02第二章 控制系统的数学描述1

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解：假设初始状态 θ (t ) = 0 在平衡位置，扭矩 M (t ) 在平衡位置， 应与阻力矩总和平衡， 应与阻力矩总和平衡，即 牛顿定律 M1 + M 2 + M 3 = M （2.2.1） 2.2.1）
d 2θ (t ) M1 = J dt 2 dθ (t ) M 2 = fm dt
式中， ——惯性体所产生的阻力矩 惯性体所产生的阻力矩， 式中，M1——惯性体所产生的阻力矩，为 ——阻尼器所产生的阻尼力矩 阻尼器所产生的阻尼力矩， M2——阻尼器所产生的阻尼力矩，为
d 2 f (t ) L[ ] = s 2 F ( s) sf (0) f ' (0) 2 dt
y(。 t)
解：
对微分方程中的各项进行拉式变换得
1000 s Y ( s ) sy (0) y (0) + 34.5 [ sY ( s ) y (0) ] + 1000Y ( s ) = s 2 ωn 1000 Y (s) = 2 2 s ( s + 34.5s + 1000) s ( s 2 + 2ξω s + ω n )
B( s ) k ( s + z1 )(s + z 2 ) ( s + z m ) F (s) = = A( s ) ( s + p1 )(s + p 2 ) ( s + p n )
ak = [
作为工具应 用，不用记 忆
Step2 ◆F(s)中具有不同的极点时，可展开为 F(s)中具有不同的极点时， 中具有不同的极点时
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F(s) = L[ f (t)] = ∫ f (t)e dt
0
∞
st
终值定理 初值定理 微分定理
t → ∞
lim f (t ) = lim sF ( s )
s → 0
t → 0
lim f (t ) = lim sF ( s )
s → ∞
df (t ) L[ ] = sF ( s ) f (0) dt
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所示， 电路的微分方程。 例2.1 如图2.1所示，写出 电路的微分方程。 所示 写出RC电路的微分方程
R
i
C
ur
uc
解：明确输入量 u r
u r = Ri + u c
， 输出量u c
第一步： 第一步：各环节数学表达式 第二步： 第二步：消去中间变量
du c i = c dt
du c RC + uc = u r dt
1 d j B( s ) = { j[ ( s + p1 ) r ]}s = p1 j! ds A( s )
1 d r 1 B( s) b1 = { r 1 [ ( s + p1 ) r ]}s = p1 (r 1)! ds A( s)
其余各极点的留数确定方法与上同。 其余各极点的留数确定方法与上同。 对于三阶以下的系统也可以用待定系数法 解方程） （解方程）
f (t ) F ( s )
（2）由变量s的代数方程求出系统输出输入量的拉式变换式。 由变量s的代数方程求出系统输出输入量的拉式变换式。 F (s) Y (s) （3）对输出量的拉式变换式进行拉式反变换，得到系统微 Y ( s ) y (t ) 分方程的解。 分方程的解。 8
数学工具——拉普拉斯变换与反变换 数学工具——拉普拉斯变换与反变换
——弹性轴所产生的弹性阻力矩 弹性轴所产生的弹性阻力矩， M3——弹性轴所产生的弹性阻力矩，为 M 3 = Kθ (t ) 代入式（2.2.1）， ），得到描述系统输出输 将M1、 M2、 M3代入式（2.2.1），得到描述系统输出输 入关系的运动方程式为
d 2θ (t ) dθ (t ) J + fm + Kθ (t ) = M (t ) 2 dt dt
s 2 s + 5 Y (s) = s ( s 2 + 3s + 2)
式中
5 A = Y ( s ) s |s = 0 = 2
C = Y ( s )( s + 2) |s =2 = s= 3 2
B = Y ( s )( s + 1) |s =1 = 5
对Y（S）进行拉式反变换
∴
5 3 2 t t y (t ) = 5e + e 2 2
1
2.0 引言
马克思说: 马克思说:定性到定量 的飞跃， 的飞跃，才能变成一 门科学。 门科学。
要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计， 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建 立系统的数学模型 数学模型。 立系统的数学模型。 ●数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。 数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的数学表达式。 物理量之间关系的数学表达式 物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、 ●物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 。 数学表达式：代数方程、微分方程、 ●数学表达式：代数方程、微分方程、差分方程
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微分方程求解例题
例2.3 设线性微分方程为
d y (t ) dy (t ) +3 + 2 y (t ) = 5u (t ) 2 dt dt
2
df ( t ) L[ ] = sF ( s ) f ( 0 ) dt
d 2 f (t ) L[ ] = s 2 F ( s) sf (0) f ' (0) dt 2
2
（2.1.3） 2.1.3）
（2）将初始条件代入式（2.1.3），得 将初始条件代入式（2.1.3），得 ），
s 2 s + 5 Y (s) = s ( s 2 + 3s + 2)
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（3）对式（2.1.3）进行分解： 对式（2.1.3）进行分解：
Y (s) = A B C + + s s +1 s + 2
⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t) f(t)满足 设函数f(t)满足 t<0时 ①t<0时 f(t)=0 ∞ f (t )e st dt < ∞ t>0时 f(t)分段连续 ② t>0时，f(t)分段连续 ∫0 f(t)的拉氏变换存在 的拉氏变换存在， 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 控制工程上函数都满足拉氏变换要求： 控制工程上函数都满足拉氏变换要求：能量有限 ⑵拉氏变换基本定理 线性定理 L[ a1 f1( t ) + a2 f 2 ( t )] = a1F1( s ) + a2 F2 ( s ) 位移定理 L[e at f (t )] = F ( s + a) 延迟定理 L[ f (t τ )] = e τs F ( s )
（2）拉氏变换表
序 1 2 3 4 5 6
号
原函数f（t）
象函数F（S） 1
1 s
1 s2
δ (t )
1（ t ） t
记住！ 记住！
t
n
e αt te
sin(ωt )
αt
n! s n +1
1 s+a
1 ( s + a) 2
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ω s2 + ω 2
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拉氏反变换（可查找拉氏变换表求解) ⑶ 拉氏反变换（可查找拉氏变换表求解) F(s)化成下列因式分解形式 化成下列因式分解形式： Step1 F(s)化成下列因式分解形式：
an br br 1 b1 a r +1 + + + + + + ( s + p1 ) r ( s + p1 ) r 1 ( s + p1 ) ( s + p r +1 ) (s + pn )
br = [
br j
B( s) ( s + p1 ) r ] s = p1 A( s )
br 1
d B( s) ={ [ ( s + p1 ) r ]}s = p1 ds A( s )
控制系统数学模型的类型
时域模型
微分方程Байду номын сангаас
频域模型
频率特性
复（S）域模型 ） 传递函数
2
2.1 线性微分方程的建立及求解 建模方法 ： 实验法、分析法 实验法、
黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号， ）：人为施加某种测试信号 实验法（黑箱法、辨识法）：人为施加某种测试信号， 记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学 记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学 辨识 模型。 模型。
第二章 控制系统的数学描述(4-6学时) 控制系统的数学描述(4 学时) (4（建立系统的数学模型） 建立系统的数学模型） 2.1 线性微分方程的建立及求解(了解) 线性微分方程的建立及求解(了解) 2.2 传递函数（掌握） 传递函数（掌握）
定义、性质、典型元件的传递函数 定义、性质、
2.3 控制系统的结构图及其等效变换 Mason公式 重点掌握） 公式（ Mason公式（重点掌握） 2.4 自动控制系统方块图构成例题 了解） （了解）
u 式中， 为单位阶跃函数， 式中， (t ) 为单位阶跃函数，初始条件为 y (0) = 1 y (0) = 2 ，试 求该微分方程的解。 求该微分方程的解。 解：
（1）对微分方程中的各项进行拉式变换得
5 s Y ( s ) sy (0) y (0) + 3 [ sY ( s ) y (0) ] + 2Y ( s ) = s
i
5
建立微分方程的 作用？？ 作用？？
例2.2
M
图2.2是具有转动惯量为J的转子， 2.2是具有转动惯量为J的转子， 是具有转动惯量为 与弹性系数为K 与弹性系数为K的弹性轴和阻尼 fm 的阻尼器连接。 系数为 f m的阻尼器连接。假设 施加的外扭矩为 M (t ) ， 则系统产生偏离平衡位置的角位 的微分方程。 移θ (t ) 。试写出角位移 θ (t ) 与扭矩 M (t ) 的微分方程。