第9章 力矩分配法(至诚土木)
结构力学第9章__力矩分配法(新)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
12kN/m
i
6m
16kN
2i
3m
3m
0.4 0.6
固端弯矩 -36
第9章 渐进法及超静定力的影响线 9-1 力矩分配法的基本概念 9-2 单结点的力矩分配法 9-3 多结点的力矩分配法 9-4 计算结果的校核
9-1力矩分配法的基本概念
M
4
2 i12 1
i14
i13
3
4i12Δ1
2i12Δ1
i13Δ1 i13Δ1
3i14Δ1
M12 4i121 M13 i131 M14 3i141
M
1 M21 2 M12 M31 M13 M41 0 M14
9-1力矩分配法的基本概念
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
M ik Sik 1
4iik 远端为固定端
S ik
3iik iik
远端为铰支端 远端为平行支链杆
0 远端为自由端
2 分配系数：与转动刚度成正比
ik
96 64 → 32
-23.6 ← -47.3 -47.3 → -23.6 14.2 9.4 → 4.7
-1.2 ← 0.7 0.5 →
-2.3 -2.3 → -1.2 0.3
-0.1 -0.2
200.9 -200.9
237.3 -237.3 87.7
200.9
237.3
87.7
力矩分配法
C
41.3 C 133.1 D M图（kN· m）
1 CB 0.667 1 1 2 CD 0.333
20kN/m A EI=1 6m 92.6 B EI=2 4m
100kN C 4m EI=1 6m D
43.6
A 21.9 B 133.1 51.8 A 56.4
M图
2M/7 3M/7
q
例题 i
l
4/7 3/7 固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩 2ql2/56 2ql2/56 ← 4ql2/56 ← 4ql2/56 -ql2/8 3ql2/56 -4ql2/56 4ql2/56 M图 4ql2/56 → → 0 0
l
i
例1. 用力矩分配法作图示连续梁的弯矩图。
①求固端弯矩；
②将汇交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。
③各杆按各自的传递系数向远端传递。
④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
M
例题
ii
4/7 3/7
ii
固端弯矩 分配、传递 杆端弯矩 2M/7 2M/7 ←
-M 4M/7 3M/7 4M/7 3M/7 4M/7 → 0 0
S i
S 0
练习
i
k
Sik=4iik
k
i
k
Sik=3iik Sik=0
i
Sik=4iik
k
i
k
i
Sik=4iik
i
k
Sik=4iik
q
Mik=-ql2/12
i l k
Mki=ql2/12
（2）分配系数（按位移法推导） 写出杆端弯矩： M AB＝S AB A 4i AB A M AC＝S AC A i AC A M AD＝S AD A 3i AD A 由 M A＝0 得： M M AB M AC M AD
《土木工程力学》-力矩分配法
土木工程力学辅导——力矩分配法1. 力矩分配法的基本运算● 三个基本概念转动刚度： 111z S M k k =k S 1：1k 杆的1用的弯矩。
分配系数： M SS M kkk )1(111=∑k 1μ：当结点1杆的1端的力矩。
传递系数： k k k M C M 111=k C 1矩的比值。
当单位力偶作用在结点1弯矩乘以传递系数。
● 一个基本运算如图1所示，各杆的转动刚度为：141413131212,4,3i S i S i S ===各杆的力矩分配系数为：∑∑∑===)1(11414)1(11313)1(11212,,kKkS S S S S S μμμ分配给各杆的分配力矩即近端弯矩为： M SS MM SS MM M SS Mkkk∑∑∑====)1(11414)1(1131312)1(11212,,μμμμ各杆的传递系数为：1,21,0141312-===C C C各杆的传递弯矩即远端弯矩为：144113131331121221,21,0M MM M C MM C MCCC -=====2．具有一个结点角位移结构的计算 步骤：●加约束：在刚结点i 处加一附加刚臂，求出固端弯矩，再求出附加刚臂给结点的约束力矩f i M 。
●放松约束：为消掉约束力矩f i M ，加-f i M ，求出各杆端弯矩。
分配系数固端弯矩分配及传递弯矩最后弯矩M图（单位：KN.m）附加刚臂对结点的约束力矩为：m KN MBf .7560135=-=● 放松结点：在结点B 上加外力偶Bf M-，求出分配弯矩和传递弯矩。
定义lEI i =转动刚度为：i i S i i S BC BC AB BA 44,33====分配系数为：57.043.0=+==+=BCAB BC BC BCBA BA BA S S S S S S μμ分配弯矩为： ()()mkN Mm kN M BCBA .25.327543.0.75.427557.0-=-⨯=-=-⨯=μμ传递弯矩为： ()mkN MM CBcABc .38.2175.42210-=-⨯==● 合并，固端弯矩+分配弯矩=近端弯矩，固端弯矩+传递弯矩=远端弯矩。
09第九章_力矩分配法
09第九章_力矩分配法第九章力矩分配法本章的问题：A.力矩分配法的适用条件是什么？B.什么叫固端弯矩？约束力矩如何计算？C.什么是转动刚度、分配系数和传递系数？D.什么是不平衡力矩？如何分配？E.力矩分配法的计算步骤如何？F.对于多结点的连续梁和无侧移的刚架是如何分配和传递弯矩的？力矩分配法是位移法的渐近法。
适用于连续梁和无结点线位移的刚架。
§ 9－1力矩分配法的基本概念力矩分配法的理论基础是位移法，属于位移法的渐近方法。
适用范围：是连续梁和无结点线位移的刚架。
针对本方法，下面介绍有关力矩分配法的几个相关概念。
1、名词解释（1）转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。
杆端的转动刚度以S表示，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
图9－1给出了等截面杆件在A端的转动刚度S AB的数值。
关于S AB 应当（1）在S AB（2）S AB在图9－1中，由图9－1远端固定：远端简支：远端滑动：远端自由：i图9－1各种结构的转动刚度（2）分配系数图9－2所示三杆AB 、AD 、AC 在刚结点A 连接在一起。
远端B 、C 、D 端分别为固定端，滑动支座，铰支座。
假设有外荷载M 作用在A 端，使结点A 产生转角θA ，然后达到平衡。
试求杆端弯矩 M AB 、 M AC 、 M AD 。
由转动刚度的定义可知：M AB = S AB θA = 4i AB θA M AC = S AC θA = i AC θA M AD= S AD θA = 3i AD aθM A θ=式中将A θ即：杆AB的转动刚度与交于A点的各杆的转动刚度之和的比值。
注意：同一结点各杆分配系数之和应等于零。
即Σμ=μAB+μAC+μAD=1总之：作用于结点A的力偶荷载M，按各杆端的分配系数分配于各杆的A端。
（3）传递系数在图9－2中，力偶荷载M作用于结点A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。
由位移法的刚度方程可得杆端弯矩的具体数值如下：M AB = 4i ABθA M B A = 2i ABθAM AC = i ACθA M CA =－i ACθAM AD =3i ADθA M DA = 0由上式可看出，远端弯矩和近端弯矩的比值称为传递系数用C AB表示。
力矩分配法
BA A
BE
BC
CB
CF
CD D
0.3
0.3 0.4
0.445 0.222 0.333
C 41.7 －18.5 － 9.3 －13.9 2.2
40－41.7－9.3=－11
40 B －41.7 －9.3 3.3 3.3 4.4 －0.5 0.15 0.15 0.2
－1.0 － 0.5 －0.7 24.4 － 9.8 －14.8
b）传递弯矩 2、传递系数C： Mji=CMij j=A，B，C 杆端转动时产生的远端弯矩与近端弯矩 注：1）传递力矩是杆端转动时产生的远端弯矩。 的比值。即： 2）只有分配弯矩才能向远端传递。 M
C
远
M近
4、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
200kN 20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A B 3i 4i 2006 mAB 150 3m 3m 6m 8 μ 1/2 1/2 2006 mBA 节点不平衡力 150 MB 8 150 －90 20kN/m 矩要变号分配. m －150 200kN 2 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 206 不平衡力矩= －15 －30 －30 mBC 90 A B 8 固端弯矩之和 MB 150 －150 －90 M －175 120 －120
AD 3/9 AC 2/9 10 10
C
CA
D
DA
－ 50
10 － 40
－ 80
15 － 65 －10 － 10
§8-2 多结点力矩分配法——渐进运算 取EI=8 μBA=0.6 μBC=0.4 μCB=0.4 μCD=0.6
i=2 B↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ A 2EI EI 8m i=1 8m
力矩分配法ppt课件
Z1 MA'
D
A
Z1
Z1
C Aj
M jA M Aj
B
M BA 2iAB Z1 MCA 0 M DA iADZ1
M BA M AB
CAB
1 2
M CA M AC
C AC
0
M DA M AC
C
AC
1
MAC
MA' A
MAD
在等截面杆件中，弯矩传递系数 C 随远端的MAB支承情况而 不同。三种基本等截面直杆的传递系数如下：
一、单结点连续梁的力矩分配法
⑶放松刚臂，计算刚臂转动
A
Z1时结点的反力矩R11。
3m
M B A 4iZ1 SBAZ1
M B C 3iZ1 SBCZ1 R11 M B A M B C 0
A
基本体系
R11 (M B A M B C ) (SBA SBC )Z1
17
第7章 力 矩 分 配 法
§7.2 力 矩 分 配 法 的 基 本 原 理
⑵计算固端弯矩
20kN/m
100kN
M
F AB
ql 2
12
30 42
12
60.0kN m
A EI=1 B EI=2
92.6
C EI=1 D
M
F BA
60.0kN
m
M
F BC
Fl 8
1008 8
远端固定
C Aj
1 2
远端滑动 C Aj 1
远端铰支 CAj 0
7
第7章
力矩分配法
建筑力学讲义之力矩分配法
13 力矩分配法力法和位移法的优点是计算结果准确可靠。
力矩分配法，是一种渐近计算法。
简便。
只适合于连续梁及无侧移刚架的计算。
13.1 力矩分配法的基本原理1、名词解释（1）转动刚度： 111z S M k k =：1k 杆的1端产生单位转角时，在该端所需作用的弯矩。
（2）分配系数：MM S S M k kk k1)1(111μ==∑ k 1μ：当结点1处作用有单位力偶时，分配给1k 杆的1端的力矩。
（3）传递系数：k k k M C M 111=：当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。
当单位力偶作用在结点1时，按分配系数分配给各杆的近端为近端弯矩；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。
2、力矩分配法的基本原理（1）计算各杆的分配系数=（2）由分配系数计算近端的弯矩。
=M（3）计算各杆的远端弯矩。
= C A k3、非结点荷载作用下单结点结构的计算 力矩分配法的计算步骤如下：（1）固定结点B ，即在结点B 加附加刚臂。
计算各杆的固端弯矩，并求出结点不平衡力矩F BK F B M M ∑=。
（2）放松结点B ，相当于在结点B 加力矩-。
计算下列各项 分配系数B BKBKS S ∑=μ分配弯矩 BK μ=（-）传递弯矩 μBK BK M C =（3）叠加，计算各杆杆端最后弯矩μBK F BKBK M M M +=CKB F KB KB M M M +=13.2力矩分配法计算连续梁及无侧移刚架1．掌握力矩分配法中正负号规定。
理解转动刚度、分配系数、传递系数概念的物理意义；掌握它们的取值。
能够根据远端的不同支承条件熟练地写出各种情形的杆端转动刚度、向远端的传递系数，并计算分配系数。
2．通过单结点的力矩分配法，理解力矩分配法的物理意义，掌握力矩分配法的主要环节：(1) 固定刚结点。
对刚结点施加阻止转动的约束，根据荷载，计算各杆的固端弯矩和结点的约束力矩；(2) 放松刚结点。
根据各杆的转动刚度，计算分配系数，将结点的约束力矩相反值乘以分配系数，得各杆的分配弯矩；(3) 将各杆端的分配弯矩乘以传递系数，得各杆远端的传递弯矩。
9力矩分配法
CB 1
CD 0
③传递系数
1 CCB 2
CBC 0
第9章 力矩分配法
§9-3 对称结构的计算
取一半结构进行计算，注意杆件截半后，线刚度增倍。 例9-3-1 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。
q
A EI1 F
B
EI2
K
l2
C
解：设梁的线刚度为i1=EI1/l1 柱的线刚度为i2=EI2/l2
⑸最后一轮循环最后一个结点分配后只向其他结点传递。
第9章 力矩分配法
⑹不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）， 但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
A
B
C
D
E
B、D同时分配后向C传递，C分配后再同时向B、D传递，如此循 环。
A
B
C
D
E
F
B、D同时分配后同时向C、E传递，C、E同时分配后再同时向B、 D传递，如此循环。
A
B
15.86 3m 3m
C M (kNm) 6m
结点
A
B
C
解：① 不平衡力矩
m
g AB
Pl 8
20 6 8
15
m
g BA
Pl 8
15
mBgC
ql2 8
9
mBg
m
g BA
mBgC
6
杆端
AB
BA BC CB ②分配系数
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 -15
15
-9 0
平衡
分配传递 -1.72 -3.43 -2.57 0
第9章 力矩分配法
§9-1 力矩分配法的基本概念
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M图 图
7ql2/60
-ql2/12 -2ql2/60 -7ql2/60 A
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
练习
i k
Sik=4iik
k
i
k
Sik=3iik Sik=0
i
Sik=4iik
k
i
k
i
Sik=4iik
i EI=∞ l K
k
Sik=Kl2
i
k
Sik=4iik
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
µ AC =
2× 4 = 0.4 2 × 3 + 2 × 4 + 1.5 × 4 1 M AB = × 30 × 16 = 60kNm 8 100 × 2 × 32 M DA = = 72kN m 2 5
60 -48 -3.6 -4.8 -3.6 56.4 -4.8 51.6 C ↓ -2.4
→ →
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
12kN/m 16kN
例题
i
6m 0.4 0.6 3m
2i
3m
固端弯矩 分配、 分配、传递 最后M 最后
-36 -3.6 -39.6 39.6
←
36 -18 -7.2 -10.8 28.8 -28.8 28.8
→
0 0
M图 图 (kNm)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
FP
例题
l
i l 1 0 -FPl FPl 0
2i
固端弯矩 分配、 分配、传递 FPl/2 杆端弯矩 FPl/2
FPl -FPl FPl
0
M图 图 FPl/2
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
100kN 30kN/m D B 4m i=2 A i=2 C 4m 3m 2m i=1.5
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
M1图
k11∆1 + F P = 0 1 k11 = 4i12 + 3i14 + i13 F = −M 1P
F1P M
9-1力矩分配法的基本概念
代入位移法方程
M ∆1 = 4 i12 + i13 + 3 i14
4i12 M12 = M 4i12 + i13 + 3i14
M13 = i13 M 4i12 + i13 + 3i14
θB
MBA
θB
C
MBC
（a）加载变形曲线 ）
MB
B
MFBC=0
A
MFAB MFBA
C
（b）约束节点B ）约束节点B A
M’AB M’BA
B
M’BC
C
（C）放松节点B ）放松节点B
MFBA+M’BA=MBA
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
q
例题 i
l 4/7 3/7 固端弯矩 分配、 分配、传递 2ql2/56 杆端弯矩 2ql2/56 ← 4ql2/56 ← 4ql2/56 -ql2/8 3ql2/56 -4ql2/56 4ql2/56 M图 图 4ql2/56 矩 23
40.2 -40.2 40 100 100
23
54
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
100kN 5m 100kN 5m B EI=常数 常数 A 5m
141.6 250 66.6
结点 杆端 分配 系数
A AB BA
0.5 -125 125
B BC
0.5
C
D
C
CB CD DC
0.5 0.5
i
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
①求固端弯矩； 求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。 将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
M'B -M''C
A
B
C
M''CB
θ'C
M''CD 0
D
M''BC
（d）放松节点 ）放松节点C B C
A
D
（d’）加载变形曲线 ）
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
例题 A
EI 6m
分配系数 固端弯矩
80kN
20kN/m 2EI 6m
B
1.5EI 3m 0.4 0.6 -60 24 36 3 -1.2 -1.8 0.23 -0.09 -0.14 22.71 -22.71 3m
(200.9 − 0) − (90 − 0) = 110.9 =
同理,可对C 同理,可对C点进行校核
D 5m
固端 弯矩 分配 与 传递
-125 125
-31.2 -62.5 -62.5 -31.2
7.8 0.5
15.6 1
15.6 -2 1
7.8 -3.9 -3.9 0.5 -0.3 -0.2
-2
250 116.7
M图 图 (kNm)
33.2
杆端 -33.2 弯矩 -116.7 141.6 -141.6 66.6 -66.6
100kNm A
分配系数 固端弯矩 分配 与 传递
8kN/m C 0.75EI 10m
100kNm D
EI 10m
B
EI 10m
1/2 1/2 -100
16 42 42 -6.7 3.3 3.4 -0.5 0.2 0.3 45.5 54.5 46
16/25 9/25 -100+50
32 18 21 -13.4 -7.6 1.7 -1.1 -0.6
M ik = S ik ∆ 1
2 分配系数：与转动刚度成正比 分配系数：
S ik µ ik = ∑ S ik
i
∑µ ()
i
ik
=1
传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值. 3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
1 2 ⇒ 远端为固定端 = 0 ⇒ 远端为铰支端 − 1 ⇒ 远端为平行支链杆
1 M21 = M12 2
M31 = −M13 M41 = 0⋅ M14
3i12 M14 = M 4i12 + i13 + 3i14
9-1力矩分配法的基本概念
转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。 1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
4iik ⇒ 远端为固定端 3iik ⇒ 远端为铰支端 S ik = iik ⇒ 远端为平行支链杆 0 ⇒ 远端为自由端
100kNm EI 10m EI 10m 8kN/m 0.75EI 10m 10m 10kN
分配系数 固端弯矩 分配 与 传递
1/2 1/2
-100 50 50 7.2 -3.6 - 3.6 1.3
4/7 3/7
-200/3 → 25 ← 14.3 → -1.8 ← 2.6 0.5 16.7 10.7 -2.7 1.9 0.3
C
D
0.5 0.5 +60 18 6 -0.9 0.45 -0.07 0.04 0.03 0 83.52 -83.52 0.45 6 -90 0
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
放松B 12 放松 放松C 放松 放松B 放松 -0.6 放松C 放松 放松B 放松 -0.05 放松C 放松
杆端弯矩 11.35
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
µ AB =
2× 3 = 0.3 2 × 3 + 2 × 4 + 1.5 × 4 1.5 × 4 µ AD = = 0.3 2 × 3 + 2 × 4 + 1.5 × 4 100 × 22 M AD = = −48kNm 2 5
AB B 0.3 AC 0.4 A AD 0.3 72 -1.8 70.2 D
1
200/3 ← 33.3 → 5.4 ← -5.4 → 1 -1
0
-100
-0.7 - 0.6 → -0.3
-0.5 ←
杆端弯矩
22.9
45.7 54.3
40.3 40.3
100
-100
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
45.7
100 40.3 100
22.9
54.3
9-3 多结点的力矩分配——渐进运算
分配 与 传递
0.6 0.4 90 -250 96 64 -23.6 14.2 9.4 -1.2 0.7 0.5 200.9 -200.9
200.9
→ ← → ← →
0.5 0.5 250 -187.5 32 -47.3 -47.3 4.7 -2.3 0.3 -2.3 -0.1
112.5 → -23.6 → -1.2 -0.2 87.7
平衡条件:每次分配时 自然满足 平衡条件 每次分配时,自然满足 每次分配时 变形协调条件: 变形协调条件
f M ik = 4iik ϕ i + 2iik ϕ k + M ik f M ki = 2iik ϕ i + 4iik ϕ k + M ki
消去远端转角 ϕ k
1 f 1 f ϕ i = M ik − M ki − M ik − M ki 3iik 2 2
第9章
渐进法及超静定力的影响线
9-1 力矩分配法的基本概念 9-2 单结点的力矩分配法 9-3 多结点的力矩分配法 9-4 计算结果的校核
9-1力矩分配法的基本概念
4i12 2 i12 M 1 i13 3 4 i14 2i12 i13∆1 i13 3i14 k11