2.1向量的加法
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
《向量的加法》教案完美版
《向量的加法》教案完美版第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义：向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
1.2 向量的表示方法：在坐标系中，向量可以用有序数对表示，即(x, y)。
1.3 向量的模：向量的模是指向量的大小，可以用|v|表示，计算公式为|v| = √(x^2 + y^2)。
第二章：向量的加法运算2.1 向量加法的定义：两个向量a和b的加法运算，记作a + b，结果是一个新的向量，其大小等于a和b大小的和，方向等于a和b方向的矢量和。
2.2 向量加法的表示方法：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的坐标分别相加得到结果向量的坐标。
2.3 向量加法的性质：向量加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
第三章：向量加法的几何解释3.1 向量加法的几何图形：在坐标系中，向量加法可以通过将两个向量的箭头首尾相接，得到结果向量的箭头。
3.2 平行向量的加法：当两个向量平行时，它们的加法运算结果是它们的模的和（或差，取决于它们的方向是否相同）。
3.3 非平行向量的加法：当两个向量不平行时，它们的加法运算结果是一个新的向量，其大小和方向由平行四边形法则确定。
第四章：向量加法的应用4.1 力的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算两个力的合力，即力的合成。
4.2 位移的计算：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的位移，即起点到终点的位移向量。
4.3 速度和加速度的合成：在物理学中，向量加法可以用来计算物体的速度和加速度的合成。
第五章：向量加法的练习题第六章：向量加法在坐标系中的运算规则6.1 直角坐标系：在直角坐标系中，向量的加法可以通过对应坐标轴上的坐标值进行运算。
6.2 斜坐标系：在斜坐标系中，向量的加法需要考虑角度和半径的变化。
6.3 空间坐标系：在空间坐标系中，向量的加法涉及到三个坐标轴的运算规则。
第七章：向量加法在实际问题中的应用7.1 力学问题：在力学中，向量加法可以用来计算物体所受多力的合力。
平面向量题型归类及解题方法
平面向量题型归类及解题方法1. 平面向量的定义和性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头来表示。
平面向量通常用一个字母加上一个箭头（如a→）来表示。
平面向量有以下性质： - 零向量的方向是任意的，大小为0。
- 向量的大小等于其模长，记作∥a∥。
- 向量可以相等，相等的向量有相同的大小和方向。
- 向量可以相反，相反的向量大小相等，方向相反。
- 向量可以相加，向量相加满足三角形法则。
- 向量可以缩放，即乘以一个标量。
- 向量可以平移，即使原点发生变化。
2. 平面向量的基本运算2.1 向量的加法向量a和b的和记作a + b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的终点。
2.2 向量的减法向量a和b的差记作a - b，其几何意义是将向量b的起点放在向量a的终点，然后连接a的起点和b的起点。
2.3 向量的数乘向量a与一个实数k的积记作k a，其几何意义是将向量a的长度缩放为原来的k 倍，方向不变（当k>0时）或反向（当k<0时）。
2.4 平行向量和共线向量如果两个向量的方向相同（可能大小不同），那么它们是平行向量。
如果两个向量共线，即一个向量是另一个向量的倍数，那么它们是共线向量。
2.5 两个向量的数量积（点积）设a = (x1, y1)和b = (x2, y2)，则向量a和b的数量积（点积）定义为：a·b= x1x2 + y1y2。
2.6 向量的模长和方向角设向量a = (x, y)，则向量a的模长定义为∥a∥= √(x^2 + y^2)。
向量a的方向角定义为与x轴的正方向之间的夹角θ，其中tanθ = y / x。
3. 平面向量的题型归类及解题方法平面向量的题型主要包括平面向量的加减法、数量积、平行向量和共线向量、模长和方向角等。
3.1 平面向量的加减法题型•已知两个向量，求其和或差向量。
•已知一个向量和其和或差向量，求另一个向量。
2020-2021人教版数学第二册教师用书：第6章 6.26.2.1向量的加法运算含解析
2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册教师用书：第6章6.2 6.2.1向量的加法运算含解析6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算学习目标核心素养1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律．(难点)2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点）3．能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．（易混点）1。
教材从几何角度给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则,结合了对应的物理模型，提升直观想象和数学建模的核心素养．2．对比数的加法,给出了向量的加法运算律，培养数学运算的核心素养。
有一名台湾商人想去拉萨游玩，但是由于台湾没有直达拉萨的航班,因此他选择了这样一个出行方案：乘飞机要先从台北到香港，再从香港到拉萨．问题:这两次位移之和是什么?1．向量加法的定义(1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．(2）对于零向量与任意向量a,规定0＋a＝a ＋0＝a.2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作错误!＝a,错误!＝b，则向量错误!叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝错误!＋错误!＝错误!.平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作错误!＝a，错误!＝b，以错误!，错误!为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量错误!＝a＋b.[提示]不是，向量相加要考虑大小及方向，而模相加是数量的加法．3．｜a＋b|与｜a|、|b｜之间的关系一般地，我们有|a＋b|≤｜a｜＋|b｜,当且仅当a，b方向相同时等号成立．4．向量加法的运算律（1)交换律：a＋b＝b＋a。
（2）结合律：(a＋b）＋c＝a＋(b＋c)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”）（1)任意两个向量的和仍然是一个向量．(）(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．（)(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．()（4)|a｜＋|b｜＞｜a＋b|. （)［答案]（1）√（2)×(3）×（4）×2。
高一向量公式总结
向量的运算法则公式向量的运算法则公式包括向量的加法、向量的减法、向量的数乘、向量的数量积、向量的向量积、三向量的混合积等。
以下是向量运算法则的具体内容：一、向量的加法1.1向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法OB+OA=OC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.1.2向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).二、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0。
2.1向量的减法AB-AC=CB.即“共同起点,指向被向量的减法减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').三、、向量的数乘实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a反方向；向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.3.1数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb).向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.3.2数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.四、向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a·b.若a、b不共线,则a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'.4.1向量的数量积的运算律a·b=b·a（交换律）；(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)·c=a·c+b·c（分配律）；4.2向量的数量积的性质a·a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a·b=0.|a·b|≤|a|·|b|.（该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|）4.3向量的数量积与实数运算的主要不同点4.3.1向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2.4.3.2向量的数量积不满足消去律,即：由 a·b=a·c (a≠0),推不出 b=c.4.3.3|a·b|≠|a|·|b|4.3.4由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.五、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b（这里并不是乘号,只是一种表示方法,与“·”不同,也可记做“∧”）.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a 和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.5.1向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a垂直b〈=〉a×b=|a||b|.5.2向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；a×（b+c）=a×b+a×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.六、三向量的混合积6.1向量的混合积定义：给定空间三向量a、b、c,向量a、b的向量积a×b,再和向量c作数量积(a×b)·c,向量的混合积所得的数叫做三向量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c6.2混合积具有下列性质：6.2.1三个不共面向量a、b、c的混合积的绝对值等于以a、b、c为棱的平行六面体的体积V,并且当a、b、c构成右手系时混合积是正数；当a、b、c构成左手系时,混合积是负数,即(abc)=εV（当a、b、c构成右手系时ε=1；当a、b、c构成左手系时ε=-1）6.2.2上性质的推论：三向量a、b、c共面的充要条件是(abc)=06.2.3(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)6.2.4(a×b)·c=a·(b×c)。
高中数学第二章 2.1 向量的加法
→ → → → 2 2 跟踪训练 2 已知正方形 ABCD 的边长等于 1，则|AB＋AD＋BC＋DC|＝_____.
解析 → → → → |AB＋AD＋BC＋DC|
→ → → → ＝|AB＋BC＋AD＋DC|
→ → → ＝|AC＋AC|＝2|AC|＝2 2.
解析
答案
类型三 向量加法的实际应用
例3 在静水中船的速度为20 m/min，水流的速度为10 m/min，如果船
跟踪训练1 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量.
→ → → (1)OA＋OC＝____ OB ；
→ → → AD (2)BC＋FE＝____；
→ → 0 (3)OA＋FE＝___.
答案
类型二 向量加法运算律的应用
例2 化简： → → (1)BC＋AB； → → → → → 解 BC＋AB＝AB＋BC＝AC.
∴a＋b＝b＋a.
答案
思考3
根据图中的四边形ABCD，验证 向量加法是否满足结合律.(注： → → → AB＝a，BC＝b，CD＝c ) → → → 答案 ∵AD＝AC＋CD → → → ＝(AB＋BC)＋CD， → ∴AD＝(a＋b)＋c， → → → → → → 又∵AD＝AB＋BD＝AB＋(BC＋CD)， → ∴AD＝a＋(b＋c)， ∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
√
→ → → → D.AD＋EC＋FD ＝BD
1
2
3
4
5
解析
答案
→ → → → → 3.(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM等于 → → A.BC B.AB
√
→ C.AC
→ D.AM
1
2
3
4
5
第二章 §2.1向量的加法
uuur uuur uuur uuur uuur uur [解] (1) BC ＋CE ＋ EA＝BE ＋ EA＝BA.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur (2) OE ＋ AB＋ EA＝(OE ＋ EA)＋ AB＝OA＋ AB＝OB.
uuur ④OG
＋
uuur BE
＝
uuur DO
.
A．①③
B．②④
C．②③
D．①④
uuur uuur uuur 解析：选 A ① AE ＋ AH ＝OC ，正确；
uuur uuur uuur uuur ② AH ＋OF ＝ BF ＋GC ，故②不正确；
uuur uuur uuur uuur ③ BE ＋FC ＝ HD＋OH ，正确；
uuur PQ
＋―QM→＋
uuur MQ
＝
uuur PQ
.
uuur 答案： PQ
考点一 向量求和
[典例] 如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是 BC，AC， AB 的中点，化简下列三式：
uuur uuur uuur (1) BC ＋CE ＋ EA；
uuur uuur uuur (2) OE ＋ AB＋ EA；
§2 从位移的合成到向量的加法 2．1 向量的加法
一、预习教材·问题导入 1．向量的加法如何定义？ 2．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？ 3．向量加法的运算律有哪两条？
二、归纳总结·核心必记
1．向量的加法
uuur
三角
已知向量 a，b，在平面内任取一点 A，作 AB＝a，
uuur
uuur
第2章 §2 2.1 向量的加法
§2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法学习目标核心素养1.掌握向量加法的定义，会用向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量．(重点) 2．掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算．(难点) 1.通过学习向量加法的定义及三角形法则与平行四边形法则，体会数学直观素养．2．通过运用交换律、结合律进行向量加法运算，提升数学运算素养．向量求和法则及运算律类别图示几何意义向量求和的法则三角形法则已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→，则向量AC→叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→平行四边形法则已知向量a，b，作AB→＝a，AD→＝b，再作平行AD→的BC→＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量AC→叫作向量a与b的和，表示为AC→＝a＋b向量加法的运算律交换律a＋b＝b＋a结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)思考：根据图中的四边形ABCD ，验证向量加法是否满足结合律．(注：AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c )[提示] ∵AD →＝AC →＋CD →＝(AB →＋BC →)＋CD →，∴AD →＝(a ＋b )＋c ， 又∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋(BC →＋CD →)， ∴AD →＝a ＋(b ＋c )，∴(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).1．作用在同一物体上的两个力F 1＝60 N ，F 2＝60 N ，当它们的夹角为120°时，这两个力的合力大小为( )A.30 N B ．60 N C.90 N D ．120 N[答案] B2．在△ABC 中，必有AB →＋CA →＋BC →等于( ) A.0 B ．0C.任一向量 D ．与三角形形状有关[答案] B3．化简下列各向量： (1)AB →＋BC →＝________． (2)PQ →＋OM →＋QO →＝________．(1)AC → (2)PM →[根据向量加法的三角形法则及运算律得： (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)PQ →＋OM →＋QO →＝PQ →＋QO →＋OM →＝PO →＋OM →＝PM →.] 4．在正方形ABCD 中，|AB →|＝1，则|AB →＋AD →|＝________．[答案] 2向量加法法则的应用【例1】 (1)如图①，用向量加法的三角形法则作出a ＋b ； (2)如图②，用向量加法的平行四边形法则作出a ＋b .[解] (1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，再作向量OB →，则OB →＝a ＋b .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，再作平行OB →的AC →＝b ，连接BC ，则四边形OACB 为平行四边形，OC →＝a ＋b .用三角形法则求向量和，关键是抓住“首尾相连”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其它位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．1．已知向量a ，b ，c ，如图，求作a ＋b ＋c .[解] 在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，如图，则由向量加法的三角形法则，得OB →＝a ＋b ，OC →＝a ＋b ＋c .向量加法及其运算律 【例2】 化简下列各式： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.[思路探究] 所给各式均为向量和的形式，因此可利用三角形法则和向量加法的运算律求解．[解] (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →.(2)DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋BC →)＋CD →＝DC →＋CD →＝0或DB →＋CD →＋BC →＝(DB →＋CD →)＋BC →＝(CD →＋DB →)＋BC →＝CB →＋BC →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A → ＝0.向量加法运算律的应用原则及注意点(1)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相接”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．(2)注意点：①三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”； ②向量的和仍是向量；③利用相等向量转化，达到“首尾相连”的目的．2.如图：在平行四边形ABCD 中．(1)AB →＋AD →＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →＝________．(1)AC → (2)AO → (3)AD →(4)0 [(1)由平行四边形法则知 AB →＋AD →＝AC →.(2)AC →＋CD →＋DO →＝AD →＋DO →＝AO →. (3)AB →＋AD →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →.(4)∵BA →＝CD →，∴AC →＋BA →＋DA →＝AC →＋CD →＋DA →＝AD →＋DA →＝0.]向量加法的实际应用 [探究问题]1．如何计算两个向量的和？[提示] 两个向量相加，其和仍是一个向量．计算两个向量的和需利用三角形法则或平行四边形法则，在使用三角形法则时，应注意“首尾相连”；在使用平行四边形法则时，应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．共线的两向量相加，其结果怎样？[提示] (1)向量a 与b 同向(如图①所示)，即向量a ＋b 与a (或b )方向相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |.① ②(2)向量a 与b 反向(如图②所示)，且|a |<|b |时，a ＋b 与b 方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |.【例3】 在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．[思路探究] 速度是向量，因此需要作出船的速度与水流速度的示意图，把实际问题转化为三角形中求角度问题．[解] 作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中，|CD →|＝|AB →|＝v 水＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ， ∴cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，∴α＝60°，从而船与水流方向成120°的角．故船行进的方向是与水流的方向成120°的角的方向．1．(变结论)若例3条件不变，则经过3小时，该船的实际航程是多少？ [解] 由题意可知|AC →|＝32|AD →|＝32×20＝103(m/min)＝335(km/h)， 则经过3小时，该船的实际航程是3×335＝935(km).2.(变结论)若例3的条件不变，改为若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于河岸的夹角).[解] 如图所示，|AD →|＝|BC →|＝|v 船|＝20 m/min ， |AB →|＝|v 水|＝10 m/min ，则tan ∠BAC ＝2，即为所求．应用向量解决平面几何问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时，常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．3．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两向量的和，可能是一个数量． ( ) (2)两向量相加，就是两向量的模相加． ( ) (3)CD →＋DE →＝CE →.( ) (4)矩形ABCD 中，BA →＋BC →＝BD →.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知四边形ABCD 是菱形，则下列等式中成立的是( ) A.AB →＋BC →＝CA →B ．AB →＋AC →＝BC → C.AC →＋BA →＝AD →D ．AC →＋AD →＝DC → C [由加法的平行四边形法则可知AB →＋AD →＝AC →，即(－BA →)＋AD →＝AC →，所以AC →＋BA →＝AD →.]3．据图填空，其中a ＝DC →，b ＝CO →，c ＝OB →，d ＝BA →.(1)a ＋b ＋c ＝________； (2)b ＋d ＋c ＝________．(1)DB → (2)CA → [(1)a ＋b ＋c ＝DC →＋CO →＋OB →＝DB →. (2)b ＋d ＋c ＝CO →＋BA →＋OB →＝CA →.]4．若a 表示“向东走8 km ”，b 表示“向北走8 km ”，求： (1)|a ＋b |；(2)指出向量a ＋b 的方向．[解] (1)如图所示，作OA →＝a ，AB →＝b ，则a ＋b ＝OA →＋AB →＝OB →，所以|a ＋b |＝|OB →|＝82＋82＝8 2.(2)因为∠AOB ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.。
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B
a2 b2＝ 2ab (a＝b)
猜想： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
a2 b2≥2ab
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
3.4
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个 风车，代表中国人民热情好客。
一：新课引入，合作探究
思考：这会标中含有 怎样的几何图形？ 思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
D
a2 b2
b
如果a 0,b 0,我们用 a, b分别代替a,b, 可得到什么结论？
替换后得到： ( a )2 ( b )2≥2 a b
即： a b≥2 ab
即：
a b≥ 2
ab
(a 0,b 0)
二、获取新知 特别地，若a>0，b>0，则 a b __≥___ 2 ab
通常我们把上式写作： ab≤ a b (a 0,b 0) 2
y 3x 12 x
（2）若 0 x 1 求 y x(1 x) 的最
大值？
五、尝试小结
• 1、公式 基本不等式：若 a,b R 则 a2 b2 2ab
（当且仅当 a b 时，等号成立）
• 若 a 0,b 0 则 ab a b （当且仅当 a b
时，等号成立）
G
F
A
a HE
探究：
1、正方形ABCD的
面积S=＿a＿2＿＿＿b 2
C ２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的不等关系？
B
S>S′即
问：那么它们有相等的情况吗？ a2 b2 > 2ab (a≠b)
D
D
ห้องสมุดไป่ตู้
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
a2 b2B> 2ab (a≠b)
⑶
a
1 a
(a
0)
的最小值为2.
（） （）
（）
• 例2：已知 a 0 ，求 a 4 最小值为多少？
a
• 例3：若a,b同号， 则 b a 最小值为多少？ ab
• 例4：已知 x>0,y>0 ,并且x+y=18,求x与y之 积的最大值？
四、当堂训练，
（1）若 x 0 求
最小值 ？
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式. 适用范围： a>0,b>0
填表比较：
适用范围
a2 b2≥2ab
a,b∈R
“=”成立条件
a=b
a b≥ ab 2
a>0,b>0
a=b
注意从不同角度认识基本不等式
三、学以致用
例1：判断
⑴
a2
1 a2
的最小值为2.
⑵
a 1 a
的最小值为2.
2
• 2、应用（有哪方面的应用？有什么限制条件）
• 3、数学思想
六、课后作业
课本P100 习题 A组 1、2题
•下节课见！