北师大版1.2 直角三角形 同步训练题(含答案) (2)

1.2.2 直角三角形全等的判定(HL) 同步练习

1．下列可使两个直角三角形全等的条件是( )

A．一条边对应相等B．两条直角边对应相等

C．一个锐角对应相等D．两个锐角对应相等

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，则下列各图中的直角三角形与Rt△ABC全等的是( )

3. 如图，AB＝AC，AC≠BC，AH⊥BC于点H，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AH，BD，CE交于点O，图中全等直角三角形的对数为( )

A．3B．4C．5D．6

4. 如图，AB⊥BC于点B，AD⊥DC于点D，若CB＝CD，且∠1＝30°，则∠BAD的度数是( )

A．90°B．60°C．30°D．15°

5. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE⊥CE于点E，BD⊥CD于点D，AE＝5 cm，BD＝2 cm，则DE的长是( )

A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm

6. 如图，有两个长度相同的滑梯(即BC＝EF)，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则有下列结论：①AB＝DE；②∠ABC＝∠DEF；③∠ACB＝∠DFE；④∠ABC＋∠DFE＝90°.其中成立的是( )

A．①②③④B．①②③C．①②D．②③

7. 如图，D为Rt△ABC斜边BC上的一点，且BD＝AB，过点D作BC的垂线，交AC于点E，若AE＝12 cm，则DE＝_________cm.

8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件__________________________________，使Rt△AEC≌Rt△CD A.

9.3 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D和点B，C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝BE，DE＝EC，则AB＝____．

10. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝_______________时，△ABC与△QP A全等．

11. 如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E.

(1)若∠A＝∠D，AB＝DE，则△ABC与△DEF全等的理由是___________；

(2)若∠A＝∠D，BC＝EF，则△ABC与△DEF全等的理由是___________；

(3)若AB＝DE，BC＝EF，则△ABC与△DEF全等的理由是_____________；

(4)若AB＝DE，AC＝DF，则△ABC与△DEF全等的理由是___________．

12. 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E，F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF. 求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.

13. 如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E，F，那么CE＝DF吗？请说明理由．

14. 如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且EC⊥AC于点C，AE＝BF.试判断AE和BF的位置关系，并说明理由．

15. 如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在正方形ABCD 内部，延长AF交CD于点G，请判断线段GF与GC的大小关系．

16. 如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.

(1)求证：BE＝CE；

(2)请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；

(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．

参考答案

1---6 BADBC A

7. 12

8. AD＝CE(答案不唯一)

9. 7

10. 5或10 11. (1) ASA (2) AAS (3) SAS (4) HL

12. 证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE ，∵∠A ＝∠D ＝90°，

∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形，在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，⎩

⎪⎨⎪

⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，

∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL )．

13. 解：CE ＝DF .理由如下：在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩

⎪⎨⎪⎧BC ＝AD ，

AB ＝BA ，∴Rt △ABC ≌Rt △BAD (HL )，∴AC

＝BD ，∠CAB ＝∠DB A.在△ACE 和△BDF 中，⎩⎪⎨⎪

⎧∠CAB ＝∠DBA ，

∠AEC ＝∠BFD ＝90°

，AC ＝BD ，

∴△ACE ≌△BDF (AAS )，∴CE ＝DF .

14. 解：AE ⊥BF ，理由如下：∵AE ＝BF ，AB ＝AC ，∴Rt △ABF ≌Rt △CAE (HL )，∴∠CAE ＝∠ABF ，∵∠ABF ＋∠AFB ＝90°，∴∠CAE ＋∠AFB ＝90°，∴∠ADF ＝90°，即AE ⊥BF .

15. 解：GF ＝GC ，理由如下：连接EG ，图略．∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ，∵将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，∴BE ＝EF ，∴EF ＝EC ，同理，∠B ＝∠EF A ＝90°，∴∠EFG ＝90°，又∵∠C ＝90°，∴∠C ＝∠EFG ＝90°，又∵EG ＝EG ，∴Rt △ECG ≌Rt △EFG (HL )，∴GF ＝G C.

16. 解：(1)证明：∵DB ＝DC ，DE ⊥BC ，∴CE ＝BE (三线合一)．(2)结论：∠ABC －∠ACB ＝2∠ADE .点拨：作BF ⊥AD 于点F ，交AC 于点G ，求出∠ABG ＝∠BGA ，∠ADE ＝∠CBG .(3)作DM ⊥AC 于点M ，DN ⊥AB 的延长线于点N ，图略．∵∠DAN ＝∠DAM ，DM ⊥AC ，DN ⊥AB ，∴DM ＝DN ，∵DB ＝DC ，∴Rt △DBN ≌Rt △DCM (HL )，∴∠BDN ＝∠CDM ，∴∠CDB ＝∠MDN ，∵∠CAB ＋∠MDN ＝180°，∴∠CDB ＋∠CAB ＝180°，∵∠ACB ＝40°，∠ADE ＝20°，∠ABC －∠ACB ＝2∠ADE ，∴∠ABC ＝80°.∴∠CAB ＝180°－80°－40°＝60°，∴∠CDB ＝120°，∴∠EDB ＝∠EDC ＝60°，∴∠DCB ＝90°－∠EDC ＝30°.