高考数学复习离散型随机变量及其分布列理含解析

高考数学复习核心素养提升练六十六
离散型随机变量及其分布列
(25分钟50分)
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为ξ,则表示“放回5个红球”事件的是( )
A.ξ=4
B.ξ=5
C.ξ=6
D.ξ≤5
【解析】选C.“放回五个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故ξ=6.
2.袋中有大小相同的红球6个、白球5个,从袋中每次任意取出1个球,直到取出的球是白球时为止,所需要的取球次数为随机变量ξ,则ξ的可能值为
( ) A.1,2,…,6 B.1,2,…,7
C.1,2,…,11
D.1,2,3,…
【解析】选B.除白球外,其他的还有6个球,因此取到白球时取球次数最少为1次,最多为7次.
3.已知随机变量ξ的分布列P(ξ=k)=,k=1,2,3,…,则P(2<ξ≤4)等于
( ) A. B.
C. D.
【解析】选A.P(2<ξ≤4)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=+=.
4.设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示:
ξ-1 0 1 2 3
P
则下列各式正确的是( )
A.P(ξ<3)=
B.P(ξ>1)=
C.P(2<ξ<4)=
D.P(ξ<0.5)=0
【解析】选 C.P(ξ<3)=+++=,A错误;P(ξ>1)=+=,B错误;
P(2<ξ<4)=P(ξ=3)=,C正确;P(ξ<0.5)=+=,D错误.
5.设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)等于( )
A.0
B.
C. D.
【解析】选C.由已知得X的所有可能取值为0,1,且P(X=1)=2P(X=0),由P(X=1)+P(X=0)=1,得
P(X=0)=.
6.某射击选手射击环数的分布列为
X 7 8 9 10
P 0.3 0.3 a b
若射击不小于9环为优秀,其射击一次的优秀率为 ( )
A.30%
B.40%
C.60%
D.70%
【解析】选B.由分布列的性质得a+b=1-0.3-0.3=0.4,故射击一次的优秀率为40%.
7.在15个村庄中有7个村庄交通不便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通
不便的村庄数,下列概率中等于的是( )
A.P(X=2)
B.P(X≤2)
C.P(X=4)
D.P(X≤4)
【解析】选C.由超几何分布的概率计算公式得
P(X=4)=.
【变式备选】高二(1)班数学兴趣小组有12人,其中有5名“三好学生”,现从该小组中任意
选6人参加数学竞赛,用X表示这6人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于的是( )
A.P(X=2)
B.P(X=3)
C.P(X≤2)
D.P(X≤3)
【解析】选B.表示从5名“三好学生”中选择3名,从而P(X=3)=.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.袋中有4只红球、3只黑球,从袋中任取4只球,取到1只红球得1分,取到1只黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≤7)=________.(用分数表示结果)
【解析】取出的4只球中红球个数可能为4,3,2,1, 黑球相应个数为0,1,2,3,所以得分的随机变量ξ=4,6,8,10,所以P(ξ≤7)=P(ξ=4)+P(ξ=6) =+=.
答案:
【变式备选】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人
中女生的人数,则P(ξ≤1)=________.
【解析】P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-=.
答案:
9.若随机变量X的概率分布列为
X x1x2
P p1p2
且p1=p2,则p1=________.
【解析】由p1+p2=1且p2=2p1,解得p1=.
答案:
10.一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标有数字0,两个面上标有数字1,一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次,则向上的数之积X的分布列为________.
【解析】随机变量X的可能取值为0,1,2,4,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=4)=,所以分布列为
X 0 1 2 4
P
答案:
X 0 1 2 4
P
(15分钟30分)
1.(5分)(2018·泰安模拟)若P(X≤x2)=1-β,P(X≥x1)=1-α,其中x1<x2,则P(x1≤X≤x2)等于
( )
A.(1-α)(1-β)
B.1-(α+β)
C.1-α(1-β)
D.1-β(1-α)
【解析】选 B.显然P(X>x2)=β,P(X<x1)=α.由概率分布列的性质可知P(x1≤X≤x2)=1-P(X>x2)-P(X<x1)=1-α-β.
2.(5分)一袋中装有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以ξ表示取出的三只球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为( )
【解析】选C.随机变量ξ的可能取值为1,2,3.
当ξ=1时,即取出的三只球中最小号码为1,则其他两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有P(ξ=1)===;当ξ=2时,即取出的三只球中最小号码为2,则其他两只
球只能在编号为3,4,5的三只球中任取两只,故有P(ξ=2)= =;当ξ=3时,即取出的三
只球中最小号码为3,则其他两只球只能在编号为4,5的两只球中取,故有P(ξ=3)==. 所以ξ的分布列为:
ξ 1 2 3
P
3.(5分)随机变量X的分布列如下:
X -1 0 1
P a b c
其中a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)=________.
【解析】由题意知所以2b+b=1,则b=,因此a+c=.所以P(|X|=1)=P(X=-1)+P(X=1)=a+c=.
答案:
4.(15分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕,基地员工一天可以完成一处种植区的采摘.由于下雨会影响药材品质,基地收益如表所示:
周一无雨无雨有雨有雨
周二无雨有雨无雨有雨
收益20万元15万元10万元7.5万元
若基地额外聘请工人,可在周一当天完成全部采摘任务.无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元.额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同,两天是否下雨互不影响,基地收益为20万元的概率为0.36.若不额外聘请工人,写出基地收益X的分布列. 【解析】设下周一无雨的概率为p,由题意得
p2=0.36,p=0.6.基地收益X的可能取值为20,15,10,7.5则P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10)=0.24,P(X=7.5)=0.16,所以基地收益X的分布列为:
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
【变式备选】
1.(2018·青岛一模)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球,其中红球4个,编号分别为
1,2,3,4;蓝球3个,编号分别为2,4,6,现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同).
(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率.
(2)记ξ为取到的球中红球的个数,求ξ的分布列.
【解析】(1)设A=“取出的3个球中含有编号为2的球”,则
P(A)====.
(2)由题意得,ξ可能取的值为0,1,2,3,则
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,
P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,
所以ξ的分布列为:
ξ0 1 2 3
P
2.某网站的点击量等级规定如下:
点击次
数x(万次) 0≤x
<50
50≤x
<100
100≤x
<150
x≥150
等级差中良优统计该网站4月份每天的点击次数如下表:
点击次
数x(万次) 0≤x
<50
50≤x
<100
100≤x
<150
x≥150
天数 5 11 10 4
(1)若从中任选两天,求点击次数落在同一等级的概率.
(2)从4月份点击次数低于100万次的天数中随机抽取3天,记这3天的点击等级为差的天数
为随机变量X,求随机变量X的分布列.
【解析】(1)设“任选两天,点击次数落在同一等级”为事件A,则
P(A)==.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)== ,
P(X=1)==,
P(X=2)==,
P(X=3)==.
故随机变量X的分布列为:
X 0 1 2 3
P。