题，提高学生的学习兴趣。
3. 创设生动活泼的课堂氛围，鼓励学生积极参与，培养学生的合作精神。
4. 注重个体差异，因材施教，使每个学生都能在数学学习中获得成功。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习作业：检查学生完成练习和作业的情况，评估学生的掌握程度。
3. 课后反馈：与学生交流，了解学生的学习感受，收集意见和建议。
4. 定期考试：通过考试检验学生的学习成果，为下一步教学提供依据。
六、教学反思在教学过程中，要时刻关注学生的学习情况，根据学生的反馈调整教学节奏和方法。
同时，要注重培养学生的数学思维能力，使学生能够灵活运用所学知识解决实际问题。
通过变式教学，提高学生的数学素养，为学生的可持续发展奠定基础。
以“变”促教，引领高效教学———例析初中数学变式训练的实施策略
教学篇教学反思•高效课堂以“变”促教，引领高效教学———例析初中数学变式训练的实施策略王福平（甘肃省白银市靖远县第五中学，甘肃白银）摘要：数学作为基础性学科之一在学生的学习生活中占有重要地位，对学生未来的发展起到极其重要的作用。
然而，在实际学习中，许多学生都对数学头疼不已，因此需要教师转变教学的方式方法，激发学生学习的动力。
“变式训练”是数学教学的重要形式，举一反三，“变”的是表象，“不变”的是本质，教师在变式训练中引导学生发现不变的本质，从而能够真正掌握学习的规律，达到触类旁通的效果，教学事半功倍。
因此，如何在教学中开展变式训练，达到以“变”促教的目的是教师需要重点研究的问题。
关键词：初中数学；变式训练；实施策略数学本就千变万化，这也成为部分学生畏惧数学的原因之一。
在实际学习中部分学生进行数学题目的解答时只是简单地套用公式，常常题目一变学生便束手无策，缺乏变通的能力，长此以往数学学习动机必然下降，导致成绩的不理想。
因此，需要教师在平时教学中就注意引导学生进行变式训练，利用好经典的例题加以变动，既能加深学生对知识的掌握又能增强课堂趣味、提高学生的学习兴趣，教师要在“变”中激发学生学习数学的动力，培养学生的数学思维。
一、数值变换数值变换是变式训练中最基本的形式，即在不改变题目形式的情况下进行数值的变换。
但是数值的变换绝不仅仅是改变数字的大小，需要考虑变了之后的教学效果，以数字的改变加深学生对知识的理解，达到巩固提升的效果。
例1：计算12+（-9）×（-2）÷2变式：计算12+（-9）×2÷（-2）例2：已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和6，求第三边的长度。
变式：已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和5，求第三边的长度。
以上两个变式训练都是通过简单的数值变换达到知识巩固的目的。
其中例1是有理数的混合运算，其中重点在于负数的运算，通过改变符号改变了数的正负，让学生深入掌握负数的运算法则。
变式教学法住初中数学教学中的运用
题不在多 ， 而在于做一道题要懂 一类 题。 教师可 以利用一题多变来帮助学生活
跃思维 ， 丰 富 学 生 的 解 题 思 路 和 方 法 。具
图 ４
・
解平方根 的基本概念 ， 经 常混淆平方根 与 算术平方根 。为此 ， 教师可适 当将本题作
如下变形 ：
体可根据题 目给出的已知条件 ， 灵活地选 择变式切 人点 ， 以题带知 识 ， 以应用促理
死记公式 、 法则 。
数学 概念是 通过对特 定数学 事物 的 比较 、 分析 、 综合 、 概 括而形成 的固定 的对 事物本质属 性 的描 述 。在教学 中笔者 发 现， 许 多数学学 习有 困难 的学生 ， 大部 分 都 对数 学概 念模 糊不 清 或理 解不 完整 。 引导学生从多方面挖掘概念 的属性 ， 关 注 概念 的变式运用 ， 可以帮助学生对概念 的 本质有清 晰的认识 ， 从 而改变机械记忆 的 学 习习惯 ， 进行 理解记忆 。
为例 ， 引 导 学 生 学 习 多 种 证 明方 法 ， 从 而
． ．
在此基础上 ， 教师可对一些典型的题 目进 行拓展 、 扩充和 变形 ， 将 题 目的已知 和所 求稍加变化 ， 有 的变化结构 ， 有 的变 化 复杂程度 ， 变一题 为多题 ， 拓展学 生的 解题思路 。上题可改编
解， 题 图多 变 换 ， 会 一 题 而通 一 类 。
‘ ．
ห้องสมุดไป่ตู้
直线 ａ ｌ ｌ ｂ ， 直线 ｃ 与ｎ ， ｂ 相交
２ ＝ ３
变形 １ ：若 ｍ＋ ３是 、 ／ ９的算术 平方
根， 求 ｍ 的值 。
’ ． ．
在教学中 ， 教 师要 引导 学生 学 会 把 文
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华东师范大学数学系 鲍建生
jsbao@
思考题1
关于国际比较研究的意义，有以下三 种观点： 1. 取长补短； 2. 一个人的良药，可能是另一个人 的毒药； 3. 当一面镜子，更好的理解自己。 请谈谈你对上述三种观点的看法。
思考题2: 东西方在教育上有哪 些主要的差异
ICME-12的官方网站
/cn/index.htm
（四）APEC
泰国苏梅岛
新西兰奥克兰
谢 谢！
（二）PISA：学生知识技能的 测量
数学素养的界定
“确定、理解和运用数学的能力，以及对数学在每个 人现在和未来的个人生活、职业生活和社会生活中的 作用和需求的良好的判断能力。” 数学素养有赖于对数学知识和技能的综合体的熟悉程 度。其中包括：基本的数字事实和运算；货币换算； 关于空间和图形的基本思想，以及测量；不确定性、 增长率和变化率的概念。除此之外，数学素养还包括 现代社会所必需的进行数学式的思维和工作的能力， 其中包括建模和问题解决。这些能力包括：指导数学 概念的适用范围和局限性；理解和评价数学论证；提 出数学问题；选择表示数学情境的方式；用自己的语 言表达数学内容。数学素养有赖于在个体、社会和工 作背景中对这些知识、理解和技能的应用能力。
（三）ICME
国际数学教育大会（ICME）是在国际数学会 （IMU）所属的国际数学教育委员会（ICMI）指导 下召开的最高水平的国际性学术会议，每四年召开 一次，参加人数一般在4000人左右. 在近两届 ICME中，我国学者的参加人数均名列前茅（ICME 9：153人，ICME 10：77人，其中包括大陆、台 湾和港澳的学者）. 这为我国的数学教育走上世界 舞台作为了重要的贡献
数学教师培育跨国研究（TEDS-M）
• TEDS-M由国际教育成就调查委员会（IEA）主办 ，是一项针对各国中小学数学职前教师进行的跨国 比较研究，亦是国际上第一次以全国性的样本对于 师资培育的成果进行评量，该研究主要聚焦于师资 培育的政策、教学的实践历程及教师专业表现的调 查，以提供所有参与国家彼此了解及相互学习。 • 本研究的经费来源，主要来自参与调查的国家、国 际教育成就参与的国家：波札那共和国、加拿大、 瑞士、智利、德国、西班牙、乔治亚、马来西亚、 挪威、阿曼、菲律宾、波兰、俄罗斯、新加坡、泰 国、台湾及美国。
研究问题
1. 哪些师资培育方案的特性，可以有效培育未来的 中小学数学教师？ 2. 哪些学习经验能有效转换为未来中小学数学教师 的教学信念？ 3. 哪些学校经验能有效培育教师？ 4. 如何以可靠及有效的方式，测量数学职前教师的 培育成果？ 5. 全国性的政策如何对于师资培育的成果产生正向 的影响？ 6. 哪些政策能有效聘用来自多元文化背景的数学合 格教师？
有层次的推进 脚踏实地 目标驱动 途徑单一,进度不同
跳来跳去 风险大 活动驱使 多种途徑，多种进度
教学三角形
东亚
数学
东欧
教师
西方
学生
“宽而广”与“少而深”
哪些因素导致了美国与顶尖国家的差异?
没有详细的全国课程 缺少高水平的数学内容 教育过程的不连续 对学业成绩缺少鼓励与奖赏 教师缺乏总结 教师缺少与同事交流的机会
中英八年级数学课程的内容安排
英国MEP
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章 第15章 第16章 第17章 第18章 第19章 第20章 数学流程图 因数 毕达哥拉斯定理 近似值与估计 数据分析 网格与表面积 比与比例 代数：括号 算术：分数与百分数 概率：两个事件 角、方位与地图 公式 钱币与时间 直线图 多边形 圆与圆柱 测量单位 速度、距离与时间 相似形 问卷调查及其分析
国际比较不是盲人摸象
请记住!
没有哪个单项研究可以解释不同国家之间的 差异.
教育是一个 复杂的系统
一、聚焦：东西方的差异
学游泳，导游； 双基与创新（1/2+1/3；25/5=14） 铺垫与脚手架 教学三角形（“教师—数学”与“教师—学生”） “宽而广”与“少而深” “闲庭散步”与“华山一条路” “乐学”与“苦读”（小儿郎） 家长对学习的看法 综合与分析（中医与西医） “大众数学”与“精英数学” “筛子”与“泵” 名师与教育家
适者生存与统一发展
• 学游泳,
• 导游,
• 建筑，
• 《教育为何是无用的？》
• 灵魂工程师，园丁，蜡烛
• …
双基与创新
• 华人学习者悖论
• 一个美国数学教授的遭遇
• 不会开
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• 英国提高成人数学素养的计划 • 火星为什么是红色的 • 德国的两堂课 • 花岗岩上盖茅草房 • 吴非《不跪着教书》
铺垫与脚手架的区别
4、各国对TIMSS结果的反馈
哪些因素导致了美国与顶尖国家的差异?
大约1/4中学教师所教的课程不是自己大学所学
的专业，其中包括： 30% 的数学教师 56% 的物理教师 没有详细的全国课程 缺少高水平的数学内容 教育过程的不连续 对学业成绩缺少鼓励与奖赏 教师缺乏总结 教师缺少与同事交流的机会
初 二
公式 变形
含有字母系数的一 元一次方程 可化为一元一次方程 的分式方程 降 次
分式
因式 分解
一元二次 方程 分式 方程 化 简 零 点 二次 函数 二次函 数图像
初 三
求定 义域
二元二次方 程组
求定 义域
函数
一次 函数
一次函 数图像
图像 解法
图像 解法
分式 函数
无理 函数
“闲庭散步”与“华山一条路”
5、TIMSS录像带研究
TIMSS录像带研究的参与国：日本、德 国、美国 TIMSS-R 录象带研究的参与国：澳大利 亚、捷克共和国、香港、日本、卢森堡 、荷兰、瑞士和美国。
哪些因素影响高水平的数学教学?
录像带研究的发现:
教师的教学目标 概念与应用的教学处理 对多种解法的要求 数学原理、性质与定义的用法 是否包含证明 是否强调概念之间的联系 学生作业的类型
3. 技能与能力 4. 评课与课堂观察
“大众数学”与“精英数学”
• 本肖夫的数学网络课堂 • 电影：死亡诗社 • 《卡尔∙威特的教育》 • 卢梭《爱弥尔》 • 资优教育
• 教育的公平性
二、大型的数学教育国际比较 研究
TIMSS PISA ICME APEC
（一）TIMSS
TIMSS的研究历程 TIMSS成就测（1997） TIMSS课程比较（1995） TIMSS录像带研究（1995，1999） TIMSS 教师专业调查
东方 西方
比较是一面镜子
“随着时间的推移，每一种文化都对教 与学形成了一定的观念和理论，并一代一代 地传递下去，而成为一种广泛传播和非常熟 悉的东西，以致于使人不觉得自己是在一种 文化背景之下。当我们观察其它国家的教学 实践时，这种文化上的差异才显现出来。” （Kawanaka, Stigler & Hiebert, 1999 ）
数学素养的三个维度
过程。核心是学生通过提出、形成和解决数学 问题而进行分析、推理和交流的能力。过程可 以分为三个层次：复制、定义和运算；问题解 决过程中的联结与整合；Mathematisation、 数学思维和一般化。 内容。PISA强调广泛的数学课题，包括变化 和增长率，空间与图形，机会，定量推理，不 确定性和独立关系等。 背景。数学素养的一个重要特征就是在各种情 境中运用和应用数学，其中包括个人的生活， 学校生活，工作和体育运动，地方社团等。
• 登天的感觉
• 模块式与铰链式
• 高考的压力 • 小组活动与单干
“学问”与“学答”
1. 蔡金法的研究 2. 大胆假设与小心求证
3. 基于问题的教学法
4. 高分低能
“乐学”与“苦读”（小儿郎）
1. 芝加哥大学计算机教授的来访；
2. 游戏与学习（梯形的定义）
综合与分析
1. 形象语言与声音语言
2. 中医与西医（技术与经验）
ICME历史
ICME-1, 1969, Lyon (France) ICME-2, 1972, Exeter (United Kingdom) ICME-3, 1976, Karlsruhe (Germany) ICME-4, 1980, Berkeley (USA) ICME-5, 1984, Adelaide (Australia) ICME-6, 1988, Budapest (Hungary) ICME-7, 1992, Qué bec (Canada) ICME-8, 1996, Sevilla (Spain) ICME-9, 2000, Tokyo/Makuhari (Japan) ICME-10, 2004, Copenhagen (Denmark) ICME-11, 2008, Mexico City (Mexico) ICME-12, 2012, 韩国，首尔（华东师大李士锜教 授是IPC成员）
中国
代数第二册 第八章 因式分解 第九章 方式 第十章 数的开方 第十一章 二次根式
几何第二册 第三章 三角形 第四章 四边形 第五章 相似形
我国初中“方程”部分知识结构图
数轴 不等式 整式
初 一
一元一次不 等式组
一元一次 不等式
一元一次方程 消元 二元一次方程 二元一次方 程组
消元 三元一次方 程组