计算机控制系统数学描述资料
(整理)自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型教学目的：（1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。
（2）掌握传递函数的概念及求法。
（3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。
（4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。
（5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。
（6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力教学要求：（1）正确理解数学模型的特点；（2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法；（3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数；（4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握；（5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法；（6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。
教学重点：有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。
教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式。
的余子式k教学方法：讲授本章学时：10学时主要内容：2.0 引言2.1 动态微分方程的建立2.2 线性系统的传递函数2.3 典型环节及其传递函数2.4系统的结构图2.5 信号流图及梅逊公式2.0引言：什么是数学模型？为什么要建立系统的数学模型？1. 系统的数学模型：描述系统输入输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。
１） 动态模型：描述系统处于暂态过程中个变量之间关系的表达式，他一般是时间函数。
计算机控制系统复习资料(精简版 列出重点知识点)
第一章概论，讲述计算机控制系统的发展过程；计算机控制系统在日常生活和科学研究中的意义；计算机控制系统的组成及工作原理；计算机控制的特点、优点和问题；与模拟控制系统的不同之处；计算机控制系统的设计与实现问题以及计算机控制系统的性能指标。
1.计算机控制系统与连续模拟系统类似，主要的差别是用计算机系统取代了模拟控制器。
2.计算机系统主要包括：．A／D转换器，将连续模拟信号转换为断续的数字二进制信号，送入计算机；．D／A转换器，将计算机产生的数字指令信号转换为连续模拟信号(直流电压)并送给直流电机的放大部件；．数字计算机(包括硬件及相应软件)，实现信号的转换处理以及工作状态的逻辑管理，按给定的算法程序产生相应的控制指令。
3.计算机控制系统的控制过程可以归结为：．实时数据采集，即A/D变换器对反馈信号及指令信号的瞬时值进行检测和输入；．实时决策，即计算机按给定算法，依采集的信息进行控制行为的决策，生成控制指令；．实时控制，即D/A变换器根据决策结果，适时地向被控对象输出控制信号。
4.计算机控制系统就是利用计算机来实现生产过程自动控制的系统。
5.自动控制，是在没有人直接参与的情况下，通过控制器使生产过程自动地按照预定的规律运行。
6.计算机控制系统的特性系统规模有大有小系统类型多种多样系统造价有高有低计算机控制系统不断推陈出新7.按功能分类1)数据处理系统2)直接数字控制（DDC）3)监督控制（SCC）4)分散型控制5)现场总线控制系统按控制规律分类1)程序和顺序控制2)比例积分微分控制（PID）3)有限拍控制4)复杂控制5)智能控制按控制方式分类1)开环控制2)闭环控制9.计算机控制系统的结构和组成控制算法软件网络硬件11.硬件平台运算处理与存储部分：CPU，存储器（RAM，ROM，EPROM，FLASH-ROM，EEPROM以及磁盘等），时钟，中断，译码，总线驱动等。
输入输出接口部分：各种信号（模拟量，开关量，脉冲量等）的锁存、转换、滤波，调理和接线，以及串行通讯等。
计算机控制系统：计算机控制系统数学描述与性能分析习题与答案
一、多选题1、系统暂态主能指标包括（）A.调节时间B.上升时间C.阻尼比D.峰值时间正确答案：A、B、D2、减小或消除系统的稳态误差方法有（）A.采用串级控制抑制内回路扰动。
B.在系统的前向通道或主反馈通道设置串联积分环节。
C.增大系统开环增益或扰动作用点之前系统的前向通道增益。
D.采用反馈补偿法。
正确答案：A、B、C3、系统常规的性能指标有（）A.稳定性指标B.暂态指标C.系统的抗干扰指标D.稳态指标正确答案：A、B、C、D4、判断连续系统稳定的频率域方法有（）A.劳斯判据B.根轨迹方法C.奈奎斯特判据D.波特图法正确答案：C、D二、判断题1、稳态误差与系统的结构和参考输入无关。
（）正确答案：×2、一个系统稳定是指该系统在平衡状态下，受到外部扰动作用而偏离平衡状态，当扰动消失后，经过一段时间，系统不能够回到原来的平衡状态。
（）正确答案：×3、线性系统的稳定性是由系统本身固有的特性决定的，而与系统外部输入信号的有无和强弱有关。
（）正确答案：×三、填空题1、系统的类型的作用：系统的类型数将决定系统有无_______。
正确答案：稳态误差2、已知闭环系统的特征方程45z3−117z2+119z−39=0，该系统_______。
（不稳定/稳定）正确答案：不稳定3、_______指系统过渡过程结束到达稳态以后，系统参考输入与系统输出之间的偏差。
正确答案：稳态误差4、已知闭环系统的特征方程z3−1.001z2+0.3356z+0.00535=0，该系统_______。
（不稳定/稳定）正确答案：稳定。
第三章 计算机控制系统的数学描述2差分方程
脉冲传递函数 G(z) 的求法：
·对 G(s) 做拉氏反变换 g(t) ? L?1?G(s)?，求得脉冲响应。
·对 g(t) 响应）。
采样，求得采样信号 g*(t) （离散系统脉冲 ? g * (t ) ? ? g ( kT )? (t ? kT ) k?0
（1）迭代法 若看作数学问题求解，需考虑初始条件。 例3.8 已知差分方程为
y(k) ? y(k ?1)? r(k) ? 2r(k ? 2)
设初始条件 y(0) ? 2 ，求 y(k) 。 解： 将差分方程式写成递推形式
y(k) ? r(k) ? 2r(k? 2)? y(k?1)
令 k?1 ，则 y(1)? r(1)? 2r(?1)? y(0)
·对采样信号 g*(t) 进行拉氏变换，得 G(z)
?
G (z) ? L?g * (t)?? ? g (kT )z? k k? ? 0
G ( z) ? Z ?g (t ) ?? ? g ( kT ) z ? k k?0
G ( z ) ? Z ?G ( s ) ?
以上3式均可通用。
2、差分方程与脉冲传递函数 已知差分方程为
如果差分方程为
y(k) ? a1y(k ? 1) ? ???? an y(k ? n) ? b0r (k) ? b1r (k ? 1)? ??? bmr (k ? m)
n
m
y(k) ? ? ai y(k ? i) ? ? b jr (k ? j)
i?1
j?0
n
m
? ? Y(z) ? ai z?iY(z) ? b j z? jR(z)
i?1
j? 0
计算机控制系统(1)
计算机控制系统席爱民编著第1章绪论1.1 概述可以这样说，没有计算机的参与，现代化的自动化系统是不可能实现的。
随着微电子学、计算机技术革命性的发展，当今所构成的自动控制系统都是建立在计算机基础之上的。
要获得比模拟控制系统更好的控制性能，使控制系统具备新的功能，只有使用计算机控制系统。
计算机具有信息储存记忆、逻辑判断推理和快速数值计算功能，是一种强大的信息处理工具，其应用己经渗透到人类活动的各个领域，强有力地推动着技术与科学的全面进步。
随着计算机技术的迅猛发展，计算机在工业控制中的应用也越来越广泛。
如今计算机控制已广泛应用于各行各业技术工程和各类工业生产制造过程的控制中。
学习本书的目的：本书将侧重系统讲述有关计算机控制系统的分析及设计的基本理论和方法，以及一些较为实用的计算机先进控制算法。
实际上目前全部的控制系统都是基于计算机控制，因此懂得计算机控制是很重要的。
如果将计算机控制系统仅仅看作模拟控制系统的近似是很不够的。
因为那是没有看到计算机控制的全部潜在能力。
很好地掌握计算机控制系统，就能够充分发挥计算机控制的全部潜能。
计算机控制系统存在着一些模拟控制系统所没有的相应现象，本书的主要目标就提供了解、分析和设计计算机控制系统扎实的基础理论知识，这对于从事控制系统方面的工程技术人员来说是很重要的。
本章概述：计算机控制系统的组成、类型、特点、任务以及计算机控制的发展概况及趋势；了解过程自动化的任务，进一步明确计算机控制系统的类型、特点。
1.1.1计算机控制系统典型计算机反馈控制系统如图1.1所示。
系统中存在着两种截然不同的信号，即模拟连续信号及数字离散信号。
因而对于计算机控制系统的分析和设计就不能完全采用连续控制理论，需要有相应的离散控制理论与之相适应。
不同类型信号混合的分析有时是困难的，然而，在大多数的情况下，描述系统在采样点上的表现就足够了。
1.1.2计算机控制系统组成计算机控制系统是由硬件和软件两部分组成的。
控制系统数学模型
控制系统数学模型
控制系统数学模型是指用数学方法对控制系统进行建模和分析
的过程。
控制系统是指对一些物理过程进行控制的系统，包括机电控制系统、化工控制系统、航空航天控制系统等。
数学模型是指对一个系统或过程进行描述的数学式子或方程组。
建立控制系统的数学模型是控制工程的重要基础之一。
通过建立数学模型，可以更加深入地理解系统的特性，优化控制策略，提高系统的效率和稳定性。
在建立控制系统数学模型时，需要先对被控系统进行分析，确定系统的物理特性和运动规律。
然后，根据控制对象的特性，选择适当的数学模型进行建立。
常用的控制系统数学模型包括线性时不变系统模型、非线性系统模型、时变系统模型等。
线性时不变系统模型是指系统的输出与输入之间满足线性关系，且系统的特性不随时间变化。
非线性系统模型是指系统的输出与输入之间不满足线性关系。
时变系统模型是指系统的特性随时间变化。
除了建立数学模型外，还需要对模型进行分析和仿真。
常用的分析方法包括传递函数法、状态空间法等。
仿真可以通过计算机模拟系统运动过程，验证控制策略的有效性。
总之，控制系统数学模型是控制工程的重要基础之一，对于提高控制系统的性能和稳定性具有重要意义。
- 1 -。
Z变换
f (t) 2t 9*1(t) 20* 2t
8
如果不能分解为分母上带z的形式，利用
F1(z)
A1z A2 z z z1 z z2
L
An z z zn
F(z)z
或F（z）=F1（z）z-1，求F1（z）的Z反变换f1（k） 得到的f（k）=f1（k-1） 例： F(z) 1 表中没有
当z趋于无穷时，两边取极限，z ，z-10 上式成立
12
四、终值定理
lim f (kT ) lim(1 z1)F(z)
k
z1
终值定理成立的条件:
(1 z在1)F单(z位) 圆上和圆外没有极点，f（k）收敛
例： F(z) z , f (k) 发2散k , ，k不能使用终值定理
例：求
F
(
z
)
11z3 15z (z 2)(z
2 6 1)2
z
的Z反变换
解：
F (z) 2 z 9 z 20 z (z 1)2 z 1 z 2
(F(z)无重根) F(z)分母上往往有z, 对应查表方便
2t /T
9 *1(t )
20* 2t /T
f (k) 2k 9*1(k) 20* 2k , k 0,1, 2L
C(z) R(z)
bj z j
j0
n
1 ai zi
脉冲传递函数
n
i0
(z) 1 ai zi 为该系统的特征多项式
18
i 1
3 开环脉冲传递函数（从采样开关到采样开关） 一、采样系统中连续部分的结构形式
图（a）—连续输入,连续输出 C(s) G(s)R(s) 图（b）—连续输入,采样输出 C *(s) [G(s)R(s)]*
基于MATLAB的控制系统数学建模
频率响应与传递函数
系统的频率响应反映了系统对不同频率输入信号的响应能力，传 递函数描述了系统输入输出之间的数学关系。
频域性能指标
包括幅值裕度、相位裕度、谐振频率等，用于评价系统的稳定性 和性能。
利用MATLAB进行频域分析
01
MATLAB频域分析 工具箱
习等功能，提高系统的性能和稳定性。
绿色环保
未来控制系统将更加注重绿色环保，采用 更加高效、节能的技术和设备，减少对环
境的影响。
多领域融合
控制系统将与其他领域进行更多的交叉融 合，如计算机科学、机械工程、电子工程 等，形成更加综合的学科体系。
远程控制和自动化
随着互联网和物联网技术的普及，远程控 制和自动化将成为控制系统的重要发展方 向，提高生产效率和便利性。
实例分析：典型环节传递函数建模
一阶惯性环节
传递函数为`1/(T*s+1)`，其中`T`为时间常数，`s`为复频率。 在MATLAB中可表示为`sys = tf([1], [T, 1])`。
二阶振荡环节
传递函数为`1/(s^2/ωn^2+2ζs/ωn+1)`，其中`ωn`为自然频率，`ζ`为阻 尼比。在MATLAB中可表示为`sys = tf([1], [1/ωn^2, 2ζ/ωn, 1])`。
数学模型描述方法
微分方程法
通过列写系统或元件的微分方程来描述系统的动态特性，适用于线 性定常系统、非线性系统以及时变系统。
传递函数法
在零初始条件下，系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯 变换之比，适用于线性定常系统。
状态空间法
以系统的状态变量为基础，通过状态方程和输出方程来描述系统的动 态特性，适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时变系统。
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1、香农采样定理
为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连续
信号，采样频率必须大于等于原连续信号所含最
高频率的两倍，即
s
2
T
2max
或
T 2
2 max
5
信号的采样与复现
2、保持器
保持器是将采样信号转换成连续信号的装置。
理想滤波器的滤波特性为
G( j)
1 s /2
0 s /2
G( j)
其频率特性为：
1 z1 z2 ... zk ...
1
z
级数求和，得 1 z1 z 1
13
z变换与z反变换
例2: 求 f ( t ) eat 的z 变换。
解 :F( z ) eakT zk k 0
1 eaT z1 e2aT z2 ... eakT zk ...
级数求和，得
eaT z1 1
fh(t)
f*(t) Gh (s) fh (t) 1 t
fh (t)的数学表达式为：
fh (t) 1(t) 1(t T )
零阶保持器的传递函数为：
T fh(t)
1 T
Gh
(s)
1 s
eTs s
1 eTs s
-1
8
信号的采样与复现
5、零阶保持器的频率特性为
Gh
(
j
)
1
e jT
j
T
T
j T
e 2
e
z反变换只能给出采样信号 f (t) ，
而不能给出连续信号 f (t) 。
19
z变换与z反变换
1、长除法
若z变换函数 F(是z)复变量z的有理函数，则可将其展
成 的无z穷1 级数，即
F(
z
)]
b0 z m a0 z n
b1z m1 a1z n1
... ...
bm an
f0 f1z1 f2 z2 ... fk zk ...
其对应的时间函数为
f (t) 1 [1 eat ]
则
a
F(z) 1 [ z z ]
z(1 eaT )
a z 1 z eaT
a[ z 2
(1
e aT
)z
e aT 16
]
z变换与z反变换
三、z变换的基本定理
1、 线性定理
Za1x1( t ) a2x2( t ) a1X1( z ) a1X1( z )
计算机控制系统的 数学描述
1
计算机控制系统的分析方法
系统建模 Z变换 Z反变换
实际离散控制系统 差分方程
脉冲传递函数 求脉冲响应
分析暂态特性
分析稳定性
求稳态误差
2
信号的采样与复现
一、 信号的采样
在采样控制系统中将连续信号变为断续信号的过程称为采 样过程。实现这个采样过程的装置称为采样装置。
f(t)
10
、 一 Z变换的定义
z变换与z反变换
f(t)
采样
f * ( t ) f ( kT ) ( t kT )
k 0
离散Laplace变换
F * ( s ) L[ f *( t )] f ( kT )ekTs k 0
由此可看出 F(z) 是关于复变量z 的幂级数 。
令 z eTs
F( z ) f ( kT )zk
lim f ( t ) lim f ( nT ) lim( z 1)F( z )
t
n
z1
5、复数位移定理
18
z变换与z反变换 四、z反变换
z 反变换是 z 变换的逆运算。其目的是由 像函数 F(z)求出所对应的采样脉冲序列 （ 或 f (t) ），记作 f (nT)
Z 1[ F( z )] f *( t )
j T 2
j T
e 2 2j
sin T
T
2
T
j T
e2
2
2
幅频特性的幅值随频率ω
的增大而衰减，具有明
显低通滤波特性。
零阶保持器不是一
个理想的低通滤波器，
它除了允许主频谱通过
外，还允许部分高频频
谱通过。
9
信号的采样与复现
采用零阶保持器还将产 生滞后相移，这将使系统 的相对稳定性降低。将阶 梯信号的中点连接起来形 成的虚线的形状与原连续 信号f(t) 相同，相位滞后 T/2 ，该曲线的数字表达式 为f (t-T/2)。与其他各阶保 持器相比，零阶保持器产 生的相位滞后最小。
0 T 2T 3T
kT
f（kT）表示采样脉冲的幅值，z的幂次表示该采样 脉冲出现的时刻，它包含着量值与时间的概念。 12
z变换与z反变换
二、z变换的求法
1、级数求和法
例1: 求单位阶跃函数1（t）的 z 变换 F( z ) f ( kT )zk
解:
0
F( z ) 1( kT )zk
k 0
- s
2
s
6
2
信号的采样与复现
3、 零阶保持器
零阶保持器是最常用的一种保持器，它把采样时刻的 采样值恒定不变地保持（或外推）到下一采样时刻。
采样开关
保持器
f(t)
f*(t) Gh(s)
fh(t)
T
0 T 3T 5T 7T
t7
信号的采样与复现
4、零阶保持器的传递函数
f*(t)
1 t
脉冲输入 零阶保持器
f *( t ) f0( t ) f1( t T ) f2( t 2T ) ... fk( t kT ) ...
20
z变换与z反变换
2、部分分式法
k 0
11
Z变换的物理意义
f *(t) f (0) f (T) (t T) f (2T) (t 2T) ... f (kT) (t kT) ...
F( z ) f (0 ) f (T )z1 f ( 2T )z2 ... f ( kT )zk ...
f *(t )
... ...
t
采样开关 f*(t)
宽度为
f(t)
f*(t)
t
t
将采样信号用如下数学式子表示
T 采样时间
f * (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
k
k
3
f *(t) f (t)T (t)
f (t) (t kT) k
采样信号的调制过程
4
信号的采样与复现
二、信号的复现
1
z
F( z ) 1 eaT z1 z eaT
14
z变换与z反变换
2、部分分式法
利用级数求和公式写成闭合形式，得
15
z变换与z反变换
例3 已知 F (s) 1 ，试求其 z 变换。
s(s a)
解: 将F（s）展开成部分分式形式
F(s) 1 1 (1 1 ) s(s a) a s s a
线性定理说明，各函数线性组合的z变换等于各函数
z变换的线性组合。
2、 延迟定理
Z f ( t kT ) zk F( z )
( t 0时，f ( t ) 0 )
3、 超前定理
k 1
Z f ( t kT ) zk F( z ) zk f ( nT )zn 17
n0
4、 终值定理
z变换与z反变换