三角恒等式ppt课件
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人教A版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换课件
1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6
3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3
5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6
1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .
又
2
<
2
∴
2
<
2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=
2
=
1+
2
2
15
= −4.
1+17
2
=
3
，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −
1 +
1 −
= ±
， = ±
， = ±
，
简单的三角恒等变换 课件
1 tan2 1 tan2
特点: 两个二次项作差
cos 2 2cos2 1
特点: 升幂; 倍角化单角; 函数名不变
cos 2 1 2sin2
特点: 升幂; 倍角化单角; 函数名变
1.升幂 (去根号) α为锐角
1 cos 2 _________
1 cos 2 _________
2
2
cos2 cos 1
2
2
tan2 1 cos 2 1 cos
sin 1 cos
2
2
cos
cos 1
2
2
tan2 1 cos 2 1 cos
用途： ➢ 降幂去平方 ➢ 求半角
cos 2 cos2 sin2
cos2 sin2 cos2 sin2
5.5.2
例1 试以cosα表示
.
cos 2 1 2sin2
cos 1 2sin2
2
cos 2 2cos2 1 cos 2cos2 1
2
①÷②得 tan2 1 cos
2 1 cos
sin2 1 cos ①
2
2
cos2 cos 1 ②
2
2
sin2 1 cos
【练习】(2) 已知 域，单调递增区间.
【变式】(3) 已知 值域，单调递增区间.
，求函数f(x)的周期，值 ，求函数f(x)的周期，
【课本练习17题】 (1) 求函数
(2) 求函数
的周期和单调递增区间; 的最大值和最小值
【练习】 2.已知函数
.
（1）求f(x)的最小正周期.
（2）求证：当
时，
个单调区间分别为
别为( )
(
2024届新高考一轮复习人教B版 主题二 第四章 第3节 三角恒等变换 课件(38张)
又因为 < <π,所以原式=-cos .
答案:-cos
3.化简:
- +
=
( -) ( +)
( - +)
( -)
·
· ( -)
( -)
解析:原式=
=
=
(3)tan 2α=
.
-
1.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;
β=
+ -
-
=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°; +α=
-( -α)等.
2.辅助角公式
=
- °
×°
- °
= ×tan 30°= × = .
3.
°- °
等于(
°
A.-
C.
B.-1
解析:原式=2×
=2×
D
)
D.1
°-°°
°
(°+°)-°°
三角函数式的求值
给角求值
[例 1] (1)
° °
解析:(1)原式=
=
=
=
-
( °-
=
.
°- °
三角恒等变换(1)-PPT课件
5
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
简单的三角恒等变换 课件
简单的三角恒等变换
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin
1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3，最小值为
4
1 。4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin
1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3，最小值为
4
1 。4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
2023届高考数学一轮复习：第三讲 三角恒等变换 课件(共19张PPT)
( ) ( )
4
4
3
3
（2）互余与互补关系
例如，
4
3 4
3
6
2
.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如，15 45 30 ,75 45 30 .
[典型例题]
1.
若
sin
π 2
3 5
，
(π, 2π)
，则
sin3 sin
cos3 cos
1，A
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
2
， 图象关于直线
x
π 6
对称，
C 对.故选：C.
Thanks
D. 最大值为 2 ，图象关于直线 x π 对称 6
[解析]
f
(x)
sin
x
π 3
cos
x
π 6
sin
x
cos
π 3
cos
x
sin
π 3
，
cos
x
cos
π 6
sin
x
sin
π 6
2
sin
x
π 3
当
sin
x
π 3
1时，
f
(x)
取最大值
2， BD
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
π 4
4 5
2 3 25
2 2， 2 10
故选 C.
考点2：三角函数式的变形
1.其他常用变形
sin 2 2sin cos 2 tan ； sin2 cos2 tan2 1
cos 2 cos2 sin2 1 tan2 ； cos2 sin2 1 tan2
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分析：由已知条件tgα=3， 如果将已知式子变为只含式子， 就可以求得所需值。
例2：已知tgα=3，
求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
解：Sin2α + 2Cos2α + SinαCosα
=
Sin2α
+ 2Cos2α + SinαCosα Sin2α + Cos2α
这两个等式联系着 Sinα和Cosα， Sinα+ Cosα， Sinα Cosα， SinαCosα关系。
本例解法多种：可以利用
Sinα+
Cosα=
1 5
Sin2α+ Cos2α=1
求Sinα
由于0º<α<180º可知
Sinα=
4 5
又如：
Sinα+
Cosα=
1 5
SinαCosα=
12 25
得：x2
tgα+ tgβ 1 tgαtgβ
两角差的正切公式：
tg(α
β)=
tgα tgβ 1+tgαtgβ
这两式成立的条件是：正切符号“tg”
后面的角α、β、α+β、α β都不等
于kπ+π2 ( k∈Z )
4、二倍角公式
正弦公式：Sin2α=2SinαCosα
余弦公式：
Co角三角比八个基本关系式
平方关系： 三个阴影三角形上面顶点
平方和等于下顶点之平方 倒数关系：
对角线两顶点之积为1 商数关系：
相邻的三顶点中间一个是 两旁顶点的乘积。
附：图示分析
1、同角三角比八个基本关系式
一般的，如果已 知角α三角比，并 已知终边所在象限， 角α可唯一确定。 若未知α范围，可 根据终边象限讨论， 并相应求出三角比。
=2Cos2α 1
=1 2Sin2α
正切公式： tg2α=
2tgα 1- tg2α
(α≠Kπ+π2 且α≠
1 2
Kπ+π4 ,
K∈Z
)
4、二倍角公式 运用公式变形： 在解题过程中运用以上公式的变 形十分重要，这是提高综合能力、提 高数学思维素质的有效手段和途径。
例如：
tgα+tgβ=tg(α+β).(1 tgαtgβ)
1 5
x
2125=0 则Sinα和Cosα是方程的解。
由本题可得启示：
Sinα+ Cosα值小于1时， α不在第一象限。
Sinα+ Cosα>0时， α不在第三象限。
例2：已知tgα=3， 求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
例2：已知tgα=3， 求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
而( Sinα Cosα)2=1 2SinαCosα
=1
2152×2 =
49 25
∴ Sinα
Cosα=
7 5
联立：
Sinα+
Cosα=
1 3
Sinα
Cosα=
7 5
得： Sinα=45
Cosα=
3 5
注意：对于任意角α，总有 ( Sinα+ Cosα)2=1+2SinαCosα ( Sinα Cosα)2=1 2SinαCosα
tgα tgβ=tg(α β).(1 + tgαtgβ)
Sinα=
Sin2α 2Cosα
Cosα=
Sin2α 2Sinα
Cos2α Sin2α=1
Cos2α=
1+Cos2α 2
Sin2α= 1
Cos2α 2
4、二倍角公式 从本质上理解二倍角公式的含义。 2α是α的二倍，α是α/2的二倍， 4α是2α的二倍，等等。
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
解：把
Sinα+Cosα=
1 5
代入
( Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα
得
SinαCosα=
12 25
∵
0º<α<180º，且
SinαCosα=
12 25
<0
∴90º<α<180º，∴Sinα>0，Cos<0
知：Sinα Cosα>0
2、两角和与差的余弦、正弦
由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不 少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比 是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律： 对2kπ±α及(2k＋1)π±α的三角比；诱导公 式中三角比保持不变，对2kα＋(π/2)±α及 2kα＋(3/2)π±α的三角比，诱导公式中三角 比发生改变，其次将公式中的α理解为锐角， 判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该 象限的符号判别其诱导后三角比前取“＋”或 “－”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看
例1：已知α大于零度小于180度，且
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
例1：已知α大于零度小于180度，且
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
分析：若求出sinα cosα值，
将之与
Sinα+Cosα=
1 5
联立，
可以求出Sinα和Cosα的值。
例1：已知α大于零度小于180度，且
2、两角和与差的余弦、正弦 对于aSinα±bCosα这样的式子，总 可以化为一个角的三角比形式。
即aSinα±bCosα= a2+b2 Sin(α+φ)。
其中φ由 a
Cosφ= a2+b2
b Sinφ=
a2+b2
0≤φ<2π来确定。
3、两角和与差的正切、余切
两角和的正切公式：
tg(α+β)=
一、知识提要
1、同角三角比八个基本关系式 倒数关系： SinαCscα=1 CosαSecα=1 tgαCtgα=1
1、同角三角比八个基本关系式 商数关系： SCionαsα=tgα CSionαsα=Ctgα
1、同角三角比八个基本关系式 平方关系： Sin2α+ Cos2α=1 tg2α+1 =Sec2α Ctg2α+1 =Csc2α
证明三角恒等式时，如果式中含有正 余切割，同时又含有正余弦，一般化 弦，若仅含切割则不必了。
证明三角恒等式按由繁至简原则，或 左至右，右至左，或左右归一，总 之两端异化同。
2、两角和与差的余弦、正弦
本节从证明两角差的余弦公式出发， 通过不同的变换，再逐步推导出两 角和的余弦及两角和与差的正弦， 说明公式间有密切的内在联系。从 这个角度准确理解，掌握好公式， 才能提高运用公式解决问题的技巧。
有的特殊关系式也要记住：
11+ttggαα=tg
π 4
π
11+ttggαα=tg
π 4
+π
5、半角公式
Sinα2 =±
1
Cosα 2
Cos α2 =±
1+Cosα 2
tgα2 =±
1 Cosα 1+Cosα
5、半角公式
变形公式：
tgα2 =
Sinα 1+Cosα
=
1
Cosα Sin α
二、例题分析
例2：已知tgα=3，
求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
解：Sin2α + 2Cos2α + SinαCosα
=
Sin2α
+ 2Cos2α + SinαCosα Sin2α + Cos2α
这两个等式联系着 Sinα和Cosα， Sinα+ Cosα， Sinα Cosα， SinαCosα关系。
本例解法多种：可以利用
Sinα+
Cosα=
1 5
Sin2α+ Cos2α=1
求Sinα
由于0º<α<180º可知
Sinα=
4 5
又如：
Sinα+
Cosα=
1 5
SinαCosα=
12 25
得：x2
tgα+ tgβ 1 tgαtgβ
两角差的正切公式：
tg(α
β)=
tgα tgβ 1+tgαtgβ
这两式成立的条件是：正切符号“tg”
后面的角α、β、α+β、α β都不等
于kπ+π2 ( k∈Z )
4、二倍角公式
正弦公式：Sin2α=2SinαCosα
余弦公式：
Co角三角比八个基本关系式
平方关系： 三个阴影三角形上面顶点
平方和等于下顶点之平方 倒数关系：
对角线两顶点之积为1 商数关系：
相邻的三顶点中间一个是 两旁顶点的乘积。
附：图示分析
1、同角三角比八个基本关系式
一般的，如果已 知角α三角比，并 已知终边所在象限， 角α可唯一确定。 若未知α范围，可 根据终边象限讨论， 并相应求出三角比。
=2Cos2α 1
=1 2Sin2α
正切公式： tg2α=
2tgα 1- tg2α
(α≠Kπ+π2 且α≠
1 2
Kπ+π4 ,
K∈Z
)
4、二倍角公式 运用公式变形： 在解题过程中运用以上公式的变 形十分重要，这是提高综合能力、提 高数学思维素质的有效手段和途径。
例如：
tgα+tgβ=tg(α+β).(1 tgαtgβ)
1 5
x
2125=0 则Sinα和Cosα是方程的解。
由本题可得启示：
Sinα+ Cosα值小于1时， α不在第一象限。
Sinα+ Cosα>0时， α不在第三象限。
例2：已知tgα=3， 求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
例2：已知tgα=3， 求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
而( Sinα Cosα)2=1 2SinαCosα
=1
2152×2 =
49 25
∴ Sinα
Cosα=
7 5
联立：
Sinα+
Cosα=
1 3
Sinα
Cosα=
7 5
得： Sinα=45
Cosα=
3 5
注意：对于任意角α，总有 ( Sinα+ Cosα)2=1+2SinαCosα ( Sinα Cosα)2=1 2SinαCosα
tgα tgβ=tg(α β).(1 + tgαtgβ)
Sinα=
Sin2α 2Cosα
Cosα=
Sin2α 2Sinα
Cos2α Sin2α=1
Cos2α=
1+Cos2α 2
Sin2α= 1
Cos2α 2
4、二倍角公式 从本质上理解二倍角公式的含义。 2α是α的二倍，α是α/2的二倍， 4α是2α的二倍，等等。
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
解：把
Sinα+Cosα=
1 5
代入
( Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα
得
SinαCosα=
12 25
∵
0º<α<180º，且
SinαCosα=
12 25
<0
∴90º<α<180º，∴Sinα>0，Cos<0
知：Sinα Cosα>0
2、两角和与差的余弦、正弦
由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不 少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比 是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律： 对2kπ±α及(2k＋1)π±α的三角比；诱导公 式中三角比保持不变，对2kα＋(π/2)±α及 2kα＋(3/2)π±α的三角比，诱导公式中三角 比发生改变，其次将公式中的α理解为锐角， 判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该 象限的符号判别其诱导后三角比前取“＋”或 “－”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看
例1：已知α大于零度小于180度，且
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
例1：已知α大于零度小于180度，且
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
分析：若求出sinα cosα值，
将之与
Sinα+Cosα=
1 5
联立，
可以求出Sinα和Cosα的值。
例1：已知α大于零度小于180度，且
2、两角和与差的余弦、正弦 对于aSinα±bCosα这样的式子，总 可以化为一个角的三角比形式。
即aSinα±bCosα= a2+b2 Sin(α+φ)。
其中φ由 a
Cosφ= a2+b2
b Sinφ=
a2+b2
0≤φ<2π来确定。
3、两角和与差的正切、余切
两角和的正切公式：
tg(α+β)=
一、知识提要
1、同角三角比八个基本关系式 倒数关系： SinαCscα=1 CosαSecα=1 tgαCtgα=1
1、同角三角比八个基本关系式 商数关系： SCionαsα=tgα CSionαsα=Ctgα
1、同角三角比八个基本关系式 平方关系： Sin2α+ Cos2α=1 tg2α+1 =Sec2α Ctg2α+1 =Csc2α
证明三角恒等式时，如果式中含有正 余切割，同时又含有正余弦，一般化 弦，若仅含切割则不必了。
证明三角恒等式按由繁至简原则，或 左至右，右至左，或左右归一，总 之两端异化同。
2、两角和与差的余弦、正弦
本节从证明两角差的余弦公式出发， 通过不同的变换，再逐步推导出两 角和的余弦及两角和与差的正弦， 说明公式间有密切的内在联系。从 这个角度准确理解，掌握好公式， 才能提高运用公式解决问题的技巧。
有的特殊关系式也要记住：
11+ttggαα=tg
π 4
π
11+ttggαα=tg
π 4
+π
5、半角公式
Sinα2 =±
1
Cosα 2
Cos α2 =±
1+Cosα 2
tgα2 =±
1 Cosα 1+Cosα
5、半角公式
变形公式：
tgα2 =
Sinα 1+Cosα
=
1
Cosα Sin α
二、例题分析