三角恒等式ppt课件
分析：由已知条件tgα=3， 如果将已知式子变为只含式子， 就可以求得所需值。
例2：已知tgα=3，
求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
解：Sin2α + 2Cos2α + SinαCosα
=
Sin2α
+ 2Cos2α + SinαCosα Sin2α + Cos2α
这两个等式联系着 Sinα和Cosα， Sinα+ Cosα， Sinα Cosα， SinαCosα关系。
本例解法多种：可以利用
Sinα+
Cosα=
1 5
Sin2α+ Cos2α=1
求Sinα
由于0º<α<180º可知
Sinα=
4 5
又如：
Sinα+
Cosα=
1 5
SinαCosα=
12 25
得：x2
tgα+ tgβ 1 tgαtgβ
两角差的正切公式：
tg(α
β)=
tgα tgβ 1+tgαtgβ
这两式成立的条件是：正切符号“tg”
后面的角α、β、α+β、α β都不等
于kπ+π2 ( k∈Z )
4、二倍角公式
正弦公式：Sin2α=2SinαCosα
余弦公式：
Co角三角比八个基本关系式
平方关系： 三个阴影三角形上面顶点
平方和等于下顶点之平方 倒数关系：
对角线两顶点之积为1 商数关系：
相邻的三顶点中间一个是 两旁顶点的乘积。
附：图示分析
1、同角三角比八个基本关系式
一般的，如果已 知角α三角比，并 已知终边所在象限， 角α可唯一确定。 若未知α范围，可 根据终边象限讨论， 并相应求出三角比。
=2Cos2α 1
=1 2Sin2α
正切公式： tg2α=
2tgα 1- tg2α
(α≠Kπ+π2 且α≠
1 2
Kπ+π4 ,
K∈Z
)
4、二倍角公式 运用公式变形： 在解题过程中运用以上公式的变 形十分重要，这是提高综合能力、提 高数学思维素质的有效手段和途径。
例如：
tgα+tgβ=tg(α+β).(1 tgαtgβ)
1 5
x
2125=0 则Sinα和Cosα是方程的解。
由本题可得启示：
Sinα+ Cosα值小于1时， α不在第一象限。
Sinα+ Cosα>0时， α不在第三象限。
例2：已知tgα=3， 求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
例2：已知tgα=3， 求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
而( Sinα Cosα)2=1 2SinαCosα
=1
2152×2 =
49 25
∴ Sinα
Cosα=
7 5
联立：
Sinα+
Cosα=
1 3
Sinα
Cosα=
7 5
得： Sinα=45
Cosα=
3 5
注意：对于任意角α，总有 ( Sinα+ Cosα)2=1+2SinαCosα ( Sinα Cosα)2=1 2SinαCosα
tgα tgβ=tg(α β).(1 + tgαtgβ)
Sinα=
Sin2α 2Cosα
Cosα=
Sin2α 2Sinα
Cos2α Sin2α=1
Cos2α=
1+Cos2α 2
Sin2α= 1
Cos2α 2
4、二倍角公式 从本质上理解二倍角公式的含义。 2α是α的二倍，α是α/2的二倍， 4α是2α的二倍，等等。
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
解：把
Sinα+Cosα=
1 5
代入
( Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα
得
SinαCosα=
12 25
∵
0º<α<180º，且
SinαCosα=
12 25
<0
∴90º<α<180º，∴Sinα>0，Cos<0
知：Sinα Cosα>0
2、两角和与差的余弦、正弦
由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不 少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比 是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律： 对2kπ±α及(2k＋1)π±α的三角比；诱导公 式中三角比保持不变，对2kα＋(π/2)±α及 2kα＋(3/2)π±α的三角比，诱导公式中三角 比发生改变，其次将公式中的α理解为锐角， 判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该 象限的符号判别其诱导后三角比前取“＋”或 “－”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看
例1：已知α大于零度小于180度，且
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
例1：已知α大于零度小于180度，且
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
分析：若求出sinα cosα值，
将之与
Sinα+Cosα=
1 5
联立，
可以求出Sinα和Cosα的值。
例1：已知α大于零度小于180度，且
2、两角和与差的余弦、正弦 对于aSinα±bCosα这样的式子，总 可以化为一个角的三角比形式。
即aSinα±bCosα= a2+b2 Sin(α+φ)。
其中φ由 a
Cosφ= a2+b2
b Sinφ=
a2+b2
0≤φ<2π来确定。
3、两角和与差的正切、余切
两角和的正切公式：
tg(α+β)=
一、知识提要
1、同角三角比八个基本关系式 倒数关系： SinαCscα=1 CosαSecα=1 tgαCtgα=1
1、同角三角比八个基本关系式 商数关系： SCionαsα=tgα CSionαsα=Ctgα
1、同角三角比八个基本关系式 平方关系： Sin2α+ Cos2α=1 tg2α+1 =Sec2α Ctg2α+1 =Csc2α
证明三角恒等式时，如果式中含有正 余切割，同时又含有正余弦，一般化 弦，若仅含切割则不必了。
证明三角恒等式按由繁至简原则，或 左至右，右至左，或左右归一，总 之两端异化同。
2、两角和与差的余弦、正弦
本节从证明两角差的余弦公式出发， 通过不同的变换，再逐步推导出两 角和的余弦及两角和与差的正弦， 说明公式间有密切的内在联系。从 这个角度准确理解，掌握好公式， 才能提高运用公式解决问题的技巧。
有的特殊关系式也要记住：
11+ttggαα=tg
π 4
π
11+ttggαα=tg
π 4
+π
5、半角公式
Sinα2 =±
1
Cosα 2
Cos α2 =±
1+Cosα 2
tgα2 =±
1 Cosα 1+Cosα
5、半角公式
变形公式：
tgα2 =
Sinα 1+Cosα
=
1
Cosα Sin α
二、例题分析
例2：已知tgα=3，
求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
解：Sin2α + 2Cos2α + SinαCosα
=
Sin2α
+ 2Cos2α + SinαCosα Sin2α + Cos2α
这两个等式联系着 Sinα和Cosα， Sinα+ Cosα， Sinα Cosα， SinαCosα关系。
本例解法多种：可以利用
Sinα+
Cosα=
1 5
Sin2α+ Cos2α=1
求Sinα
由于0º<α<180º可知
Sinα=
4 5
又如：
Sinα+
Cosα=
1 5
SinαCosα=
12 25
得：x2
tgα+ tgβ 1 tgαtgβ
两角差的正切公式：
tg(α
β)=
tgα tgβ 1+tgαtgβ
这两式成立的条件是：正切符号“tg”
后面的角α、β、α+β、α β都不等
于kπ+π2 ( k∈Z )
4、二倍角公式
正弦公式：Sin2α=2SinαCosα
余弦公式：
Co角三角比八个基本关系式
平方关系： 三个阴影三角形上面顶点
平方和等于下顶点之平方 倒数关系：
对角线两顶点之积为1 商数关系：
相邻的三顶点中间一个是 两旁顶点的乘积。
附：图示分析
1、同角三角比八个基本关系式
一般的，如果已 知角α三角比，并 已知终边所在象限， 角α可唯一确定。 若未知α范围，可 根据终边象限讨论， 并相应求出三角比。
=2Cos2α 1
=1 2Sin2α
正切公式： tg2α=
2tgα 1- tg2α
(α≠Kπ+π2 且α≠
1 2
Kπ+π4 ,
K∈Z
)
4、二倍角公式 运用公式变形： 在解题过程中运用以上公式的变 形十分重要，这是提高综合能力、提 高数学思维素质的有效手段和途径。
例如：
tgα+tgβ=tg(α+β).(1 tgαtgβ)
1 5
x
2125=0 则Sinα和Cosα是方程的解。
由本题可得启示：
Sinα+ Cosα值小于1时， α不在第一象限。
Sinα+ Cosα>0时， α不在第三象限。
例2：已知tgα=3， 求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
例2：已知tgα=3， 求Sin2α+ SinαCosα+ 2Cos2α的值。
而( Sinα Cosα)2=1 2SinαCosα
=1
2152×2 =
49 25
∴ Sinα
Cosα=
7 5
联立：
Sinα+
Cosα=
1 3
Sinα
Cosα=
7 5
得： Sinα=45
Cosα=
3 5
注意：对于任意角α，总有 ( Sinα+ Cosα)2=1+2SinαCosα ( Sinα Cosα)2=1 2SinαCosα
tgα tgβ=tg(α β).(1 + tgαtgβ)
Sinα=
Sin2α 2Cosα
Cosα=
Sin2α 2Sinα
Cos2α Sin2α=1
Cos2α=
1+Cos2α 2
Sin2α= 1
Cos2α 2
4、二倍角公式 从本质上理解二倍角公式的含义。 2α是α的二倍，α是α/2的二倍， 4α是2α的二倍，等等。
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
解：把
Sinα+Cosα=
1 5
代入
( Sinα+Cosα)2=1+2SinαCosα
得
SinαCosα=
12 25
∵
0º<α<180º，且
SinαCosα=
12 25
<0
∴90º<α<180º，∴Sinα>0，Cos<0
知：Sinα Cosα>0
2、两角和与差的余弦、正弦
由本节公式推导而得到的诱导公式尽管有不 少组，但本质上只要掌握两个特点。即三角比 是否变化、符号如何确定，有这样的普遍规律： 对2kπ±α及(2k＋1)π±α的三角比；诱导公 式中三角比保持不变，对2kα＋(π/2)±α及 2kα＋(3/2)π±α的三角比，诱导公式中三角 比发生改变，其次将公式中的α理解为锐角， 判断诱导的角在哪个象限，再根据三角比在该 象限的符号判别其诱导后三角比前取“＋”或 “－”符号，归纳为：“奇变偶不变，符号看
例1：已知α大于零度小于180度，且
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
例1：已知α大于零度小于180度，且
Sinα+Cosα=
1 5
，求Sinα和
Cosα的值。
分析：若求出sinα cosα值，
将之与
Sinα+Cosα=
1 5
联立，
可以求出Sinα和Cosα的值。
例1：已知α大于零度小于180度，且
2、两角和与差的余弦、正弦 对于aSinα±bCosα这样的式子，总 可以化为一个角的三角比形式。
即aSinα±bCosα= a2+b2 Sin(α+φ)。
其中φ由 a
Cosφ= a2+b2
b Sinφ=
a2+b2
0≤φ<2π来确定。
3、两角和与差的正切、余切
两角和的正切公式：
tg(α+β)=
一、知识提要
1、同角三角比八个基本关系式 倒数关系： SinαCscα=1 CosαSecα=1 tgαCtgα=1
1、同角三角比八个基本关系式 商数关系： SCionαsα=tgα CSionαsα=Ctgα
1、同角三角比八个基本关系式 平方关系： Sin2α+ Cos2α=1 tg2α+1 =Sec2α Ctg2α+1 =Csc2α
证明三角恒等式时，如果式中含有正 余切割，同时又含有正余弦，一般化 弦，若仅含切割则不必了。
证明三角恒等式按由繁至简原则，或 左至右，右至左，或左右归一，总 之两端异化同。
2、两角和与差的余弦、正弦
本节从证明两角差的余弦公式出发， 通过不同的变换，再逐步推导出两 角和的余弦及两角和与差的正弦， 说明公式间有密切的内在联系。从 这个角度准确理解，掌握好公式， 才能提高运用公式解决问题的技巧。
有的特殊关系式也要记住：
11+ttggαα=tg
π 4
π
11+ttggαα=tg
π 4
+π
5、半角公式
Sinα2 =±
1
Cosα 2
Cos α2 =±
1+Cosα 2
tgα2 =±
1 Cosα 1+Cosα
5、半角公式
变形公式：
tgα2 =
Sinα 1+Cosα
=
1
Cosα Sin α
二、例题分析
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人教A版必修第一册5.5.2简单的三角恒等变换课件
1
2
2
−
3
(1
6
− 2) =
1
2
2
3
+ 2
6
3
+ )− .
6
6
−
3
6
1
3
1
3
1
= ( 2 + 2) − = (2
3 2
2
6
3
5
由0 < < ，得 < 2 + < ，
3
6
6
6
1
3
3
所以当2 + = ，即 = 时， = − = .
又
2
<
2
∴
2
<
2
2
8
− ，且
17
1−
2
=−
=
2
=
1+
2
2
15
= −4.
1+17
2
=
3
，求 ， ， 的值；
2
2
2
2
3
15
，∴ = − .
2
17
<<
<<
3
，
4
=
��
8
，且
17
4 17
；
17
15
1 −
1 +
1 −
= ±
， = ±
， = ±
，
简单的三角恒等变换 课件
1 tan2 1 tan2
特点: 两个二次项作差
cos 2 2cos2 1
特点: 升幂; 倍角化单角; 函数名不变
cos 2 1 2sin2
特点: 升幂; 倍角化单角; 函数名变
1.升幂 (去根号) α为锐角
1 cos 2 _________
1 cos 2 _________
2
2
cos2 cos 1
2
2
tan2 1 cos 2 1 cos
sin 1 cos
2
2
cos
cos 1
2
2
tan2 1 cos 2 1 cos
用途： ➢ 降幂去平方 ➢ 求半角
cos 2 cos2 sin2
cos2 sin2 cos2 sin2
5.5.2
例1 试以cosα表示
.
cos 2 1 2sin2
cos 1 2sin2
2
cos 2 2cos2 1 cos 2cos2 1
2
①÷②得 tan2 1 cos
2 1 cos
sin2 1 cos ①
2
2
cos2 cos 1 ②
2
2
sin2 1 cos
【练习】(2) 已知 域，单调递增区间.
【变式】(3) 已知 值域，单调递增区间.
，求函数f(x)的周期，值 ，求函数f(x)的周期，
【课本练习17题】 (1) 求函数
(2) 求函数
的周期和单调递增区间; 的最大值和最小值
【练习】 2.已知函数
.
（1）求f(x)的最小正周期.
（2）求证：当
时，
个单调区间分别为
别为( )
(
2024届新高考一轮复习人教B版 主题二 第四章 第3节 三角恒等变换 课件(38张)
又因为 < <π,所以原式=-cos .
答案:-cos
3.化简:
- +
=
( -) ( +)
( - +)
( -)
·
· ( -)
( -)
解析:原式=
=
=
(3)tan 2α=
.
-
1.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β;
β=
+ -
-
=(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°; +α=
-( -α)等.
2.辅助角公式
=
- °
×°
- °
= ×tan 30°= × = .
3.
°- °
等于(
°
A.-
C.
B.-1
解析:原式=2×
=2×
D
)
D.1
°-°°
°
(°+°)-°°
三角函数式的求值
给角求值
[例 1] (1)
° °
解析:(1)原式=
=
=
=
-
( °-
=
.
°- °
三角恒等变换(1)-PPT课件
5
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
2．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°( ) A．cos 100° B．sin 100°
3
1
C. 2
D.2
解析：cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝cos(65°－35°)
＝cos 30°＝ 23.
答案：C
6
3．cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°的值为( )
21
归纳升华 给值求值问题的解题策略
1．从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函 数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与 所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角 的变换．
22
α＋ β 2．常见角的变换：(1)α＝(α－ β )＋ β；(2)α＝ 2 α－ β ＋2； (3)2α＝(α＋ β )＋(α－ β )；(4)2 β ＝(α＋ β )－(α－ β )．
A．－12
B.12
C.
3 2
D．－
3 2
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝________．
12
解析：(1)原式＝cos 83°cos 23°＋sin 83°sin 23°＝
cos(83°－23°)＝cos 60°＝12.
1 (2)2cos
105°＋
3 2 sin
105°＝
cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105°＝
cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝
2 2.
答案：(1)B
(2)
2 2
13
归纳升华 两角差的余弦公式常见题型及解法
1．两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式 直接展开求解．
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
简单的三角恒等变换 课件
简单的三角恒等变换
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin
1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3，最小值为
4
1 。4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替,
cos 2 cos2 1
2
2
cos2 1 cos ②
2
2
① 得 ②
tan 2
2
1 cos 1 cos
可表示为:
sin
1 cos
2
2
cos 1 cos
2
2
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
解 y sin x 3 cos x
点评：例３是三角
2
1 2
sin
x
3 2
cos
x
恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数
2sin x cos cos x sin
1 (1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3，最小值为
4
1 。4
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
2023届高考数学一轮复习：第三讲 三角恒等变换 课件(共19张PPT)
( ) ( )
4
4
3
3
（2）互余与互补关系
例如，
4
3 4
3
6
2
.
（3）非特殊角转化为特殊角
例如，15 45 30 ,75 45 30 .
[典型例题]
1.
若
sin
π 2
3 5
，
(π, 2π)
，则
sin3 sin
cos3 cos
1，A
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
2
， 图象关于直线
x
π 6
对称，
C 对.故选：C.
Thanks
D. 最大值为 2 ，图象关于直线 x π 对称 6
[解析]
f
(x)
sin
x
π 3
cos
x
π 6
sin
x
cos
π 3
cos
x
sin
π 3
，
cos
x
cos
π 6
sin
x
sin
π 6
2
sin
x
π 3
当
sin
x
π 3
1时，
f
(x)
取最大值
2， BD
错；
f
π 6
2 sin
π 6
π 3
π 4
4 5
2 3 25
2 2， 2 10
故选 C.
考点2：三角函数式的变形
1.其他常用变形
sin 2 2sin cos 2 tan ； sin2 cos2 tan2 1
cos 2 cos2 sin2 1 tan2 ； cos2 sin2 1 tan2
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
几个三角恒等式课件
三角恒等式在数学中的地位
三角恒等式是数学中一个重要的分支，它在三角函数、解析几何、微积分等领 域都有广泛的应用。掌握三角恒等式对于深入理解三角函数和解决相关问题具 有重要的意义。
三角恒等式的分类
根据形式分类
根据形式的不同，三角恒等式可以分为和差恒等式、倍角恒 等式、半角恒等式等。这些不同类型的恒等式分别表示了三 角函数之间不同的关系。
根据角度分类
根据角度的范围，三角恒等式可以分为0°~90°、90°~180° 、180°~270°、270°~360°等不同类型。不同角度范围的三 角恒等式具有不同的形式和性质，可以应用于不同的问题。
三角恒等式的性质
周期性
三角函数具有明显的周期性，因此三角恒等式也具有周期性。这意味着对于一个 成立的恒等式，可以通过改变角度的取值范围来得到其他成立的恒等式。
题。
线性代数
在处理矩阵和向量时，三角恒等 式可用于简化计算和证明某些性
质。
三角恒等式的研究前景与展望
继续探索新的三角恒等式
随着数学的发展，未来可能会发现更多有趣的三角恒等式。
应用领域的拓展
随着科技的发展，三角恒等式可能会在更多领域得到应用，例如物 理学、工程学等。
理论体系的完善
随着研究的深入，三角恒等式的理论体系可能会更加完善和严谨。
04
三角恒等式的应用
在几何学中的应用
01
02
03
三角形面积计算
利用三角恒等式，可以方 便地计算三角形的面积， 特别是对于一些不规则三 角形。
角度和长度关系
通过三角恒等式，可以推 导出角度和长度之间的关 系，从而解决一些几何问 题。
三角形性质证明
利用三角恒等式，可以证 明三角形的各种性质，如 等腰三角形的性质、直角 三角形的性质等。
三角恒等式是数学中一个重要的分支，它在三角函数、解析几何、微积分等领 域都有广泛的应用。掌握三角恒等式对于深入理解三角函数和解决相关问题具 有重要的意义。
三角恒等式的分类
根据形式分类
根据形式的不同，三角恒等式可以分为和差恒等式、倍角恒 等式、半角恒等式等。这些不同类型的恒等式分别表示了三 角函数之间不同的关系。
根据角度分类
根据角度的范围，三角恒等式可以分为0°~90°、90°~180° 、180°~270°、270°~360°等不同类型。不同角度范围的三 角恒等式具有不同的形式和性质，可以应用于不同的问题。
三角恒等式的性质
周期性
三角函数具有明显的周期性，因此三角恒等式也具有周期性。这意味着对于一个 成立的恒等式，可以通过改变角度的取值范围来得到其他成立的恒等式。
题。
线性代数
在处理矩阵和向量时，三角恒等 式可用于简化计算和证明某些性
质。
三角恒等式的研究前景与展望
继续探索新的三角恒等式
随着数学的发展，未来可能会发现更多有趣的三角恒等式。
应用领域的拓展
随着科技的发展，三角恒等式可能会在更多领域得到应用，例如物 理学、工程学等。
理论体系的完善
随着研究的深入，三角恒等式的理论体系可能会更加完善和严谨。
04
三角恒等式的应用
在几何学中的应用
01
02
03
三角形面积计算
利用三角恒等式，可以方 便地计算三角形的面积， 特别是对于一些不规则三 角形。
角度和长度关系
通过三角恒等式，可以推 导出角度和长度之间的关 系，从而解决一些几何问 题。
三角形性质证明
利用三角恒等式，可以证 明三角形的各种性质，如 等腰三角形的性质、直角 三角形的性质等。